धडा २: वास्तव संख्या | राज्य मंडळ · इयत्ता 9 · गणित भाग १

परिमेय संख्या आणि त्यांची दशांश रूपे

रोजच्या जीवनातून

1 ÷ 4 = 0.25 लवकर संपते, पण 1 ÷ 3 = 0.333... कधीच संपत नाही. अपूर्णांकाचा दशांश संपणार की पुनरावृत्त होणार ते छेद ठरवतो.

सोपी व्याख्या

परिमेय संख्येचे दशांश रूप संपणारे (terminating) किंवा न संपणारे पुनरावृत्त (non-terminating recurring) असते.

नियम 1 : परिमेय संख्यांचे गुणधर्म — परिमेय संख्या a, b, c साठी बेरीज व गुणाकार क्रमविनिमेय (commutative, a + b = b + a), साहचर्य (associative) असतात; त्यांना तटस्थ घटक (identity: बेरजेसाठी 0, गुणाकारासाठी 1) आणि व्यस्त (inverse: बेरजेसाठी −a; गुणाकारासाठी 1a, a ≠ 0) असतो.

सोपे : 3 + 5 = 5 + 3.
मध्यम : 27 चा बेरीज व्यस्त −27.
परीक्षेसाठी : 38 चा गुणाकार व्यस्त 83; पडताळा 38 × 83 = 1.

नियम 2 : संपणारा की पुनरावृत्त? — अपूर्णांक लघुत्तम रूपात आणून छेदाचे अवयव पाहा. फक्त 2 किंवा 5 → संपणारा : 720 = 0.35 (20 = 2 × 2 × 5), 316 = 0.1875. इतर मूळ अवयव असतील तर पुनरावृत्त : 512 = 0.41666... (12 = 2 × 2 × 3), 47 = 0.571428571428...

आकृतीत : आकृतीत छेदाचे मूळ अवयव पाहा : फक्त 2 किंवा 5 म्हणजे संपणारा; इतर कोणताही मूळ अवयव म्हणजे न संपणारा पुनरावृत्त.

सोपे : 18 = 0.125 संपतो (8 = 2 × 2 × 2).
मध्यम : 215 पुनरावृत्त, कारण 15 ला अवयव 3 आहे.
परीक्षेसाठी : कोणता संपतो : 940 की 942? 40 = 2 × 2 × 2 × 5, म्हणून 940 = 0.225.

नियम 3 : पुनरावृत्त दशांश → अपूर्णांक — पुनरावृत्त अंकांच्या संख्येनुसार 10, 100 किंवा 1000 ने गुणा आणि वजा करा. x = 0.444... : 10x − x = 4, म्हणून x = 49. x = 0.2323... : 100x − x = 23, म्हणून x = 2399. x = 2.1515... : 100x − x = 213, म्हणून x = 21399 = 7133.

सोपे : 0.111... = 19.
मध्यम : 0.666... = 69 = 23.
परीक्षेसाठी : 0.4545... अपूर्णांकात लिहा : 100x − x = 45, x = 4599 = 511.

लक्षात ठेवा

छेद फक्त 2, 5 → संपणारा. नाहीतर पुनरावृत्त.

सामान्य चूक

लघुत्तम न केलेला अपूर्णांक तपासणे. 615 = 25 संपतो, जरी 15 ला 3 आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "फक्त 2 आणि 5 = थांबतो".

फरक ओळखा

अपूर्णांक	छेदाचे अवयव	दशांश
720	2, 2, 5	संपणारा)
512	2, 2, 3	पुनरावृत्त)
47	7	पुनरावृत्त)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1परिमेय संख्येची दोन दशांश रूपे?
2बेरजेचा तटस्थ घटक?
3गुणाकाराचा तटस्थ घटक?

मध्यम

4316 चे दशांश रूप?
5730 संपतो का?
60.333... अपूर्णांकात लिहा.

आव्हानात्मक

70.8181... अपूर्णांकात लिहा.
83.7777... अपूर्णांकात लिहा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1संपणारे आणि न संपणारे पुनरावृत्त.
20.
31.
40.1875.
5नाही, 30 ला अवयव 3 आहे.
613.
7100x − x = 81, x = 8199 = 911.
810x − x = 34, x = 349.

अपरिमेय आणि वास्तव संख्या

रोजच्या जीवनातून

1 m बाजूच्या चौरस फरशीचा कर्ण मीटरमधील अपूर्णांकात लिहिता येत नाही. अशा संख्यांसाठी नवे कुटुंब हवे.

सोपी व्याख्या

अपरिमेय संख्या pq रूपात लिहिता येत नाही; तिचे दशांश न संपणारे, पुनरावृत्त नसलेले असते. परिमेय व अपरिमेय मिळून वास्तव संख्या (real numbers).

नियम 1 : √2 अपरिमेय आहे — विरोधाभासाने सिद्धता : √2 = pq मानू, p, q ला 1 शिवाय सामाईक अवयव नाही. मग 2q² = p², म्हणून p सम; मग q ही सम, हे गृहीतकाला विरोधी. तसेच √3, √5, √7 अपरिमेय. √2 = 1.41421..., √3 = 1.732...

आकृतीत : आकृतीत वास्तव संख्या परिमेय किंवा अपरिमेय असतात.

सोपे : √2 अपरिमेय.
मध्यम : √9 = 3 परिमेय.
परीक्षेसाठी : 0.101001000... परिमेय आहे का? नाही, ते पुनरावृत्त होत नाही.

नियम 2 : वास्तव संख्या आणि π — संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदू एक अद्वितीय वास्तव संख्या आणि प्रत्येक वास्तव संख्या एक अद्वितीय बिंदू. प्रत्येक परिमेय संख्या वास्तव आहे, पण उलट नाही (√2, π, 3 + √2 परिमेय नाहीत). π = परिघ ÷ व्यास अपरिमेय, सुमारे 227 किंवा 3.14. आर्यभटांनी (इ.स. 499) π = 6283220000 = 3.1416 घेतला.

आकृतीत : आकृतीत √2 आणि π सारख्या अपरिमेय संख्यांनाही संख्यारेषेवर स्वतःची जागा असते.

सोपे : π अपरिमेय.
मध्यम : 227 हे π चे फक्त सन्निकट मूल्य.
परीक्षेसाठी : इ.स. 499 मध्ये π = 3.1416 कोणी घेतला? आर्यभट.

नियम 3 : नियम — परिमेय ± अपरिमेय = अपरिमेय (3 + √5). शून्येतर परिमेय × किंवा ÷ अपरिमेय = अपरिमेय (2√3). पण दोन अपरिमेयांचे उत्तर परिमेय असू शकते : √2 × √2 = 2, √3 + (−√3) = 0; किंवा अपरिमेय : √2 + √3.

Live आकृती

अपरिमेय आणि वास्तव संख्या

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

सोपे : 5 + √2 अपरिमेय.
मध्यम : 4 × √3 अपरिमेय.
परीक्षेसाठी : गुणाकार परिमेय असलेल्या दोन अपरिमेय संख्या द्या. √5 आणि √5 यांचा गुणाकार 5.

लक्षात ठेवा

अपरिमेय : न संपणारे, पुनरावृत्त नसलेले. परिमेय ± अपरिमेय = अपरिमेय.

सामान्य चूक

227 म्हणजे π समजणे. ते फक्त जवळचे मूल्य.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "परिमेय + अपरिमेय = वास्तव".

फरक ओळखा

प्रकार	दशांश	उदाहरण
परिमेय	संपणारे किंवा पुनरावृत्त	38, 0.333...
अपरिमेय	न संपणारे, पुनरावृत्त नसलेले	√2, π
वास्तव	दोन्ही	संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदू

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1अपरिमेय संख्या म्हणजे काय?
2अपरिमेय संख्येचे दशांश रूप?
3√16 अपरिमेय आहे का?

मध्यम

4प्रसिद्ध अपरिमेय स्थिरांक सांगा.
52 + √7 परिमेय आहे का?
6√5 × √5 परिमेय आहे का?

आव्हानात्मक

7वर्गीकरण करा : 0.5, √10, 73, 0.2020020002....
8√2 च्या सिद्धतेत ते परिमेय आहे असे आधी का मानतात?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1pq रूपात न लिहिता येणारी संख्या.
2न संपणारे, पुनरावृत्त नसलेले.
3नाही, ते 4 आहे.
4π.
5नाही, अपरिमेय.
6होय, ते 5 आहे.
7परिमेय, अपरिमेय, परिमेय, अपरिमेय.
8विरोधाभास मिळवण्यासाठी, ज्यातून गृहीतक चुकीचे ठरते.

करणी, सोपे रूप, सजातीय करणी आणि तुलना

रोजच्या जीवनातून

√50 क्लिष्ट दिसते, पण 50 = 25 × 2 मुळे ते 5√2 असे सोपे लिहिता येते, ज्याची तुलना व बेरीज सोपी.

सोपी व्याख्या

करणी (surd) म्हणजे धन परिमेय संख्येचे अपरिमेय मूळ, ⁿ√a असे लिहितात.

नियम 1 : करणी म्हणजे काय — ⁿ√a मध्ये √ हे करणी चिन्ह, n कोटी (order) आणि a करणीय संख्या (radicand). ∛7 आणि ∜8 करणी आहेत; ∛27 = 3 आणि ∛8 = 2 परिमेय असल्याने करणी नाहीत. कोटी 2 च्या करणींना वर्ग करणी. ऋण वास्तव संख्येचे वर्गमूळ वास्तव नाही.

आकृतीत : आकृतीत करणी म्हणजे धन परिमेय संख्येचे अपरिमेय मूळ.

सोपे : √3 करणी आहे.
मध्यम : ∛27 = 3 करणी नाही.
परीक्षेसाठी : कोणती करणी : √49, ∛5, ∛64? फक्त ∛5.

नियम 2 : सोपे रूप आणि तुलना — √72 = √36 × √2 = 6√2; √200 = √100 × √2 = 10√2; √75 = 5√3. कोटी व करणीय संख्या समान (सोप्या रूपात) असलेल्या करणी सजातीय करणी (like surds) : √12 = 2√3 आणि √27 = 3√3. तुलनेसाठी वर्ग तुलना करा : (4√3)² = 48 > 45 = (3√5)², म्हणून 4√3 > 3√5; (5√2)² = 50 > 49, म्हणून 5√2 > 7.

सोपे : √18 = 3√2.
मध्यम : √12 व √27 सजातीय.
परीक्षेसाठी : 6√2 व 5√3 ची तुलना करा : 72 < 75, म्हणून 6√2 < 5√3.

लक्षात ठेवा

आधी सोपे रूप करा (वर्ग बाहेर काढा). तुलना वर्ग करून.

सामान्य चूक

√4 ला करणी म्हणणे. ते 2 आहे, परिमेय.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "वर्ग बाहेर काढा, मग तुलना".

फरक ओळखा

करणी	सोपे रूप
√72	6√2
√200	10√2
√75	5√3

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1करणी म्हणजे काय?
2³√5 मध्ये कोटी किती?
3√48 सोपे करा.

मध्यम

4√98 सोपे करा.
52√5 व 7√5 सजातीय आहेत का?
6कोणती मोठी : 3√5 की 4√3?

आव्हानात्मक

7√128 सोपे करा.
8करणींची तुलना वर्ग करून का करतो?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1धन परिमेय संख्येचे अपरिमेय मूळ.
23.
34√3.
47√2.
5होय.
64√3, कारण 48 > 45.
7√64 × √2 = 8√2.
8वर्ग केल्याने मूळ जाते आणि धन संख्यांसाठी क्रम तोच राहतो.

करणींवरील क्रिया आणि परिमेयीकरण अवयव

रोजच्या जीवनातून

सफरचंद आणि सफरचंद सहज मिळवता येतात, पण सफरचंद आणि आंबे नाही. सजातीय करणी सफरचंदांसारख्या मिळवतात; विजातीय वेगळ्या राहतात.

सोपी व्याख्या

फक्त सजातीय करणी मिळवता/वजा करता येतात; कोणत्याही करणी गुणता/भागता येतात. परिमेयकारक घटक करणीला परिमेय संख्या बनवतो.

नियम 1 : बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार — 5√2 + 3√2 = 8√2; 10√3 − 4√3 = 6√3. √18 + √50 − √8 = 3√2 + 5√2 − 2√2 = 6√2. √6 × √15 = √90 = 3√10. √72 ÷ √2 = √36 = 6. √12 × √27 = 2√3 × 3√3 = 18. करणींचा गुणाकार किंवा भागाकार परिमेय असू शकतो.

सोपे : 4√5 + √5 = 5√5.
मध्यम : √8 + √32 = 2√2 + 4√2 = 6√2.
परीक्षेसाठी : √45 + √80 − √20 सोपे करा = 3√5 + 4√5 − 2√5 = 5√5.

नियम 2 : परिमेयकारक घटक — दोन करणींचा गुणाकार परिमेय असेल तर प्रत्येक दुसरीचा परिमेयकारक घटक : √3 × √12 = 6. तो अद्वितीय नसतो; √12 = 2√3 साठी सर्वांत सोपा √3. छेदातील मूळ काढण्यासाठी : 1√7 = √77; 52√3 = 5√36 (अंश-छेदाला √3 ने गुणा).

सोपे : √5 × √5 = 5.
मध्यम : 3√2 = 3√22.
परीक्षेसाठी : 103√5 चे परिमेयीकरण करा = 10√515 = 2√53.

लक्षात ठेवा

फक्त सजातीय करणी मिळवा. अंश-छेदाला परिमेयकारक घटकाने गुणा.

सामान्य चूक

√2 + √3 = √5 करणे. विजातीय करणी एकत्र होत नाहीत.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "सजातीय = मिळवा; छेदात करणी = घटकाने गुणा".

फरक ओळखा

क्रिया	उदाहरण
सजातीय मिळवा	5√2 + 3√2 = 8√2
गुणा	√6 × √15 = 3√10
भागा	√72 ÷ √2 = 6
परिमेयीकरण	1√7 = √77

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1√2 व √3 मिळवून एक करणी मिळते का?
26√7 − 2√7 = ?
3√6 × √6 = ?

मध्यम

4√50 ÷ √2 = ?
51√7 चे परिमेयीकरण करा.
6√12 चा सर्वांत सोपा परिमेयकारक घटक?

आव्हानात्मक

7√12 × √27 सोपे करा.
8परिमेयकारक घटक अद्वितीय का नाही?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1नाही, त्या विजातीय आहेत.
24√7.
36.
4√25 = 5.
5√77.
6√3.
72√3 × 3√3 = 18.
8परिमेय गुणाकार देणारा कोणताही गुणक चालतो.

द्विपदी करणी, संयुग्मी आणि निरपेक्ष मूल्य

रोजच्या जीवनातून

₹ (√5 + √3) अशी किंमत विचित्र, पण त्याच्या "आरशातील" रूपाने (√5 − √3) गुणले तर साधे 2 मिळते. अशा जोड्यांना संयुग (conjugate) म्हणतात.

सोपी व्याख्या

√5 + √3 सारख्या द्विपदी करणी; (√a + √b) आणि (√a − √b) हे संयुग (conjugates) असून गुणाकार a − b. ∣x∣ म्हणजे निरपेक्ष मूल्य (absolute value).

नियम 1 : संयुग — (√a + √b)(√a − √b) = a − b, जे परिमेय. (√7 + √2)(√7 − √2) = 5; (√6 + √3)(√6 − √3) = 3. 7 + √3 चे संयुग 7 − √3. प्रत्येक दुसऱ्याचा परिमेयकारक घटक.

आकृतीत : आकृतीत संयुगाने गुणल्यास छेदातील मूळ निघून जाते.

सोपे : 3 + √2 चे संयुग 3 − √2.
मध्यम : (√5 + 1)(√5 − 1) = 5 − 1 = 4.
परीक्षेसाठी : 1(√7 − √2) चे परिमेयीकरण करा = (√7 + √2)5.

नियम 2 : संयुगाने परिमेयीकरण — 6(√5 + √2) : अंश-छेदाला (√5 − √2) ने गुणा. छेद 5 − 2 = 3 होतो. म्हणून किंमत 6(√5 − √2)3 = 2√5 − 2√2.

आकृतीत : आकृतीत निरपेक्ष मूल्य अंतर असल्याने ते कधीच ऋण नसते.

सोपे : ∣−7∣ = 7.
मध्यम : ∣4 − 9∣ = 5.
परीक्षेसाठी : ∣x − 3∣ = 4 वरून x = 7 किंवा x = −1.

नियम 3 : निरपेक्ष मूल्य — ∣x∣ म्हणजे x चे शून्यापासून अंतर : x > 0 तर ∣x∣ = x, ∣0∣ = 0, x < 0 तर ∣x∣ = −x. ते कधीही ऋण नसते. ∣x + 2∣ = 5 वरून x + 2 = 5 किंवा x + 2 = −5, म्हणून x = 3 किंवा x = −7.

सोपे : ∣5∣ = 5.
मध्यम : ∣−2.5∣ = 2.5.
परीक्षेसाठी : ∣2x − 1∣ = 7 सोडवा : 2x − 1 = 7 किंवा −7, म्हणून x = 4 किंवा x = −3.

लक्षात ठेवा

संयुगांचा गुणाकार a − b. ∣x∣ अंतर, कधीही ऋण नाही.

सामान्य चूक

∣−3∣ = −3 लिहिणे. ते 3 आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "मधले चिन्ह उलट = संयुग".

फरक ओळखा

राशी	संयुग	गुणाकार
√5 + √3	√5 − √3	2
7 + √3	7 − √3	46
√7 + √2	√7 − √2	5

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1√5 + √3 चे संयुग?
2(√a + √b)(√a − √b) = ?
3(√6 + √3)(√6 − √3) चा गुणाकार?

मध्यम

4∣−9∣ = ?
5∣x∣ ऋण असू शकते का?
6∣x − 5∣ = 2 सोडवा.

आव्हानात्मक

71(√5 − √3) चे परिमेयीकरण करा.
8(7 + √3)(7 − √3) काढा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1√5 − √3.
2a − b.
33.
49.
5नाही.
6x = 7 किंवा x = 3.
7(√5 + √3)2.
849 − 3 = 46.

झटपट उजळणी

सांत दशांश : छेदाचे मूळ अवयव फक्त 2 आणि 5. अपरिमेय संख्यांचे दशांश असांत, अनावर्ती असतात.
करणी म्हणजे धन परिमेय संख्येचे अपरिमेय मूळ; सजातीय करणींची बेरीज व वजाबाकी करता येते.
(√a + √b)(√a − √b) = a − b परिमेय; संयुग्मी हाच परिमेयीकरण अवयव; ∣x∣ कधीही ऋण नसते.