धडा ३: बहुपदी

नियम 1 : ही बहुपदी आहे का? — 3x² + 5x − 7 ही बहुपदी आहे. 6, −7, 0 या स्थिर बहुपदी (constant polynomials) आहेत, कारण 6 = 6x⁰. √x + 2 बहुपदी नाही, कारण x ची घात 12 आहे. 4x + 2 = 4x⁻¹ + 2 बहुपदी नाही, कारण −1 पूर्ण संख्या नाही. x मधील बहुपदीला p(x), m मधील q(m), y मधील r(y) अशी नावे देतात.

• सोपे : 5x³ − 2 ही बहुपदी आहे.
• मध्यम : x² + 3x ही नाही, कारण 3x = 3x⁻¹.
• परीक्षेसाठी : कोणती बहुपदी : y² − √y, 7y⁵ + y − 1, 1y + 4? फक्त 7y⁵ + y − 1.

नियम 2 : पदांच्या संख्येनुसार प्रकार — एकपदी (monomial) : एक पद, उदा. 7y³, 5. द्विपदी (binomial) : दोन पदे, उदा. a² − 9. त्रिपदी (trinomial) : तीन पदे, उदा. m² + 3m + 2.

आकृतीत : आकृतीत पदे मोजा : 1 पद एकपदी, 2 द्विपदी आणि 3 त्रिपदी.

• सोपे : 4x एकपदी आहे.
• मध्यम : x³ − 2x द्विपदी आहे.
• परीक्षेसाठी : 2p² − p + 8 आणि 9 यांचे वर्गीकरण करा. त्रिपदी; एकपदी (स्थिर).

फरक ओळखा

नियम 1 : घात शोधणे — एका चलात : 5x⁴ − x² + 8 ची घात 4. 10 सारख्या शून्येतर स्थिराची घात 0; शून्य बहुपदीची घात ठरवता येत नाही. एकापेक्षा जास्त चलांत एका पदातील घातींची सर्वांत मोठी बेरीज घ्या : 5m²n⁴ + 2mn³ − 7 च्या पदांच्या घाती 6, 4, 0, म्हणून घात 6.

• सोपे : 3x⁵ + x ची घात 5.
• मध्यम : 9 ची घात 0.
• परीक्षेसाठी : 4a³b² − a²b⁵ + 1 ची घात : पदे 5 व 7, म्हणून 7.

नियम 2 : रेषीय, वर्ग, घन — घात 1 : रेषीय (linear). घात 2 : वर्ग (quadratic). घात 3 : घन (cubic). येथे a ≠ 0.

आकृतीत : आकृतीत घात 1 सरळ रेषा, घात 2 U आकाराचा वक्र आणि घात 3 S आकाराचा वक्र देतो.

• सोपे : 2x + 1 रेषीय आहे.
• मध्यम : x² − 4 वर्ग बहुपदी आहे.
• परीक्षेसाठी : 5x³ − x + 2 चे नाव सांगा. घन बहुपदी.

नियम 3 : बहुपदीचे रूप — 2 + x³ − 5x घ्या. प्रमाण रूप (standard form) : उतरत्या घाती, x³ − 5x + 2. घात रूप (index form) : नसलेली पदे 0 सहगुणकाने भरा, x³ + 0x² − 5x + 2. सहगुणक रूप (coefficient form) : (1, 0, −5, 2).

• सोपे : 3 + x चे प्रमाण रूप x + 3.
• मध्यम : x² − 4 चे सहगुणक रूप (1, 0, −4).
• परीक्षेसाठी : 6 − x⁴ + 2x तिन्ही रूपांत लिहा : −x⁴ + 2x + 6; −x⁴ + 0x³ + 0x² + 2x + 6; (−1, 0, 0, 2, 6).

फरक ओळखा

नियम 1 : बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार — सजातीय पदे सहगुणकांनी मिळवतात/वजा करतात. (4a² + 3a − 5) + (2a² − 7a + 1) = 6a² − 4a − 4. (5x² + 2x) − (3x² − 4) = 2x² + 2x + 4. (x + 3)(x² − 2x + 1) = x³ − 2x² + x + 3x² − 6x + 3 = x³ + x² − 5x + 3, घात 3.

• सोपे : 3m + 4m = 7m.
• मध्यम : (x + 2)(x + 5) = x² + 7x + 10.
• परीक्षेसाठी : (5y² + 2y − 1) मधून (2y² − y + 3) वजा करा : 3y² + 3y − 4.

नियम 2 : भागाकार — उदा. (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 3, बाकी 0. उदा. (2x² + 3x + 1) ÷ (x − 1) चा भागाकार 2x + 5 आणि बाकी 6, म्हणून 2x² + 3x + 1 = (x − 1)(2x + 5) + 6. पडताळा : (x − 1)(2x + 5) = 2x² + 3x − 5, अधिक 6 म्हणजे 2x² + 3x + 1.

आकृतीत : आकृतीत बहुपदींचा भागाकार संख्यांच्या भागाकारासारखाच चालतो : भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी.

• सोपे : 17 = 5 × 3 + 2.
• मध्यम : बाकी 0 म्हणजे पूर्ण भाग जातो.
• परीक्षेसाठी : (x³ − 3x² + 5) ÷ (x − 2) : भागाकार x² − x − 2, बाकी 1.

नियम 3 : युक्लिडचे भागाकार प्रमेय — s(x) = p(x) × q(x) + r(x), जेथे r(x) = 0 किंवा r(x) ची घात भाजक p(x) च्या घातीपेक्षा कमी असते.

• सोपे : बाकीची घात भाजकापेक्षा कमी असते.
• मध्यम : रेषीय भाजकाची बाकी स्थिर असते.
• परीक्षेसाठी : deg r(x) < deg p(x) का हवे?

फरक ओळखा

नियम 1 : पायऱ्या — भाज्याचे सहगुणक रूप लिहा. a चे विरुद्ध चिन्ह डावीकडे ठेवा (x − 2 साठी 2; x + 3 साठी −3). पहिला सहगुणक खाली घ्या; त्या संख्येने गुणा, पुढच्या सहगुणकात मिळवा, आणि पुन्हा. शेवटची संख्या बाकी.

आकृतीत : आकृतीत संश्लेषी भागाकाराला फक्त सहगुणक लागतात, म्हणून तो जलद व नीटनेटका.

• सोपे : x − 4 साठी संख्या 4.
• मध्यम : (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) : सहगुणक 1, 5, 6; संख्या −2; 1, 3, 0. भागाकार x + 3, बाकी 0.
• परीक्षेसाठी : (2x³ − 5x² + 3x − 4) ÷ (x − 2) : संख्या 2; 2, मग −5 + 4 = −1, मग 3 − 2 = 1, मग −4 + 2 = −2. भागाकार 2x² − x + 1, बाकी −2.

नियम 2 : आणखी एक भागाकार आणि p(x) ची किंमत — (x³ + 4x² − x + 6) ÷ (x + 3) : संख्या −3; 1, मग 4 − 3 = 1, मग −1 − 3 = −4, मग 6 + 12 = 18. भागाकार x² + x − 4, बाकी 18. x = a साठी बहुपदीची किंमत (value) p(a) : p(x) = x² − 4x + 7 साठी p(3) = 9 − 12 + 7 = 4 आणि p(−1) = 1 + 4 + 7 = 12. p(x) = 3x³ − 2x + 1 साठी p(2) = 24 − 4 + 1 = 21 आणि p(0) = 1.

• सोपे : p(x) = x + 5 साठी p(1) = 6.
• मध्यम : p(x) = 2x² − 3 : p(2) = 8 − 3 = 5.
• परीक्षेसाठी : p(x) = x³ − x² + 2 : p(−1) = −1 − 1 + 2 = 0.

फरक ओळखा

नियम 1 : बाकीचे प्रमेय — भागाकार न करता फक्त किंमत घाला. 2x² + 3x − 5 ला (x + 2) ने भागल्यास बाकी p(−2) = 8 − 6 − 5 = −3. x³ − 2x + 7 ला (x − 3) ने भागल्यास बाकी p(3) = 27 − 6 + 7 = 28.

• सोपे : p(x) ÷ (x − 1) ची बाकी p(1).
• मध्यम : (x² + 1) ÷ (x + 2) : p(−2) = 5.
• परीक्षेसाठी : 4x³ − x + 2 ला (x + 1) ने भागल्यास बाकी : p(−1) = −4 + 1 + 2 = −1.

नियम 2 : विभाजक प्रमेय — p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 साठी p(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, म्हणून (x − 1) विभाजक; p(2) = 0 आणि p(3) = 0 सुद्धा, म्हणून p(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3). पण p(−1) = −1 − 6 − 11 − 6 = −24 ≠ 0, म्हणून (x + 1) विभाजक नाही.

आकृतीत : आकृतीत p(a) = 0 असेल तर (x − a) हा p(x) चा विभाजक असतो.

• सोपे : p(x) = x − 4, p(4) = 0, विभाजक (x − 4).
• मध्यम : x² − 5x + 6 : p(2) = 0, म्हणून (x − 2) विभाजक.
• परीक्षेसाठी : x³ + 8 चा (x + 2) विभाजक आहे का? p(−2) = −8 + 8 = 0, होय.

नियम 3 : अवयव पाडणे — x² − 16 = (x + 4)(x − 4). 2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3). 6x² − x − 2 = (3x − 2)(2x + 1). x³ − 2x² − 5x + 6 साठी p(1) = 0; (x − 1) ने संश्लेषी भागाकार केल्यास 1, −1, −6, बाकी 0; म्हणून भागाकार x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2); अवयव (x − 1)(x − 3)(x + 2). नवे चल वापरा : (y² + y)² − 8(y² + y) + 12 = (t − 2)(t − 6), t = y² + y; म्हणजे (y + 2)(y − 1)(y + 3)(y − 2).

• सोपे : x² − 9 = (x + 3)(x − 3).
• मध्यम : x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
• परीक्षेसाठी : x³ − 7x + 6 चे अवयव पाडा. p(1) = 0; भागाकार x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2); म्हणून (x − 1)(x + 3)(x − 2).

फरक ओळखा