धडा ४: गुणोत्तर व प्रमाण

नियम 1 : गुणोत्तराचे भाग — a : b मध्ये a हे पूर्वपद (predecessor) आणि b हे उत्तरपद (successor). उत्तरपद 100 असेल तर गुणोत्तर म्हणजे टक्केवारी : 3 : 4 = 75 : 100 = 75%.

• सोपे : 4 : 6 = 2 : 3.
• मध्यम : 9 : 12 = 3 : 4, म्हणजे 75%.
• परीक्षेसाठी : 24 पैकी 18 गुण टक्क्यांत : 18 : 24 = 3 : 4 = 75%.

नियम 2 : समान गुणोत्तरे आणि एकक — दोन्ही पदांना शून्येतर संख्येने गुणले किंवा भागले तरी गुणोत्तर बदलत नाही : a : b = ak : bk, म्हणून 2 : 5 = 4 : 10 = 6 : 15. राशी एकाच एककात हव्यात आणि गुणोत्तराला एकक नसते : 1.5 किमी आणि 500 m यांचे 1500 : 500 = 3 : 1.

आकृतीत : आकृतीत दोन्ही भागांना समान संख्येने गुणले तरी गुणोत्तर बदलत नाही.

• सोपे : 3 : 7 = 6 : 14.
• मध्यम : 2 तास आणि 40 मिनिटे यांचे 120 : 40 = 3 : 1.
• परीक्षेसाठी : 2.5 kg आणि 750 g यांचे गुणोत्तर : 2500 : 750 = 10 : 3.

नियम 3 : तीन किंवा अधिक राशी — गुणोत्तर 3 : 5 : 2 आणि बेरीज 50 : 3m + 5m + 2m = 10m = 50, म्हणून m = 5 आणि संख्या 15, 25, 10. A : B = 2 : 3 आणि B : C = 4 : 5 असेल तर B समान करा : A : B : C = 8 : 12 : 15.

• सोपे : 1 : 2 : 3 आणि बेरीज 12 असेल तर 2, 4, 6.
• मध्यम : A : B = 3 : 4, B : C = 4 : 7 वरून A : B : C = 3 : 4 : 7.
• परीक्षेसाठी : लाल : निळे गोट्या = 3 : 4. दोन्ही 6 ने वाढवल्यावर 5 : 6. मग (3x + 6) : (4x + 6) = 5 : 6, म्हणून 18x + 36 = 20x + 30, x = 3. गोट्या : 9 आणि 12.

फरक ओळखा

नियम 1 : प्रत्यक्ष चल — x आणि y प्रत्यक्ष चलनात असतील तर xy = k, स्थिर. दोन्ही एकत्र वाढतात किंवा घटतात. 5 पेन्सिली ₹ 30 आणि 8 पेन्सिली ₹ 48 : 305 = 488 = 6 प्रति पेन्सिल.

आकृतीत : आकृतीत प्रत्यक्ष चलनात दोन्ही राशी एकत्र वाढतात; व्यस्त चलनात एक वाढली की दुसरी घटते.

• सोपे : 2 वह्या ₹ 20, म्हणून 6 वह्या ₹ 60.
• मध्यम : 3 तासांत 12 किमी म्हणजे ताशी 4 किमी, म्हणून 5 तासांत 20 किमी.
• परीक्षेसाठी : नळ 9 मिनिटांत 45 लिटर भरतो. 14 मिनिटांत : 45 × 149 = 70 लिटर.

नियम 2 : व्यस्त चल — x आणि y व्यस्त चलनात असतील तर x × y = k. एक वाढली की दुसरी घटते. 6 कामगार काम 10 दिवसांत करतात, म्हणून 15 कामगारांना 6015 = 4 दिवस (गुणाकार 60).

• सोपे : 4 नळ टाकी 9 तासांत भरतात, म्हणून 6 नळांना 36 ÷ 6 = 6 तास.
• मध्यम : ताशी 40 किमी ने प्रवास 3 तासांत, म्हणून ताशी 60 किमी ने 120 ÷ 60 = 2 तास.
• परीक्षेसाठी : 8 माणसे भिंत 15 दिवसांत बांधतात. 12 माणसांना 8 × 1512 = 10 दिवस.

नियम 3 : गुणोत्तरांची तुलना — धन a, b, c, d साठी : ad > bc तर ab > cd; ad < bc तर ab < cd; ad = bc तर समान. 35 आणि 58 : 3 × 8 = 24 व 5 × 5 = 25, म्हणून 35 < 58. 79 आणि 57 : 49 > 45, म्हणून 79 > 57.

• सोपे : 12 > 13, कारण 1 × 3 = 3 > 2 = 1 × 2.
• मध्यम : 47 < 35, कारण 20 < 21.
• परीक्षेसाठी : दोन संख्या 3 : 4 गुणोत्तरात. दोन्हींत 10 मिळवल्यावर 5 : 6. (3x + 10) : (4x + 10) = 5 : 6 वरून 18x + 60 = 20x + 50, x = 5; संख्या 15 आणि 20.

फरक ओळखा

नियम 1 : पाच नियम — व्यस्तन : ba = dc. एकान्तर : ac = bd. योगक्रिया : a+bb = c+dd. वियोगक्रिया : a−bb = c−dd. योग-वियोग : a+ba−b = c+dc−d.

आकृतीत : आकृतीत 2/3 = 4/6 वर प्रत्येक नियम वापरून पाहा आणि दोन्ही बाजू समान राहतात ते पाहा.

• सोपे : 23 = 46 वरून 32 = 64 (व्यस्तन).
• मध्यम : 23 = 46 वरून 24 = 36 (एकान्तर).
• परीक्षेसाठी : 23 = 46 वरून 53 = 106 (योगक्रिया) आणि −13 = −26 (वियोगक्रिया).

नियम 2 : नियम वापरणे — ab = 32 असेल तर : a+bb = 52; a−bb = 12; a+ba−b = 5. ab = 52 असेल तर a = 5, b = 2 घ्या : 3a+2b3a−2b = 1911. xy = 35 असेल तर : 5x−2y5x+2y = 525 = 15.

• सोपे : ab = 21 वरून a+bb = 3.
• मध्यम : ab = 43 वरून a+bb = 73.
• परीक्षेसाठी : ab = 34 वरून 2a+b2a−b = 102 = 5.

नियम 3 : योग-वियोगाने समीकरण सोडवणे — x+3x−3 = 75 सोडवा. योग-वियोग लावा : 2x6 = 122 = 6, म्हणून x = 18. पडताळा : 2115 = 75.

• सोपे : x+1x−1 = 31 वरून 2x2 = 42, म्हणून x = 2.
• मध्यम : x+2x−2 = 53 वरून 2x4 = 82 = 4, म्हणून x = 8.
• परीक्षेसाठी : x+5x−5 = 32 वरून 2x10 = 51, म्हणून x = 25.

फरक ओळखा

नियम 1 : प्रमेय आणि सिद्धता — ab = cd असेल तर ab = cd = a+cb+d. सिद्धता : ab = cd = k मानू. मग a = bk आणि c = dk, म्हणून a+cb+d = bk+dkb+d = k.

आकृतीत : आकृतीत सर्व अंश आणि सर्व छेद मिळवले तरी समान गुणोत्तरे तीच राहतात.

• सोपे : 23 = 46 = 69, आणि 69 = 23.
• मध्यम : 35 = 915 वरून 1220 = 35.
• परीक्षेसाठी : x2 = y3 = z5 आणि x + y + z = 40 असेल तर प्रत्येक गुणोत्तर 4010 = 4, म्हणून x = 8, y = 12, z = 20.

नियम 2 : सामान्य रूप — ab = cd = ef असेल तर कोणत्याही शून्येतर l, m, n साठी प्रत्येक गुणोत्तर la+mc+nelb+md+nf इतके असते. उदाहरण : a2 = b3 वरून प्रत्येक गुणोत्तर = 5a+4b22. आणि x3 = y5 = z7 वरून प्रत्येक = 2x+3y−z14.

• सोपे : 4 : 3, 8 : 6 आणि 12 : 9 वर्ग मिळून 24 : 18 = 4 : 3.
• मध्यम : a2 = b3 वरून 5a+4b22 = k; a = 2k, b = 3k घेऊन तपासा : 10k + 12k = 22k.
• परीक्षेसाठी : x3 = y5 = z7 = k वरून 2x + 3y − z = 6k + 15k − 7k = 14k, म्हणून गुणोत्तर 2x+3y−z14.

फरक ओळखा

नियम 1 : संतत प्रमाण — ab = bc असेल तर a, b, c संतत प्रमाणात, म्हणजे ac = b². तेव्हा b = √(ac). 2, 6, 18 : 6² = 36 = 2 × 18. 9 आणि 16 चा भूमितीय मध्य √144 = 12.

आकृतीत : आकृतीत संतत प्रमाणात मधली संख्या ही इतर दोन संख्यांचा भूमितीय मध्य असते.

• सोपे : 1, 3, 9 संतत प्रमाणात, कारण 3² = 9 = 1 × 9.
• मध्यम : 4 आणि 25 चा भूमितीय मध्य √100 = 10.
• परीक्षेसाठी : 3, x, 27 संतत प्रमाणात असतील तर x काढा : x² = 81, म्हणून x = 9.

नियम 2 : तिसरे पद काढणे — 2a, 6a², q संतत प्रमाणात असतील तर (6a²)² = 2a × q, म्हणून 36a⁴ = 2aq आणि q = 18a³.

• सोपे : 2, 4, p वरून 16 = 2p, म्हणून p = 8.
• मध्यम : 5, 15, p वरून 225 = 5p, म्हणून p = 45.
• परीक्षेसाठी : 3a, 6a², q वरून 36a⁴ = 3a × q, म्हणून q = 12a³.

नियम 3 : k-पद्धत — प्रत्येक समान गुणोत्तर k च्या बरोबर मांडा. a, b, c संतत प्रमाणात असतील तर b = ck आणि a = bk = ck². संतत प्रमाणातील चार पदे a, ak, ak², ak³. पहिले पद 3 आणि शेवटचे 81 असेल तर 3k³ = 81, k³ = 27, k = 3, म्हणून पदे 3, 9, 27, 81.

• सोपे : पहिले पद 2 आणि k = 3 असेल तर पदे 2, 6, 18.
• मध्यम : पहिले पद 5 आणि k = 2 वरून 5, 10, 20, 40.
• परीक्षेसाठी : a, b, c संतत प्रमाणात असतील तर a+bb+c = ck²+ckck+c = ck(k+1)c(k+1) = k = ab.

फरक ओळखा