K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 9 · गणित भाग १

धडा ५: दोन चलांतील रेषीय समीकरणे

7 संकल्पना · उत्तरांसह 56 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

दोन चलांतील रेषीय समीकरण आणि त्याची उत्तरे

रोजच्या जीवनातून

दोन मित्रांकडे मिळून 10 चॉकलेटे आहेत. एकाकडे 3 असतील तर दुसऱ्याकडे 7, एकाकडे 5 तर दुसऱ्याकडे 5. दोघांकडील संख्या बदलते, म्हणून x आणि y ही दोन अक्षरे वापरून x + y = 10 असे लिहितो.

सोपी व्याख्या

ज्या समीकरणात दोन चले असतात आणि प्रत्येक चल फक्त एकदाच (घात 1) येते त्याला दोन चलांतील रेषीय समीकरण म्हणतात, जसे 3x − 4y − 15 = 0. दोन्ही चलांच्या किंमती एकत्र लिहिलेल्या जोडीला क्रमित जोडी (x ची किंमत, y ची किंमत) म्हणतात.

x + y = 10 ची उत्तरे दाखवणारे ठिपके एका सरळ रेषेवरx + y = 10 ची उत्तरे (क्रमित जोड्या)1234567891012345678910xy(3, 7)(5, 5)(8, 2)प्रत्येक ठिपका = एक उत्तर; सर्व ठिपके एका रेषेवर

आकृतीत : x + y = 10 ची काही उत्तरे ठिपक्यांनी दाखवली आहेत. सर्व ठिपके एका सरळ रेषेवर येतात आणि अशी उत्तरे अनंत आहेत (ऋण संख्या आणि अपूर्णांक घेतले तरी).

नियम 1 : एका समीकरणाला अनंत उत्तरे असतात — x ला कोणतीही किंमत द्या आणि y काढा; त्या दोन किमती मिळून एक उत्तर होते.

  • सोपे : x + y = 10 मध्ये x = 4 घेतले तर y = 10 − 4 = 6. उत्तर (4, 6).
  • मध्यम : 2x + y = 9 : x = 3 ⇒ y = 3; x = 0 ⇒ y = 9; x = 5 ⇒ y = −1. उत्तरे (3, 3), (0, 9), (5, −1).
  • परीक्षेसाठी : 3x − 2y = 12 : x = 4 ⇒ 12 − 2y = 12 ⇒ y = 0; x = 0 ⇒ −2y = 12 ⇒ y = −6; x = 2 ⇒ 6 − 2y = 12 ⇒ y = −3. उत्तरे (4, 0), (0, −6), (2, −3).

नियम 2 : क्रमित जोडीत क्रम महत्त्वाचा — जोडी नेहमी (x, y) या क्रमाने लिहा. क्रम बदलला की x आणि y च्या किंमती बदलतात.

(7, 3) हे x − y = 4 चे उत्तर आहे पण (3, 7) नाहीx − y = 4 : जोडीचा क्रम महत्त्वाचा(7, 3)x = 7, y = 37 − 3 = 4✔ बरोबर (उत्तर आहे)4 = 4(3, 7)x = 3, y = 73 − 7 = -4✘ चूक (उत्तर नाही)−4 ≠ 4

आकृतीत : x − y = 4 मध्ये (7, 3) ने 7 − 3 = 4 मिळते म्हणून ते उत्तर आहे. (3, 7) ने 3 − 7 = −4 मिळते, म्हणून ते उत्तर नाही.

  • सोपे : x − y = 4 : (7, 3) ⇒ 7 − 3 = 4 ✔ ; (3, 7) ⇒ 3 − 7 = −4 ✘.
  • मध्यम : 2x + y = 11 : (4, 3) ⇒ 8 + 3 = 11 ✔ ; (3, 4) ⇒ 6 + 4 = 10 ✘.
  • परीक्षेसाठी : (−1, 5) हे 3x + y = 2 चे उत्तर आहे का? 3 × (−1) + 5 = −3 + 5 = 2. डावी बाजू = उजवी बाजू, म्हणून होय.

नियम 3 : समीकरण सामान्य रूपात आणा आणि मग किंमती घाला — सर्व पदे डावीकडे आणि 0 उजवीकडे असे रूप ax + by + c = 0 आहे. स्थिर संख्या उजवीकडे नेली की चिन्ह बदलते.

  • सोपे : 3x + y − 7 = 0 ⇒ 3x + y = 7.
  • मध्यम : (2, 1) हे 3x + y − 7 = 0 चे उत्तर आहे का? 6 + 1 − 7 = 0 ✔. होय.
  • परीक्षेसाठी : 2x − 3y + 6 = 0 ⇒ 2x − 3y = −6. (3, 4) : 6 − 12 = −6 ✔ आणि (−3, 0) : −6 − 0 = −6 ✔. दोन्ही उत्तरे आहेत.
लक्षात ठेवा

दोन चलांच्या एका समीकरणाला एक नाही, अनंत उत्तरे असतात. म्हणून फक्त एका समीकरणावरून x आणि y ची एकच किंमत ठरत नाही.

सामान्य चूक

जोडीचा क्रम बदलणे : (3, 7) ऐवजी (7, 3) लिहिणे. पहिली किंमत नेहमी x ची असते.

शॉर्टकट

जोडी उत्तर आहे का ते पाहायचे असेल तर x आणि y च्या जागी किंमती घाला आणि डावी बाजू = उजवी बाजू का ते तपासा. आठवणीची युक्ती : समीकरण म्हणजे तराजू ; जोडी बसली तर दोन्ही पारडी समान.

फरक ओळखा

समीकरणचलेउत्तरांची संख्याउत्तर कसे लिहितात
x + 5 = 91एकचx = 4
x + y = 92अनंत(4, 5), (2, 7), (0, 9) ...
2x − y = 32अनंत(2, 1), (3, 3), (0, −3) ...

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1x + y = 12 मध्ये x = 5 असेल तर y किती?
  2. 22x + y = 8 साठी x = 2 घेऊन उत्तर लिहा.
  3. 3(3, 1) हे x + 2y = 5 चे उत्तर आहे का?
मध्यम
  1. 43x + 2y = 12 चे x = 0, 2, 4 साठी उत्तरे लिहा.
  2. 5(6, 1) आणि (1, 6) यांपैकी कोणती जोडी x − 2y = 4 चे उत्तर आहे?
  3. 65x − 2y + 4 = 0 हे 5x − 2y = −4 असे लिहा. x = 0 असताना y किती?
आव्हानात्मक
  1. 7(2, 3) हे 3x + ky = 18 चे उत्तर असेल तर k किती?
  2. 8x + y = 12 चे असे उत्तर शोधा की त्यात y हे x च्या दुप्पट असेल.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1y = 12 − 5 = 7. उत्तर (5, 7). 2) 4 + y = 8 ⇒ y = 4. उत्तर (2, 4). 3) 3 + 2 × 1 = 5 ✔. होय.
  2. 4x = 0 ⇒ y = 6; x = 2 ⇒ 6 + 2y = 12 ⇒ y = 3; x = 4 ⇒ y = 0. उत्तरे (0, 6), (2, 3), (4, 0). 5) (6, 1) : 6 − 2 = 4 ✔. (1, 6) : 1 − 12 = −11 ✘. म्हणून (6, 1). 6) x = 0 ⇒ −2y = −4 ⇒ y = 2.
  3. 76 + 3k = 18 ⇒ 3k = 12 ⇒ k = 4. 8) y = 2x ⇒ x + 2x = 12 ⇒ x = 4, y = 8. उत्तर (4, 8); तपासणी : 4 + 8 = 12.

युगपत समीकरणे आणि सामाईक उत्तर

रोजच्या जीवनातून

दोन संख्या अशा हव्यात की त्यांची बेरीज 10 आणि फरक 4 आहे. "बेरीज 10" ने खूप जोड्या मिळतात आणि "फरक 4" ने पण खूप जोड्या मिळतात. पण दोन्ही अटी एकाच वेळी पाळणारी जोडी फक्त एकच असते.

सोपी व्याख्या

दोन रेषीय समीकरणे एकाच वेळी विचारात घेतली की त्यांना युगपत समीकरणे म्हणतात. दोन्ही समीकरणांना जमणारी जोडी म्हणजे त्यांचे सामाईक उत्तर.

x + y = 10 आणि x − y = 4 या रेषा (7, 3) येथे भेटतातदोन रेषा एका बिंदूत भेटतात246810-4-2246810xy(7, 3)x + y = 10x − y = 4छेदबिंदू = दोन्ही समीकरणांचे सामाईक उत्तर

आकृतीत : x + y = 10 ची सर्व उत्तरे निळ्या रेषेवर आणि x − y = 4 ची सर्व उत्तरे केशरी रेषेवर आहेत. दोन्ही रेषा (7, 3) येथे भेटतात, तेच सामाईक उत्तर.

Live आकृती

युगपत समीकरणे आणि सामाईक उत्तर

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : दोन्ही समीकरणांची उत्तरे लिहा आणि सामाईक जोडी शोधा — प्रत्येक समीकरणाच्या काही जोड्या लिहून दोन्ही यादीत येणारी जोडी निवडा.

  • सोपे : x + y = 10 : (6, 4), (7, 3), (8, 2). x − y = 4 : (6, 2), (7, 3), (8, 4). सामाईक जोडी (7, 3).
  • मध्यम : x + y = 8 आणि x − y = 2 : (5, 3) ने 5 + 3 = 8 आणि 5 − 3 = 2 दोन्ही बरोबर. उत्तर (5, 3).
  • परीक्षेसाठी : दोघांकडे मिळून 14 चॉकलेटे आणि एकाकडे दुसऱ्यापेक्षा 6 जास्त : x + y = 14, x − y = 6. (10, 4) ने 14 आणि 6 दोन्ही मिळतात. म्हणून 10 आणि 4 चॉकलेटे.

नियम 2 : उत्तर दोन्ही समीकरणांत तपासा — सामाईक उत्तर म्हणजे दोन्ही समीकरणांना जमणारे उत्तर. एकालाच जमले तर ते सामाईक उत्तर नाही.

  • सोपे : (4, 1) : x + y = 5 ⇒ 4 + 1 = 5 ✔ ; x − y = 3 ⇒ 4 − 1 = 3 ✔. म्हणून सामाईक उत्तर.
  • मध्यम : (2, 3) : 2x + y = 7 ⇒ 4 + 3 = 7 ✔ ; x + 2y = 8 ⇒ 2 + 6 = 8 ✔. सामाईक उत्तर.
  • परीक्षेसाठी : (3, 2) : x + y = 5 ⇒ 3 + 2 = 5 ✔ ; पण 2x − y = 5 ⇒ 6 − 2 = 4 ✘. फक्त पहिल्याला जमते, म्हणून सामाईक उत्तर नाही.

नियम 3 : दुसरे समीकरण पहिल्याचेच गुणित असेल तर सर्व उत्तरे सामाईक असतात — x + y = 5 आणि 2x + 2y = 10 मध्ये दुसरे समीकरण पहिल्याच्या दुप्पट आहे, म्हणून दोन्हींच्या उत्तरांची यादी एकच आहे.

  • सोपे : x + y = 5 : (1, 4), (2, 3). 2x + 2y = 10 मध्ये 2 + 8 = 10 ✔ आणि 4 + 6 = 10 ✔. दोन्ही जोड्या सामाईक.
  • मध्यम : x + y = 4 आणि 3x + 3y = 12 : दुसरे = पहिल्याचे 3 पट. म्हणून सर्व उत्तरे सामाईक (अनंत).
  • परीक्षेसाठी : x + y = 6 आणि x + y = 9 : एकाच बेरजेला दोन वेगळ्या किंमती असू शकत नाहीत. म्हणून सामाईक उत्तर नाही.
लक्षात ठेवा

युगपत समीकरणांचे सामाईक उत्तर दोन्ही समीकरणांत बसले पाहिजे. आकृतीत ते दोन रेषा जिथे भेटतात तो बिंदू असतो.

सामान्य चूक

फक्त एका समीकरणाने तपासून उत्तर बरोबर समजणे.

शॉर्टकट

तपासताना दोन्ही समीकरणांत वेगवेगळे ✔ द्या. दोन्ही ✔ असतील तरच उत्तर बरोबर. आठवणीची युक्ती : दोन समीकरणे म्हणजे दोन अटी ; दोन्ही पाळणारी जोडी हेच उत्तर.

फरक ओळखा

एक समीकरणयुगपत समीकरणे
उदाहरणx + y = 10x + y = 10 आणि x − y = 4
उत्तरेअनंतएकच सामाईक जोडी (7, 3)
आकृतीएक रेषादोन रेषा, एका बिंदूत भेटतात

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(4, 2) हे x + y = 6 आणि x − y = 2 चे सामाईक उत्तर आहे का?
  2. 2दोन संख्यांची बेरीज 9 आणि फरक 1 आहे. त्या कोणत्या?
  3. 3(1, 1) हे x + y = 2 आणि x − y = 1 चे सामाईक उत्तर आहे का?
मध्यम
  1. 4जोड्यांची यादी करून x + y = 7 आणि x − y = 3 चे सामाईक उत्तर शोधा.
  2. 5(2, 5) हे 3x − y = 1 आणि x + y = 7 चे सामाईक उत्तर आहे का?
  3. 6x + y = 4 आणि 3x + 3y = 12 च्या सामाईक उत्तरांबद्दल काय म्हणता येईल?
आव्हानात्मक
  1. 7दोन संख्यांची बेरीज 20 आणि फरक 6 आहे. संख्या शोधा.
  2. 8(4, 3) हे x + y = a आणि x − y = b चे सामाईक उत्तर असेल तर a आणि b शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14 + 2 = 6 ✔ आणि 4 − 2 = 2 ✔. होय. 2) (5, 4) : 5 + 4 = 9 आणि 5 − 4 = 1. संख्या 5 आणि 4. 3) 1 + 1 = 2 ✔ पण 1 − 1 = 0 ≠ 1 ✘. नाही.
  2. 4x + y = 7 : (4, 3), (5, 2), (6, 1). x − y = 3 : (5, 2), (6, 3). सामाईक (5, 2). 5) 3 × 2 − 5 = 1 ✔ आणि 2 + 5 = 7 ✔. होय. 6) दुसरे समीकरण पहिल्याचे 3 पट आहे, म्हणून पहिल्याची प्रत्येक उत्तर जोडी दुसऱ्यालाही जमते. सामाईक उत्तरे अनंत.
  3. 7(13, 7) : 13 + 7 = 20 आणि 13 − 7 = 6. संख्या 13 आणि 7. 8) a = 4 + 3 = 7 आणि b = 4 − 3 = 1.

विलोपन पद्धत : बेरीज आणि वजाबाकी

रोजच्या जीवनातून

तराजूच्या दोन्ही पारड्यांत सारखे वजन जोडले तरी तराजू समतोलच राहतो. तसेच दोन बरोबरीच्या समीकरणांची डावी बाजू डाव्या बाजूत आणि उजवी बाजू उजव्या बाजूत जोडली तरी बरोबरी टिकते.

सोपी व्याख्या

विलोपन म्हणजे एक चल काढून टाकणे. दोन समीकरणे जोडून किंवा वजा करून एक चल नाहीसे केले की एका चलाचे समीकरण मिळते. ते सोडवून मिळालेली किंमत मूळ समीकरणात घालून दुसरे चल मिळवतात.

2x + y = 13 आणि x − y = 2 यांची बेरीज केल्यावर y नाहीसा होतो आणि 3x = 15 मिळतेदोन समीकरणे एकाखाली एक मांडा आणि बेरीज करा2x+ y=13x− y=2(I)(II)+3x+ 0=15y चे गुणांक +1 आणि −1 आहेत, म्हणून y नाहीसा झाला3x = 15 ⇒ x = 5

आकृतीत : 2x + y = 13 आणि x − y = 2 एकाखाली एक लिहून बेरीज केली. y चे गुणांक +1 आणि −1 असल्याने y नाहीसा झाला आणि 3x = 15 मिळाले, म्हणजे x = 5.

नियम 1 : गुणांक एकमेकांचे विरुद्ध असतील तर बेरीज करा — एका समीकरणात +y आणि दुसऱ्यात −y असे असेल तर बेरजेत y नाहीसा होतो.

  • सोपे : x + y = 9 आणि x − y = 3 : बेरीज ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6. 6 + y = 9 ⇒ y = 3. उत्तर (6, 3).
  • मध्यम : 2x + y = 13 आणि x − y = 2 : बेरीज ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5. 10 + y = 13 ⇒ y = 3. तपासणी : 5 − 3 = 2 ✔.
  • परीक्षेसाठी : 5x + 3y = 21 आणि 2x − 3y = 0 : बेरीज ⇒ 7x = 21 ⇒ x = 3. 6 − 3y = 0 ⇒ y = 2. तपासणी : 15 + 6 = 21 ✔.

नियम 2 : गुणांक सारखे असतील तर वजाबाकी करा — दोन्ही समीकरणांत y चे गुणांक सारखे असतील तर एक समीकरण दुसऱ्यातून वजा करा.

  • सोपे : 3x + y = 13 आणि x + y = 7 : वजाबाकी ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3. 3 + y = 7 ⇒ y = 4.
  • मध्यम : 4x + 3y = 25 आणि 4x − y = 13 : वजाबाकी ⇒ 4y = 12 ⇒ y = 3. 4x − 3 = 13 ⇒ x = 4.
  • परीक्षेसाठी : 7x + 2y = 29 आणि 3x + 2y = 17 : वजाबाकी ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3. 21 + 2y = 29 ⇒ y = 4. तपासणी : 9 + 8 = 17 ✔.

नियम 3 : वजा करताना चिन्हे काळजीपूर्वक बदला — वजा करताना दुसऱ्या समीकरणाच्या प्रत्येक पदाचे चिन्ह उलटे होते. −(−2y) = +2y.

  • सोपे : 5x − 2y = 11 आणि 3x − 2y = 5 : वजाबाकी ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3. 15 − 2y = 11 ⇒ y = 2.
  • मध्यम : 6x + 5y = 28 आणि 2x + 5y = 16 : वजाबाकी ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3. 18 + 5y = 28 ⇒ y = 2.
  • परीक्षेसाठी : x − 3y = −5 आणि 2x − 3y = −1 : दुसऱ्यातून पहिले वजा ⇒ x = 4. 4 − 3y = −5 ⇒ −3y = −9 ⇒ y = 3. तपासणी : 8 − 9 = −1 ✔.
लक्षात ठेवा

जे चल काढायचे आहे त्याचे गुणांक संख्येने सारखे असावेत. चिन्हे वेगळी असतील तर बेरीज, चिन्हे सारखी असतील तर वजाबाकी.

सामान्य चूक

वजा करताना फक्त पहिल्याच पदाचे चिन्ह बदलणे आणि बाकीची पदे जशीच्या तशी वजा करणे.

शॉर्टकट

उत्तरातील y किंवा x मूळ समीकरणात घालून पाहा. दोन्ही समीकरणांत बरोबर आले तर काम पूर्ण. आठवणीची युक्ती : विलोपन : "चिन्हे सारखी तर वजा, वेगळी तर बेरीज".

फरक ओळखा

y चे गुणांकचिन्हेकृती
+3 आणि −3वेगळीबेरीज करा
+4 आणि +4सारखीवजाबाकी करा
−2 आणि −2सारखीवजाबाकी करा
+5 आणि −5वेगळीबेरीज करा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1x + y = 8 आणि x − y = 2 सोडवा.
  2. 22x + y = 11 आणि x + y = 7 सोडवा.
  3. 33x + y = 14 आणि 3x − y = 10 सोडवा.
मध्यम
  1. 44x + 3y = 23 आणि 4x + y = 13 सोडवा.
  2. 55x − 4y = 7 आणि 3x + 4y = 17 सोडवा.
  3. 6x − 2y = 0 आणि 3x − 2y = 8 सोडवा.
आव्हानात्मक
  1. 72 वह्या आणि 1 पेनाची किंमत 35 रुपये आहे. 1 वही आणि 1 पेनाची किंमत 20 रुपये आहे. प्रत्येकाची किंमत शोधा.
  2. 8दोन संख्यांची बेरीज 48 आणि फरक 12 आहे. संख्या शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1बेरीज ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5; 5 + y = 8 ⇒ y = 3. (5, 3). 2) वजाबाकी ⇒ x = 4; 4 + y = 7 ⇒ y = 3. (4, 3). 3) बेरीज ⇒ 6x = 24 ⇒ x = 4; 12 + y = 14 ⇒ y = 2. (4, 2).
  2. 4वजाबाकी ⇒ 2y = 10 ⇒ y = 5; 4x + 5 = 13 ⇒ x = 2. (2, 5). 5) बेरीज ⇒ 8x = 24 ⇒ x = 3; 15 − 4y = 7 ⇒ y = 2. (3, 2). 6) वजाबाकी ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4; 4 − 2y = 0 ⇒ y = 2. (4, 2).
  3. 72x + y = 35 आणि x + y = 20; वजाबाकी ⇒ x = 15; y = 5. वही 15 रुपये, पेन 5 रुपये. तपासणी : 30 + 5 = 35 ✔. 8) बेरीज ⇒ 2x = 60 ⇒ x = 30; y = 18. संख्या 30 आणि 18.

विलोपन पद्धत : आधी गुणा आणि मग विलोपन करा

रोजच्या जीवनातून

एका पिशवीत 2 केळी आणि 3 सफरचंदे 26 रुपयांत असतील तर अशा 3 पिशव्यांत 6 केळी आणि 9 सफरचंदे 78 रुपयांत मिळतील. म्हणजे समीकरणाला दोन्ही बाजूंनी एकाच संख्येने गुणले तरी ते बरोबरच राहते.

सोपी व्याख्या

कोणत्याही चलाचे गुणांक सारखे किंवा विरुद्ध नसतील तर एका (किंवा दोन्ही) समीकरणाला योग्य संख्येने गुणा. मग एका चलाचे गुणांक सारखे होतात आणि आधीप्रमाणे बेरीज किंवा वजाबाकी करता येते.

2x + 3y = 13 ला 2 ने आणि 5x − 2y = 4 ला 3 ने गुणले की y चे गुणांक 6 आणि −6 होतातआधी गुणून एका चलाचे गुणांक समान करा2x+ 3y= 13× 24x+ 6y= 265x− 2y= 4× 315x− 6y= 12+19x= 38y चे गुणांक +6 आणि −6आता बेरीज केली की y नाहीसा होतो : 19x = 38 ⇒ x = 2

आकृतीत : 2x + 3y = 13 ला 2 ने गुणले ⇒ 4x + 6y = 26. 5x − 2y = 4 ला 3 ने गुणले ⇒ 15x − 6y = 12. आता y चे गुणांक +6 आणि −6 आहेत, म्हणून बेरीज केली की y नाहीसा होतो.

नियम 1 : एकाच समीकरणाला गुणून गुणांक समान करा — ज्या चलाचे गुणांक दुसऱ्याचे पट आहे ते निवडा आणि एका समीकरणालाच गुणा. उजवी बाजू विसरू नका.

  • सोपे : 3x + y = 9 आणि 2x + 2y = 10 : पहिल्याला 2 ने गुणा ⇒ 6x + 2y = 18. दुसरे वजा ⇒ 4x = 8 ⇒ x = 2. 6 + y = 9 ⇒ y = 3.
  • मध्यम : 5x + 2y = 22 आणि 3x + 4y = 16 : पहिल्याला 2 ने गुणा ⇒ 10x + 4y = 44. दुसरे वजा ⇒ 7x = 28 ⇒ x = 4. 20 + 2y = 22 ⇒ y = 1.
  • परीक्षेसाठी : 2x + y = 4 आणि 5x − 3y = 21 : पहिल्याला 3 ने गुणा ⇒ 6x + 3y = 12. बेरीज ⇒ 11x = 33 ⇒ x = 3. 6 + y = 4 ⇒ y = −2. तपासणी : 15 + 6 = 21 ✔.

नियम 2 : दोन्ही समीकरणांना गुणा — कोणतेही गुणांक एकमेकांचे पट नसतील तर दोन्ही समीकरणे वेगवेगळ्या संख्येने गुणून निवडलेल्या चलाचे गुणांक सारखे करा.

  • सोपे : 2x + 3y = 12 आणि 3x + 2y = 13 : पहिले × 3 ⇒ 6x + 9y = 36; दुसरे × 2 ⇒ 6x + 4y = 26. वजाबाकी ⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2. x = 3.
  • मध्यम : 3x + 5y = 25 आणि 4x − 3y = 14 : पहिले × 3 ⇒ 9x + 15y = 75; दुसरे × 5 ⇒ 20x − 15y = 70. बेरीज ⇒ 29x = 145 ⇒ x = 5. 15 + 5y = 25 ⇒ y = 2.
  • परीक्षेसाठी : 2x + 3y = 13 आणि 5x − 2y = 4 : पहिले × 2 ⇒ 4x + 6y = 26; दुसरे × 3 ⇒ 15x − 6y = 12. बेरीज ⇒ 19x = 38 ⇒ x = 2. 4 + 3y = 13 ⇒ y = 3.

नियम 3 : सामान्य रूपातील समीकरणात आधी संख्या उजवीकडे न्या — ax + by + c = 0 अशी समीकरणे असतील तर स्थिर संख्या उजवीकडे नेऊन चिन्ह बदला. मग विलोपन करा.

  • सोपे : x + y − 5 = 0 आणि x − y − 1 = 0 ⇒ x + y = 5 आणि x − y = 1. बेरीज ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3, y = 2.
  • मध्यम : 2x + 3y − 14 = 0 आणि 3x + y − 7 = 0 ⇒ 2x + 3y = 14 आणि 3x + y = 7. दुसरे × 3 ⇒ 9x + 3y = 21. वजाबाकी ⇒ 7x = 7 ⇒ x = 1, y = 4.
  • परीक्षेसाठी : 4x − 3y − 24 = 0 आणि x + y + 1 = 0 ⇒ 4x − 3y = 24 आणि x + y = −1. दुसरे × 3 ⇒ 3x + 3y = −3. बेरीज ⇒ 7x = 21 ⇒ x = 3. 3 + y = −1 ⇒ y = −4.
लक्षात ठेवा

समीकरणाला गुणताना डावी आणि उजवी अशी दोन्ही बाजू गुणा. म्हणजे समीकरण बिघडत नाही.

सामान्य चूक

समीकरणाच्या फक्त डाव्या बाजूला गुणणे आणि उजवी बाजू तशीच ठेवणे : 3 × (2x + y = 4) ⇒ 6x + 3y = 4.

शॉर्टकट

दोन्ही गुणांकांचा लसावि (लहान सामायिक गुणक) काढला की कोणती संख्या घ्यायची ते लगेच कळते : 4 आणि 6 साठी 12. आठवणीची युक्ती : आधी गुणा, मग विलोपन : एका चलाचा गुणांक दोन्ही समीकरणांत सारखा बनवा.

फरक ओळखा

स्थितीकृतीउदाहरण
एकाचे गुणांक दुसऱ्याचे पटएकालाच गुणा3x + y आणि 2x + 2y : पहिले × 2
कोणतेच पट नाहीतदोन्हींना गुणा2y आणि 3y : दोन्ही 6y करा
समीकरण ... = 0 रूपातसंख्या उजवीकडे न्याx + y − 5 = 0 ⇒ x + y = 5

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 12x + y = 8 आणि x + 3y = 9 सोडवा. (पहिल्याला 3 ने गुणा.)
  2. 2x + 2y = 8 आणि 3x − y = 3 सोडवा. (दुसऱ्याला 2 ने गुणा.)
  3. 34x + y = 14 आणि 2x + 3y = 12 सोडवा.
मध्यम
  1. 43x + 2y = 19 आणि 2x + 3y = 16 सोडवा.
  2. 55x + 3y = 29 आणि 3x − 2y = 6 सोडवा.
  3. 63x + 2y − 16 = 0 आणि x − 4y + 4 = 0 सोडवा.
आव्हानात्मक
  1. 73 वह्या आणि 2 पेनांची किंमत 76 रुपये आणि 2 वह्या आणि 5 पेनांची किंमत 80 रुपये आहे. एका वहीची आणि एका पेनाची किंमत शोधा.
  2. 85x + 4y = 6 आणि 3x − 2y = 8 सोडवा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1पहिले × 3 ⇒ 6x + 3y = 24. वजा दुसरे ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3; 6 + y = 8 ⇒ y = 2. (3, 2). 2) दुसरे × 2 ⇒ 6x − 2y = 6. बेरीज ⇒ 7x = 14 ⇒ x = 2; 2 + 2y = 8 ⇒ y = 3. (2, 3). 3) पहिले × 3 ⇒ 12x + 3y = 42. वजा दुसरे ⇒ 10x = 30 ⇒ x = 3; 12 + y = 14 ⇒ y = 2. (3, 2).
  2. 4पहिले × 3 ⇒ 9x + 6y = 57; दुसरे × 2 ⇒ 4x + 6y = 32. वजाबाकी ⇒ 5x = 25 ⇒ x = 5; 15 + 2y = 19 ⇒ y = 2. (5, 2). 5) पहिले × 2 ⇒ 10x + 6y = 58; दुसरे × 3 ⇒ 9x − 6y = 18. बेरीज ⇒ 19x = 76 ⇒ x = 4; 20 + 3y = 29 ⇒ y = 3. (4, 3). 6) 3x + 2y = 16 आणि x − 4y = −4. पहिले × 2 ⇒ 6x + 4y = 32. बेरीज ⇒ 7x = 28 ⇒ x = 4; 4 − 4y = −4 ⇒ y = 2. (4, 2).
  3. 7वही x, पेन y : 3x + 2y = 76, 2x + 5y = 80. पहिले × 2 ⇒ 6x + 4y = 152; दुसरे × 3 ⇒ 6x + 15y = 240. वजाबाकी ⇒ 11y = 88 ⇒ y = 8; x = 20. वही 20 रुपये, पेन 8 रुपये. 8) दुसरे × 2 ⇒ 6x − 4y = 16. बेरीज ⇒ 11x = 22 ⇒ x = 2; 10 + 4y = 6 ⇒ y = −1. (2, −1); तपासणी : 6 + 2 = 8 ✔.

प्रतिस्थापन पद्धत

रोजच्या जीवनातून

जर 1 पेन = 2 पेन्सिली असेल, तर "3 पेन" जिथे लिहिले असेल तिथे "6 पेन्सिली" असे लिहिता येते. एखादी गोष्ट दुसऱ्या रूपात लिहून आपण तिची जागा घेतो.

सोपी व्याख्या

एका समीकरणावरून एक चल दुसऱ्या चलाच्या रूपात लिहा. ती किंमत दुसऱ्या समीकरणात घाला (प्रतिस्थापन). आता त्यात एकच चल उरते; ते सोडवा आणि मग दुसरे चल काढा.

y = 3x − 6 हे x + 2y = 9 मध्ये घातल्यावर फक्त x उरतोएका समीकरणातून चल काढा आणि दुसऱ्यात घाला(II) 3x − y = 6 ⇒ y = 3x − 6y च्या जागी (3x − 6)(I) x + 2y = 9 → x + 2(3x − 6) = 9आता फक्त x उरला7x − 12 = 9 ⇒ x = 3 ⇒ y = 3

आकृतीत : (II) मधून y = 3x − 6 मिळाले. ते (I) मध्ये y च्या जागी घातले की फक्त x उरला : 7x − 12 = 9 ⇒ x = 3, मग y = 3.

नियम 1 : ज्या चलाचे गुणांक 1 आहे ते आधी काढा — ज्या चलाचे गुणांक 1 आहे ते एकट्याला ठेवा. मग अपूर्णांक येत नाहीत.

  • सोपे : x + 2y = 9 आणि 3x − y = 6 : दुसऱ्यातून y = 3x − 6. पहिल्यात घाला ⇒ x + 2(3x − 6) = 9 ⇒ 7x − 12 = 9 ⇒ x = 3. y = 9 − 6 = 3.
  • मध्यम : 2x + 3y = 12 आणि x − y = 1 : x = y + 1. पहिल्यात घाला ⇒ 2(y + 1) + 3y = 12 ⇒ 5y + 2 = 12 ⇒ y = 2. x = 3.
  • परीक्षेसाठी : 3x + y = 14 आणि 2x − 5y = −2 : y = 14 − 3x. दुसऱ्यात घाला ⇒ 2x − 5(14 − 3x) = −2 ⇒ 2x − 70 + 15x = −2 ⇒ 17x = 68 ⇒ x = 4. y = 14 − 12 = 2.

नियम 2 : "चल = ..." असे रूप दिलेले असेल तर थेट घाला — कंस वापरा आणि कंसासमोरचे चिन्ह व गुणांक सर्व पदांना लावा.

  • सोपे : y = 2x आणि x + y = 12 : x + 2x = 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4. y = 8.
  • मध्यम : x = 2y + 1 आणि 3x − 4y = 9 : 3(2y + 1) − 4y = 9 ⇒ 6y + 3 − 4y = 9 ⇒ 2y = 6 ⇒ y = 3. x = 7.
  • परीक्षेसाठी : y = 3x − 10 आणि 4x + 2y = 10 : 4x + 2(3x − 10) = 10 ⇒ 10x − 20 = 10 ⇒ x = 3. y = 9 − 10 = −1. तपासणी : 12 − 2 = 10 ✔.

नियम 3 : कोणती पद्धत सोपी ते आधी ठरवा — दोन्ही पद्धतींनी उत्तर तेच येते. गुणांक पाहून सोपी पद्धत निवडा.

  • सोपे : x + y = 10 आणि x − y = 2 : y चे गुणांक +1 आणि −1, म्हणून विलोपन सोपे. बेरीज ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6, y = 4.
  • मध्यम : y = 2x − 1 आणि 3x + y = 14 : y आधीच एकटा आहे, म्हणून प्रतिस्थापन सोपे. 3x + 2x − 1 = 14 ⇒ x = 3, y = 5.
  • परीक्षेसाठी : 4x − 3y = 6 आणि 3x + 2y = 13 : कोणत्याही चलाचे गुणांक 1 नाही, म्हणून विलोपन. पहिले × 2 ⇒ 8x − 6y = 12; दुसरे × 3 ⇒ 9x + 6y = 39. बेरीज ⇒ 17x = 51 ⇒ x = 3, y = 2.
लक्षात ठेवा

प्रतिस्थापनात घातलेली किंमत कंसात लिहा. कंस सोडवला की चिन्हे आणि गुणाकार आपोआप बरोबर होतात.

सामान्य चूक

y = 3x − 6 घालताना 2y ऐवजी 2 × 3x − 6 लिहिणे. बरोबर आहे 2(3x − 6) = 6x − 12.

शॉर्टकट

x चे उत्तर मिळाल्यावर y काढण्यासाठी "चल = ..." हे सोपे रूप वापरा. तेथे फक्त किंमत घालावी लागते. आठवणीची युक्ती : प्रतिस्थापन : "एक चल सोडवा, दुसऱ्यात घाला".

फरक ओळखा

पद्धतकेव्हा सोपीउदाहरण
विलोपनगुणांक सारखे किंवा विरुद्धx + y = 10 आणि x − y = 2
प्रतिस्थापनएक चल आधीच एकटे आहेy = 2x − 1 आणि 3x + y = 14
गुणून विलोपनकोणतेही गुणांक 1 नाहीत4x − 3y = 6 आणि 3x + 2y = 13

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1x + y = 9 आणि y = 2x सोडवा.
  2. 2x = y + 2 आणि x + y = 10 सोडवा.
  3. 3y = x − 1 आणि 2x + y = 11 सोडवा.
मध्यम
  1. 4x + 3y = 11 आणि 2x − y = 1 सोडवा.
  2. 52x + y = 7 आणि 3x − 2y = 7 सोडवा.
  3. 6x = 3y + 5 आणि 2x + y = 17 सोडवा.
आव्हानात्मक
  1. 74x − 3y = 7 आणि 2x + y = 11 सोडवा.
  2. 8(2, 5) हे x + y = a आणि 3x − y = b चे सामाईक उत्तर असेल तर a आणि b शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x + 2x = 9 ⇒ x = 3; y = 6. (3, 6). 2) (y + 2) + y = 10 ⇒ 2y = 8 ⇒ y = 4; x = 6. (6, 4). 3) 2x + x − 1 = 11 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4; y = 3. (4, 3).
  2. 4x = 11 − 3y ⇒ 22 − 6y − y = 1 ⇒ 7y = 21 ⇒ y = 3; x = 2. (2, 3). 5) y = 7 − 2x ⇒ 3x − 14 + 4x = 7 ⇒ 7x = 21 ⇒ x = 3; y = 1. (3, 1). 6) 2(3y + 5) + y = 17 ⇒ 7y + 10 = 17 ⇒ y = 1; x = 8. (8, 1).
  3. 7y = 11 − 2x ⇒ 4x − 33 + 6x = 7 ⇒ 10x = 40 ⇒ x = 4; y = 3. (4, 3); तपासणी : 16 − 9 = 7 ✔. 8) a = 2 + 5 = 7 आणि b = 3 × 2 − 5 = 1.

शब्दसमस्या : संख्या, वय आणि अंक

रोजच्या जीवनातून

बाजारातून 2 वह्या आणि 1 पेन घेतले तर 35 रुपये झाले; 1 वही आणि 1 पेन घेतले तर 20 रुपये झाले. वहीची आणि पेनाची किंमत माहीत नसल्याने आपण त्यांना x आणि y म्हणतो आणि दोन समीकरणे लिहितो.

सोपी व्याख्या

शब्दांतील प्रश्नातून दोन अज्ञात किंमती ठरवून दोन समीकरणे बनवली की तो प्रश्न युगपत समीकरणांनी सुटतो. प्रत्येक वाक्यातून एक समीकरण मिळते.

शब्दसमस्येच्या 6 पायऱ्या एका उदाहरणासहशब्दसमस्या सोडवण्याच्या 6 पायऱ्या1वाचा आणि समजून घ्याप्रश्न दोनदा वाचा2चले ठरवावही = x रुपये, पेन = y रुपये3दोन समीकरणे लिहाx + y = 20 ; 2x + y = 354समीकरणे सोडवावजा केले : x = 15, y = 55उत्तर तपासा15 + 5 = 20 ✔ 30 + 5 = 35 ✔6उत्तर वाक्यात लिहावही 15 रु., पेन 5 रु.

आकृतीत : प्रत्येक शब्दसमस्येसाठी हीच 6 पायरी वापरा : वाचा, चले ठरवा, दोन समीकरणे लिहा, सोडवा, तपासा आणि उत्तर वाक्यात लिहा.

नियम 1 : दोन संख्यांचे प्रश्न — "बेरीज", "फरक", "पट" आणि "जास्त" हे शब्द शोधा आणि प्रत्येक वाक्याचे समीकरण लिहा.

  • सोपे : बेरीज 30 आणि फरक 8 : x + y = 30, x − y = 8. बेरीज ⇒ 2x = 38 ⇒ x = 19; y = 11. संख्या 19 आणि 11.
  • मध्यम : लहान संख्येच्या 3 पटीतून 4 वजा केले की मोठी संख्या मिळते; बेरीज 48. x = 3y − 4 आणि x + y = 48 ⇒ 4y − 4 = 48 ⇒ y = 13; x = 35. तपासणी : 35 + 13 = 48 ✔.
  • परीक्षेसाठी : मोठ्या संख्येला लहान संख्येने भागले की भागाकार 3 आणि बाकी 4; बेरीज 60. मोठी = 3 × लहान + 4 : x = 3y + 4 आणि x + y = 60 ⇒ 4y + 4 = 60 ⇒ y = 14; x = 46. तपासणी : 3 × 14 + 4 = 46 ✔.

नियम 2 : वयाचे प्रश्न — "आज" आणि "काही वर्षांपूर्वी/नंतर" साठी वेगळी समीकरणे लिहा. n वर्षांपूर्वीचे वय म्हणजे आजचे वय − n.

  • सोपे : आईचे आणि मुलीचे वय मिळून 40; आईचे वय मुलीच्या 4 पट. x = 4y आणि x + y = 40 ⇒ 5y = 40 ⇒ y = 8; x = 32. आई 32 वर्षांची, मुलगी 8 वर्षांची.
  • मध्यम : वडील मुलापेक्षा 25 वर्षांनी मोठे; दोघांच्या वयांची बेरीज 61. x − y = 25 आणि x + y = 61 ⇒ 2x = 86 ⇒ x = 43; y = 18.
  • परीक्षेसाठी : आज वडील आणि मुलाच्या वयांची बेरीज 50. 5 वर्षांपूर्वी वडिलांचे वय मुलाच्या 7 पट होते. x + y = 50 आणि x − 5 = 7(y − 5) ⇒ x − 7y = −30. वजाबाकी ⇒ 8y = 80 ⇒ y = 10; x = 40. तपासणी : 35 = 7 × 5 ✔.

नियम 3 : दोन अंकी संख्येचे प्रश्न — दशकाचा अंक x आणि एककाचा अंक y घेतला तर संख्या 10x + y असते. अंक उलटे केले की नवीन संख्या 10y + x होते.

47 मध्ये दशक 4 आणि एकक 7; अंक उलटे केल्यावर 74दोन अंकी संख्या = 10 × दशक + एकक47दशकाचा अंक (x)एककाचा अंक (y)संख्या = 10x + y = 10 × 4 + 7 = 47अंक उलटे केले : 10y + x = 10 × 7 + 4 = 74

आकृतीत : संख्या 47 मध्ये दशकाचा अंक 4 आणि एककाचा अंक 7 आहे. म्हणून संख्या 10 × 4 + 7. अंक उलटे केले की 10 × 7 + 4 = 74.

  • सोपे : अंकांची बेरीज 11 आणि एकक अंक दशक अंकापेक्षा 3 ने मोठा. x + y = 11, y − x = 3 ⇒ 2y = 14 ⇒ y = 7; x = 4. संख्या 47.
  • मध्यम : अंकांची बेरीज 10; अंक उलटे केले की संख्या 18 ने कमी होते. (10x + y) − (10y + x) = 18 ⇒ x − y = 2. x + y = 10 ⇒ x = 6, y = 4. संख्या 64.
  • परीक्षेसाठी : संख्या तिच्या अंकांच्या बेरजेच्या 6 पट आणि अंकांची बेरीज 9. 10x + y = 6(x + y) ⇒ 4x − 5y = 0. x + y = 9 : y = 9 − x ⇒ 4x − 45 + 5x = 0 ⇒ x = 5; y = 4. संख्या 54. तपासणी : 6 × 9 = 54 ✔.
लक्षात ठेवा

दोन अंकी संख्या 10x + y असते. x + y अशी लिहू नका, ती अंकांची बेरीज आहे.

सामान्य चूक

"5 वर्षांपूर्वी" साठी y + 5 लिहिणे. बरोबर आहे y − 5 (आधीचे वय कमी असते).

शॉर्टकट

उत्तर मिळाले की ते प्रश्नातील प्रत्येक वाक्यात घालून पाहा. समीकरणात नाही, शब्दांत तपासा. आठवणीची युक्ती : शब्दसमस्या : वाक्य वाचा, चल ठरवा, दोन समीकरणे लिहा.

फरक ओळखा

प्रश्नाचा प्रकारअज्ञातपहिले समीकरण
दोन संख्यामोठी x, लहान yx + y = बेरीज
वयआजचे वय x, yx + y = वयांची बेरीज
दोन अंकी संख्यादशक x, एकक yसंख्या = 10x + y
5 वर्षांपूर्वीआजचे वय − 5(x − 5) आणि (y − 5)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1दोन संख्यांची बेरीज 25 आणि फरक 7 आहे. संख्या शोधा.
  2. 2राहुलचे वय सायलीच्या वयाच्या दुप्पट आहे आणि दोघांच्या वयांची बेरीज 36 आहे. दोघांचे वय शोधा.
  3. 3दोन अंकी संख्येच्या अंकांची बेरीज 7 आणि दशकाचा अंक एककाच्या अंकापेक्षा 1 ने मोठा आहे. संख्या कोणती?
मध्यम
  1. 4आज वडील आणि मुलाच्या वयांची बेरीज 52 आहे. 4 वर्षांनी वडिलांचे वय मुलाच्या 3 पट होईल. आजची वये शोधा.
  2. 5लहान संख्येच्या दुपटीत 5 मिळवले की मोठी संख्या मिळते आणि बेरीज 41 आहे. संख्या शोधा.
  3. 6दोन अंकी संख्येच्या अंकांची बेरीज 12 आहे. अंक उलटे केले की संख्या 36 ने कमी होते. संख्या शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 75 वर्षांनी आईचे वय मुलीच्या 3 पट होईल आणि 3 वर्षांपूर्वी आईचे वय मुलीच्या 7 पट होते. दोघींचे आजचे वय शोधा.
  2. 8दोन अंकी संख्या तिच्या अंकांच्या बेरजेच्या 7 पट आहे आणि अंक उलटे केले की संख्या 18 ने कमी होते. संख्या शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x + y = 25, x − y = 7 ⇒ 2x = 32 ⇒ x = 16; y = 9. संख्या 16 आणि 9. 2) x = 2y आणि x + y = 36 ⇒ 3y = 36 ⇒ y = 12; x = 24. राहुल 24, सायली 12. 3) x + y = 7, x − y = 1 ⇒ x = 4, y = 3. संख्या 43.
  2. 4x + y = 52 आणि x + 4 = 3(y + 4) ⇒ x − 3y = 8. वजाबाकी ⇒ 4y = 44 ⇒ y = 11; x = 41. तपासणी : 45 = 3 × 15 ✔. 5) x = 2y + 5 आणि x + y = 41 ⇒ 3y + 5 = 41 ⇒ y = 12; x = 29. संख्या 29 आणि 12. 6) x + y = 12 आणि 9(x − y) = 36 ⇒ x − y = 4 ⇒ x = 8, y = 4. संख्या 84. तपासणी : 84 − 48 = 36 ✔.
  3. 7आई x, मुलगी y. x + 5 = 3(y + 5) ⇒ x − 3y = 10; x − 3 = 7(y − 3) ⇒ x − 7y = −18. वजाबाकी ⇒ 4y = 28 ⇒ y = 7; x = 31. आई 31, मुलगी 7. 8) 10x + y = 7(x + y) ⇒ x = 2y. 9(x − y) = 18 ⇒ x − y = 2 ⇒ y = 2, x = 4. संख्या 42. तपासणी : 7 × 6 = 42 आणि 42 − 24 = 18 ✔.

शब्दसमस्या : पैसे, अपूर्णांक, भूमिती आणि वेग

रोजच्या जीवनातून

दुकानदाराकडे 10 आणि 20 रुपयांच्या नोटा आहेत. एकूण नोटांची संख्या आणि एकूण रक्कम सांगितली की प्रत्येक प्रकारच्या किती नोटा आहेत ते दोन समीकरणांनी शोधता येते.

सोपी व्याख्या

या प्रश्नांतही पद्धत तीच : दोन अज्ञात ठरवा, दोन समीकरणे लिहा आणि सोडवा. फक्त प्रश्नाचे सूत्र वेगळे असते : रक्कम = संख्या × किंमत, परिमिती = 2 × (लांबी + रुंदी), अंतर = वेग × वेळ.

10 रुपयांच्या 10 नोटा आणि 20 रुपयांच्या 8 नोटा म्हणजे 260 रुपये10 आणि 20 रुपयांच्या नोटा : एकूण 18 नोटा, 260 रुपये101010101010101010102020202020202020x = 10 नोटा (10 रु.) आणि y = 8 नोटा (20 रु.)x + y = 10 + 8 = 1810x + 20y = 100 + 160 = 260

आकृतीत : 10 रुपयांच्या 10 नोटा (100 रु.) आणि 20 रुपयांच्या 8 नोटा (160 रु.) मिळून 18 नोटा आणि 260 रुपये होतात.

नियम 1 : पैशांचे प्रश्न — पहिले समीकरण नोटांच्या संख्येचे आणि दुसरे एकूण रकमेचे. रक्कम = नोटांची संख्या × नोटेची किंमत.

  • सोपे : 5 आणि 2 रुपयांची एकूण 12 नाणी, रक्कम 42 रुपये : x + y = 12, 5x + 2y = 42. पहिले × 2 ⇒ 2x + 2y = 24. वजाबाकी ⇒ 3x = 18 ⇒ x = 6; y = 6.
  • मध्यम : 10 आणि 20 रुपयांच्या एकूण 18 नोटा, रक्कम 260 रुपये : x + y = 18, 10x + 20y = 260 ⇒ x + 2y = 26. वजाबाकी ⇒ y = 8; x = 10.
  • परीक्षेसाठी : 3 वह्या आणि 4 पेनांची किंमत 130 रुपये, 2 वह्या आणि 3 पेनांची किंमत 90 रुपये. पहिले × 2 ⇒ 6x + 8y = 260; दुसरे × 3 ⇒ 6x + 9y = 270. वजाबाकी ⇒ y = 10; x = 30. वही 30 रुपये, पेन 10 रुपये.

नियम 2 : अपूर्णांकाचे प्रश्न — अपूर्णांक x/y मानला की अंश x आणि छेद y. शब्दांतील बदल (मिळवले, वजा केले) अंश आणि छेदावर लावा आणि मग आडवे गुणा.

  • सोपे : अंश आणि छेदाची बेरीज 17; छेद अंशापेक्षा 3 ने जास्त. x + y = 17, y − x = 3 ⇒ y = 10, x = 7. अपूर्णांक 7/10.
  • मध्यम : अंश आणि छेदाची बेरीज 10; दोन्हींत 1 मिळवले की अपूर्णांक 1/2. (x + 1)/(y + 1) = 1/2 ⇒ 2x + 2 = y + 1 ⇒ 2x − y = −1. x + y = 10 ⇒ बेरीज ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3, y = 7. अपूर्णांक 3/7.
  • परीक्षेसाठी : अंशातून 1 वजा केले की अपूर्णांक 1/3 आणि छेदात 1 मिळवले की 1/2. 3(x − 1) = y ⇒ 3x − y = 3; 2x = y + 1 ⇒ 2x − y = 1. वजाबाकी ⇒ x = 2; y = 3. अपूर्णांक 2/3. तपासणी : 1/3 ✔ आणि 2/4 = 1/2 ✔.

नियम 3 : भूमिती आणि वेगाचे प्रश्न — आयताची परिमिती 2(लांबी + रुंदी), त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180°, आणि अंतर = वेग × वेळ ही सूत्रे समीकरणात बदला.

लांबी रुंदीच्या दुप्पट आणि परिमिती 36 सेमी असलेला आयतआयत : लांबी x, रुंदी yलांबी x = 12 सेमीरुंदीy = 6 सेमीx = 2yपरिमिती = 2(x + y) = 36x = 2y आणि 2(x + y) = 36 ⇒ y = 6, x = 12

आकृतीत : लांबी रुंदीच्या दुप्पट आहे (x = 2y) आणि परिमिती 36 सेमी आहे : 2(x + y) = 36 ⇒ x + y = 18. 2y + y = 18 ⇒ y = 6, x = 12.

समोरासमोर आलेल्या गाड्या 2 तासांनी भेटतात आणि एकाच दिशेने जाणारी गाडी 6 तासांनी दुसरीला गाठतेदोन गाड्या : समोरासमोर आणि एकाच दिशेनेAB180 किमी2 तासांनी भेटतात ⇒ x + y = 90AB180 किमी अंतर6 तासांनी A, B ला गाठतो ⇒ x − y = 30

आकृतीत : समोरासमोर येताना गाड्यांचे वेग मिळून अंतर कापतात (x + y), एकाच दिशेने जाताना वेगांचा फरक (x − y) अंतर कमी करतो.

  • सोपे : आयताची लांबी रुंदीच्या दुप्पट, परिमिती 36 सेमी : x = 2y आणि x + y = 18 ⇒ 3y = 18 ⇒ y = 6; x = 12. लांबी 12 सेमी, रुंदी 6 सेमी.
  • मध्यम : त्रिकोणाचा एक कोन 40°; उरलेले दोन कोन x आणि y, त्यांचा फरक 20°. x + y = 180 − 40 = 140 आणि x − y = 20 ⇒ 2x = 160 ⇒ x = 80; y = 60.
  • परीक्षेसाठी : A आणि B मध्ये 180 किमी अंतर. समोरासमोर निघाल्या तर 2 तासांनी भेटतात, एकाच दिशेने निघाल्या तर A, B ला 6 तासांनी गाठतो. 2(x + y) = 180 ⇒ x + y = 90; 6(x − y) = 180 ⇒ x − y = 30. बेरीज ⇒ x = 60; y = 30. वेग 60 किमी/तास आणि 30 किमी/तास.
लक्षात ठेवा

प्रत्येक प्रकारात सूत्र लक्षात ठेवा : रक्कम = संख्या × किंमत, परिमिती = 2(लांबी + रुंदी), अंतर = वेग × वेळ. मग समीकरणे सहज सुचतात.

सामान्य चूक

परिमिती 36 असताना x + y = 36 लिहिणे. बरोबर आहे 2(x + y) = 36, म्हणजे x + y = 18.

शॉर्टकट

एकाच दिशेने जाताना वेगांचा फरक आणि समोरासमोर जाताना वेगांची बेरीज घ्या. आठवणीची युक्ती : वेग : समोरासमोर बेरीज, एकाच दिशेने फरक ; "समोर-बेरीज, मागे-फरक".

फरक ओळखा

प्रश्नाचा प्रकारकल्पनासमीकरणांचे उदाहरण
नोटा / नाणीसंख्या × किंमतx + y = 18 ; 10x + 20y = 260
अपूर्णांकअंश x, छेद yy = x + 3 ; x + y = 17
आयतपरिमिती = 2(x + y)2(x + y) = 36 ; x = 2y
वेग आणि अंतरअंतर = वेग × वेळ2(x + y) = 180 ; 6(x − y) = 180

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 110 आणि 5 रुपयांच्या एकूण 14 नोटा असून रक्कम 100 रुपये आहे. प्रत्येकीच्या किती नोटा?
  2. 2आयताची लांबी रुंदीपेक्षा 4 सेमी जास्त आणि परिमिती 32 सेमी आहे. लांबी आणि रुंदी शोधा.
  3. 3अपूर्णांकाच्या अंश आणि छेदाची बेरीज 13 आणि छेद अंशापेक्षा 1 ने जास्त आहे. अपूर्णांक शोधा.
मध्यम
  1. 4240 किमी अंतरावरून दोन गाड्या समोरासमोर निघाल्या तर 3 तासांनी भेटतात आणि एकाच दिशेने निघाल्या तर 12 तासांनी भेटतात. दोघांचे वेग शोधा.
  2. 52 कप आणि 3 बशांची किंमत 130 रुपये आणि 3 कप आणि 2 बशांची किंमत 120 रुपये आहे. कपाची आणि बशीची किंमत शोधा.
  3. 6समद्विभुज त्रिकोणात समान कोन x आणि तिसरा कोन y आहे. y हा x पेक्षा 30° ने मोठा आहे. तिन्ही कोन शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7एका अपूर्णांकाच्या अंशात 3 मिळवले की तो 1 होतो आणि छेदातून 1 वजा केला की तो 1/2 होतो. अपूर्णांक शोधा.
  2. 8परीक्षेत 40 प्रश्न होते. बरोबर उत्तराला 3 गुण आणि चुकीला 1 गुण वजा. सर्व प्रश्न सोडवून 100 गुण मिळाले. किती उत्तरे चुकली?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x + y = 14, 10x + 5y = 100 ⇒ 2x + y = 20. वजाबाकी ⇒ x = 6; y = 8. 10 रुपयांच्या 6 आणि 5 रुपयांच्या 8 नोटा. 2) x − y = 4 आणि x + y = 16 ⇒ x = 10; y = 6. लांबी 10 सेमी, रुंदी 6 सेमी. 3) x + y = 13, y − x = 1 ⇒ y = 7; x = 6. अपूर्णांक 6/7.
  2. 43(x + y) = 240 ⇒ x + y = 80; 12(x − y) = 240 ⇒ x − y = 20. बेरीज ⇒ x = 50; y = 30. वेग 50 आणि 30 किमी/तास. 5) 2x + 3y = 130, 3x + 2y = 120. बेरीज ⇒ 5x + 5y = 250 ⇒ x + y = 50. वजाबाकी ⇒ x − y = −10. x = 20; y = 30. कप 20 रुपये, बशी 30 रुपये. 6) 2x + y = 180 आणि y = x + 30 ⇒ 3x + 30 = 180 ⇒ x = 50; y = 80. कोन 50°, 50°, 80°.
  3. 7x + 3 = y ⇒ y = x + 3; x/(y − 1) = 1/2 ⇒ 2x = y − 1. y घाला ⇒ 2x = x + 2 ⇒ x = 2; y = 5. अपूर्णांक 2/5. तपासणी : 5/5 = 1 ✔ आणि 2/4 = 1/2 ✔. 8) बरोबर x, चूक y : x + y = 40, 3x − y = 100. बेरीज ⇒ 4x = 140 ⇒ x = 35; y = 5. 5 उत्तरे चुकली. तपासणी : 105 − 5 = 100 ✔.