धडा १: संच

नियम 1 : संकेतचिन्हे — संचाला इंग्रजी मोठे अक्षर (A, B, C ...) आणि घटकांना लहान अक्षरे देतात. a ∈ A म्हणजे a हा A चा घटक; a ∉ A म्हणजे नाही. N = {1, 2, 3, ...} नैसर्गिक संख्या; W = {0, 1, 2, 3, ...} पूर्ण संख्या; I = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} पूर्णांक; Q परिमेय संख्या; R वास्तव संख्या.

• सोपे : 5 ∈ N, पण −5 ∉ N.
• मध्यम : 0 ∈ W पण 0 ∉ N.
• परीक्षेसाठी : "वर्गातील चांगले गायक" हा संच आहे का? नाही, "चांगले" सापेक्ष आहे. "मार्चमध्ये जन्मलेले विद्यार्थी" हा संच आहे.

नियम 2 : संच लिहिण्याच्या दोन पद्धती — यादी पद्धत (roster): सर्व घटक एकदाच कुरळ्या कंसात लिहा; क्रम महत्त्वाचा नाही. "BOOK" ची अक्षरे {b, o, k}. गुणधर्म पद्धत (set builder): सामान्य घटक आणि त्याचा गुणधर्म लिहा. A = {x : x ∈ N, x < 6} = {1, 2, 3, 4, 5}. B = {x : x हा 1 ते 11 मधील सम संख्या} = {2, 4, 6, 8, 10}.

आकृतीत : आकृतीत संच घटक सांगून किंवा गुणधर्म सांगून लिहिता येतो.

• सोपे : आठवड्याच्या शेवटचे दिवस = {शनिवार, रविवार}.
• मध्यम : {x : x ∈ N, x हा 3 चा पटीतील, x < 13} = {3, 6, 9, 12}.
• परीक्षेसाठी : {5, 10, 15, 20} गुणधर्म पद्धतीने लिहा : {x : x = 5n, n ∈ N, n ≤ 4}.

फरक ओळखा

नियम 1 : संचांचे प्रकार — एकघटकी : एकच घटक, {7}. रिक्त : एकही घटक नाही, { } किंवा φ, उदा. 5 आणि 6 मधील नैसर्गिक संख्या. सांत : रिक्त संच किंवा मर्यादित, मोजता येणारे घटक, उदा. आठवड्याचे दिवस. अनंत : अमर्याद घटक, उदा. N. N, W, I, Q आणि R अनंत आहेत.

आकृतीत : आकृतीत संचात एक, एकही नाही, मर्यादित किंवा अमर्याद घटक असू शकतात.

• सोपे : {9} एकघटकी संच.
• मध्यम : {x : x ∈ N, 3 < x < 4} हा रिक्त संच.
• परीक्षेसाठी : {x : x ∈ N, x < 100} सांत की अनंत? सांत, त्यात 99 घटक आहेत.

नियम 2 : समान संच — A चा प्रत्येक घटक B मध्ये आणि B चा प्रत्येक घटक A मध्ये असेल तर A = B. क्रम महत्त्वाचा नाही. {m, a, t, h} = {h, a, t, m}. {2, 4, 6} ≠ {2, 4, 8}, कारण 6 पहिल्यात आहे पण दुसऱ्यात नाही.

• सोपे : {1, 2, 3} = {3, 2, 1}.
• मध्यम : {a, a, b} = {a, b}, कारण पुनरावृत्ती धरत नाहीत.
• परीक्षेसाठी : {x : x हे "LEVEL" चे अक्षर} = {l, e, v}, त्यात 3 घटक.

फरक ओळखा

नियम 1 : उपसंच आणि वेन आकृती — जॉन वेन यांनी संच दाखवण्यासाठी बंद आकृत्या वापरल्या. B ⊆ A म्हणजे B हा A चा उपसंच. प्रत्येक संच स्वतःचा उपसंच (A ⊆ A). रिक्त संच प्रत्येक संचाचा उपसंच (φ ⊆ A). A ⊆ B आणि B ⊆ A असेल तर A = B. उदाहरण : {2, 4} ⊆ {2, 4, 6}.

आकृतीत : आकृतीत वेन आकृत्यांमुळे उपसंच आणि पूरक संच एका नजरेत दिसतात.

• सोपे : {1} ⊆ {1, 2}.
• मध्यम : φ ⊆ {a, b, c}.
• परीक्षेसाठी : {1, 5} ⊆ {1, 2, 3, 4} आहे का? नाही, दुसऱ्यात 5 नाही.

नियम 2 : सार्वत्रिक संच आणि पूरक संच — B′ = {x : x ∈ U आणि x ∉ B}. U = {1, 2, 3, ..., 10} आणि A = {2, 4, 6, 8, 10} असेल तर A′ = {1, 3, 5, 7, 9}. तसेच (A′)′ = A, A आणि A′ मध्ये समान घटक नसतो, U′ = φ आणि φ′ = U. सार्वत्रिक संच आयताने दाखवतात.

• सोपे : U = {1, 2, 3}, A = {1}; A′ = {2, 3}.
• मध्यम : U = {1, 2, ..., 6}, A = {1, 2, 3}; A′ = {4, 5, 6}.
• परीक्षेसाठी : U = {x : x ∈ N, x ≤ 12}, B = {3, 6, 9, 12}. मग B′ = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}, त्यात 12 − 4 = 8 घटक.

फरक ओळखा

नियम 1 : छेदसंच आणि विभक्त संच — A ∩ B = {x : x ∈ A आणि x ∈ B}. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} आणि B = {4, 5, 6, 7, 8} असेल तर A ∩ B = {4, 5, 6}. A ∩ B = B ∩ A; A ∩ A = A; A ∩ φ = φ; A ∩ A′ = φ; A ⊆ B असेल तर A ∩ B = A. {10, 20, 30} आणि {15, 25} विभक्त आहेत, म्हणून त्यांचा छेद φ.

आकृतीत : आकृतीत छेदसंच म्हणजे दोन वर्तुळांचा सामाईक भाग आणि संयोगसंच म्हणजे कोणत्याही वर्तुळातील सर्व.

• सोपे : {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
• मध्यम : {1, 3, 5} ∩ {2, 4, 6} = φ, म्हणून ते विभक्त.
• परीक्षेसाठी : 12 चे अवयव A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}; 18 चे अवयव B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. A ∩ B = {1, 2, 3, 6}.

नियम 2 : संयोग — A ∪ B = {x : x ∈ A किंवा x ∈ B}. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} आणि B = {4, 5, 6, 7, 8} असेल तर A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A ∪ B = B ∪ A; A ∪ A = A; A ∪ φ = A; A ∪ A′ = U; A ⊆ B असेल तर A ∪ B = B. समान घटक एकदाच लिहा.

• सोपे : {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
• मध्यम : {a, b} ∪ φ = {a, b}.
• परीक्षेसाठी : 12 आणि 18 च्या अवयवांचा A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}, त्यात 8 घटक.

फरक ओळखा

नियम 1 : सूत्र — n(A) + n(B) मध्ये समान घटक दोनदा मोजले जातात, म्हणून ते एकदा वजा करा : n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). A = {2, 4, 6, 8, 10} आणि B = {4, 8, 12, 16} घ्या. A ∩ B = {4, 8}, म्हणून n(A ∪ B) = 5 + 4 − 2 = 7. A आणि B विभक्त असतील तर n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

आकृतीत : आकृतीत सामाईक भाग एकदा वजा केल्याने तो दोनदा मोजला जात नाही.

• सोपे : n(A) = 6, n(B) = 5, विभक्त, म्हणून n(A ∪ B) = 11.
• मध्यम : n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ∩ B) = 4, म्हणून n(A ∪ B) = 17.
• परीक्षेसाठी : n(A ∪ B) = 50, n(A) = 30, n(B) = 28. मग n(A ∩ B) = 30 + 28 − 50 = 8.

नियम 2 : शाब्दिक उदाहरणे — 60 जणांच्या गटात 35 ना चहा (T) आणि 40 ना कॉफी (C) आवडते, आणि सर्वांना किमान एक आवडते. दोन्ही = 35 + 40 − 60 = 15. फक्त चहा = 35 − 15 = 20; फक्त कॉफी = 40 − 15 = 25. पडताळा : 20 + 15 + 25 = 60. काहींना दोन्ही आवडत नसतील तर आधी त्यांना वजा करा : 80 विद्यार्थी, 10 ना काहीच आवडत नाही, म्हणून n(M ∪ E) = 70; n(M) = 50, n(E) = 45 असेल तर दोन्ही = 50 + 45 − 70 = 25.

• सोपे : 10 फक्त A, 5 दोन्ही, 3 फक्त B : एकूण 18.
• मध्यम : n(U) = 40, n(A ∪ B) = 33, म्हणून 40 − 33 = 7 ना दोन्ही आवडत नाही.
• परीक्षेसाठी : 80 विद्यार्थ्यांच्या उदाहरणात फक्त मराठी = 50 − 25 = 25 आणि फक्त इंग्रजी = 45 − 25 = 20. पडताळा 25 + 25 + 20 + 10 = 80.

फरक ओळखा