K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 12 · गणित भाग १

धडा 5: सदिश

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

सदिशाची मूलभूत ओळख, स्थान सदिश आणि विभाजन सूत्र

रोजच्या जीवनातून

"3 किमी उत्तरेकडे" यात अंतरासोबत दिशाही आहे — तो सदिश. "3 किमी" एकटे अदिश. इयत्ता ११ शी जोड : इयत्ता ११ मध्ये बिंदू आणि अंतर सूत्र आले ; आता बिंदूला स्थान सदिश म्हणून पाहू.

सोपी व्याख्या

सदिश (vector) = परिमाण + दिशा. मूळबिंदू O पासून P चा स्थान सदिश OP = xi + yj + zk, परिमाण |OP| = √(x² + y² + z²). दोन सदिश सरेख (collinear) जर a = λb.

नियम 1 : बेरीज — त्रिकोण नियम : AB + BC = AC ; घटक-वार बेरीज.

नियम 2 : विभाजन सूत्र — A, B ला m : n मध्ये आतून विभागणारा बिंदू = (n·a + m·b)/(m + n) ; मध्यबिंदू = (a + b)/2.

नियम 3 : सरेखता — AB = λ·AC असेल तर A, B, C सरेख.

aba + b

आकृतीत : a + b = त्रिकोण नियमाने पहिल्याचे टोक दुसऱ्याच्या मुळाशी.

सूत्र कसे मिळाले? : A(1, 2, 3), B(4, 5, 9) ला 1 : 2 मध्ये आतून : (2·1 + 1·4)/3 = 2, (2·2 + 1·5)/3 = 3, (2·3 + 1·9)/3 = 5 ⇒ (2, 3, 5).

  • सोपे : |3i + 4j + 12k| = √(9 + 16 + 144) = 13.
  • मध्यम : A(1, 2, 3), B(4, 5, 9) चा मध्यबिंदू (5/2, 7/2, 6).
  • परीक्षेसाठी : A(1, 2, 3), B(2, 4, 6), C(3, 6, 9) : AB = (1, 2, 3), AC = (2, 4, 6) = 2AB ⇒ सरेख.
लक्षात ठेवा

AB = b − a (टोक − मूळ).

सामान्य चूक

विभाजन सूत्रात m आणि n अदलाबदल करणे.

शॉर्टकट

प्रत्येक घटकावर वेगळे सूत्र लावा. आठवणीची युक्ती : "टोक − मूळ" ; "जवळचे गुणोत्तर दूरच्या बिंदूला".

CET सापळा

सदिशांच्या बेरजेत परिमाण जोडू नका ; |a + b| ≤ |a| + |b|.

CET-स्टाइल उदाहरण : A(1, 2, 3), B(4, 5, 9) ला 1 : 2 मध्ये आतून विभागणारा बिंदू ? (A) (2, 3, 5) (B) (3, 4, 7) (C) (5/2, 7/2, 6) (D) (2, 3, 4)

उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : मध्यबिंदूची निवड टाळा ; गुणोत्तर 1 : 2.

फरक ओळखा

राशीQuantity
वेग 40 किमी/तास उत्तरेकडेVelocity 40 km/h north
वेगमान 40 किमी/तासSpeed 40 km/h
बलForce

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1|3i + 4j| काढा.
  2. 2(1, 2, 2) चे परिमाण ?
  3. 3A(1, 2, 3), B(4, 5, 9) साठी AB काढा.
मध्यम
  1. 4A, B चा मध्यबिंदू ?
  2. 5A, B ला 1 : 2 मध्ये आतून विभागणारा बिंदू ?
  3. 6A(1, 2, 3), B(2, 4, 6), C(3, 6, 9) सरेख आहेत का ?
आव्हानात्मक
  1. 7(3, 4, 12) चे परिमाण आणि एकक सदिश ?
  2. 8a = (1, 2, 2) असेल तर a च्या दिशेतील 6 परिमाणाचा सदिश ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15.
  2. 2√9 = 3.
  3. 3(3, 3, 6).
  4. 4(5/2, 7/2, 6).
  5. 5(2, 3, 5).
  6. 6होय, AC = 2AB.
  7. 713 ; (3/13, 4/13, 12/13).
  8. 8|a| = 3 ⇒ 6·(1/3, 2/3, 2/3) = (2, 4, 4).

अदिश गुणाकार (dot product), कोन आणि प्रक्षेप

रोजच्या जीवनातून

बॉक्स जमिनीवर ओढताना दोरीच्या दिशेतील बलच काम करते, बाकी भाग वाया. तो "दिशेतील भाग" म्हणजे dot product.

सोपी व्याख्या

a·b = |a||b| cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ (उत्तर अदिश). a, b लंब ⇔ a·b = 0. b वरील a चे प्रक्षेप (projection) = a·b / |b|.

नियम 1 : कोन — cos θ = a·b / (|a||b|).

नियम 2 : गुणधर्म — a·a = |a|² ; a·b = b·a ; i·i = j·j = k·k = 1 ; i·j = j·k = k·i = 0.

सूत्र कसे मिळाले? : a = (1, 2, 2), b = (2, −1, 2) : a·b = 2 − 2 + 4 = 4 ; |a| = |b| = 3 ⇒ cos θ = 4/9 ; b वरील a चे प्रक्षेप = 4/3.

  • सोपे : (1, 2, 3)·(2, −1, 1) = 2 − 2 + 3 = 3.
  • मध्यम : (1, 1, 1)·(1, −2, 1) = 1 − 2 + 1 = 0 ⇒ लंब.
  • परीक्षेसाठी : a = (1, 2, 2), b = (2, −1, 2) चा कोन : cos θ = 4/9 ⇒ θ ≈ 63.6°.
लक्षात ठेवा

dot product = अदिश ; cross product = सदिश.

सामान्य चूक

प्रक्षेपात |b| ने भागायला विसरणे.

शॉर्टकट

लंब तपासण्यासाठी फक्त dot product 0 पहा. आठवणीची युक्ती : "डॉट = कोस = अदिश".

CET सापळा

a·b = 0 म्हणजे a = 0 किंवा b = 0 असेच नाही — लंबही असू शकतात.

CET-स्टाइल उदाहरण : (1, 2, 3)·(2, −1, 1) = ? (A) 3 (B) 7 (C) 0 (D) −3

उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : घटक-वार गुणा, मग जोडा.

फरक ओळखा

गुणाकारProduct
a·ba·b
a × ba × b

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1i·j किती ?
  2. 2(2, 3, 1)·(1, 0, 4) काढा.
  3. 3(1, 1, 1)·(1, −2, 1) चा अर्थ ?
मध्यम
  1. 4(1, 2, 2) आणि (2, −1, 2) चा dot product ?
  2. 5त्यांच्यामधील कोनाचा cos ?
  3. 6b वर a चे प्रक्षेप ?
आव्हानात्मक
  1. 7k साठी (k, 2, −1) आणि (1, 3, 2) लंब ?
  2. 8|a + b|² = |a|² + |b|² कधी खरे ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 10.
  2. 22 + 0 + 4 = 6.
  3. 30 ⇒ लंब.
  4. 44.
  5. 54/9.
  6. 64/3.
  7. 7k + 6 − 2 = 0 ⇒ k = −4.
  8. 8जेव्हा a·b = 0 (लंब).

सदिश गुणाकार (cross product) आणि क्षेत्रफळ

रोजच्या जीवनातून

पानाने नट फिरवताना बल आणि पान यांच्या दिशेला लंब दिशेने नट पुढे जातो — हीच cross product ची दिशा (उजव्या हाताचा नियम).

सोपी व्याख्या

a × b = |a||b| sin θ · n̂ (n̂ = दोन्हीला लंब एकक सदिश). घटक : a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁). a, b समांतर ⇔ a × b = 0.

नियम 1 : क्षेत्रफळ — समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = |a × b| ; त्रिकोणाचे = ½|a × b|.

नियम 2 : गुणधर्म — a × b = −(b × a) ; (a × b) लंब a व b ला ; |a × b|² = |a|²|b|² − (a·b)².

aba × bक्षेत्रफळ

आकृतीत : समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ |a × b|.

सूत्र कसे मिळाले? : a = (1, 2, 2), b = (2, −1, 2) : a × b = (2·2 − 2·(−1), 2·2 − 1·2, 1·(−1) − 2·2) = (6, 2, −5) ; |a × b|² = 65 = 81 − 16 (तपासणी) ⇒ क्षेत्रफळ √65 ≈ 8.06.

  • सोपे : i × j = k ; j × k = i ; k × i = j.
  • मध्यम : (a × b)·a = 6 + 4 − 10 = 0 आणि (a × b)·b = 12 − 2 − 10 = 0 ⇒ लंब.
  • परीक्षेसाठी : त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ ½√65 ≈ 4.03.
लक्षात ठेवा

क्रम बदलला तर चिन्ह बदलते : a × b = −b × a.

सामान्य चूक

मधल्या घटकाचे चिन्ह उलटे न करणे.

शॉर्टकट

सारणिकाने मांडा : [i j k; a₁ a₂ a₃; b₁ b₂ b₃]. आठवणीची युक्ती : "क्रॉस = साइन = सदिश = क्षेत्रफळ".

CET सापळा

a × b = 0 ⇒ समांतर, लंब नव्हे.

CET-स्टाइल उदाहरण : i × j = ? (A) k (B) −k (C) 0 (D) 1

उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : i → j → k चक्र.

फरक ओळखा

मुद्दाPoint
कोनाचे फलAngle function
उत्तरResult
शून्य म्हणजेZero means

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1j × k किती ?
  2. 2i × i किती ?
  3. 3a × a किती ?
मध्यम
  1. 4(1, 2, 2) × (2, −1, 2) काढा.
  2. 5त्यांवर समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ ?
  3. 6त्यांवरील त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ ?
आव्हानात्मक
  1. 7|a|² |b|² − (a·b)² काढा आणि |a × b|² शी जुळवा.
  2. 8A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) चे त्रिकोण क्षेत्रफळ ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1i.
  2. 20.
  3. 30.
  4. 4(6, 2, −5).
  5. 5√65 ≈ 8.06.
  6. 6½√65 ≈ 4.03.
  7. 781 − 16 = 65 = |a × b|².
  8. 8AB = (−1, 2, 0), AC = (−1, 0, 3) ; AB × AC = (6, 3, 2) ; क्षेत्रफळ = ½√49 = 7/2.

अदिश त्रिगुणन (scalar triple product) आणि समतलीयता

रोजच्या जीवनातून

तीन काड्या एका टोकापासून ठेवल्या की त्यांचा खोका (समांतरफलक) बनतो ; त्याचे घनफळ म्हणजे अदिश त्रिगुणन.

सोपी व्याख्या

[a b c] = a·(b × c) = सारणिक |a₁ a₂ a₃; b₁ b₂ b₃; c₁ c₂ c₃|. तीन सदिश समतलीय (coplanar) ⇔ [a b c] = 0. समांतरफलकाचे घनफळ = |[a b c]|.

नियम 1 : घनफळ — समांतरफलक = |[a b c]| ; चौकोनी पिरॅमिड/चतुष्फलक = ⅙|[a b c]|.

नियम 2 : चक्रीय क्रम — [a b c] = [b c a] = [c a b] ; क्रम उलटला तर चिन्ह बदलते.

सूत्र कसे मिळाले? : a = (1, 2, 2), b = (2, −1, 2), c = (1, 0, 1) : b × c = (−1·1 − 2·0, 2·1 − 2·1, 2·0 − (−1)·1) = (−1, 0, 1) ; a·(b × c) = −1 + 0 + 2 = 1.

  • सोपे : [i j k] = 1.
  • मध्यम : (2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 4) चे घनफळ = 24.
  • परीक्षेसाठी : (1, 2, 3), (2, 1, 0), (4, 5, 6) : सारणिक = 1(6) − 2(12) + 3(6) = 0 ⇒ समतलीय.
लक्षात ठेवा

समतलीय ⇒ घनफळ 0 (खोका सपाट होतो).

सामान्य चूक

[a b c] मध्ये घटकांचा क्रम चुकणे.

शॉर्टकट

सारणिकाने सरळ काढा, cross आणि dot वेगळे करण्यापेक्षा. आठवणीची युक्ती : "तीन सदिश, एक खोका, एक सारणिक".

CET सापळा

चतुष्फलकाचे घनफळ ⅙ असते, ½ नव्हे.

CET-स्टाइल उदाहरण : [i j k] = ? (A) 1 (B) −1 (C) 0 (D) 3

उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : मूळ अक्ष-सदिश घन = 1.

फरक ओळखा

सारणिकDeterminant
00
≠ 0≠ 0

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1[i j k] किती ?
  2. 2[j i k] किती ?
  3. 3(2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 4) वरील खोक्याचे घनफळ ?
मध्यम
  1. 4(1, 2, 2), (2, −1, 2), (1, 0, 1) चे [a b c] ?
  2. 5(1, 2, 3), (2, 1, 0), (4, 5, 6) समतलीय आहेत का ?
  3. 6(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) चे घनफळ ?
आव्हानात्मक
  1. 7वरील तीन सदिशांवरील चतुष्फलकाचे घनफळ ?
  2. 8(1, 2, 3), (2, 1, 0), (4, k, 6) समतलीय तर k ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 11.
  2. 2−1.
  3. 324.
  4. 41.
  5. 5होय, सारणिक 0.
  6. 62.
  7. 72/6 = 1/3.
  8. 81(6 − 0) − 2(12 − 0) + 3(2k − 4) = 6 − 24 + 6k − 12 = 0 ⇒ k = 5.

दिशा गुणोत्तरे आणि दिशा कोज्या

रोजच्या जीवनातून

घराचा कोपरा हा तीन भिंतींच्या रेषांचा मिलन बिंदू ; कुठलीही काठी या तीन अक्षांशी किती कोन करते ते दिशा कोज्या सांगतात.

सोपी व्याख्या

सदिश r = (x, y, z) अक्ष X, Y, Z शी कोन α, β, γ करतो तर दिशा कोज्या l = cos α = x/|r|, m = cos β = y/|r|, n = cos γ = z/|r|. l² + m² + n² = 1. (x, y, z) हे दिशा गुणोत्तर (direction ratios).

नियम 1 : गुणोत्तर → कोज्या — (a, b, c) दिशा गुणोत्तर तर l = a/√(a² + b² + c²) इत्यादी.

सूत्र कसे मिळाले? : r = (1, 2, 2) : |r| = 3 ⇒ l = 1/3, m = 2/3, n = 2/3 ; l² + m² + n² = 1/9 + 4/9 + 4/9 = 1.

  • सोपे : X-अक्षाचे दिशा कोज्या (1, 0, 0).
  • मध्यम : दिशा गुणोत्तर (2, 3, 6) : √49 = 7 ⇒ (2/7, 3/7, 6/7).
  • परीक्षेसाठी : l = m = n ⇒ 3l² = 1 ⇒ l = ±1/√3 (घनाचा कर्ण).
लक्षात ठेवा

दिशा कोज्यांचे वर्ग बेरीज नेहमी 1.

सामान्य चूक

दिशा गुणोत्तरांना कोज्या मानणे.

शॉर्टकट

गुणोत्तर × समान संख्या = तेच गुणोत्तर ; कोज्यांसाठी परिमाणाने भागा. आठवणीची युक्ती : "भागा परिमाणाने — कोज्या मिळतात".

CET सापळा

उलट सदिशाच्या कोज्या विरुद्ध चिन्हाच्या असतात.

CET-स्टाइल उदाहरण : (2, 3, 6) च्या दिशा कोज्या ? (A) 2/7, 3/7, 6/7 (B) 2/11, 3/11, 6/11 (C) 1/3, 1/3, 1/3 (D) 2/√11, 3/√11, 6/√11

उत्तर : (A). √(4 + 9 + 36) = 7. वेळ वाचवण्याची पद्धत : परिमाण आधी काढा.

फरक ओळखा

संज्ञाTerm
दिशा कोज्याDirection cosines
दिशा गुणोत्तरDirection ratios

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1Y-अक्षाचे दिशा कोज्या ?
  2. 2(1, 2, 2) च्या दिशा कोज्या ?
  3. 3(2, 3, 6) च्या दिशा कोज्या ?
मध्यम
  1. 4l = 1/2, m = 1/2 तर n ?
  2. 5घनाच्या कर्णाचे दिशा कोज्या ?
  3. 6(−1, −2, −2) चे दिशा कोज्या ?
आव्हानात्मक
  1. 7(1, 2, 2) चा X-अक्षाशी कोन ?
  2. 8(1, 2, 2) आणि (2, −1, 2) च्या दिशा कोज्या वापरून कोन cos θ = ll′ + mm′ + nn′ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(0, 1, 0).
  2. 2(1/3, 2/3, 2/3).
  3. 3(2/7, 3/7, 6/7).
  4. 4n² = 1/2 ⇒ n = ±1/√2.
  5. 5(±1/√3, ±1/√3, ±1/√3).
  6. 6(−1/3, −2/3, −2/3).
  7. 7cos α = 1/3 ⇒ α ≈ 70.5°.
  8. 8(1/3)(2/3) + (2/3)(−1/3) + (2/3)(2/3) = 4/9.