समघात समीकरण — मूळबिंदूतून जाणाऱ्या दोन रेषा
दोन रस्ते एकाच चौकातून सुरू होतात — चौक म्हणजे मूळबिंदू. त्या दोन रस्त्यांचे एकच जोडसमीकरण लिहिता येते. इयत्ता ११ शी जोड : इयत्ता ११ मध्ये एका रेषेचे समीकरण y = mx शिकलात ; येथे दोन रेषा एकत्र.
ax² + 2hxy + by² = 0 हे समघात (homogeneous) द्विघात समीकरण मूळबिंदूतून जाणाऱ्या दोन रेषा दर्शवते (h² ≥ ab तर वास्तव). y = mx घालून bm² + 2hm + a = 0 मिळते.
नियम 1 : उतारांची बेरीज व गुणाकार — m₁ + m₂ = −2h/b ; m₁m₂ = a/b.
नियम 2 : जोडसमीकरण बनवणे — रेषा L₁ = 0 आणि L₂ = 0 असतील तर जोडसमीकरण L₁L₂ = 0.
आकृतीत : दोन रेषा मूळबिंदूत भेटतात.
सूत्र कसे मिळाले? : x² − 5xy + 6y² = 0 ⇒ (x − 2y)(x − 3y) = 0 ⇒ रेषा x = 2y, x = 3y ; उतार ½ आणि ⅓, बेरीज 5/6 = −2h/b आणि गुणाकार 1/6 = a/b.
- सोपे : x² − y² = 0 ⇒ (x − y)(x + y) = 0 ⇒ y = x आणि y = −x.
- मध्यम : y = 2x आणि y = −x : (y − 2x)(y + x) = y² − xy − 2x² = 0 ⇒ 2x² + xy − y² = 0.
- परीक्षेसाठी : 2x² + xy − y² = 0 ⇒ a = 2, 2h = 1, b = −1 ⇒ उतारांचा गुणाकार a/b = −2 (y = 2x, y = −x : 2 × (−1) = −2).
"समघात" म्हणजे प्रत्येक पदाची घात 2.
2h ला h समजणे — मधल्या पदाचा गुणांक 2h असतो.
अवयव पाडता आले तर सूत्रापेक्षा ते जलद. आठवणीची युक्ती : "a, 2h, b — मधला दुप्पट".
जोडसमीकरणातील गुणांक पूर्णांकात आणूनच a, h, b ओळखा.
CET-स्टाइल उदाहरण : x² − 5xy + 6y² = 0 मधील रेषा ? (A) x = 2y, x = 3y (B) x = −2y, x = −3y (C) y = 2x, y = 3x (D) x = y, x = 6y
उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : अवयव (x − 2y)(x − 3y).
फरक ओळखा
| स्थिती | Case |
|---|---|
| दोन वेगळ्या रेषा | Two distinct lines |
| एकच रेषा (संपाती) | One line (coincident) |
| फक्त मूळबिंदू | Only the origin |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x² − 4y² = 0 मधील रेषा लिहा.
- 2y = x आणि y = 3x चे जोडसमीकरण ?
- 3ax² + 2hxy + by² = 0 साठी m₁ + m₂ = ?
- 4x² − 5xy + 6y² = 0 चे उतार काढा.
- 52x² + xy − y² = 0 मधील रेषा ?
- 6x² + 2xy + y² = 0 मध्ये h² = ab का ? काय अर्थ ?
- 7उतारांचे गुणाकार −1 असल्यास a आणि b चा संबंध ?
- 8x² − 5xy + 6y² = 0 च्या रेषा y = (1/m)x रूपात लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x = 2y आणि x = −2y.
- 2(y − x)(y − 3x) = y² − 4xy + 3x² = 0.
- 3−2h/b.
- 4½ आणि ⅓.
- 5(2x − y)(x + y) = 0 ⇒ y = 2x, y = −x.
- 6h = 1, ab = 1 ⇒ (x + y)² = 0, दोन्ही रेषा एकच.
- 7a/b = −1 ⇒ a + b = 0.
- 8y = ½x आणि y = ⅓x.
दोन रेषांमधील कोन आणि विशेष अटी
चौकातील दोन रस्त्यांमधील कोन किती हे ठरवल्यावर ते काटकोनात आहेत का, एकमेकांत मिसळले आहेत का ते कळते.
ax² + 2hxy + by² = 0 मधील रेषांमधील लघुकोन θ : tan θ = |2√(h² − ab) / (a + b)|. विशेष : a + b = 0 ⇒ लंब ; h² = ab ⇒ संपाती (θ = 0).
नियम 1 : कोनाचे सूत्र — tan θ = |2√(h² − ab)/(a + b)|.
नियम 2 : लंब रेषा — a + b = 0 (x² आणि y² चे गुणांक विरुद्ध).
नियम 3 : संपाती रेषा — h² = ab.
सूत्र कसे मिळाले? : x² − 5xy + 6y² = 0 : a = 1, h = −5/2, b = 6 ⇒ h² − ab = 25/4 − 6 = 1/4 ⇒ tan θ = 2(½)/7 = 1/7 ; थेट उतारांनी : (½ − ⅓)/(1 + 1/6) = 1/7.
- सोपे : x² − y² = 0 : a + b = 1 − 1 = 0 ⇒ रेषा लंब.
- मध्यम : x² + kxy + 9y² = 0 संपाती : h = k/2, h² = ab ⇒ k²/4 = 9 ⇒ k = ±6.
- परीक्षेसाठी : kx² + 5xy − 3y² = 0 लंब : k + (−3) = 0 ⇒ k = 3.
कोनाचे सूत्र a + b = 0 साठी (भाजक 0) वापरू नका — तो काटकोन.
2h ऐवजी h = गुणांक असे वापरणे.
"a + b = 0" पाहिल्यावर लगेच 90°. आठवणीची युक्ती : "बेरीज शून्य = काटकोन, h² = ab = एकच".
कोन लघुकोन असतो ; ऋण tan आला तर निरपेक्ष किंमत घ्या.
CET-स्टाइल उदाहरण : 3x² + 2hxy + 4y² = 0 च्या रेषा संपाती तर h = ? (A) ±√12 (B) ±12 (C) ±3 (D) ±4
उत्तर : (A). h² = 3·4 = 12. वेळ वाचवण्याची पद्धत : h² = ab थेट.
फरक ओळखा
| अट | Condition |
|---|---|
| a + b = 0 | a + b = 0 |
| h² = ab | h² = ab |
| h² > ab | h² > ab |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x² − y² = 0 मधील रेषांमधील कोन ?
- 2x² + 2xy + y² = 0 मधील कोन ?
- 3x² − 5xy + 6y² = 0 साठी tan θ ?
- 4kx² + 5xy − 3y² = 0 लंब असल्यास k ?
- 5x² + kxy + 9y² = 0 संपाती असल्यास k ?
- 62x² + 3xy + y² = 0 मधील कोनाचा tan काढा.
- 73x² + 2hxy + 4y² = 0 संपाती तर h ?
- 8वरील 2x² + 3xy + y² = 0 च्या दोन्ही रेषा लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 190° (a + b = 0).
- 20° (संपाती).
- 31/7.
- 4k = 3.
- 5k = ±6.
- 6h = 3/2, h² − ab = 9/4 − 2 = 1/4 ⇒ tan θ = 2(½)/3 = 1/3.
- 7h² = 12 ⇒ h = ±2√3.
- 8(2x + y)(x + y) = 0 ⇒ y = −2x, y = −x.
सामान्य द्विघात समीकरण आणि रेषांची जोडी
सर्व रेषा मूळबिंदूतून जात नाहीत ; कुंपणाच्या दोन बाजूच्या दोन तारा कुठेही असू शकतात. त्यांचे समीकरण पूर्ण द्विघात होते.
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 हे रेषांची जोडी दर्शवते जर abc + 2fgh − af² − bg² − ch² = 0 (किंवा सारणिक [[a, h, g], [h, b, f], [g, f, c]] = 0). रेषांचा छेदबिंदू (x₀, y₀) हा ∂/∂x आणि ∂/∂y शून्य करणारा, किंवा दोन रेषा सोडवून.
नियम 1 : अट — abc + 2fgh − af² − bg² − ch² = 0.
नियम 2 : कोन — कोन फक्त x², xy, y² च्या भागावरून : tan θ = |2√(h² − ab)/(a + b)|.
सूत्र कसे मिळाले? : 2x² + 7xy + 3y² + 8x + 14y + λ = 0 : a = 2, h = 7/2, b = 3, g = 4, f = 7, c = λ ⇒ 6λ + 196 − 98 − 48 − λ·49/4 = 0 ⇒ 50 − 6.25λ = 0 ⇒ λ = 8. रेषा (2x + y + 4)(x + 3y + 2) = 0.
- सोपे : x² − y² + 2x + 1 = (x + 1)² − y² = 0 ⇒ x + 1 = y, x + 1 = −y ; अट तपासली : 0.
- मध्यम : वरील रेषांचा छेद : x + 1 = 0 आणि y = 0 ⇒ (−1, 0).
- परीक्षेसाठी : 2x + y + 4 = 0 आणि x + 3y + 2 = 0 चा छेदबिंदू : x = −2, y = 0.
अट पूर्ण होण्यासाठी सारणिक 0 हवा.
g आणि f ला 2g, 2f समजणे ; सूत्रात गुणांक अर्धे वापरतात.
अट मिळवण्याऐवजी अवयव पाडता आले तर तेच सिद्ध करा. आठवणीची युक्ती : "abc + 2fgh − af² − bg² − ch² = 0".
c साठी सर्व पदे घेतल्यावर 2gx, 2fy मधील g आणि f अर्धे लक्षात ठेवा.
CET-स्टाइल उदाहरण : x² − y² + 2x + 1 = 0 रेषांची जोडी आहे का ? (A) होय (B) नाही (C) फक्त x साठी (D) सांगता येत नाही
उत्तर : (A). (x + 1)² − y². वेळ वाचवण्याची पद्धत : अवयव पाडून पहा.
फरक ओळखा
| समीकरण | Equation |
|---|---|
| समघात (मूळबिंदू) | Homogeneous (through origin) |
| सामान्य | General |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x² − y² + 2x + 1 = 0 रेषांची जोडी आहे का?
- 2वरील रेषांचा छेदबिंदू ?
- 3x² + y² + 2x + 2y + 2 = 0 कोण दर्शवते ? (एक बिंदू)
- 4(2x + y + 4)(x + 3y + 2) चा विस्तार लिहा.
- 52x² + 7xy + 3y² + 8x + 14y + λ = 0 जोडी असेल तर λ ?
- 6त्या रेषांचा छेदबिंदू ?
- 7त्या रेषांच्या उतारांच्या गुणाकाराचे मूल्य ?
- 8त्या रेषांमधील लघुकोनाचा tan ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय : (x + 1 − y)(x + 1 + y) = 0.
- 2(−1, 0).
- 3(x + 1)² + (y + 1)² = 0 ⇒ फक्त (−1, −1).
- 42x² + 7xy + 3y² + 8x + 14y + 8.
- 5λ = 8.
- 6(−2, 0).
- 7उतार −2 आणि −1/3 ⇒ गुणाकार 2/3 = a/b.
- 8|(−2 + 1/3)/(1 + 2/3)| = |(−5/3)/(5/3)| = 1 ⇒ 45°.