त्रिकोणमितीय समीकरणे — मुख्य आणि सामान्य उत्तर
घड्याळाचा मिनिटकाटा रोज ठराविक अंशावर येतो आणि पुन्हा पुन्हा त्याच जागी येतो. म्हणूनच sin θ = ½ चे उत्तर एकच नाही, तर पुनरावृत्त होणारे अनेक कोन आहेत. इयत्ता ११ शी जोड : कोनांचे मूल्य आणि त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे इयत्ता ११ मध्ये शिकलात.
त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणजे θ ची फले असलेले समीकरण. मुख्य उत्तर (principal solution) = 0 ≤ θ < 2π मधील उत्तर. सामान्य उत्तर (general solution) = सर्व उत्तरे दर्शवणारे सूत्र, n ∈ Z.
नियम 1 : sin — sin θ = sin α ⇒ θ = nπ + (−1)ⁿ α.
नियम 2 : cos — cos θ = cos α ⇒ θ = 2nπ ± α.
नियम 3 : tan — tan θ = tan α ⇒ θ = nπ + α.
नियम 4 : वर्ग — sin²θ = sin²α ⇒ θ = nπ ± α ; cos²θ = cos²α ⇒ θ = nπ ± α ; tan²θ = tan²α ⇒ θ = nπ ± α.
सूत्र कसे मिळाले? : sin θ = √3/2 = sin(π/3) ⇒ θ = nπ + (−1)ⁿ π/3 ; n = 0 : π/3, n = 1 : 2π/3, n = 2 : 7π/3 ... सर्व sin = √3/2 देतात.
- सोपे : tan θ = 1 ⇒ θ = nπ + π/4.
- मध्यम : cos θ = ½ ⇒ θ = 2nπ ± π/3 ; मुख्य उत्तरे π/3, 5π/3.
- परीक्षेसाठी : sin²θ = ¼ ⇒ θ = nπ ± π/6.
सामान्य उत्तरात n ∈ Z ; मुख्य उत्तर [0, 2π) मध्ये.
sin θ = ½ चे उत्तर फक्त π/6 देणे ; दुसरे 5π/6 विसरू नका.
sin आणि tan चे सूत्र nπ ने, cos चे 2nπ ने सुरू होते. आठवणीची युक्ती : "सिन-टॅन एनपाय, कॉस दोन-एनपाय".
cos θ = cos α मध्ये ± चा अर्थ दोन्ही कुटुंबे ; (−1)ⁿ फक्त sin साठी.
CET-स्टाइल उदाहरण : sin θ = −½ चे मुख्य उत्तर ? (A) π/6, 5π/6 (B) 7π/6, 11π/6 (C) π/3, 2π/3 (D) 4π/3, 5π/3
उत्तर : (B). sin ऋण म्हणजे III व IV चतुर्थांश. वेळ वाचवण्याची पद्धत : चतुर्थांश ठरवून पर्याय कमी करा.
फरक ओळखा
| समीकरण | Equation |
|---|---|
| sin θ = sin α | sin θ = sin α |
| cos θ = cos α | cos θ = cos α |
| tan θ = tan α | tan θ = tan α |
सरावासाठी प्रश्न
- 1sin θ = 0 चे सामान्य उत्तर ?
- 2cos θ = 0 चे सामान्य उत्तर ?
- 3tan θ = 1 चे सामान्य उत्तर ?
- 4sin θ = √3/2 चे सामान्य उत्तर ?
- 5cos θ = ½ चे सामान्य उत्तर ?
- 6sin²θ = ¼ चे सामान्य उत्तर ?
- 7cos θ = −½ चे सामान्य उत्तर ?
- 8tan θ = −√3 चे सामान्य उत्तर ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1θ = nπ.
- 2θ = (2n + 1)π/2.
- 3θ = nπ + π/4.
- 4θ = nπ + (−1)ⁿ π/3.
- 5θ = 2nπ ± π/3.
- 6θ = nπ ± π/6.
- 7θ = 2nπ ± 2π/3.
- 8tan(−π/3) = −√3 ⇒ θ = nπ − π/3.
समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती
कुलूप उघडायला अनेक चाव्यांपैकी योग्य चावी शोधावी लागते ; त्रिकोणमितीय समीकरणात योग्य रूपांतर म्हणजे चावी.
समीकरण एकाच फलात आणा (वर्गसमीकरण, अवयव) किंवा a sin θ + b cos θ = c ला R sin(θ + φ) रूपात लिहा, R = √(a² + b²). मग मूलभूत सूत्रे वापरा.
नियम 1 : वर्ग / अवयव — sin²θ = 1 − cos²θ वापरून एकाच फलातील वर्गसमीकरण बनवा आणि अवयव पाडा.
नियम 2 : a sin θ + b cos θ = c — दोन्ही बाजूंना R ने भागा : sin(θ + φ) = c/R ; सोडवा. |c| > R असेल तर उत्तर नाही.
सूत्र कसे मिळाले? : sin θ + cos θ = 1 : R = √2 ⇒ sin(θ + π/4) = 1/√2 = sin(π/4) ⇒ θ + π/4 = nπ + (−1)ⁿ π/4 ⇒ θ = 2mπ किंवा 2mπ + π/2.
- सोपे : 2 sin²θ − 3 sin θ + 1 = 0 ⇒ (2 sin θ − 1)(sin θ − 1) = 0 ⇒ sin θ = ½ किंवा 1.
- मध्यम : 2 cos²θ − cos θ − 1 = 0 ⇒ (2 cos θ + 1)(cos θ − 1) = 0 ⇒ θ = 2nπ ± 2π/3 किंवा 2nπ.
- परीक्षेसाठी : sin θ + cos θ = 1 ⇒ θ = 2mπ किंवा 2mπ + π/2 (वरील पद्धत).
अवयव पाडल्यावर प्रत्येक अवयव 0 धरून वेगळी उत्तरे लिहा.
sin θ = 2 सारखे अशक्य उत्तर (|sin| ≤ 1) स्वीकारणे.
वर्गसमीकरणातील मूळ −1 ते 1 च्या बाहेर असेल तर ते रद्द. आठवणीची युक्ती : "एक फल, एक समीकरण, मग अवयव".
दोन्ही बाजूंना sin θ ने भागू नका ; उत्तर हरवते (अवयवच पाडा).
CET-स्टाइल उदाहरण : sin θ + cos θ = √2 चे मुख्य उत्तर ? (A) π/4 (B) π/2 (C) π/3 (D) π/6
उत्तर : (A). R = √2, म्हणून sin(θ + π/4) = 1 ⇒ θ = π/4. वेळ वाचवण्याची पद्धत : R = c असेल तर एकच उत्तर.
फरक ओळखा
| स्थिती | Case | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| c | < R | c | < R | ||
| c | = R | c | = R | ||
| c | > R | c | > R |
सरावासाठी प्रश्न
- 12 sin θ − 1 = 0 सोडवा (मुख्य).
- 2sin θ = 2 ला उत्तर आहे का?
- 32 cos θ = 1 चे सामान्य उत्तर?
- 42 sin²θ − 3 sin θ + 1 = 0 चे मुख्य उत्तर?
- 52 cos²θ − cos θ − 1 = 0 चे सामान्य उत्तर?
- 6sin θ + cos θ = 1 साठी R काढा.
- 7sin θ + cos θ = 1 चे सामान्य उत्तर?
- 8√3 sin θ + cos θ = 3 ला उत्तर आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1θ = π/6, 5π/6.
- 2नाही, |sin θ| ≤ 1.
- 3θ = 2nπ ± π/3.
- 4sin θ = ½ : π/6, 5π/6 ; sin θ = 1 : π/2.
- 5θ = 2nπ किंवा 2nπ ± 2π/3.
- 6R = √(1 + 1) = √2.
- 7θ = 2mπ किंवा 2mπ + π/2.
- 8R = 2 < 3 म्हणून नाही.
त्रिकोणाची उकल — sine, cosine, projection नियम
सर्वेक्षक तलावाच्या दोन्ही बाजू न मोजता काठावरील एक अंतर आणि दोन कोन मोजून तलावाची रुंदी काढतो — हेच sine नियम.
△ABC मध्ये बाजू a, b, c समोरच्या कोनांच्या A, B, C. उकल = उरलेल्या बाजू व कोन काढणे. 2s = a + b + c.
नियम 1 : Sine नियम — a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (R = परिवर्तुळ त्रिज्या).
नियम 2 : Cosine नियम — a² = b² + c² − 2bc cos A ; cos A = (b² + c² − a²)/(2bc).
नियम 3 : Projection नियम — a = b cos C + c cos B (तसेच b, c साठी).
नियम 4 : क्षेत्रफळ — ½ ab sin C ; Heron : √(s(s − a)(s − b)(s − c)).
आकृतीत : बाजू a समोर कोन A.
सूत्र कसे मिळाले? : a = 7, b = 8, c = 9 : cos A = (64 + 81 − 49)/144 = 2/3 ; s = 12 ; क्षेत्रफळ = √(12·5·4·3) = 12√5 ≈ 26.83.
- सोपे : A = 30°, B = 45°, a = 10 : b = a sin B / sin A = 10·(√2/2)/(½) = 10√2 ≈ 14.14.
- मध्यम : a = 5, b = 7, C = 60° : c² = 25 + 49 − 35 = 39 ⇒ c = √39 ≈ 6.24.
- परीक्षेसाठी : वरील त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½·5·7·sin 60° = 35√3/4 ≈ 15.16.
कोन आणि समोरची बाजू ही जोडी आधी ओळखा.
कोन अंशांत असताना कॅल्क्युलेटर रेडियन मोडमध्ये ठेवणे.
दोन बाजू + मधला कोन ⇒ cosine ; दोन कोन + एक बाजू ⇒ sine. आठवणीची युक्ती : "मधला कोन = cosine ; जोडी = sine".
sine नियमात दोन त्रिकोण शक्य (ambiguous) असू शकतात, जेव्हा दिलेला कोन समोरच्या बाजूपेक्षा लहान बाजूजवळ असतो.
CET-स्टाइल उदाहरण : a = 2, b = 3, C = 90° तर c² = ? (A) 5 (B) 13 (C) 1 (D) 25
उत्तर : (B). cos 90° = 0 ⇒ c² = 4 + 9. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 90° असेल तर पायथागोरस.
फरक ओळखा
| माहिती | Given |
|---|---|
| SAS | SAS |
| SSS | SSS |
| ASA / AAS | ASA / AAS |
सरावासाठी प्रश्न
- 1A = 90° असल्यास a² = ? (cosine नियमाने)
- 2a = 6, A = 30° : 2R काढा.
- 3बाजू 3, 4, 5 : s काढा.
- 4बाजू 3, 4, 5 चे क्षेत्रफळ?
- 5a = 5, b = 7, C = 60° : c काढा.
- 6A = 30°, B = 45°, a = 10 : b काढा.
- 7बाजू 7, 8, 9 : cos A काढा.
- 8बाजू 7, 8, 9 : projection नियमाने b cos C + c cos B ची किंमत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1b² + c².
- 26/(½) = 12.
- 36.
- 4√(6·3·2·1) = 6.
- 5√39 ≈ 6.24.
- 610√2 ≈ 14.14.
- 72/3.
- 8= a = 7.
प्रतिलोम (inverse) त्रिकोणमितीय फले
कॅल्क्युलेटरचे sin⁻¹ बटन "कोन सांगा ज्याचे sin दिलेले आहे" हे विचारते. एकच sin मूल्य अनेक कोनांना असते, म्हणून फक्त ठराविक मर्यादेतील कोनच (मुख्य मूल्य) दिला जातो.
sin⁻¹ : [−1, 1] → [−π/2, π/2] ; cos⁻¹ : [−1, 1] → [0, π] ; tan⁻¹ : R → (−π/2, π/2) ; cot⁻¹ : R → (0, π). हे मुख्य मूल्याचे परिसर (range) आहेत.
नियम 1 : नकारात्मक वितर्क — sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹x ; tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹x ; cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x.
नियम 2 : बेरीज — sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2 ; tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹[(x + y)/(1 − xy)] (xy < 1).
नियम 3 : दुहेरी — 2 tan⁻¹x = tan⁻¹[2x/(1 − x²)] (|x| < 1).
आकृतीत : sin⁻¹ चा आलेख −π/2 ते π/2 मध्येच राहतो.
सूत्र कसे मिळाले? : tan⁻¹(½) + tan⁻¹(⅓) : x = ½, y = ⅓, xy = 1/6 < 1 ⇒ (5/6)/(1 − 1/6) = 1 ⇒ tan⁻¹1 = π/4.
- सोपे : sin⁻¹(½) = π/6 ; cos⁻¹(½) = π/3.
- मध्यम : cos⁻¹(−½) = π − π/3 = 2π/3 ; tan⁻¹(−1) = −π/4.
- परीक्षेसाठी : sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6 (5π/6 मर्यादेबाहेर, sin 5π/6 = ½).
sin⁻¹(sin x) = x फक्त x ∈ [−π/2, π/2] साठी.
sin⁻¹x ला 1/sin x समजणे ; ते cosec x आहे, sin⁻¹ नव्हे.
मूल्य मर्यादेत आणण्यासाठी π − x किंवा −x वापरा. आठवणीची युक्ती : "sin व tan मध्ये −π/2 ते π/2 ; cos व cot मध्ये 0 ते π".
tan⁻¹x + tan⁻¹y मध्ये xy > 1 असेल तर उत्तरात π जोडावा लागतो.
CET-स्टाइल उदाहरण : cos⁻¹(−½) = ? (A) π/3 (B) 2π/3 (C) −π/3 (D) 5π/6
उत्तर : (B). वेळ वाचवण्याची पद्धत : cos⁻¹ चे उत्तर 0 ते π मध्ये.
फरक ओळखा
| फल | Function |
|---|---|
| sin⁻¹ | sin⁻¹ |
| cos⁻¹ | cos⁻¹ |
| tan⁻¹ | tan⁻¹ |
सरावासाठी प्रश्न
- 1sin⁻¹(1) काढा.
- 2cos⁻¹(0) काढा.
- 3tan⁻¹(1) काढा.
- 4cos⁻¹(−½) काढा.
- 5tan⁻¹(−1) काढा.
- 6sin⁻¹(3/5) + cos⁻¹(3/5) काढा.
- 7tan⁻¹(½) + tan⁻¹(⅓) काढा.
- 82 tan⁻¹(½) = tan⁻¹ ? सिद्ध करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1π/2.
- 2π/2.
- 3π/4.
- 42π/3.
- 5−π/4.
- 6π/2.
- 7π/4.
- 82·½/(1 − ¼) = 1/(¾) = 4/3 ⇒ tan⁻¹(4/3).