K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 12 · गणित भाग १

धडा 2: आव्यूह

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

आव्यूहांचे प्रकार, बेरीज आणि अदिश गुणाकार

रोजच्या जीवनातून

दुकानाच्या वहीत तीन वस्तू आणि दोन दिवसांची विक्री असा तक्ता म्हणजे 3 × 2 आव्यूह. इयत्ता ११ शी जोड : सारणिक (determinant) चौरस संख्यांवर काढतो ; आव्यूह हा फक्त मांडणी आहे, त्याला "किंमत" नसते.

सोपी व्याख्या

आव्यूह (matrix) = m ओळी आणि n स्तंभांतील संख्यांची मांडणी, क्रम m × n. प्रकार : चौरस (square, m = n), कर्ण (diagonal), एकक (identity, I), शून्य (zero), त्रिकोणी (triangular). बेरीज फक्त समान क्रमाच्या आव्यूहांची, संबंधित घटक जोडून.

नियम 1 : बेरीज / वजाबाकी — A ± B साठी क्रम समान हवा ; संबंधित घटकांवर क्रिया करा.

नियम 2 : अदिश गुणाकार — kA मध्ये प्रत्येक घटकाला k ने गुणा.

नियम 3 : समानता — दोन आव्यूह समान तर क्रम समान आणि प्रत्येक संबंधित घटक समान.

  • सोपे : A = [[2, 1], [0, 3]], B = [[1, 4], [2, −1]] : A + B = [[3, 5], [2, 2]].
  • मध्यम : 3A − B = [[6, 3], [0, 9]] − [[1, 4], [2, −1]] = [[5, −1], [−2, 10]].
  • परीक्षेसाठी : [[x + y, 2], [3, x − y]] = [[5, 2], [3, 1]] ⇒ x + y = 5, x − y = 1 ⇒ x = 3, y = 2.
लक्षात ठेवा

क्रम वेगळा असेल तर बेरीज अशक्य.

सामान्य चूक

3 × 2 आणि 2 × 3 आव्यूह जोडणे.

शॉर्टकट

समीकरण दिलेल्या आव्यूह-समानतेत प्रत्येक जागेचे वेगळे समीकरण लिहा. आठवणीची युक्ती : "आधी क्रम पहा, मग क्रिया करा".

CET सापळा

आव्यूहाला सारणिकासारखी एकच किंमत नसते.

CET-स्टाइल उदाहरण : 2 × 3 आव्यूहात किती घटक ? (A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 9

उत्तर : (B). 2 × 3 = 6. वेळ वाचवण्याची पद्धत : ओळी × स्तंभ.

फरक ओळखा

प्रकारType
कर्णDiagonal
एकक IIdentity I
शून्यZero

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 13 ओळी, 4 स्तंभ असलेल्या आव्यूहाचा क्रम काय?
  2. 23 × 4 आव्यूहात किती घटक?
  3. 32 × 2 एकक आव्यूह लिहा.
मध्यम
  1. 4A = [[2, 1], [0, 3]], B = [[1, 4], [2, −1]] : A + B काढा.
  2. 5वरील A, B साठी 3A − B काढा.
  3. 6[[x + y, 2], [3, x − y]] = [[5, 2], [3, 1]] तर x, y काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7A = [[1, 2], [3, 4]] आणि A + X = [[5, 5], [5, 5]] तर X काढा.
  2. 82X + [[1, 2], [0, 3]] = [[5, 4], [2, 9]] तर X काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13 × 4.
  2. 212.
  3. 3[[1, 0], [0, 1]].
  4. 4[[3, 5], [2, 2]].
  5. 5[[5, −1], [−2, 10]].
  6. 6x = 3, y = 2.
  7. 7X = [[4, 3], [2, 1]].
  8. 82X = [[4, 2], [2, 6]] ; X = [[2, 1], [1, 3]].

आव्यूहांचा गुणाकार आणि परिवर्त

रोजच्या जीवनातून

एका वहीत तीन मित्रांनी घेतलेल्या वस्तूंची संख्या आणि वस्तूंच्या किमती दिल्या तर प्रत्येकाचे एकूण बिल मिळवण्यासाठी "ओळ × स्तंभ" गुणाकार वापरतात.

सोपी व्याख्या

AB शक्य असतो जेव्हा A चे स्तंभ = B च्या ओळी ; A (m × n) आणि B (n × p) चा गुणाकार m × p. AB चा (i, j) घटक = A ची i वी ओळ × B चा j वा स्तंभ (गुणाकारांची बेरीज). परिवर्त (transpose) Aᵀ = ओळी आणि स्तंभ अदलाबदल.

नियम 1 : ओळ × स्तंभ — A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[2, 0], [1, 5]] : AB = [[1·2 + 2·1, 1·0 + 2·5], [3·2 + 4·1, 3·0 + 4·5]] = [[4, 10], [10, 20]].

नियम 2 : गुणधर्म — सहसा AB ≠ BA ; (AB)ᵀ = BᵀAᵀ ; (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ ; AI = IA = A.

नियम 3 : सममित / विषम सममित — Aᵀ = A तर सममित ; Aᵀ = −A तर विषम सममित (कर्णावर 0).

सूत्र कसे मिळाले? : BA = [[2·1 + 0·3, 2·2 + 0·4], [1·1 + 5·3, 1·2 + 5·4]] = [[2, 4], [16, 22]] ≠ AB ; म्हणून गुणाकार क्रमवार नाही.

  • सोपे : [[1, 2], [3, 4]] × [[1], [1]] = [[3], [7]] (2×2 × 2×1 = 2×1).
  • मध्यम : (2×3)(3×2) : [[1, 2, 0], [3, 1, 4]] × [[2, 1], [0, 3], [1, 1]] = [[2, 7], [10, 10]].
  • परीक्षेसाठी : [[0, 3], [−3, 0]] विषम सममित, [[1, 5], [5, 2]] सममित.
लक्षात ठेवा

(AB)ᵀ = BᵀAᵀ — क्रम उलटतो.

सामान्य चूक

AB = BA गृहीत धरणे.

शॉर्टकट

गुणाकाराआधी "आतील दोन अंक सारखे, बाहेरचे दोन उत्तराचा क्रम" असे तपासा. आठवणीची युक्ती : "आतले सारखे, बाहेरचे उत्तर" (m×n · n×p = m×p).

CET सापळा

AB = 0 असले तरी A = 0 किंवा B = 0 असावेच असे नाही.

CET-स्टाइल उदाहरण : A 2 × 3 आणि B 3 × 4 असल्यास AB चा क्रम ? (A) 2 × 4 (B) 3 × 3 (C) 4 × 2 (D) 2 × 3

उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : बाहेरचे दोन अंक वाचा.

फरक ओळखा

गुणधर्मProperty
AB = BAAB = BA
(AB)ᵀ = BᵀAᵀ(AB)ᵀ = BᵀAᵀ
AI = AAI = A

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1A क्रम 3 × 2, B क्रम 2 × 5 : AB चा क्रम?
  2. 2A क्रम 2 × 3, B क्रम 2 × 3 : AB शक्य आहे का?
  3. 3[[1, 2], [3, 4]] चे परिवर्त लिहा.
मध्यम
  1. 4A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[2, 0], [1, 5]] : AB काढा.
  2. 5वरील A, B साठी BA काढा.
  3. 6वरील AB साठी (AB)ᵀ आणि BᵀAᵀ तपासा.
आव्हानात्मक
  1. 7[[1, 2, 0], [3, 1, 4]] × [[2, 1], [0, 3], [1, 1]] काढा.
  2. 8[[0, k], [−3, 0]] विषम सममित तर k किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13 × 5.
  2. 2नाही (3 ≠ 2).
  3. 3[[1, 3], [2, 4]].
  4. 4[[4, 10], [10, 20]].
  5. 5[[2, 4], [16, 22]].
  6. 6(AB)ᵀ = [[4, 10], [10, 20]] ; BᵀAᵀ तेच.
  7. 7[[2, 7], [10, 10]].
  8. 8Aᵀ = −A ⇒ −3 = −k ⇒ k = 3.

प्राथमिक रूपांतरे आणि व्यस्त आव्यूह (रूपांतर पद्धत)

रोजच्या जीवनातून

समीकरणे सोडवताना आपण दोन ओळी अदलाबदल करतो, ओळ एका संख्येने गुणतो किंवा एक ओळ दुसरीत मिसळतो — हीच तीन प्राथमिक रूपांतरे.

सोपी व्याख्या

तीन ओळ-रूपांतरे : Rᵢ ↔ Rⱼ ; Rᵢ → kRᵢ (k ≠ 0) ; Rᵢ → Rᵢ + kRⱼ. स्तंभासाठी Cᵢ. व्यस्त आव्यूह (inverse) A⁻¹ असा की AA⁻¹ = A⁻¹A = I ; तो फक्त |A| ≠ 0 असलेल्या चौरस आव्यूहाला असतो.

नियम 1 : मांडणी — A = IA लिहा आणि फक्त ओळ-रूपांतरे करून डावीकडचा A ला I बनवा ; उजवीकडचा I तेव्हा A⁻¹ बनतो. (एकाच वेळी ओळ व स्तंभ रूपांतरे मिसळू नका.)

सूत्र कसे मिळाले? : A = [[1, 2], [3, 4]] : R₂ → R₂ − 3R₁ ⇒ [[1, 2], [0, −2]] ; R₂ → (−½)R₂ ⇒ [[1, 2], [0, 1]] ; R₁ → R₁ − 2R₂ ⇒ I. उजवीकडे A⁻¹ = [[−2, 1], [3/2, −1/2]].

  • सोपे : A = [[1, 3], [2, 7]] : R₂ → R₂ − 2R₁, R₁ → R₁ − 3R₂ ⇒ A⁻¹ = [[7, −3], [−2, 1]].
  • मध्यम : A = [[2, 1], [5, 3]] : A⁻¹ = [[3, −1], [−5, 2]] ; तपासा : AA⁻¹ = I.
  • परीक्षेसाठी : A = [[2, 4], [1, 2]] : |A| = 0, म्हणून व्यस्त नाही (एक ओळ 0 होते).
लक्षात ठेवा

ओळ 0 झाली तर व्यस्त अस्तित्वात नाही.

सामान्य चूक

एका चरणात ओळ आणि स्तंभ दोन्ही बदलणे.

शॉर्टकट

शेवटी AA⁻¹ = I असे गुणून तपासा. आठवणीची युक्ती : "डावीकडे A → I, उजवीकडे I → A⁻¹".

CET सापळा

सारणिक 0 असल्यास व्यस्त आव्यूह नसतो, मग रूपांतर पद्धत वापरू नका.

CET-स्टाइल उदाहरण : [[1, 2], [3, 4]] चा व्यस्त (A) [[−2, 1], [3/2, −1/2]] (B) [[4, −2], [−3, 1]] (C) [[1, 2], [3, 4]] (D) [[−2, 1], [1, 3/2]]

उत्तर : (A). (B) हा adj आहे, |A| = −2 ने भागा. वेळ वाचवण्याची पद्धत : पर्याय गुणून AA⁻¹ तपासा.

फरक ओळखा

रूपांतरTransformation
ओळ अदलाबदलSwap rows
ओळ गुणाकारScale a row
ओळ मिसळणेAdd a multiple

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1कोणत्या आव्यूहाला व्यस्त असतो ?
  2. 2[[1, 0], [0, 1]] चा व्यस्त काय?
  3. 3[[2, 4], [1, 2]] ला व्यस्त आहे का?
मध्यम
  1. 4[[1, 3], [2, 7]] चा व्यस्त रूपांतराने काढा.
  2. 5[[2, 1], [5, 3]] चा व्यस्त काढा.
  3. 6[[3, 1], [5, 2]] चा व्यस्त काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7[[1, 2], [3, 4]] चा व्यस्त काढा आणि AA⁻¹ = I तपासा.
  2. 8A = [[1, 2], [3, 4]] तर (A⁻¹)⁻¹ काय?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1ज्या चौरस आव्यूहाचा सारणिक ≠ 0.
  2. 2तोच I.
  3. 3नाही ; |A| = 4 − 4 = 0.
  4. 4[[7, −3], [−2, 1]].
  5. 5[[3, −1], [−5, 2]].
  6. 6[[2, −1], [−5, 3]].
  7. 7[[−2, 1], [3/2, −1/2]] ; गुणाकार I येतो.
  8. 8A स्वतः.

व्यस्त आव्यूह — सहखंडज (adjoint) पद्धत

रोजच्या जीवनातून

नकाशाची प्रत मूळ नकाशावरून काढायची आणि मूळ परत मिळवायचा — व्यस्त हे "परत मिळवण्याचे" साधन आहे. adj पद्धतीत सूत्र थेट असते, रूपांतरांची गरज नसते.

सोपी व्याख्या

सहखंड (cofactor) Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ (Mᵢⱼ = ओळ i, स्तंभ j काढून उरलेला सारणिक). सहखंडज (adj A) = सहखंडांच्या आव्यूहाचे परिवर्त. A⁻¹ = adj A / |A|, |A| ≠ 0.

नियम 1 : 2 × 2 झटपट — [[a, b], [c, d]] चा adj = [[d, −b], [−c, a]] ; मुख्य कर्णावरील अदलाबदल, दुसऱ्या कर्णावर चिन्ह बदल.

नियम 2 : महत्त्वाचे सूत्र — A (adj A) = (adj A) A = |A| I.

सूत्र कसे मिळाले? : A = [[2, 1, 0], [1, 3, 1], [0, 1, 2]] : |A| = 2(6 − 1) − 1(2 − 0) = 8 ; सहखंड आव्यूह = [[5, −2, 1], [−2, 4, −2], [1, −2, 5]] ; तो सममित म्हणून adj A तोच. A⁻¹ = (1/8) [[5, −2, 1], [−2, 4, −2], [1, −2, 5]].

  • सोपे : [[3, 1], [5, 2]] : |A| = 6 − 5 = 1 ; adj = [[2, −1], [−5, 3]] ; A⁻¹ = [[2, −1], [−5, 3]].
  • मध्यम : [[2, 1], [5, 3]] : |A| = 1 ; A⁻¹ = [[3, −1], [−5, 2]].
  • परीक्षेसाठी : [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [1, 0, 6]] : |A| = 11 ≠ 0, म्हणून व्यस्त आहे ; adj A = [[6, −12, 5], [4, 3, −4], [−1, 2, 1]].
लक्षात ठेवा

adj बनवताना सहखंडांचे परिवर्त घ्यायला विसरू नका.

सामान्य चूक

सहखंडाचे चिन्ह (−1)ⁱ⁺ʲ विसरणे.

शॉर्टकट

चिन्हांचा नमुना : [+ − +; − + −; + − +]. आठवणीची युक्ती : "सहखंड → परिवर्त → |A| ने भाग".

CET सापळा

|adj A| = |A|ⁿ⁻¹ (3×3 साठी |A|²).

CET-स्टाइल उदाहरण : [[a, b], [c, d]] चा adj ? (A) [[d, −b], [−c, a]] (B) [[a, −b], [−c, d]] (C) [[d, b], [c, a]] (D) [[−d, b], [c, −a]]

उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : कर्ण अदलाबदल, दुसऱ्याची चिन्हे उलट.

फरक ओळखा

पद्धतMethod
रूपांतरTransformation
adjAdjoint

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1[[a, b], [c, d]] चा adj लिहा.
  2. 2[[3, 1], [5, 2]] चा सारणिक काढा.
  3. 3[[4, 2], [2, 1]] ला व्यस्त आहे का?
मध्यम
  1. 4[[3, 1], [5, 2]] चा व्यस्त adj पद्धतीने काढा.
  2. 5[[2, 1], [5, 3]] चा व्यस्त काढा.
  3. 6[[2, 1, 0], [1, 3, 1], [0, 1, 2]] चा |A| काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7वरील 3 × 3 आव्यूहाचा A⁻¹ काढा.
  2. 8[[1, 2, 3], [0, 1, 4], [1, 0, 6]] साठी |A| आणि adj A ची पहिली ओळ सांगा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1[[d, −b], [−c, a]].
  2. 26 − 5 = 1.
  3. 3नाही ; |A| = 4 − 4 = 0.
  4. 4[[2, −1], [−5, 3]].
  5. 5[[3, −1], [−5, 2]].
  6. 62(6 − 1) − 1(2 − 0) + 0 = 8.
  7. 7(1/8)[[5, −2, 1], [−2, 4, −2], [1, −2, 5]].
  8. 8|A| = 11 ; adj A ची पहिली ओळ (6, −12, 5).

रेषीय समीकरणे सोडवणे

रोजच्या जीवनातून

दोन वस्तूंचे दर शोधण्यासाठी दोन खरेदीची बिले दिली असतात : प्रत्येक बिल हे एक समीकरण. आव्यूह त्या सर्वांना एका ओळीत AX = B मध्ये लिहितो.

सोपी व्याख्या

समीकरण संच AX = B (A = गुणांकांचा आव्यूह, X = अज्ञात स्तंभ, B = स्थिरांक). |A| ≠ 0 असेल तर एकमेव उत्तर X = A⁻¹B. |A| = 0 असेल तर उत्तर नाही किंवा अनंत.

नियम 1 : व्यस्त पद्धत — A⁻¹ काढा आणि X = A⁻¹B गुणा.

नियम 2 : घट (reduction) पद्धत — [A | B] वर ओळ-रूपांतरे करून A ला त्रिकोणी/I रूपात आणा ; मग खालून वर उत्तरे काढा.

सूत्र कसे मिळाले? : x + 2y = 5, 3x + 4y = 11 : A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5], [11]]. R₂ → R₂ − 3R₁ ⇒ [[1, 2 | 5], [0, −2 | −4]] ⇒ y = 2, x = 5 − 4 = 1.

  • सोपे : 3x + y = 7, 5x + 2y = 11 : A⁻¹ = [[2, −1], [−5, 3]] ⇒ X = A⁻¹B = [[3], [−2]] ⇒ x = 3, y = −2.
  • मध्यम : 2x + y = 4, x + 3y + z = 10, y + 2z = 8 : |A| = 8 ; X = (1/8)·adj A·B = (1/8)[[8], [16], [24]] = [[1], [2], [3]].
  • परीक्षेसाठी : x + 2y = 3, 2x + 4y = 7 : |A| = 0 ; दुसरे समीकरण = 2 × पहिले असले असते तर 6 आले असते, पण 7 आहे ⇒ उत्तर नाही.
लक्षात ठेवा

X = A⁻¹B मध्ये क्रम : A⁻¹ आधी, B नंतर.

सामान्य चूक

X = BA⁻¹ लिहिणे (क्रम चुकतो).

शॉर्टकट

उत्तर मूळ समीकरणात घालून तपासा. आठवणीची युक्ती : "A⁻¹ डावीकडून B ला" (A⁻¹ साठी "आधी").

CET सापळा

|A| = 0 ⇒ उत्तर नाही किंवा अनंत, नेहमी "नाही" नव्हे.

CET-स्टाइल उदाहरण : x + y = 3, x − y = 1 चे उत्तर ? (A) (2, 1) (B) (1, 2) (C) (3, 0) (D) (0, 3)

उत्तर : (A). बेरीज : 2x = 4. वेळ वाचवण्याची पद्धत : उत्तरे पर्यायांत घालून पाहा.

फरक ओळखा

AA
≠ 0≠ 0
= 0= 0

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1x + y = 3, x − y = 1 सोडवा.
  2. 22x + y = 5, x − y = 1 सोडवा.
  3. 3AX = B मध्ये X चे सूत्र ?
मध्यम
  1. 4x + 2y = 5, 3x + 4y = 11 सोडवा.
  2. 53x + y = 7, 5x + 2y = 11 व्यस्त आव्यूहाने सोडवा.
  3. 6x + 2y = 3, 2x + 4y = 6 बद्दल काय म्हणता येईल?
आव्हानात्मक
  1. 72x + y = 4, x + 3y + z = 10, y + 2z = 8 सोडवा.
  2. 8वरील तिन्ही उत्तरे तिन्ही समीकरणांत घालून तपासा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x = 2, y = 1.
  2. 2बेरीज : 3x = 6 ; x = 2, y = 1.
  3. 3X = A⁻¹B (|A| ≠ 0).
  4. 4x = 1, y = 2.
  5. 5x = 3, y = −2.
  6. 6|A| = 0 आणि दोन्ही समीकरणे सारखी ⇒ अनंत उत्तरे.
  7. 7x = 1, y = 2, z = 3.
  8. 82+2 = 4 ; 1+6+3 = 10 ; 2+6 = 8. बरोबर.