विधान आणि तार्किक संयोजक
"आज पाऊस पडला" हे वाक्य खरे किंवा खोटे ठरवता येते, पण "दार उघडा!" हे आज्ञार्थी वाक्य खरे/खोटे ठरत नाही. गणितात आपण फक्त खरे/खोटे ठरवता येणारी वाक्ये वापरतो. इयत्ता ११ शी जोड : संच आणि Venn आकृतीतील "आणि / किंवा" हेच येथे विधानांवर लागू होतात.
विधान (statement) म्हणजे असे वाक्य जे खरे किंवा खोटे यापैकी एकच असते, दोन्ही नाही. खरे = T, खोटे = F हे त्याचे सत्यमूल्य (truth value). विधाने जोडणारे शब्द संयोजक (connectives) : आणि (∧), किंवा (∨), नाही (∼), जर … तर (→), जर आणि फक्त जर (↔).
नियम 1 : विधान ओळखा — प्रश्न, आज्ञा, उद्गार आणि "x + 2 = 5" (x अज्ञात) ही विधाने नाहीत ; "7 ही मूळ संख्या आहे" हे विधान आहे (खरे).
नियम 2 : ∧ आणि ∨ — p ∧ q फक्त दोन्ही खरे असताना खरे. p ∨ q फक्त दोन्ही खोटे असताना खोटे.
नियम 3 : → आणि ↔ — p → q फक्त (p खरे, q खोटे) असताना खोटे. p ↔ q दोन्ही सारखे असतील तर खरे.
आकृतीत : दोन्ही विधाने खरी तरच p ∧ q खरे ; दोन्ही खोटी तरच p ∨ q खोटे.
- सोपे : p : "12 सम आहे" (T), q : "12 हा 5 चा गुणाकार आहे" (F) : p ∧ q = F, p ∨ q = T.
- मध्यम : p : "7 < 3" (F), q : "9 सम आहे" (F) : p → q = T (खोट्या कारणावरून काहीही चालते).
- परीक्षेसाठी : "2 + 2 = 5 ↔ मुंबई महाराष्ट्रात आहे" : F ↔ T = F.
p → q ची सत्यता फक्त एका ओळीत F : (T, F).
p → q च्या (F, T) व (F, F) ओळी F मानणे ; त्या T आहेत.
p → q ऐवजी ∼p ∨ q लिहून पडताळा. आठवणीची युक्ती : "वचन मोडले तरच खोटे" (T → F).
"x > 3" हे विधान नाही ; x ची किंमत दिल्याशिवाय सत्यमूल्य नाही.
CET-स्टाइल उदाहरण : खालीलपैकी विधान कोणते ? (A) 5 + 3 = 8 (B) x + 3 = 8 (C) तू कुठे जातोस ? (D) दार बंद कर
उत्तर : (A). फक्त (A) खरे/खोटे ठरते. वेळ वाचवण्याची पद्धत : प्रश्न / आज्ञा / अज्ञात असलेले वाक्य लगेच वगळा.
फरक ओळखा
| संयोजक | Connective |
|---|---|
| p ∧ q | p ∧ q |
| p ∨ q | p ∨ q |
| p → q | p → q |
| p ↔ q | p ↔ q |
सरावासाठी प्रश्न
- 1"15 ही मूळ संख्या आहे" हे विधान आहे का? त्याचे सत्यमूल्य काय?
- 2p = T, q = F असल्यास p ∧ q चे सत्यमूल्य काय?
- 3p = F, q = T असल्यास p ∨ q काय?
- 4p = T, q = F असल्यास p → q आणि q → p काढा.
- 5p = F, q = F असल्यास p ↔ q काय?
- 6"जर 3 > 5 तर 4 सम आहे" चे सत्यमूल्य काढा.
- 7p = T, q = F, r = T असल्यास (p ∨ q) ∧ r काढा.
- 8p = T, q = T, r = F असल्यास p → (q ∧ r) काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय ; F (15 = 3 × 5).
- 2F.
- 3T.
- 4p → q = F ; q → p = T.
- 5T (दोन्ही सारखे).
- 6F → T = T.
- 7(T ∨ F) = T ; T ∧ T = T.
- 8q ∧ r = F ; T → F = F.
विधान-रूप आणि तार्किक समतुल्यता
"जर पाऊस पडला तर मी छत्री घेईन" हे आणि "पाऊस पडला नाही किंवा मी छत्री घेईन" हे दोन्ही एकाच प्रसंगात सारखेच खरे/खोटे ठरतात — म्हणजे ते समतुल्य आहेत.
p, q, r यांना संयोजकांनी जोडून बनलेली रचना म्हणजे विधान-रूप (statement pattern). n विधाने असतील तर सत्यता सारणीत 2ⁿ ओळी. दोन विधान-रूपांच्या शेवटच्या स्तंभातील T/F अगदी सारखे असतील तर ती तार्किकदृष्ट्या समतुल्य (logically equivalent), चिन्ह ≡.
नियम 1 : सत्यता सारणी बनवा — प्रथम p, q (आणि r) चे सर्व T/F संयोग लिहा ; मग आतील कंसापासून बाहेरच्या दिशेने एकेक स्तंभ भरा.
नियम 2 : महत्त्वाच्या समतुल्यता — p → q ≡ ∼p ∨ q ; ∼(p → q) ≡ p ∧ ∼q ; ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ; ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q ; p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p).
आकृतीत : p → q आणि ∼p ∨ q चे स्तंभ सारखे — म्हणून ते समतुल्य.
सूत्र कसे मिळाले? : p → q फक्त (T, F) वर F ; ∼p ∨ q सुद्धा फक्त p = T, q = F वर F (कारण ∼p = F आणि q = F). दोन्ही चारही ओळीत सारखे.
- सोपे : (p ∧ q) ची सारणी : T, F, F, F. ∼(p ∧ q) : F, T, T, T.
- मध्यम : p ∧ ∼q ची ओळी (TT, TF, FT, FF) : F, T, F, F — म्हणजे ∼(p → q) शी सारखी.
- परीक्षेसाठी : (p → q) ∧ (q → p) : T, F, F, T — हीच p ↔ q ची सारणी.
तीन विधानांसाठी 2³ = 8 ओळी.
ओळींचा क्रम बदलून काही संयोग विसरणे ; नेहमी TT, TF, FT, FF क्रम ठेवा.
समतुल्यता तपासताना आधी एखादी ओळ घेऊन फरक शोधा ; फरक सापडला तर समतुल्य नाही. आठवणीची युक्ती : "जर-तर = नाही-किंवा" (p → q = ∼p ∨ q).
∼(p → q) ≡ ∼p → ∼q असे मानू नका ; योग्य : p ∧ ∼q.
CET-स्टाइल उदाहरण : ∼(p → q) चे समतुल्य काय ? (A) ∼p ∨ q (B) p ∧ ∼q (C) ∼p ∧ q (D) p ∨ ∼q
उत्तर : (B). p → q फक्त (T, F) वर F, म्हणून त्याचा नकार फक्त तेथे T = p ∧ ∼q. वेळ वाचवण्याची पद्धत : चार पर्यायांची फक्त (T, F) ओळ तपासा.
फरक ओळखा
| रूप | Pattern |
|---|---|
| p → q | p → q |
| ∼(p ∧ q) | ∼(p ∧ q) |
| ∼(p ∨ q) | ∼(p ∨ q) |
| ∼(p → q) | ∼(p → q) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1p, q या दोन विधानांसाठी सत्यता सारणीत किती ओळी?
- 2p ∧ ∼q च्या सारणीतील शेवटचा स्तंभ (TT, TF, FT, FF) लिहा.
- 3∼p ∨ q ची सत्यता (TT, TF, FT, FF) वर लिहा.
- 4∼(p ∨ q) चे समतुल्य रूप लिहा.
- 5p ↔ q ची सारणी (TT, TF, FT, FF) लिहा.
- 6"जर x = 2 तर x² = 4" चा नकार लिहा.
- 7सिद्ध करा : p → q ≡ ∼q → ∼p.
- 8(p → q) ∧ (q → p) आणि p ↔ q समतुल्य का ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12² = 4.
- 2F, T, F, F.
- 3T, F, T, T.
- 4∼p ∧ ∼q.
- 5T, F, F, T.
- 6x = 2 आणि x² ≠ 4 (p ∧ ∼q).
- 7∼q → ∼p ची सारणी : T, F, T, T — p → q शी सारखी.
- 8दोन्हींची सारणी T, F, F, T — सारखी.
पुनरुक्ती, विरोधाभास आणि आकस्मिकता
"उद्या पाऊस पडेल किंवा पडणार नाही" हे नेहमीच खरे ; "तो आज शाळेत होता आणि नव्हता" हे नेहमीच खोटे. तर "तो आज शाळेत होता" हे परिस्थितीवर अवलंबून.
शेवटच्या स्तंभात सर्व T असेल तर पुनरुक्ती (tautology). सर्व F असेल तर विरोधाभास (contradiction). T आणि F दोन्ही असतील तर आकस्मिक (contingency).
नियम 1 : पूर्ण सारणी — सर्व ओळी भरा आणि शेवटचा स्तंभ पहा : सर्व T / सर्व F / मिश्र.
नियम 2 : लहान पद्धत — विधान-रूप F मानून घटकांना किमती द्या ; विसंगती आली तर ते पुनरुक्ती.
आकृतीत : p ∨ ∼p चा स्तंभ सर्व T, p ∧ ∼p चा सर्व F.
सूत्र कसे मिळाले? : (p ∧ q) → p हे F व्हायला p ∧ q = T आणि p = F हवे ; पण p ∧ q = T म्हणजे p = T. विसंगती, म्हणून ते पुनरुक्ती.
- सोपे : p ∨ ∼p पुनरुक्ती ; p ∧ ∼p विरोधाभास.
- मध्यम : (p ∧ q) → p पुनरुक्ती (वरील लहान पद्धत).
- परीक्षेसाठी : [p ∧ (p → q)] → q पुनरुक्ती ; p → q आकस्मिक (T, F, T, T).
पुनरुक्तीचा नकार विरोधाभास असतो आणि उलट.
फक्त एक ओळ तपासून निर्णय घेणे ; पुनरुक्ती म्हणण्यास सर्व ओळी T पाहिजेत.
विधान-रूप F मानून विसंगती शोधा. आठवणीची युक्ती : "सर्व T = पुनरुक्ती, सर्व F = विरोधाभास".
p → q पुनरुक्ती नाही ; ती आकस्मिक आहे.
CET-स्टाइल उदाहरण : खालीलपैकी पुनरुक्ती कोणती ? (A) p ∧ ∼p (B) p → q (C) p ∨ ∼p (D) p ∧ q
उत्तर : (C). सर्व ओळींत T. वेळ वाचवण्याची पद्धत : प्रत्येक पर्यायात p = T आणि p = F असे दोनच प्रयोग करा.
फरक ओळखा
| प्रकार | Type |
|---|---|
| पुनरुक्ती | Tautology |
| विरोधाभास | Contradiction |
| आकस्मिक | Contingency |
सरावासाठी प्रश्न
- 1p ∨ ∼p कोणता प्रकार?
- 2p ∧ ∼p कोणता प्रकार?
- 3p ∧ q कोणता प्रकार?
- 4(p ∧ q) → p कोणता प्रकार?
- 5∼(p ∨ ∼p) कोणता प्रकार?
- 6p → (p ∨ q) कोणता प्रकार?
- 7[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) कोणता प्रकार? (लहान पद्धत)
- 8(p → q) ↔ (∼p ∨ q) कोणता प्रकार?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1पुनरुक्ती.
- 2विरोधाभास.
- 3आकस्मिक (T, F, F, F).
- 4पुनरुक्ती.
- 5विरोधाभास (पुनरुक्तीचा नकार).
- 6पुनरुक्ती ; p = T तर p ∨ q = T.
- 7पुनरुक्ती : F मानले तर p = T, r = F, p → q = T ⇒ q = T, q → r = T ⇒ r = T, विसंगती.
- 8पुनरुक्ती (दोन्ही बाजू समतुल्य).
परिमाणक आणि त्यांचे नकार
"वर्गातील सर्व मुले हुशार आहेत" हे खोटे ठरवायला एक तरी हुशार नसलेले मूल दाखवणे पुरेसे. हेच ∀ आणि ∃ चे नकार-सूत्र.
सर्वत्र परिमाणक ∀ (for all) = "प्रत्येकासाठी". अस्तित्व परिमाणक ∃ (there exists) = "किमान एकासाठी". परिमाणित विधान (quantified statement) = परिमाणक वापरून लिहिलेले विधान, उदा. ∀ x ∈ N, x > 0.
नियम 1 : नकाराचे सूत्र — ∼(∀x, p(x)) ≡ ∃x, ∼p(x) ; ∼(∃x, p(x)) ≡ ∀x, ∼p(x). परिमाणक बदला आणि आतील भागाचा नकार करा.
नियम 2 : सत्यमूल्य — ∀ विधान खोटे करायला एक विरोधी उदाहरण पुरे ; ∃ विधान खरे करायला एक उदाहरण पुरे.
- सोपे : ∀ x ∈ N, x > 0 : खरे. नकार : ∃ x ∈ N, x ≤ 0 (खोटे).
- मध्यम : ∃ x ∈ R, x² = −1 : खोटे (वर्ग ऋण नसतो). नकार : ∀ x ∈ R, x² ≠ −1 (खरे).
- परीक्षेसाठी : "काही मूळ संख्या सम आहेत" खरे (2) ; नकार : "सर्व मूळ संख्या विषम आहेत" — खोटे.
एक परिमाणित विधान आणि त्याचा नकार यांपैकी एकच खरे असते.
"सर्व" चा नकार "कोणीही नाही" मानणे ; योग्य नकार "किमान एक नाही".
नकार = ∀ ↔ ∃ बदला + आतील विधानाचा नकार. आठवणीची युक्ती : "सर्व ↔ काही" अदलाबदल.
"काही" चा अर्थ "किमान एक" ; "फक्त एक" नव्हे.
CET-स्टाइल उदाहरण : "∀ x ∈ N, x + 3 > 5" चा नकार ? (A) ∃ x ∈ N, x + 3 ≤ 5 (B) ∀ x ∈ N, x + 3 ≤ 5 (C) ∃ x ∈ N, x + 3 > 5 (D) ∀ x ∈ N, x + 3 < 5
उत्तर : (A). ∀ → ∃ आणि > → ≤. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन बदल : परिमाणक आणि चिन्ह.
फरक ओळखा
| परिमाणक | Quantifier |
|---|---|
| ∀ | ∀ |
| ∃ | ∃ |
सरावासाठी प्रश्न
- 1∀ x ∈ N, x + 1 > x चे सत्यमूल्य ?
- 2∃ x ∈ N, x + 5 = 3 चे सत्यमूल्य ?
- 3"∀ x ∈ R, x² ≥ 0" वाचा आणि सत्यमूल्य सांगा.
- 4"∃ x ∈ N, x < 1" चा नकार लिहा.
- 5"सर्व पक्षी उडू शकतात" चा नकार लिहा.
- 6"काही सम संख्या मूळ आहेत" खरे का ?
- 7∀ x ∈ N, (x² > x) चे सत्यमूल्य आणि कारण.
- 8∼[∀ x ∈ N, ∃ y ∈ N, y > x] लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1T.
- 2F (x = −2 N मध्ये नाही).
- 3प्रत्येक वास्तव x साठी x² ≥ 0 ; T.
- 4∀ x ∈ N, x ≥ 1.
- 5किमान एक पक्षी उडू शकत नाही.
- 6होय ; 2.
- 7F ; x = 1 साठी 1 > 1 खोटे (विरोधी उदाहरण).
- 8∃ x ∈ N, ∀ y ∈ N, y ≤ x (मूळ विधान T, म्हणून हे F).
द्वैत, व्यत्यास, प्रतिलोम आणि प्रतिधन
"जर पाऊस पडला तर रस्ता ओला होतो" यावरून उलट विधान "रस्ता ओला असेल तर पाऊस पडला" हे खात्रीने खरे नसते (रस्ता धुतला असेल). पण "रस्ता ओला नाही तर पाऊस पडला नाही" हे नेहमी खरे.
p → q साठी : व्यत्यास (converse) q → p ; प्रतिलोम (inverse) ∼p → ∼q ; प्रतिधन (contrapositive) ∼q → ∼p. द्वैत (dual) : विधान-रूपात ∧ ↔ ∨ आणि T ↔ F (t ↔ c) बदला, ∼ तसाच ठेवा.
नियम 1 : समतुल्य जोड्या — p → q ≡ ∼q → ∼p (प्रतिधन) ; व्यत्यास ≡ प्रतिलोम. p → q स्वतः व्यत्यासाशी समतुल्य नाही.
नियम 2 : द्वैत काढा — p ∧ (q ∨ r) चे द्वैत p ∨ (q ∧ r) ; p ∨ t चे द्वैत p ∧ c. द्वैताचे द्वैत मूळ रूप.
नियम 3 : विधानांची बीजगणिते — दुहेरी नकार ∼(∼p) ≡ p ; डी मॉर्गन ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ; वितरण p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ; शोषण p ∨ (p ∧ q) ≡ p.
- सोपे : "जर x = 3 तर x² = 9" : व्यत्यास "जर x² = 9 तर x = 3" (x = −3 मुळे खोटे).
- मध्यम : प्रतिधन : "जर x² ≠ 9 तर x ≠ 3" — मूळ विधानासारखेच खरे.
- परीक्षेसाठी : (p ∨ q) ∧ r चे द्वैत : (p ∧ q) ∨ r ; ∼(p ∨ ∼q) ≡ ∼p ∧ q (डी मॉर्गन).
प्रतिधन नेहमी मूळ विधानाइतकेच खरे/खोटे.
व्यत्यासाला मूळ विधानाशी समतुल्य मानणे.
सिद्धतेत अवघड p → q ऐवजी प्रतिधन ∼q → ∼p सिद्ध करा. आठवणीची युक्ती : "उलट + नकार = प्रतिधन" ; "फक्त उलट = व्यत्यास" ; "फक्त नकार = प्रतिलोम".
द्वैत काढताना ∼ बदलू नका ; फक्त ∧, ∨, t, c.
CET-स्टाइल उदाहरण : p → q चा प्रतिधन ? (A) q → p (B) ∼p → ∼q (C) ∼q → ∼p (D) ∼(p → q)
उत्तर : (C). वेळ वाचवण्याची पद्धत : "उलट आणि दोन्ही नकार" म्हणजे प्रतिधन.
फरक ओळखा
| नाव | Name |
|---|---|
| व्यत्यास | Converse |
| प्रतिलोम | Inverse |
| प्रतिधन | Contrapositive |
सरावासाठी प्रश्न
- 1p → q चा व्यत्यास लिहा.
- 2p → q चा प्रतिलोम लिहा.
- 3p ∨ q चे द्वैत लिहा.
- 4"जर संख्या 4 ने भाग जाते तर ती सम आहे" चा प्रतिधन लिहा.
- 5∼(p ∧ ∼q) ला डी मॉर्गनने सोपे करा.
- 6(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) चे द्वैत लिहा.
- 7सिद्ध करा : p ∨ (p ∧ q) ≡ p (सारणीने).
- 8"जर x > 2 तर x² > 4" चा व्यत्यास खोटा आहे हे उदाहरणाने दाखवा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1q → p.
- 2∼p → ∼q.
- 3p ∧ q.
- 4संख्या सम नसेल तर ती 4 ने भाग जात नाही.
- 5∼p ∨ q (≡ p → q).
- 6(p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
- 7p ∧ q : T, F, F, F ; p ∨ (p ∧ q) : T, T, F, F = p.
- 8व्यत्यास : x² > 4 ⇒ x > 2. x = −3 साठी 9 > 4 पण −3 > 2 खोटे.
स्विचिंग परिपथ
जिन्याच्या वरच्या आणि खालच्या अशा दोन्ही स्विचने दिवा चालू करता येतो — हा समांतर जोड (किंवा). पण दोन्ही कुलपे उघडली तरच दार उघडते — हा श्रेणी जोड (आणि).
स्विच बंद (विद्युतधारा जाते) = 1 = T ; उघडा = 0 = F. श्रेणी (series) जोड = p ∧ q ; समांतर (parallel) जोड = p ∨ q ; विरुद्ध स्विच p′ = ∼p (p बंद तेव्हा p′ उघडा).
नियम 1 : परिपथ → विधान — श्रेणीत ∧, समांतरात ∨ लिहा आणि कंसांनी गट करा.
नियम 2 : सोपे करा — विधानांची बीजगणिते वापरा : p ∧ p′ = 0 ; p ∨ p′ = 1 ; p ∧ (p ∨ q) = p.
आकृतीत : श्रेणी म्हणजे आणि, समांतर म्हणजे किंवा.
सूत्र कसे मिळाले? : (p ∧ q) ∨ (p ∧ q′) = p ∧ (q ∨ q′) = p ∧ 1 = p ; म्हणजे q ची दोन्ही स्विचेस काढून फक्त p ठेवता येतो.
- सोपे : p आणि q श्रेणीत : दिवा लागण्यास दोन्ही बंद हवेत (1 ∧ 1 = 1).
- मध्यम : p, q समांतर आणि r श्रेणीत : (p ∨ q) ∧ r ; p = 0, q = 1, r = 1 ⇒ 1.
- परीक्षेसाठी : p ∨ (p′ ∧ q) = (p ∨ p′) ∧ (p ∨ q) = 1 ∧ (p ∨ q) = p ∨ q.
श्रेणी = गुणाकारासारखे (आणि), समांतर = बेरजेसारखे (किंवा).
p आणि p′ एकाच वेळी बंद मानणे ; ते नेहमी विरुद्ध असतात.
p ∧ p′ आणि p ∨ p′ दिसले की लगेच 0 आणि 1 लिहा. आठवणीची युक्ती : "श्रेणी = रांग = आणि", "समांतर = पर्याय = किंवा".
परिपथातील विरुद्ध स्विच p′ ला स्वतंत्र विधान समजू नका.
CET-स्टाइल उदाहरण : (p ∧ q) ∨ (p ∧ q′) हा परिपथ कशाने बदलता येतो ? (A) p (B) q (C) p ∨ q (D) p ∧ q
उत्तर : (A). p ∧ (q ∨ q′) = p. वेळ वाचवण्याची पद्धत : p बाहेर काढा.
फरक ओळखा
| जोड | Connection |
|---|---|
| श्रेणी | Series |
| समांतर | Parallel |
| विरुद्ध स्विच | Opposite switch |
सरावासाठी प्रश्न
- 1दोन स्विच श्रेणीत ; p = 1, q = 0 तर दिवा लागेल का ?
- 2दोन स्विच समांतर ; p = 1, q = 0 तर दिवा लागेल का ?
- 3p ∧ p′ किती ?
- 4(p ∨ q) ∧ p′ चे मूल्य p = 1 साठी काढा.
- 5p ∧ (p ∨ q) सोपे करा.
- 6(p ∧ q) ∨ (p ∧ q′) सोपे करा.
- 7p ∨ (p′ ∧ q) सोपे करा.
- 8(p ∨ q) ∧ (p′ ∨ q) सोपे करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1नाही (1 ∧ 0 = 0).
- 2होय (1 ∨ 0 = 1).
- 30.
- 4p′ = 0 म्हणून 0.
- 5p (शोषण नियम).
- 6p.
- 7p ∨ q.
- 8q ∨ (p ∧ p′) = q ∨ 0 = q.