K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 12 · गणित भाग १

धडा 6: रेषा आणि प्रतल

4 संकल्पना · उत्तरांसह 32 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

अवकाशातील रेषेचे समीकरण

रोजच्या जीवनातून

सरळ ताणलेली तार ठराविक बिंदूतून एका दिशेने जाते — बिंदू आणि दिशा सांगितली की रेषा पूर्ण निश्चित. इयत्ता ११ शी जोड : प्रतलातील रेषा y = mx + c येथे तीन मितींत जाते.

सोपी व्याख्या

बिंदू A (स्थान सदिश a) मधून सदिश b च्या दिशेने जाणारी रेषा : सदिश रूप r = a + λb. कार्टेशियन रूप (x − x₁)/l = (y − y₁)/m = (z − z₁)/n, जेथे (l, m, n) दिशा गुणोत्तरे.

नियम 1 : एक बिंदू + दिशा — r = a + λb.

नियम 2 : दोन बिंदू — दिशा = b − a ; मग r = a + λ(b − a).

Abr = a + λba

आकृतीत : a ने बिंदू, b ने दिशा.

सूत्र कसे मिळाले? : A(1, 2, 3), b = (2, −1, 2) : x = 1 + 2λ, y = 2 − λ, z = 3 + 2λ ⇒ (x − 1)/2 = (y − 2)/(−1) = (z − 3)/2.

  • सोपे : मूळबिंदूतून (1, 1, 1) दिशेने : r = λ(1, 1, 1).
  • मध्यम : A(1, 2, 3), B(4, 5, 9) : दिशा (3, 3, 6) ~ (1, 1, 2) ⇒ (x − 1)/1 = (y − 2)/1 = (z − 3)/2.
  • परीक्षेसाठी : वरील पहिली रेषा आणि प्रतल x + y + z = 12 : (1 + 2λ) + (2 − λ) + (3 + 2λ) = 6 + 3λ = 12 ⇒ λ = 2 ⇒ बिंदू (5, 0, 7).
लक्षात ठेवा

दिशा गुणोत्तरे बदलली (गुणक) तरी रेषा तीच.

सामान्य चूक

कार्टेशियन रूपात बिंदूच्या निर्देशांकाचे चिन्ह उलटे लिहिणे.

शॉर्टकट

दोन बिंदू असतील तर वजाबाकी करा, तीच दिशा. आठवणीची युक्ती : "बिंदू + दिशा = रेषा".

CET सापळा

एखादा भाजक 0 असेल (उदा. n = 0) तर z − z₁ = 0 वेगळे लिहा.

CET-स्टाइल उदाहरण : (1, 2, 3) मधून (2, −1, 2) दिशेची रेषा ? (A) (x−1)/2 = (y−2)/(−1) = (z−3)/2 (B) (x+1)/2 = (y+2)/(−1) = (z+3)/2 (C) (x−2)/1 = (y+1)/2 = (z−2)/3 (D) x/1 = y/2 = z/3

उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : बिंदू वजा करून, दिशा भाजकात.

फरक ओळखा

रूपForm
सदिशVector
कार्टेशियनCartesian
दोन बिंदूTwo-point

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1मूळबिंदूतून (2, 3, 6) दिशेने रेषा लिहा.
  2. 2(1, 2, 3) मधून (2, −1, 2) दिशेची सदिश रेषा ?
  3. 3त्याच रेषेचे कार्टेशियन रूप ?
मध्यम
  1. 4A(1, 2, 3), B(4, 5, 9) मधून जाणारी रेषा ?
  2. 5λ = 2 साठी पहिल्या रेषेवरील बिंदू ?
  3. 6रेषा r = (1, 2, 3) + λ(2, −1, 2) प्रतल x + y + z = 12 ला कुठे छेदते ?
आव्हानात्मक
  1. 7(5, 0, 7) तपासा : प्रतलात आणि रेषेवर आहे का ?
  2. 8(2, 1, −2) दिशा गुणोत्तरांच्या रेषेचे दिशा कोज्या ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x/2 = y/3 = z/6.
  2. 2r = (1, 2, 3) + λ(2, −1, 2).
  3. 3(x − 1)/2 = (y − 2)/(−1) = (z − 3)/2.
  4. 4(x − 1)/1 = (y − 2)/1 = (z − 3)/2.
  5. 5(5, 0, 7).
  6. 6(5, 0, 7).
  7. 75 + 0 + 7 = 12 ; λ = 2 ने रेषेवर.
  8. 8√9 = 3 ⇒ (2/3, 1/3, −2/3).

रेषांमधील कोन आणि लघुतम अंतर

रोजच्या जीवनातून

उड्डाणपुलाखालून जाणारा रस्ता आणि पुलावरचा रस्ता एकमेकांना छेदत नाहीत, तरी त्यांच्यामधील सर्वात कमी उभे अंतर ठरवता येते — ही दोन विषमतलीय (skew) रेषा.

सोपी व्याख्या

b₁, b₂ दिशा सदिश असलेल्या रेषांमधील कोन : cos θ = |b₁·b₂| / (|b₁||b₂|). विषमतलीय रेषा = छेदत नाहीत आणि समांतरही नाहीत. त्यांमधील लघुतम अंतर त्या दोन्हीला लंब असलेल्या रेषाखंडाची लांबी.

नियम 1 : विषमतलीय रेषा — SD = |(a₂ − a₁)·(b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|.

नियम 2 : समांतर रेषा — अंतर = |b × (a₂ − a₁)| / |b|.

नियम 3 : छेदणाऱ्या रेषा — SD = 0 (म्हणजे (a₂ − a₁)·(b₁ × b₂) = 0).

L₁L₂SD

आकृतीत : L₁ आणि L₂ ना जोडणारा लंब म्हणजे SD.

सूत्र कसे मिळाले? : X-अक्ष (a₁ = 0, b₁ = (1, 0, 0)) आणि (0, 0, 3) मधून (0, 1, 0) दिशा : b₁ × b₂ = (0, 0, 1), (a₂ − a₁)·(0, 0, 1) = 3, |b₁ × b₂| = 1 ⇒ SD = 3.

  • सोपे : b₁ = (1, 2, 2), b₂ = (2, −1, 2) : cos θ = 4/9.
  • मध्यम : X-अक्ष व (0, 0, 3) मधून Y-दिशेची रेषा : SD = 3.
  • परीक्षेसाठी : a₁ = (1, 2, 3), b₁ = (1, 1, 1), a₂ = (2, 4, 5), b₂ = (2, 1, 0) : b₁ × b₂ = (−1, 2, −1), (a₂ − a₁)·n = −1 + 4 − 2 = 1, |n| = √6 ⇒ SD = 1/√6 ≈ 0.41.
लक्षात ठेवा

रेषा समांतर असल्यास b₁ × b₂ = 0, मग विषमतलीय सूत्र चालत नाही — समांतर सूत्र वापरा.

सामान्य चूक

(a₂ − a₁) ऐवजी (a₁ − a₂) घेतल्यास चिन्ह बदलते — निरपेक्ष मूल्य घ्यायला विसरणे.

शॉर्टकट

अंश तीन सदिशांचा त्रिगुणन आणि हर क्रॉस गुणाकाराचे परिमाण. आठवणीची युक्ती : "त्रिगुणन ÷ क्रॉस = SD".

CET सापळा

समांतर रेषांसाठी विषमतलीय सूत्र लावू नका (0/0).

CET-स्टाइल उदाहरण : X-अक्ष आणि (0, 0, 3) मधून Y-दिशेच्या रेषेमधील लघुतम अंतर ? (A) 3 (B) 0 (C) 1 (D) √3

उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : आकृती कल्पून z-उंची पहा.

फरक ओळखा

रेषाLines
विषमतलीयSkew
समांतरParallel
छेदणाऱ्याIntersecting

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(1, 0, 0) आणि (0, 1, 0) दिशांच्या रेषांमधील कोन ?
  2. 2(1, 2, 2) आणि (2, −1, 2) दिशांच्या रेषांचा cos θ ?
  3. 3(1, 1, 1) आणि (1, −2, 1) रेषा लंब आहेत का ?
मध्यम
  1. 4X-अक्ष आणि (0, 0, 3) मधील Y-दिशा रेषा : SD ?
  2. 5b₁ = (1, 1, 1), b₂ = (2, 1, 0) साठी b₁ × b₂ ?
  3. 6a₁ = (1, 2, 3), a₂ = (2, 4, 5) : SD (वरील दिशा) ?
आव्हानात्मक
  1. 7r = λ(1, 2, 2) आणि r = (1, 0, 0) + μ(1, 2, 2) मधील अंतर ?
  2. 8(a₂ − a₁)·(b₁ × b₂) = 0 असल्यास रेषांबद्दल काय म्हणता येईल ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 190°.
  2. 24/9.
  3. 3होय, dot = 0.
  4. 43.
  5. 5(−1, 2, −1).
  6. 61/√6 ≈ 0.41.
  7. 7|b × (a₂ − a₁)|/|b| = √8/3 = 2√2/3 ≈ 0.94.
  8. 8त्या एकाच प्रतलात — छेदतात (किंवा समांतर).

प्रतलाचे समीकरण

रोजच्या जीवनातून

टेबलाचा पृष्ठभाग ठरवायला त्यावरचा एक बिंदू आणि त्याला लंब असलेली दिशा (खिळा उभा ठोकल्यासारखी) पुरते.

सोपी व्याख्या

प्रतल (plane) = अवकाशातील सपाट पृष्ठभाग. लंब सदिश n = (a, b, c) असलेल्या आणि बिंदू P₀(x₀, y₀, z₀) मधून जाणाऱ्या प्रतलाचे समीकरण : a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0, म्हणजेच ax + by + cz = d.

नियम 1 : बिंदू + लंब — n·(r − a) = 0.

नियम 2 : छेद रूप — x/p + y/q + z/r = 1 (अक्षांवर छेद p, q, r).

नियम 3 : तीन बिंदू — n = AB × AC, मग बिंदू-लंब रूप.

nप्रतल

आकृतीत : लंब n प्रतलावरील प्रत्येक रेषेला लंब.

सूत्र कसे मिळाले? : (1, 2, 3) मधून n = (2, −1, 2) : 2(x − 1) − (y − 2) + 2(z − 3) = 0 ⇒ 2x − y + 2z = 6.

  • सोपे : 2x + 3y + 6z = 12 ⇒ x/6 + y/4 + z/2 = 1 ; छेद 6, 4, 2.
  • मध्यम : A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) : AB × AC = (6, 3, 2) ⇒ 6x + 3y + 2z = 6 ⇔ x/1 + y/2 + z/3 = 1.
  • परीक्षेसाठी : 2x + 3y + 6z = 12 चे प्रमाणित रूप : n̂ = (2, 3, 6)/7, p = 12/7 ⇒ (2/7)x + (3/7)y + (6/7)z = 12/7.
लक्षात ठेवा

x, y, z चे गुणांक = लंब सदिशाचे घटक.

सामान्य चूक

छेद रूपात स्थिरांक 1 वर आणायला विसरणे.

शॉर्टकट

तीन बिंदू असतील तर AB × AC थेट लंब. आठवणीची युक्ती : "गुणांक = लंब".

CET सापळा

समांतर प्रतलांचे लंब सदिश समान असतात, स्थिरांक वेगळा.

CET-स्टाइल उदाहरण : 2x + 3y + 6z = 12 चे z-छेद ? (A) 2 (B) 6 (C) 4 (D) 12

उत्तर : (A). x = y = 0 ⇒ z = 2. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन अक्ष 0 ठेवा.

फरक ओळखा

रूपForm
सामान्यGeneral
छेदIntercept
सदिशVector

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1मूळबिंदूतून (1, 1, 1) लंब असलेले प्रतल ?
  2. 2(1, 2, 3) मधून n = (2, −1, 2) चे प्रतल ?
  3. 32x + 3y + 6z = 12 चे x-छेद ?
मध्यम
  1. 4त्याचे छेद रूप लिहा.
  2. 5A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) मधून प्रतल ?
  3. 6(1, 1, 1) हा बिंदू 2x + 3y + 6z = 12 वर आहे का ?
आव्हानात्मक
  1. 72x + 3y + 6z = 12 चा मूळबिंदूपासून अंतर ?
  2. 82x + 3y + 6z = k च्या समांतर, (1, 1, 1) मधून जाणारे प्रतल ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x + y + z = 0.
  2. 22x − y + 2z = 6.
  3. 36.
  4. 4x/6 + y/4 + z/2 = 1.
  5. 56x + 3y + 2z = 6.
  6. 62 + 3 + 6 = 11 ≠ 12 ⇒ नाही.
  7. 712/√(4 + 9 + 36) = 12/7.
  8. 82x + 3y + 6z = 11.

प्रतलांमधील कोन, रेषा-प्रतल कोन आणि बिंदूचे अंतर

रोजच्या जीवनातून

दोन भिंती कोपऱ्यात किती कोनात भेटतात ते त्यांच्या लंबांमधील कोनावरून कळते ; शिडी भिंतीशी किती कोन करते ते दिशा आणि लंबावरून.

सोपी व्याख्या

प्रतलांमधील कोन = त्यांच्या लंब सदिशांमधील कोन : cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). रेषा (दिशा b) आणि प्रतल (लंब n) मधील कोन φ : sin φ = |b·n| / (|b||n|). बिंदू (x₁, y₁, z₁) चे ax + by + cz = d पासून अंतर = |ax₁ + by₁ + cz₁ − d| / √(a² + b² + c²).

नियम 1 : लंब / समांतर प्रतले — n₁·n₂ = 0 ⇒ लंब ; n₁ = kn₂ ⇒ समांतर.

नियम 2 : रेषा-प्रतल — b·n = 0 ⇒ रेषा प्रतलाला समांतर ; b = kn ⇒ लंब.

सूत्र कसे मिळाले? : x + 2y + 2z = 1 आणि 2x − y + 2z = 3 : n₁·n₂ = 2 − 2 + 4 = 4 ; |n₁| = |n₂| = 3 ⇒ cos θ = 4/9.

  • सोपे : (1, 1, 1) चे 2x + 3y + 6z = 12 पासून अंतर : |11 − 12|/7 = 1/7.
  • मध्यम : रेषा दिशा (1, 2, 2), प्रतल लंब (2, 3, 6) : sin φ = (2 + 6 + 12)/(3·7) = 20/21.
  • परीक्षेसाठी : (5, 0, 7) चे 2x − y + 2z = 6 पासून अंतर : |10 + 14 − 6|/3 = 6.
लक्षात ठेवा

रेषा-प्रतल कोनात sin वापरतात, cos नव्हे.

सामान्य चूक

रेषा-प्रतल कोनात cos वापरणे.

शॉर्टकट

अंतर सूत्रात बिंदू समीकरणात घालून निरपेक्ष मूल्य ÷ लंबाचे परिमाण. आठवणीची युक्ती : "प्रतल–प्रतल = cos, रेषा–प्रतल = sin".

CET सापळा

समांतर प्रतलांमधील अंतर |d₁ − d₂|/|n| (n समान असताना).

CET-स्टाइल उदाहरण : (1, 1, 1) पासून 2x + 3y + 6z = 12 चे अंतर ? (A) 1/7 (B) 1 (C) 7 (D) 11/7

उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : बिंदू घाला, 7 ने भागा.

फरक ओळखा

कोनAngle
प्रतल–प्रतलPlane–plane
रेषा–प्रतलLine–plane
रेषा–रेषाLine–line

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1x + y + z = 0 आणि x − y = 0 मधील कोन ?
  2. 2x + 2y + 2z = 1 आणि 2x − y + 2z = 3 चा cos θ ?
  3. 3(1, 1, 1) चे 2x + 3y + 6z = 12 पासून अंतर ?
मध्यम
  1. 4मूळबिंदूचे 3x + 4y + 12z = 26 पासून अंतर ?
  2. 5दिशा (1, 2, 2) असलेली रेषा आणि प्रतल 2x + 3y + 6z = 12 : sin φ ?
  3. 6प्रतले 2x + 3y + 6z = 12 आणि 2x + 3y + 6z = 26 मधील अंतर ?
आव्हानात्मक
  1. 7(5, 0, 7) चे 2x − y + 2z = 6 पासून अंतर ?
  2. 8k कोणती किंमत असल्यास रेषा दिशा (1, 2, k) प्रतल x + y + z = 5 ला समांतर ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1n₁·n₂ = 0 ⇒ 90°.
  2. 24/9.
  3. 31/7.
  4. 426/13 = 2.
  5. 520/21.
  6. 614/7 = 2.
  7. 76.
  8. 81 + 2 + k = 0 ⇒ k = −3.