रेषीय असमानता आणि सुसंगत प्रदेश
मोबाईल रिचार्ज करताना "किमान ₹100" आणि "जास्तीत जास्त 3 GB" अशा मर्यादा असतात ; ज्या पर्यायांना सर्व मर्यादा लागू होतात तेच निवडता येतात. इयत्ता ११ शी जोड : सरळ रेषेचे समीकरण आणि रेषेच्या एका बाजूचा भाग आधी पाहिला आहे.
ax + by ≤ c हे रेषीय असमानता (linear inequality) ; त्याचे उत्तर रेषा ax + by = c च्या एका बाजूचा अर्धप्रतल (half-plane). सर्व असमानतांचे सामायिक उत्तर = सुसंगत प्रदेश (feasible region).
नियम 1 : बाजू ठरवा — रेषा काढा आणि (0, 0) घालून पाहा : असमानता खरी तर मूळबिंदूची बाजू, नाहीतर दुसरी.
नियम 2 : सुसंगत प्रदेश — x ≥ 0, y ≥ 0 सहित सर्व अर्धप्रतलांचा छेद. कोपरे = रेषांचे छेदबिंदू जे सर्व अटी पाळतात.
आकृतीत : x + y ≤ 4, x + 3y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 चा सुसंगत प्रदेश.
सूत्र कसे मिळाले? : x + y = 4 आणि x + 3y = 6 : वजा केल्यावर 2y = 2 ⇒ y = 1, x = 3. बिंदू (3, 1) तपासा : 3 + 1 = 4 ✓, 3 + 3 = 6 ✓.
- सोपे : x + y ≤ 4 : (0, 0) साठी 0 ≤ 4 खरे ⇒ मूळबिंदूची बाजू.
- मध्यम : x + y ≥ 5 : (0, 0) साठी 0 ≥ 5 खोटे ⇒ मूळबिंदूच्या विरुद्ध बाजू.
- परीक्षेसाठी : x + y ≤ 4, x + 3y ≤ 6, x, y ≥ 0 चे कोपरे : (0, 0), (4, 0), (3, 1), (0, 2).
सुसंगत प्रदेश बहिर्वक्र (convex) असतो.
कोपरा दोन्ही अटी पाळतो का हे न तपासणे.
ट्रायल बिंदू म्हणून (0, 0) वापरा ; रेषा मूळबिंदूतून जात असेल तर (1, 0). आठवणीची युक्ती : "मूळबिंदू घाला — खरे तर तीच बाजू".
= असलेली रेषा सुसंगत प्रदेशाचा भाग असते (≤, ≥ साठी) ; < साठी नाही.
CET-स्टाइल उदाहरण : x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 चा प्रदेश कोणता आकार ? (A) त्रिकोण (B) चौरस (C) अनंत पट्टी (D) वर्तुळ
उत्तर : (A). कोपरे (0, 0), (4, 0), (0, 4). वेळ वाचवण्याची पद्धत : अक्षांवरील छेद घ्या.
फरक ओळखा
| चिन्ह | Sign |
|---|---|
| ax + by ≤ c, c > 0 | ax + by ≤ c, c > 0 |
| ax + by ≥ c, c > 0 | ax + by ≥ c, c > 0 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x + y ≤ 4 मध्ये (1, 1) ही जोडी बसते का ?
- 2x + y ≥ 5 मध्ये (1, 1) बसते का ?
- 3x + y = 4 चे अक्षांवरील छेद ?
- 4x + y = 4 आणि x + 3y = 6 चा छेदबिंदू ?
- 5x + y ≤ 4, x + 3y ≤ 6, x, y ≥ 0 चे कोपरे ?
- 6x + y ≥ 5, x + 3y ≥ 9, x, y ≥ 0 चे कोपरे ?
- 72x + y ≤ 10, x + 2y ≤ 8, x, y ≥ 0 चे कोपरे ?
- 8वरील चौकोनाचे क्षेत्रफळ (शोएलेस सूत्राने) ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय, 2 ≤ 4.
- 2नाही, 2 ≥ 5 खोटे.
- 3(4, 0) आणि (0, 4).
- 4(3, 1).
- 5(0, 0), (4, 0), (3, 1), (0, 2).
- 6(0, 5), (3, 2), (9, 0).
- 7(0, 0), (5, 0), (4, 2), (0, 4).
- 8कोपरे क्रमाने (0,0),(5,0),(4,2),(0,4) : ½|0 + 10 + 16 + 0| = 13.
रेषीय प्रगमन समस्येची मांडणी
सुतार टेबल आणि खुर्च्या बनवतो ; कापण्याचे आणि रंधण्याचे तास मर्यादित, नफा प्रत्येक वस्तूवर ठरलेला. जास्तीत जास्त नफा कसा ? हा रेषीय प्रगमनाचा प्रश्न.
रेषीय प्रगमन समस्या (LPP) = रेषीय उद्दिष्ट फल Z = px + qy चे रेषीय अटींखाली जास्तीत जास्त (किंवा कमीत कमी) मूल्य शोधणे ; x ≥ 0, y ≥ 0 या अऋण अटी असतात.
नियम 1 : पावले — 1) चल x, y ठरवा. 2) Z लिहा. 3) प्रत्येक साधनासाठी असमानता लिहा. 4) x, y ≥ 0 जोडा.
सूत्र कसे मिळाले? : टेबल : 2 तास कापणे, 1 तास फिनिशिंग ; खुर्ची : 1 तास कापणे, 2 तास फिनिशिंग. रोज कापणे 10 तास, फिनिशिंग 8 तास. नफा टेबल ₹40, खुर्ची ₹30. ⇒ Z = 40x + 30y ; 2x + y ≤ 10 ; x + 2y ≤ 8 ; x, y ≥ 0.
- सोपे : चल : x = टेबल संख्या, y = खुर्च्या संख्या.
- मध्यम : आहाराची समस्या : प्रत्येक रोज किमान 5 एकक अ-घटक : x + y ≥ 5 (≥ अटी).
- परीक्षेसाठी : उद्दिष्ट कमीत कमी खर्च Z = 4x + 3y ; अटी x + y ≥ 5, x + 3y ≥ 9 ; x, y ≥ 0.
जास्तीत जास्त उत्पादनात अटी ≤, किमान पोषणात ≥.
x ≥ 0, y ≥ 0 लिहायला विसरणे.
तक्ता करा : वस्तू × साधन ; पंक्तींवरून असमानता लिहा. आठवणीची युक्ती : "चल, उद्दिष्ट, अटी, अऋण".
तास आणि नफा एकाच असमानतेत मिसळू नका.
CET-स्टाइल उदाहरण : टेबल 2 तास, खुर्ची 1 तास कापणे ; उपलब्ध 10 तास. असमानता ? (A) 2x + y ≤ 10 (B) x + 2y ≤ 10 (C) 2x + y ≥ 10 (D) 2x + y = 10
उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : जास्तीत जास्त उपलब्ध = ≤.
फरक ओळखा
| भाग | Part |
|---|---|
| उद्दिष्ट फल | Objective function |
| अटी | Constraints |
| अऋण अटी | Non-negativity |
सरावासाठी प्रश्न
- 1उद्दिष्ट फल म्हणजे काय ?
- 2अऋण अटी कोणत्या ?
- 3टेबलावर नफा ₹40, खुर्चीवर ₹30 : Z लिहा.
- 4कापणे : टेबल 2 तास, खुर्ची 1 तास, उपलब्ध 10 तास : असमानता ?
- 5फिनिशिंग : टेबल 1 तास, खुर्ची 2 तास, उपलब्ध 8 तास : असमानता ?
- 6एका खतात N 2 एकक, P 1 एकक ; दुसऱ्यात N 1, P 3. किमान N 8 हवे : असमानता ?
- 7वरील खतांत किमान P 9 हवे : असमानता ?
- 8कारखाना A, B एकक ; मशीन-तास 40 : A साठी 3 तास, B साठी 5 तास ; असमानता लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1ज्याचे जास्तीत जास्त/कमीत कमी मूल्य हवे ते रेषीय फल Z.
- 2x ≥ 0, y ≥ 0.
- 3Z = 40x + 30y.
- 42x + y ≤ 10.
- 5x + 2y ≤ 8.
- 62x + y ≥ 8.
- 7x + 3y ≥ 9.
- 83x + 5y ≤ 40.
आलेखीय उत्तर — कोपरा बिंदू पद्धत
एखाद्या बागेच्या चौकोनी जागेत सर्वात दूरचा बिंदू नेहमी कोपऱ्यातच असतो ; उंच-खोल नफ्याचे मूल्यही कोपऱ्यावरच सर्वाधिक/सर्वात कमी असते.
कोपरा बिंदू प्रमेय : सुसंगत प्रदेश परिबद्ध (bounded) असेल तर Z चे कमाल व किमान मूल्य कोपऱ्यांवरच मिळते. प्रदेश अपरिबद्ध असेल तर मूल्य अस्तित्वात असेलच असे नाही ; सुसंगत प्रदेश रिकामा असेल तर समस्येला उत्तर नाही.
नियम 1 : कोपरा पद्धत — सर्व कोपऱ्यांवर Z काढा ; सर्वात मोठे = कमाल, सर्वात लहान = किमान.
नियम 2 : अपरिबद्ध प्रदेश — कमाल/किमान तपासण्यासाठी मूल्य M मिळाल्यावर Z < M (किंवा > M) चा अर्धप्रतल प्रदेशाशी भेटतो का ते पाहा.
आकृतीत : Z = 3x + 2y चा कमाल कोपरा (4, 0) वर.
सूत्र कसे मिळाले? : Z = 3x + 2y : (0, 0) ⇒ 0 ; (4, 0) ⇒ 12 ; (3, 1) ⇒ 11 ; (0, 2) ⇒ 4 ⇒ कमाल 12 (4, 0) वर.
- सोपे : वरील रेषीय प्रगमन : कमाल Z = 12 (4, 0) वर.
- मध्यम : Z = 40x + 30y, 2x + y ≤ 10, x + 2y ≤ 8 : कोपरे (0, 0), (5, 0), (4, 2), (0, 4) ⇒ Z = 0, 200, 220, 120 ⇒ कमाल 220 (4, 2) वर.
- परीक्षेसाठी : किमान Z = 4x + 3y, x + y ≥ 5, x + 3y ≥ 9 : कोपरे (0, 5), (3, 2), (9, 0) ⇒ 15, 18, 36 ⇒ किमान 15 (0, 5) वर.
कमाल/किमान नेहमी कोपऱ्यावर ; दोन कोपऱ्यांवर समान असल्यास त्यांना जोडणाऱ्या रेषेवर अनंत उत्तरे.
प्रदेशाबाहेरचा छेदबिंदू कोपरा म्हणून घेणे.
कोपरे तपासण्याआधी प्रत्येक अटीत बसवून पाहा. आठवणीची युक्ती : "कोपरे शोधा, Z भरा, तुलना करा".
अपरिबद्ध प्रदेशात कमाल Z अनेकदा नसते ; किमान असू शकते.
CET-स्टाइल उदाहरण : Z = 3x + 2y, कोपरे (0, 0), (4, 0), (3, 1), (0, 2) : कमाल Z ? (A) 12 (B) 11 (C) 4 (D) 0
उत्तर : (A). वेळ वाचवण्याची पद्धत : प्रत्येक कोपऱ्यावर लगेच भरा.
फरक ओळखा
| प्रदेश | Region |
|---|---|
| परिबद्ध | Bounded |
| अपरिबद्ध | Unbounded |
| रिकामा | Empty |
सरावासाठी प्रश्न
- 1कोपरे (0, 0), (4, 0), (0, 4) : Z = x + y चे कमाल ?
- 2Z = 3x + 2y चे कमाल वरील (4, 0), (3, 1), (0, 2), (0, 0) वर ?
- 3कोणत्या कोपऱ्यावर कमाल Z ?
- 4Z = 40x + 30y : कोपरे (0, 0), (5, 0), (4, 2), (0, 4) वर Z ?
- 5त्यांपैकी कमाल नफा किती आणि कुठे ?
- 6Z = 4x + 3y : (0, 5), (3, 2), (9, 0) वर किमान ?
- 7Z = x + y आणि x + y ≥ 1 : कमाल अस्तित्वात आहे का ?
- 8Z = x + y आणि x + y ≤ 4, x + y ≥ 6 : काय म्हणता येईल ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 14.
- 212.
- 3(4, 0).
- 40, 200, 220, 120.
- 5₹220 (4, 2) वर : 4 टेबल, 2 खुर्च्या.
- 615 (0, 5) वर.
- 7नाही, प्रदेश अपरिबद्ध ; Z कितीही मोठा.
- 8कोणताही बिंदू दोन्ही अटी पाळत नाही ⇒ सुसंगत प्रदेश रिकामा, उत्तर नाही.