भाग 1, प्रकरण 6: वाटप करा, तरी गुणाकार वाढतो (We Distribute, Yet Things Multiply)

आकृतीत : मोठा आयत a(b + c) हा ab आणि ac या दोन भागांची बेरीज आहे.

नियम 1 : वाटून गुणा — एक संख्या सोप्या भागांत फोडा (जसे 100 + 2 किंवा 100 − 3) आणि प्रत्येक भाग गुणा.

• सोपे: 6 × (10 + 4) = 60 + 24 = 84.
• मध्यम: 47 × 102 = 4700 + 94 = 4794.
• परीक्षेतील प्रकार: 97 × 15 = (100 − 3) × 15 = 1500 − 45 = 1455.

नियम 2 : एक संख्या 1 ने वाढली — गुणाकार दुसऱ्या संख्येने वाढतो: a(b + 1) = ab + a.

• सोपे: 7 × 30 = 210 आणि 7 × 31 = 217: वाढ 7.
• मध्यम: 52 × 19 = 988 आणि 53 × 19 = 1007: वाढ 19.
• परीक्षेतील प्रकार: 3200 = 50 × 64. 50 चे 51 झाले तर गुणाकार 3264: वाढ 64.

नियम 3 : दोन्ही संख्या 1 ने वाढल्या — वाढ a + b + 1: दोन्ही संख्या आणि अधिकचा 1.

• सोपे: 5 × 6 = 30 आणि 6 × 7 = 42: वाढ 12 = 5 + 6 + 1.
• मध्यम: 14 × 21 = 294 आणि 15 × 22 = 330: वाढ 36 = 14 + 21 + 1.
• परीक्षेतील प्रकार: a = −3 आणि b = 8: (−3)(8) = −24 आणि (−2)(9) = −18: वाढ 6 = −3 + 8 + 1.

नियम 4 : m ने आणि n ने वाढल्या — (a + m)(b + n) = ab + an + mb + mn, म्हणून वाढ an + mb + mn.

• सोपे: 10 × 10 → 11 × 12: 132 − 100 = 32 = 10 × 2 + 1 × 10 + 1 × 2.
• मध्यम: 20 × 30 → 23 × 34: 782 − 600 = 182 = 80 + 90 + 12.
• परीक्षेतील प्रकार: 8 × 5 → 12 × 8: 96 − 40 = 56 = 24 + 20 + 12.

फरक ओळखा

आकृतीत : 15 × 10 = (12 + 3)(8 + 2): चार भाग 12 × 8, 3 × 8, 12 × 2 आणि 3 × 2.

नियम 1 : (x + a)(x + b) — मधले पद दोन संख्यांची बेरीज, शेवटचे पद त्यांचा गुणाकार.

• सोपे: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
• मध्यम: (x − 4)(x + 9) = x² + 5x − 36.
• परीक्षेतील प्रकार: (x − 5)(x − 6) = x² − 11x + 30.

नियम 2 : अक्षरापुढे संख्या असलेले कंस — पुढच्या संख्याही गुणा: चारही गुणाकार हवेत.

• सोपे: (2x + 1)(x + 3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3.
• मध्यम: (3m − 2)(m + 5) = 3m² + 15m − 2m − 10 = 3m² + 13m − 10.
• परीक्षेतील प्रकार: (4p − 3q)(p + 2q) = 4p² + 8pq − 3pq − 6q² = 4p² + 5pq − 6q².

नियम 3 : दोन वेगळी अक्षरे — प्रत्येक गुणाकार अक्षरांसह ठेवा; सजातीय पदे नसू शकतात.

• सोपे: (a + 2)(b + 3) = ab + 3a + 2b + 6.
• मध्यम: (a − 1)(b + 4) = ab + 4a − b − 4.
• परीक्षेतील प्रकार: (x + 5) बाय (y + 2) आयताचे क्षेत्रफळ xy + 2x + 5y + 10.

फरक ओळखा

आकृतीत : स्लायडर हलवा: मोठा चौरस a², b² आणि दोन आयत ab यांपासून बनतो.

नियम 1 : बेरजेचा वर्ग — गोल संख्येच्या थोड्या वरच्या संख्यांचे वर्ग काढायला वापरा.

• सोपे: 12² = (10 + 2)² = 100 + 40 + 4 = 144.
• मध्यम: 53² = (50 + 3)² = 2500 + 300 + 9 = 2809.
• परीक्षेतील प्रकार: (3x + 5)² = 9x² + 30x + 25.

नियम 2 : वजाबाकीचा वर्ग — गोल संख्येच्या थोड्या खालच्या संख्यांसाठी वापरा. मधले पद ऋण असते.

• सोपे: 19² = (20 − 1)² = 400 − 40 + 1 = 361.
• मध्यम: 78² = (80 − 2)² = 6400 − 320 + 4 = 6084.
• परीक्षेतील प्रकार: (4p − 3)² = 16p² − 24p + 9.

नियम 3 : उलट वापरा — a² + 2ab + b² ओळखून एका कंसाचा वर्ग लिहा, किंवा (a + b)² − 2ab = a² + b² वापरा.

• सोपे: x² + 14x + 49 = (x + 7)².
• मध्यम: 9a² − 12a + 4 = (3a − 2)².
• परीक्षेतील प्रकार: a + b = 8 आणि ab = 15: a² + b² = 64 − 30 = 34.

फरक ओळखा

आकृतीत : मोठ्या a² चौरसातून b² काढा. उरलेला L-आकार a² − b² असून तो पुन्हा कापून (a + b) बाय (a − b) आयत होतो.

नियम 1 : विस्तार आणि अवयव — एका कंसात + आणि दुसऱ्यात − असलेले दोन कंस म्हणजे वर्गांचा फरक.

• सोपे: (x + 5)(x − 5) = x² − 25.
• मध्यम: (3p + 4)(3p − 4) = 9p² − 16.
• परीक्षेतील प्रकार: (7a − 2b)(7a + 2b) = 49a² − 4b².

नियम 2 : झटपट गुणाकार — दोन संख्या सोप्या संख्येपासून सारख्याच अंतरावर असतील तर सोप्या संख्येचा वर्ग करा आणि अंतराचा वर्ग वजा करा.

• सोपे: 47 × 53 = 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491.
• मध्यम: 96 × 104 = 100² − 4² = 9984.
• परीक्षेतील प्रकार: 7.2 × 6.8 = 7² − 0.2² = 49 − 0.04 = 48.96.

नियम 3 : दोन वर्गांचा फरक — a² − b² हे (a + b)(a − b) असे लिहा आणि दोन सोप्या संख्या काढा.

• सोपे: 15² − 5² = 20 × 10 = 200.
• मध्यम: 61² − 39² = 100 × 22 = 2200.
• परीक्षेतील प्रकार: 41² − 40² = 81 (म्हणजे 41 + 40); आणि x² − 81 = (x + 9)(x − 9).

फरक ओळखा

आकृतीत : किनार 5 × 5 − 3 × 3 = 16 किंवा 4 बाजू × 4 ठिपके = 16 असे मोजा. दोन मार्ग, एकच उत्तर.

नियम 1 : चूक दुरुस्त करा — संख्या घालून तपासा, चुकीची पायरी शोधा, बरोबर पुन्हा लिहा.

• सोपे: 3(x + 4) = 3x + 12, 3x + 4 नाही.
• मध्यम: (a + 3)² = a² + 6a + 9, a² + 9 नाही.
• परीक्षेतील प्रकार: −2(m − 5) = −2m + 10, −2m − 10 नाही.

नियम 2 : नमुना दोन प्रकारे मोजा — k बाय k चौरसाभोवतीच्या ठिपक्यांच्या किनारीत (k + 2)² − k² = 4k + 4 ठिपके असतात.

• सोपे: k = 3: 25 − 9 = 16 आणि 4 × 3 + 4 = 16.
• मध्यम: k = 10: 144 − 100 = 44 आणि 4 × 10 + 4 = 44.
• परीक्षेतील प्रकार: n(n + 2) = (n + 1)² − 1; n = 6 साठी: 48 = 49 − 1.

नियम 3 : अक्षरांनी सिद्ध करा — एक उदाहरण सर्व संख्यांसाठी दावा सिद्ध करत नाही. अक्षरे करतात.

• सोपे: दोन विषम संख्या: (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1), जी सम आहे.
• मध्यम: तीन क्रमागत संख्या n, n + 1, n + 2 ची बेरीज 3n + 3 = 3(n + 1): 7 + 8 + 9 = 24 = 3 × 8.
• परीक्षेतील प्रकार: (2k + 1)² = 4k(k + 1) + 1 हे 8 च्या पटीपेक्षा 1 ने जास्त: 9² = 81 = 80 + 1.

फरक ओळखा