भाग 1, प्रकरण 5: संख्यांशी खेळ (Number Play)

आकृतीत : मधली संख्या 15, तीन संख्या: 3 × 15 = 45.

नियम 1 : विषम संख्येने: संख्या × मधली — बेरजेला संख्यांच्या संख्येने भागून मधली संख्या काढा आणि बाकीच्या तिच्याभोवती मांडा.

• सोपे: तीन संख्या, बेरीज 51: मधली 17, म्हणून 16, 17, 18.
• मध्यम: पाच संख्या, बेरीज 85: मधली 17, म्हणून 15, 16, 17, 18, 19.
• परीक्षेतील प्रकार: तीन क्रमागत सम संख्या, बेरीज 90: मधली 30, म्हणून 28, 30, 32.

नियम 2 : पहिल्या n संख्यांची बेरीज — पहिली आणि शेवटची जोडी लावा: प्रत्येक जोडी n + 1, आणि n ÷ 2 जोड्या.

• सोपे: 1 + 2 + ... + 20 = 20 × 21 ÷ 2 = 210.
• मध्यम: 1 + 2 + ... + 30 = 30 × 31 ÷ 2 = 465.
• परीक्षेतील प्रकार: 1 + 2 + ... + 100 = 100 × 101 ÷ 2 = 5050.

नियम 3 : सम संख्येने आणि सम/विषम — सम संख्येत मधली संख्या नसते. पहिली संख्या वापरा: n + (n + 1) = 2n + 1, n + ... + (n + 3) = 4n + 6.

• सोपे: दोन क्रमागत संख्या, बेरीज 79: 39 आणि 40.
• मध्यम: सहा क्रमागत संख्यांची बेरीज नेहमी विषम (6n + 15).
• परीक्षेतील प्रकार: चार क्रमागत संख्या, बेरीज 102: 4n + 6 = 102, n = 24, म्हणून 24, 25, 26, 27.

फरक ओळखा

नियम 1 : बेरीज आणि फरक — संख्या दोन्ही भागांना भाग जात असेल तर बेरीज आणि फरकालाही जाते. फक्त एकाला जात असेल तर बेरजेला जात नाही.

• सोपे: 91 + 35: दोन्ही 7 च्या पटी (13 × 7 आणि 5 × 7), म्हणून 126 सुद्धा.
• मध्यम: 120 + 7 आणि 5: 120 ही 5 ची पट, 7 नाही, म्हणून बेरीज नाही.
• परीक्षेतील प्रकार: d ने a + b आणि a ला भाग गेला तर b लाही जातो, कारण b = (a + b) − a.

नियम 2 : अवयव एकत्र करणे — दोन संख्यांनी भाग जाणारी संख्या त्यांच्या लसावि ने भाग जाते. गुणाकाराने भाग जात असेल तर प्रत्येक अवयवानेही जाते.

• सोपे: 12 ने भाग जाते म्हणजे 3 आणि 4 नेही.
• मध्यम: 4 आणि 6 दोन्हींनी भाग जाते म्हणजे 12 (लसावि) ने, 24 ने असेलच असे नाही.
• परीक्षेतील प्रकार: 6 ने भाग जाते म्हणजे 2 आणि 3 ने; पण 2 आणि 4 ने भाग जाते म्हणजे 8 ने असे नाही (4 घ्या).

नियम 3 : क्रमागत संख्यांचे गुणाकार — n क्रमागत संख्यांत n पर्यंतच्या प्रत्येक संख्येची एक पट असते.

• सोपे: दोन क्रमागत संख्या: गुणाकार नेहमी सम.
• मध्यम: 4 × 5 × 6 = 120, 6 ने भाग जातो; तीन क्रमागत संख्यांचा गुणाकार नेहमी 6 ची पट.
• परीक्षेतील प्रकार: 3 × 4 × 5 × 6 = 360 = 24 × 15, 24 ची पट (चार क्रमागत संख्या).

फरक ओळखा

नियम 1 : संख्येच्या शेवटाकडे पाहणाऱ्या कसोट्या — 100 ही 4 आणि 25 ची पट आणि 1000 ही 8 ची पट, म्हणून फक्त शेवटचे 2 किंवा 3 अंक महत्त्वाचे.

• सोपे: 3128 ÷ 4: शेवटचे दोन अंक 28 = 4 × 7, म्हणून होय.
• मध्यम: 5432 ÷ 8: शेवटचे तीन अंक 432 = 8 × 54, म्हणून होय.
• परीक्षेतील प्रकार: 4716 ÷ 12: 3 ने (अंकबेरीज 18) आणि 4 ने (16) भाग जातो, म्हणून होय.

नियम 2 : अंक मिळवणाऱ्या कसोट्या — 10, 100, 1000 प्रत्येकी 9 च्या पटीपेक्षा 1 ने जास्त, म्हणून संख्येची बाकी तिच्या अंकबेरजेच्या बाकीइतकी असते.

• सोपे: 4821: 4 + 8 + 2 + 1 = 15, म्हणून 3 ने जाते, 9 ने नाही.
• मध्यम: 7254: 7 + 2 + 5 + 4 = 18, म्हणून 9 ने भाग जातो.
• परीक्षेतील प्रकार: 47d2 ला 9 ने भाग जायला: 13 + d = 18, म्हणून d = 5 (4752).

नियम 3 : 11 ची कसोट — विषम आणि सम स्थानांचे अंक वेगवेगळे मिळवा; फरक 0 किंवा 11 ची पट असेल तर संख्येला 11 ने भाग जातो.

• सोपे: 1331: (1 + 3) − (3 + 1) = 0, म्हणून होय.
• मध्यम: 2728: (2 + 2) − (7 + 8) = −11, म्हणून होय.
• परीक्षेतील प्रकार: 10,00,001: अंक 1,0,0,0,0,0,1; (1 + 0 + 0 + 1) − (0 + 0 + 0) = 2, म्हणून नाही.

फरक ओळखा

आकृतीत : 2, 4, 8, 16, 32, 64 ... चे डिजिटल रूट पुन्हा पुन्हा येतात: 2, 4, 8, 7, 5, 1.

नियम 1 : डिजिटल रूट काढणे — अंक मिळवा; निकालात दोन अंक असतील तर पुन्हा मिळवा.

• सोपे: 4876: 4 + 8 + 7 + 6 = 25, 2 + 5 = 7.
• मध्यम: 123456: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, 2 + 1 = 3.
• परीक्षेतील प्रकार: 15625: 1 + 5 + 6 + 2 + 5 = 19, 1 + 9 = 10, 1 + 0 = 1.

नियम 2 : 9 ने भागल्यावरची बाकी — बाकी म्हणजे डिजिटल रूट, 9 असल्यास 0.

• सोपे: 5432: अंकबेरीज 14, डिजिटल रूट 5, म्हणून बाकी 5.
• मध्यम: 7000: डिजिटल रूट 7, म्हणून बाकी 7.
• परीक्षेतील प्रकार: 1234567: अंकबेरीज 28, 2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1, म्हणून बाकी 1.

नियम 3 : हिशेब तपासणे — डिजिटल रूटवर तीच क्रिया करा. निकाल जुळला नाही तर उत्तर नक्की चुकीचे.

• सोपे: 47 + 86 = 133: dr 2 + dr 5 = 7 आणि dr(133) = 7 ✓.
• मध्यम: 77 × 12 = 924: 5 × 3 = 15 → 6 आणि dr(924) = 6 ✓.
• परीक्षेतील प्रकार: 238 × 17: 4 × 8 = 32 → 5. उत्तर 4046 चा डिजिटल रूट 5 ✓, पण 4056 चा 6, म्हणून चुकीचे.

फरक ओळखा

नियम 1 : अक्षर-कोडी सोडवणे — कोड्याचे समीकरण किंवा विभाज्यतेची कसोटी करा आणि उत्तर तपासा.

• सोपे: A + A + A = 21 → 3A = 21 → A = 7.
• मध्यम: 5A2 ला 9 ने भाग जातो: 7 + A = 9, म्हणून A = 2 (522 = 9 × 58).
• परीक्षेतील प्रकार: AB साठी A + B = 9 आणि AB − BA = 27: 9(A − B) = 27, A − B = 3, म्हणून A = 6, B = 3 आणि AB = 63.

नियम 2 : संख्या आणि तिची उलटी — AB + BA = 11 × (A + B) आणि AB − BA = 9 × (A − B). तीन अंकी: ABC − CBA = 99 × (A − C).

• सोपे: AB + BA = 121 वरून A + B = 11.
• मध्यम: 72 − 27 = 45 = 9 × 5 (A − B = 5).
• परीक्षेतील प्रकार: 842 − 248 = 594 = 99 × 6 (A − C = 6).

नियम 3 : नेहमी, कधी कधी की कधीच नाही? — लहान उदाहरणे घ्या (सम-विषम, 0, 1, 2); विरुद्ध उदाहरण शोधा; मग सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करा.

• सोपे: दोन विषम संख्यांची बेरीज सम: (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1). नेहमी.
• मध्यम: 6 ने भाग जाणारी संख्या 4 ने भाग जाते: 12 होय, 18 नाही. कधी कधी.
• परीक्षेतील प्रकार: 5 वर संपणारी संख्या 10 ने भाग जाते: 10 च्या पटी 0 वर संपतात. कधीच नाही.

फरक ओळखा