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CBSE · कक्षा 8 · गणित भाग १

भाग 1, अध्याय 5: संख्याओं से खेल (Number Play)

5 अवधारणाएँ · उत्तर सहित 40 अभ्यास प्रश्न · पढ़ना मुफ़्त

यह पाठ इन भाषाओं में भी: मराठी · English

क्रमागत संख्याओं का योग

रोज़मर्रा के जीवन से

एक हॉल की लगातार तीन पंक्तियों में 14, 15 और 16 कुर्सियाँ हैं। तीनों जोड़ने की जगह बीच की पंक्ति देखिए: 15 कुर्सियाँ, इसलिए कुल 3 × 15 = 45।

सरल परिभाषा

क्रमागत संख्याएँ 1 के अंतर से चलती संख्याएँ हैं: n, n + 1, n + 2, ... विषम गिनती की क्रमागत संख्याओं का योग = (कितनी) × (बीच की संख्या)। पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n × (n + 1) ÷ 2।

141516

आकृति में : बीच की संख्या 15, तीन संख्याएँ: 3 × 15 = 45।

नियम 1 : विषम गिनती: गिनती × बीच की — योग को गिनती से भाग देकर बीच की संख्या निकालें और शेष उसके आसपास रखें।

  • आसान: तीन संख्याएँ, योग 51: बीच की 17, इसलिए 16, 17, 18।
  • मध्यम: पाँच संख्याएँ, योग 85: बीच की 17, इसलिए 15, 16, 17, 18, 19।
  • परीक्षा-प्रकार: तीन क्रमागत सम संख्याएँ, योग 90: बीच की 30, इसलिए 28, 30, 32।

नियम 2 : पहली n संख्याओं का योग — पहली और अंतिम का जोड़ा बनाएँ: हर जोड़ा n + 1 और n ÷ 2 जोड़े।

  • आसान: 1 + 2 + ... + 20 = 20 × 21 ÷ 2 = 210.
  • मध्यम: 1 + 2 + ... + 30 = 30 × 31 ÷ 2 = 465.
  • परीक्षा-प्रकार: 1 + 2 + ... + 100 = 100 × 101 ÷ 2 = 5050.

नियम 3 : सम गिनती और सम/विषम — सम गिनती में बीच की संख्या नहीं होती। पहली संख्या लें: n + (n + 1) = 2n + 1, n + ... + (n + 3) = 4n + 6।

  • आसान: दो क्रमागत संख्याएँ, योग 79: 39 और 40।
  • मध्यम: छह क्रमागत संख्याओं का योग हमेशा विषम (6n + 15)।
  • परीक्षा-प्रकार: चार क्रमागत संख्याएँ, योग 102: 4n + 6 = 102, n = 24, इसलिए 24, 25, 26, 27।
याद रखें

2 के घात वाली संख्या (जैसे 8 या 16) दो या अधिक क्रमागत धन संख्याओं के योग के रूप में नहीं लिखी जा सकती। अन्य लिखी जा सकती हैं, अक्सर कई तरीकों से: 15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5।

सामान्य गलती

सम गिनती की संख्याओं के लिए गिनती × बीच की का नियम लगाना। यह तभी चलता है जब केवल एक बीच की संख्या हो।

शॉर्टकट

विषम गिनती? बीच की निकालें और गुणा करें। याद रखने की युक्ति : "बीच की गुणा कितनी"।

अंतर पहचानें

बिंदु3 क्रमागत संख्याएँ4 क्रमागत संख्याएँ
योग का सूत्र3n + 3 = 3 × बीच की4n + 6
उदाहरण (शुरुआत 5)5 + 6 + 7 = 185 + 6 + 7 + 8 = 26
हमेशा 3 से विभाज्य?हाँनहीं

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 120 + 21 + 22 ज्ञात कीजिए।
  2. 21 + 2 + 3 + ... + 10 ज्ञात कीजिए।
  3. 3दो क्रमागत संख्याओं का योग 45 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
मध्यम
  1. 4पाँच क्रमागत संख्याओं का योग 120 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
  2. 51 + 2 + 3 + ... + 40 ज्ञात कीजिए।
  3. 6तीन क्रमागत विषम संख्याओं का योग 45 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 7चार क्रमागत संख्याओं का योग 58 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
  2. 8क्या 8 को दो या अधिक क्रमागत धन संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 163
  2. 255
  3. 322 और 23
  4. 422, 23, 24, 25, 26
  5. 5820
  6. 613, 15, 17
  7. 713, 14, 15, 16
  8. 8नहीं, 8, 2 का घात है

विभाज्यता के गुण

रोज़मर्रा के जीवन से

शिक्षिका 36 पेंसिलें और 48 रबर 12 के सेट में बाँधती है और कुछ नहीं बचता। बिना और हिसाब के वह जानती है कि सभी 84 वस्तुएँ भी 12 के सेट में बँध जाएँगी।

सरल परिभाषा

संख्या a, b को विभाजित करती है जब b = a × k (k पूर्ण संख्या)। नियम: a, b और c को विभाजित करे तो b + c और b − c को भी; a, b को विभाजित करे तो b के हर गुणज को भी; a, b को और b, c को विभाजित करे तो a, c को विभाजित करता है।

नियम 1 : योग और अंतर — संख्या दोनों भागों को विभाजित करे तो योग और अंतर को भी करती है। केवल एक को करे तो योग को नहीं कर सकती।

  • आसान: 91 + 35: दोनों 7 के गुणज (13 × 7 और 5 × 7), इसलिए 126 भी।
  • मध्यम: 120 + 7 और 5: 120, 5 का गुणज है पर 7 नहीं, इसलिए योग नहीं।
  • परीक्षा-प्रकार: d, a + b और a को विभाजित करे तो b को भी, क्योंकि b = (a + b) − a।

नियम 2 : भाजक मिलाना — दो संख्याओं से विभाज्य संख्या उनके ल.स. से विभाज्य होती है। गुणनफल से विभाज्य हो तो हर गुणनखंड से भी।

  • आसान: 12 से विभाज्य यानी 3 और 4 से भी विभाज्य।
  • मध्यम: 4 और 6 दोनों से विभाज्य यानी 12 (ल.स.) से, 24 से ज़रूरी नहीं।
  • परीक्षा-प्रकार: 6 से विभाज्य यानी 2 और 3 से; पर 2 और 4 से विभाज्य का मतलब 8 से विभाज्य नहीं (4 लें)।

नियम 3 : क्रमागत संख्याओं के गुणनफल — n क्रमागत संख्याओं में n तक की हर संख्या का एक गुणज होता है।

  • आसान: दो क्रमागत संख्याएँ: गुणनफल हमेशा सम।
  • मध्यम: 4 × 5 × 6 = 120, 6 से विभाज्य; तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल हमेशा 6 का गुणज।
  • परीक्षा-प्रकार: 3 × 4 × 5 × 6 = 360 = 24 × 15, 24 का गुणज (चार क्रमागत संख्याएँ)।
याद रखें

1 हर संख्या को विभाजित करता है और हर संख्या स्वयं को तथा 0 को विभाजित करती है। 48 के 10 गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48।

सामान्य गलती

"4 और 6 से विभाज्य, इसलिए 4 × 6 = 24 से विभाज्य" मानना। सही: 12 दोनों से विभाज्य है पर 24 से नहीं।

शॉर्टकट

योग को एक ही संख्या के गुणजों में तोड़ें: 91 + 35 = 7 × 13 + 7 × 5 = 7 × 18। याद रखने की युक्ति : "गुणजों में तोड़ो, फिर जोड़ो"।

अंतर पहचानें

बिंदुगुणज + गुणजगुणज + अगुणज
उदाहरण (भाजक 7)35 + 21 = 5635 + 22 = 57
7 से विभाज्य?हाँनहीं
कारण7 × 5 + 7 × 3 = 7 × 87 × 5 + 22: 22 is not 7 × k

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1क्या 63 + 27, 9 से विभाज्य है?
  2. 2क्या 40 + 9, 4 से विभाज्य है?
  3. 3एक संख्या 6 से विभाज्य है। उसे विभाजित करने वाली दो छोटी संख्याएँ बताइए।
मध्यम
  1. 4संख्या 4 और 5 से विभाज्य है। वह अवश्य किससे विभाज्य है?
  2. 51 से 100 तक 7 के कितने गुणज हैं?
  3. 636 के कितने गुणनखंड हैं?
चुनौतीपूर्ण
  1. 75, a को विभाजित करता है। क्या हर पूर्ण संख्या b के लिए 5, a × b को विभाजित करता है?
  2. 83 × 4 × 5 × 6 लेकर जाँचिए कि चार क्रमागत संख्याओं का गुणनफल 24 से विभाज्य है या नहीं।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 1हाँ (90 = 9 × 10)
  2. 2नहीं (49, 4 का गुणज नहीं)
  3. 32 और 3
  4. 420
  5. 514
  6. 69
  7. 7हाँ, a × b = 5k × b
  8. 8हाँ: 360 ÷ 24 = 15

विभाज्यता की जाँच (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11)

रोज़मर्रा के जीवन से

दुकानदार के पास 4821 मिठाइयाँ हैं और उन्हें 3 दुकानों में बराबर बाँटना है। भाग किए बिना वह अंक जोड़ता है 4 + 8 + 2 + 1 = 15, 3 का गुणज, इसलिए बराबर बाँट सकते हैं।

सरल परिभाषा

विभाज्यता की जाँच: 2: अंतिम अंक सम। 5: अंतिम अंक 0 या 5। 10: अंतिम अंक 0। 4: अंतिम दो अंक। 8: अंतिम तीन अंक। 3 और 9: अंक-योग। 6: सम और अंक-योग 3 का गुणज। 11: एकांतर अंक-योग।

नियम 1 : संख्या के अंत को देखने वाली जाँचें — 100, 4 और 25 का गुणज और 1000, 8 का गुणज है, इसलिए केवल अंतिम 2 या 3 अंक मायने रखते हैं।

  • आसान: 3128 ÷ 4: अंतिम दो अंक 28 = 4 × 7, इसलिए हाँ।
  • मध्यम: 5432 ÷ 8: अंतिम तीन अंक 432 = 8 × 54, इसलिए हाँ।
  • परीक्षा-प्रकार: 4716 ÷ 12: 3 से (अंक-योग 18) और 4 से (16) विभाज्य, इसलिए हाँ।

नियम 2 : अंक जोड़ने वाली जाँचें — 10, 100, 1000 हर एक 9 के गुणज से 1 अधिक है, इसलिए संख्या का शेषफल उसके अंक-योग के शेषफल जितना होता है।

  • आसान: 4821: 4 + 8 + 2 + 1 = 15, इसलिए 3 से विभाज्य, 9 से नहीं।
  • मध्यम: 7254: 7 + 2 + 5 + 4 = 18, इसलिए 9 से विभाज्य।
  • परीक्षा-प्रकार: 47d2 के 9 से विभाज्य होने पर: 13 + d = 18, इसलिए d = 5 (4752)।

नियम 3 : 11 की जाँच — विषम और सम स्थानों के अंक अलग-अलग जोड़ें; अंतर 0 या 11 का गुणज हो तो संख्या 11 से विभाज्य।

  • आसान: 1331: (1 + 3) − (3 + 1) = 0, इसलिए हाँ।
  • मध्यम: 2728: (2 + 2) − (7 + 8) = −11, इसलिए हाँ।
  • परीक्षा-प्रकार: 10,00,001: अंक 1,0,0,0,0,0,1; (1 + 0 + 0 + 1) − (0 + 0 + 0) = 2, इसलिए नहीं।
याद रखें

भाज्य संख्या की जाँच उसके असहभाज्य भागों से करें: 6 = 2 × 3, 12 = 3 × 4, 15 = 3 × 5. 3 से विभाज्य पर 9 से नहीं - ऐसी संख्या का अंक-योग केवल 3 का गुणज होता है।

सामान्य गलती

6 के लिए केवल 3 की जाँच लगाना: 21, 3 से विभाज्य है पर 6 से नहीं क्योंकि वह विषम है। सम होना भी हमेशा जाँचें।

शॉर्टकट

जाँचने वाली संख्या को असहभाज्य भागों में तोड़ें और हर भाग जाँचें। याद रखने की युक्ति : "6 = 2 × 3, 12 = 3 × 4"।

अंतर पहचानें

बिंदुअंतिम अंकों की जाँच (2, 4, 5, 8, 10)अंक-योग की जाँच (3, 9)
क्या देखेंकेवल अंतिम अंकसभी अंकों का योग
उदाहरण3128 ÷ 4 (28)7254 ÷ 9 (18)
यह क्यों चलता है100 और 1000, 4, 25, 8 के गुणज10, 100, ... 9 के गुणजों से 1 अधिक

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1क्या 7358, 2 से विभाज्य है?
  2. 2क्या 6350, 5 से विभाज्य है?
  3. 3क्या 4821, 3 से विभाज्य है?
मध्यम
  1. 4क्या 5432, 8 से विभाज्य है?
  2. 5क्या 7254, 9 से विभाज्य है?
  3. 69 से विभाज्य सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 752*8 को 9 से विभाज्य बनाने वाला अंक * कौन-सा है?
  2. 811 का सबसे बड़ा 3-अंकीय गुणज ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 1हाँ (अंतिम अंक 8)
  2. 2हाँ (अंतिम अंक 0)
  3. 3हाँ (अंक-योग 15)
  4. 4हाँ (432 = 8 × 54)
  5. 5हाँ (अंक-योग 18)
  6. 61008
  7. 73
  8. 8990
Live आकृति

विभाज्यता की जाँच (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11)

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

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अंकों का योग, डिजिटल रूट और शेषफल

रोज़मर्रा के जीवन से

लेखाकार लंबे बिलों की गलतियाँ पकड़ने के लिए "नौ निकालो" नाम की तेज़ जाँच करते हैं। वे हर संख्या को एक अंक तक लाकर तुलना करते हैं, जो पूरा हिसाब दोबारा करने से तेज़ है।

सरल परिभाषा

संख्या का डिजिटल रूट अंकों को बार-बार जोड़कर एक अंक तक लाने से मिलता है। यह 9 से भाग के शेषफल के बराबर होता है (शेषफल 0 हो तो 9)। साथ ही: dr(a + b) = dr(dr(a) + dr(b)) और dr(a × b) = dr(dr(a) × dr(b))।

248751

आकृति में : 2, 4, 8, 16, 32, 64 ... के डिजिटल रूट दोहराते हैं: 2, 4, 8, 7, 5, 1।

नियम 1 : डिजिटल रूट निकालना — अंक जोड़ें; परिणाम में दो अंक हों तो फिर जोड़ें।

  • आसान: 4876: 4 + 8 + 7 + 6 = 25, 2 + 5 = 7.
  • मध्यम: 123456: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, 2 + 1 = 3.
  • परीक्षा-प्रकार: 15625: 1 + 5 + 6 + 2 + 5 = 19, 1 + 9 = 10, 1 + 0 = 1.

नियम 2 : 9 से भाग का शेषफल — शेषफल यानी डिजिटल रूट, 9 हो तो 0।

  • आसान: 5432: अंक-योग 14, डिजिटल रूट 5, इसलिए शेषफल 5।
  • मध्यम: 7000: डिजिटल रूट 7, इसलिए शेषफल 7।
  • परीक्षा-प्रकार: 1234567: अंक-योग 28, 2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1, इसलिए शेषफल 1।

नियम 3 : गणना की जाँच — डिजिटल रूट पर वही क्रिया करें। परिणाम न मिले तो उत्तर निश्चित गलत है।

  • आसान: 47 + 86 = 133: dr 2 + dr 5 = 7 और dr(133) = 7 ✓।
  • मध्यम: 77 × 12 = 924: 5 × 3 = 15 → 6 और dr(924) = 6 ✓।
  • परीक्षा-प्रकार: 238 × 17: 4 × 8 = 32 → 5। उत्तर 4046 का डिजिटल रूट 5 ✓, पर 4056 का 6, इसलिए गलत।
याद रखें

9 के गुणजों का डिजिटल रूट हमेशा 9। पूर्ण वर्ग का डिजिटल रूट केवल 1, 4, 7 या 9, इसलिए डिजिटल रूट 2, 3, 5, 6 या 8 वाली संख्या कभी पूर्ण वर्ग नहीं।

सामान्य गलती

9 के गुणज का डिजिटल रूट 0 लिखना। वह 9 होता है। साथ ही, जाँच मिल जाए तो उत्तर सही सिद्ध नहीं होता; न मिले तो गलती निश्चित है।

शॉर्टकट

अंक जोड़ते समय कोई भी 9 और 9 बनाने वाले अंकों के जोड़े (4 + 5, 1 + 8) काट दें। याद रखने की युक्ति : "नौ मत गिनो - निकाल दो"।

अंतर पहचानें

बिंदुडिजिटल रूट9 से भाग का शेषफल
संभव मान1 to 90 to 8
5432 के लिए55
729 के लिए90

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 13458 का डिजिटल रूट ज्ञात कीजिए।
  2. 2729 का डिजिटल रूट ज्ञात कीजिए।
  3. 341 को 9 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
मध्यम
  1. 42¹⁰ = 1024 का डिजिटल रूट ज्ञात कीजिए।
  2. 51,000,001 का डिजिटल रूट ज्ञात कीजिए।
  3. 66789 को 9 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 7एक विद्यार्थी 56 × 43 = 2418 लिखता है। डिजिटल रूट से जाँचिए कि यह निश्चित गलत है या नहीं।
  2. 8डिजिटल रूट 4 वाली सबसे छोटी 3-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 12
  2. 29
  3. 35
  4. 47
  5. 52
  6. 63
  7. 7हाँ: dr(56) × dr(43) = 2 × 7 = 14 → 5, पर dr(2418) = 6
  8. 8103
Live आकृति

अंकों का योग, डिजिटल रूट और शेषफल

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छिपे अंक और हमेशा/कभी-कभी/कभी नहीं

रोज़मर्रा के जीवन से

क्विज़ शो की पहेली "A + A + A = 21" में एक अंक छिपा है। और दोस्त कहता है "दो विषम संख्याओं का योग हमेशा सम होता है"। क्या ऐसे दावे हर बार सच हैं, कभी-कभी, या कभी नहीं?

सरल परिभाषा

अक्षर-पहेलियों में हर अक्षर एक अंक होता है और AB यानी 10A + B। स्थानीय मान, अंक-योग और विभाज्यता की जाँच का प्रयोग करें। कथन जाँचते समय: एक ही प्रति-उदाहरण "हमेशा" को गलत कर देता है; एक ही उदाहरण "कभी नहीं" को गलत कर देता है; बीजगणित (सम = 2k, विषम = 2k + 1) "हमेशा" सिद्ध कर सकता है।

नियम 1 : अक्षर-पहेलियाँ हल करना — पहेली को समीकरण या विभाज्यता की जाँच में बदलें और उत्तर जाँचें।

  • आसान: A + A + A = 21 → 3A = 21 → A = 7.
  • मध्यम: 5A2, 9 से विभाज्य: 7 + A = 9, इसलिए A = 2 (522 = 9 × 58)।
  • परीक्षा-प्रकार: AB के लिए A + B = 9 और AB − BA = 27: 9(A − B) = 27, A − B = 3, इसलिए A = 6, B = 3 और AB = 63।

नियम 2 : संख्या और उसकी उल्टी — AB + BA = 11 × (A + B) और AB − BA = 9 × (A − B)। तीन अंकों के लिए: ABC − CBA = 99 × (A − C)।

  • आसान: AB + BA = 121 से A + B = 11।
  • मध्यम: 72 − 27 = 45 = 9 × 5 (A − B = 5)।
  • परीक्षा-प्रकार: 842 − 248 = 594 = 99 × 6 (A − C = 6)।

नियम 3 : हमेशा, कभी-कभी या कभी नहीं? — छोटे उदाहरण लें (सम-विषम, 0, 1, 2); प्रति-उदाहरण खोजें; फिर सिद्ध करने का प्रयत्न करें।

  • आसान: दो विषम संख्याओं का योग सम: (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1)। हमेशा।
  • मध्यम: 6 से विभाज्य संख्या 4 से विभाज्य: 12 हाँ, 18 नहीं। कभी-कभी।
  • परीक्षा-प्रकार: 5 पर समाप्त संख्या 10 से विभाज्य: 10 के गुणज 0 पर समाप्त। कभी नहीं।
याद रखें

एक प्रति-उदाहरण "हमेशा" का दावा गलत करने के लिए काफ़ी है, पर कई उदाहरण उसे सिद्ध नहीं करते। 2 + 3 = 5 से दिखता है कि दो अभाज्य संख्याओं का योग हमेशा सम नहीं होता।

सामान्य गलती

कुछ उदाहरण (12, 24) देखकर कथन को "हमेशा सही" कहना। विषम और छोटी संख्याएँ भी जाँचें।

शॉर्टकट

छोटी संख्याएँ लें, सम और विषम दोनों लें, फिर सिद्ध करें। याद रखने की युक्ति : "छोटा लो, दोनों लो, फिर सिद्ध करो"।

अंतर पहचानें

बिंदुउदाहरण जाँचनाबीजगणितीय प्रमाण
दावा गलत सिद्ध कर सकता है?हाँ (एक प्रति-उदाहरण)हाँ
"हमेशा" सिद्ध कर सकता है?नहींहाँ
गतितेज़2k और 2k + 1 जैसे अक्षर चाहिए

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1यदि A + A = 14 हो तो अंक A ज्ञात कीजिए।
  2. 2"दो सम संख्याओं का योग विषम होता है।" हमेशा, कभी-कभी या कभी नहीं?
  3. 3दो अंकों की संख्या और उसकी उल्टी का योग 99 है। अंकों का योग ज्ञात कीजिए।
मध्यम
  1. 4A ज्ञात कीजिए ताकि 3A5, 9 से विभाज्य हो।
  2. 5"दो विषम संख्याओं का गुणनफल सम होता है।" हमेशा, कभी-कभी या कभी नहीं?
  3. 6"विषम संख्या का वर्ग विषम होता है।" हमेशा, कभी-कभी या कभी नहीं?
चुनौतीपूर्ण
  1. 7अंकों का योग 15 वाली सबसे छोटी 3-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए।
  2. 8"दो अभाज्य संख्याओं का योग विषम होता है।" हमेशा, कभी-कभी या कभी नहीं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 17
  2. 2कभी नहीं (सम + सम = सम)
  3. 39 (11 × 9 = 99)
  4. 41 (315 = 9 × 35)
  5. 5कभी नहीं (विषम × विषम = विषम)
  6. 6हमेशा
  7. 7159
  8. 8कभी-कभी (2 + 3 = 5 विषम; 3 + 5 = 8 सम)