वितरण गुण और गुणनफल में वृद्धि
एक दुकान में 18 डिब्बों में 25-25 पेन भरे हैं। हर डिब्बे में 1 पेन और डालें तो कुल ठीक 18 बढ़ते हैं, हर डिब्बे के पीछे एक।
वितरण गुण: योग को किसी संख्या से गुणा करते समय हर भाग को गुणा कर सकते हैं: a(b + c) = ab + ac। सभी संख्याओं (ऋण पूर्णांकों के लिए भी) सत्य ऐसे कथन को सर्वसमिका कहते हैं।
आकृति में : बड़ा आयत a(b + c) दो भागों ab और ac का योग है।
नियम 1 : बाँटकर गुणा — एक संख्या को आसान भागों में तोड़ें (जैसे 100 + 2 या 100 − 3) और हर भाग को गुणा करें।
- आसान: 6 × (10 + 4) = 60 + 24 = 84.
- मध्यम: 47 × 102 = 4700 + 94 = 4794.
- परीक्षा-प्रकार: 97 × 15 = (100 − 3) × 15 = 1500 − 45 = 1455.
नियम 2 : एक संख्या 1 बढ़ी — गुणनफल दूसरी संख्या से बढ़ता है: a(b + 1) = ab + a।
- आसान: 7 × 30 = 210 और 7 × 31 = 217: वृद्धि 7।
- मध्यम: 52 × 19 = 988 और 53 × 19 = 1007: वृद्धि 19।
- परीक्षा-प्रकार: 3200 = 50 × 64। 50 का 51 हो तो गुणनफल 3264: वृद्धि 64।
नियम 3 : दोनों संख्याएँ 1 बढ़ीं — वृद्धि a + b + 1: दोनों संख्याएँ और एक अतिरिक्त 1।
- आसान: 5 × 6 = 30 और 6 × 7 = 42: वृद्धि 12 = 5 + 6 + 1।
- मध्यम: 14 × 21 = 294 और 15 × 22 = 330: वृद्धि 36 = 14 + 21 + 1।
- परीक्षा-प्रकार: a = −3 और b = 8: (−3)(8) = −24 और (−2)(9) = −18: वृद्धि 6 = −3 + 8 + 1।
नियम 4 : m और n से बढ़ीं — (a + m)(b + n) = ab + an + mb + mn, इसलिए वृद्धि an + mb + mn।
- आसान: 10 × 10 → 11 × 12: 132 − 100 = 32 = 10 × 2 + 1 × 10 + 1 × 2.
- मध्यम: 20 × 30 → 23 × 34: 782 − 600 = 182 = 80 + 90 + 12.
- परीक्षा-प्रकार: 8 × 5 → 12 × 8: 96 − 40 = 56 = 24 + 20 + 12.
पूर्णांक भी वितरण गुण मानते हैं, इसलिए सर्वसमिका ऋण संख्याओं के लिए भी सत्य रहती है।
दोनों संख्याएँ 1 बढ़ने पर वृद्धि केवल a + b कहना। अतिरिक्त 1 (1 × 1) भी होता है।
हर संख्या दूसरी को साथ लाती है; दोनों मिलकर एक बोनस 1। याद रखने की युक्ति : "एक दूसरे को लाता है, दोनों मिलकर बोनस"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | एक संख्या 1 बढ़ी | दोनों 1 बढ़ीं |
|---|---|---|
| वृद्धि | दूसरी संख्या | a + b + 1 |
| उदाहरण 6 × 7 | 7 × 7 − 6 × 7 = 7 | 7 × 8 − 6 × 7 = 14 |
| अतिरिक्त 1 होता है? | नहीं | हाँ |
अभ्यास के प्रश्न
- 18 × (20 + 3) ज्ञात कीजिए।
- 29 × 50 बदलकर 9 × 51 हुआ। वृद्धि ज्ञात कीजिए।
- 314 × 16 की दोनों संख्याएँ 1 बढ़ीं। वृद्धि ज्ञात कीजिए।
- 460 + 1 और 100 + 1 से 61 × 101 ज्ञात कीजिए।
- 512 × 18 बदलकर 14 × 19 हुआ। वृद्धि ज्ञात कीजिए।
- 6100 − 3 से 97 × 15 ज्ञात कीजिए।
- 7a = −4 और b = 7 के लिए दोनों संख्याएँ 1 बढ़ीं। गुणनफल में वृद्धि ज्ञात कीजिए।
- 810 × b दोनों संख्याएँ 1 बढ़ने पर 25 बढ़ता है। b ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1184
- 29
- 331
- 46161
- 550
- 61455
- 74
- 814
दो कोष्ठकों का गुणनफल
12 m × 8 m का बगीचा 15 m × 10 m हो गया। नया क्षेत्रफल 15 × 10 = 150 चार भागों का है: 96 + 24 + 24 + 6, पुराना भाग, दो पट्टियाँ और एक छोटा कोना।
दो कोष्ठक गुणा करने के लिए पहले का हर पद दूसरे के हर पद से गुणा करें और समान पद जोड़ें: (a + m)(b + n) = ab + an + mb + mn।
आकृति में : 15 × 10 = (12 + 3)(8 + 2): चार भाग 12 × 8, 3 × 8, 12 × 2 और 3 × 2।
नियम 1 : (x + a)(x + b) — मध्य पद दोनों संख्याओं का योग, अंतिम पद उनका गुणनफल।
- आसान: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
- मध्यम: (x − 4)(x + 9) = x² + 5x − 36.
- परीक्षा-प्रकार: (x − 5)(x − 6) = x² − 11x + 30.
नियम 2 : अक्षर के आगे संख्या वाले कोष्ठक — आगे की संख्याएँ भी गुणा करें: चारों गुणनफल चाहिए।
- आसान: (2x + 1)(x + 3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3.
- मध्यम: (3m − 2)(m + 5) = 3m² + 15m − 2m − 10 = 3m² + 13m − 10.
- परीक्षा-प्रकार: (4p − 3q)(p + 2q) = 4p² + 8pq − 3pq − 6q² = 4p² + 5pq − 6q².
नियम 3 : दो अलग अक्षर — हर गुणनफल अक्षरों सहित रखें; समान पद न भी हों।
- आसान: (a + 2)(b + 3) = ab + 3a + 2b + 6.
- मध्यम: (a − 1)(b + 4) = ab + 4a − b − 4.
- परीक्षा-प्रकार: (x + 5) गुणा (y + 2) आयत का क्षेत्रफल xy + 2x + 5y + 10।
दो पद गुणा दो पद में समान पद जोड़ने से पहले हमेशा 4 गुणनफल होते हैं।
केवल पहले और अंतिम पद गुणा करना: (x + 3)(x + 5) = x² + 15 गलत है। सही x² + 8x + 15।
हर बार 4 गुणनफल गिनें। याद रखने की युक्ति : "सब हाथ मिलाते हैं": हर पद दूसरे कोष्ठक के हर पद से मिलता है।
अंतर पहचानें
| बिंदु | गुणनफल (x + 3)(x + 5) | योग (x + 3) + (x + 5) |
|---|---|---|
| परिणाम | x² + 8x + 15 | 2x + 8 |
| x का उच्चतम घात | 2 | 1 |
| पदों की संख्या | 3 | 2 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1(x + 4)(x + 1) का प्रसार कीजिए।
- 2(y + 2)(y + 6) का प्रसार कीजिए।
- 3(a + 2)(b + 3) में जोड़ने से पहले कितने गुणनफल आते हैं?
- 4(2m + 3)(m − 1) का प्रसार कीजिए।
- 5(x − 7)(x − 2) का प्रसार कीजिए।
- 6एक आयत की भुजाएँ (x + 8) और (x + 3) हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 7(3a − 2b)(a + 4b) का प्रसार कीजिए।
- 8(x + p)(x + q) = x² + 9x + 20। p और q ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1x² + 5x + 4
- 2y² + 8y + 12
- 34
- 42m² + m − 3
- 5x² − 9x + 14
- 6x² + 11x + 24
- 73a² + 10ab − 8b²
- 8p = 4 और q = 5 (या उल्टा)
योग और अंतर का वर्ग
एक वर्गाकार कालीन की भुजा 43 cm यानी 40 + 3 है। उसका क्षेत्रफल 40² + 3² नहीं है। वह 1600 + 240 + 9 = 1849 है, क्योंकि 40 गुणा 3 के दो आयत भी आते हैं।
(a + b)² = a² + 2ab + b² और (a − b)² = a² − 2ab + b²। शब्दों में: पहले का वर्ग, दोनों के गुणनफल का दुगुना, दूसरे का वर्ग।
योग और अंतर का वर्ग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : स्लाइडर हिलाएँ: बड़ा वर्ग a², b² और दो आयत ab से बनता है।
नियम 1 : योग का वर्ग — गोल संख्या से थोड़ी ऊपर की संख्याओं के वर्ग निकालने में प्रयोग करें।
- आसान: 12² = (10 + 2)² = 100 + 40 + 4 = 144.
- मध्यम: 53² = (50 + 3)² = 2500 + 300 + 9 = 2809.
- परीक्षा-प्रकार: (3x + 5)² = 9x² + 30x + 25.
नियम 2 : अंतर का वर्ग — गोल संख्या से थोड़ी नीचे की संख्याओं के लिए प्रयोग करें। मध्य पद ऋण होता है।
- आसान: 19² = (20 − 1)² = 400 − 40 + 1 = 361.
- मध्यम: 78² = (80 − 2)² = 6400 − 320 + 4 = 6084.
- परीक्षा-प्रकार: (4p − 3)² = 16p² − 24p + 9.
नियम 3 : उल्टा प्रयोग करें — a² + 2ab + b² पहचानकर एक कोष्ठक का वर्ग लिखें, या (a + b)² − 2ab = a² + b² प्रयोग करें।
- आसान: x² + 14x + 49 = (x + 7)².
- मध्यम: 9a² − 12a + 4 = (3a − 2)².
- परीक्षा-प्रकार: a + b = 8 और ab = 15: a² + b² = 64 − 30 = 34।
(a + b)² − (a − b)² = 4ab। a = 6 और b = 2 लेकर जाँचें: 64 − 16 = 48 = 4 × 12।
(a + b)² = a² + b² लिखना। जाँच: (3 + 4)² = 49 पर 3² + 4² = 25। मध्य पद 2ab = 24 छूट गया।
मध्य पद के लिए गुणनफल का दुगुना लें और कोष्ठक का चिह्न रखें। याद रखने की युक्ति : "वर्ग, दुगुना, वर्ग"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | (a + b)² | a² + b² |
|---|---|---|
| a = 3, b = 4 के लिए | 49 | 25 |
| मध्य पद 2ab | है (24) | नहीं |
| बराबर? | नहीं | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 130 + 1 से 31² ज्ञात कीजिए।
- 2(m + 5)² का प्रसार कीजिए।
- 330 − 1 से 29² ज्ञात कीजिए।
- 4(2x − 7)² का प्रसार कीजिए।
- 5102² ज्ञात कीजिए।
- 6(5a + 2b)² का प्रसार कीजिए।
- 7a + b = 9 और ab = 18। a² + b² ज्ञात कीजिए।
- 8x² − 16x + 64 को वर्ग के रूप में लिखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1961
- 2m² + 10m + 25
- 3841
- 44x² − 28x + 49
- 510404
- 625a² + 20ab + 4b²
- 745
- 8(x − 8)²
वर्गों का अंतर और तेज़ गुणनफल
18 cm वर्गाकार कागज़ से 3 cm का वर्ग काटा। शेष क्षेत्रफल 324 − 9 = 315 cm²। यह 21 × 15 से भी मिलता है, क्योंकि (18 + 3)(18 − 3) = 315।
(a + b)(a − b) = a² − b²। दोनों मध्य पद +ab और −ab कट जाते हैं, इसलिए केवल दो वर्गों का अंतर बचता है।
आकृति में : बड़े a² वर्ग से b² हटाएँ। बचा L-आकार a² − b² है और उसे फिर काटकर (a + b) गुणा (a − b) आयत बनता है।
नियम 1 : प्रसार और गुणनखंड — एक कोष्ठक में + और दूसरे में − वाले दो कोष्ठक वर्गों का अंतर देते हैं।
- आसान: (x + 5)(x − 5) = x² − 25.
- मध्यम: (3p + 4)(3p − 4) = 9p² − 16.
- परीक्षा-प्रकार: (7a − 2b)(7a + 2b) = 49a² − 4b².
नियम 2 : तेज़ गुणनफल — दो संख्याएँ किसी आसान संख्या से समान दूरी पर हों तो आसान संख्या का वर्ग लेकर दूरी का वर्ग घटाएँ।
- आसान: 47 × 53 = 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491.
- मध्यम: 96 × 104 = 100² − 4² = 9984.
- परीक्षा-प्रकार: 7.2 × 6.8 = 7² − 0.2² = 49 − 0.04 = 48.96.
नियम 3 : दो वर्गों का अंतर — a² − b² को (a + b)(a − b) लिखें और दो आसान संख्याएँ निकालें।
- आसान: 15² − 5² = 20 × 10 = 200.
- मध्यम: 61² − 39² = 100 × 22 = 2200.
- परीक्षा-प्रकार: 41² − 40² = 81 (यानी 41 + 40); और x² − 81 = (x + 9)(x − 9)।
दो क्रमागत संख्याओं के वर्गों का अंतर उनका योग होता है: (n + 1)² − n² = 2n + 1।
(a + b)(a − b) और (a − b)² को मिला देना। a = 8, b = 3 लें: (a + b)(a − b) = 55 पर (a − b)² = 25।
विपरीत चिह्न मध्य पद मिटा देते। याद रखने की युक्ति : "जमा-घटा जोड़ी, बीच वाला गायब"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | (a + b)(a − b) | (a − b)² |
|---|---|---|
| a = 8, b = 3 के लिए | 55 | 25 |
| परिणाम | a² − b² | a² − 2ab + b² |
| मध्य पद | नहीं | −2ab |
अभ्यास के प्रश्न
- 1(m + 6)(m − 6) का प्रसार कीजिए।
- 250 ± 2 से 52 × 48 ज्ञात कीजिए।
- 325² − 15² ज्ञात कीजिए।
- 4100 ± 3 से 103 × 97 ज्ञात कीजिए।
- 5(4x + 9)(4x − 9) का प्रसार कीजिए।
- 674² − 26² ज्ञात कीजिए।
- 79.9 × 10.1 ज्ञात कीजिए।
- 825a² − 49 को दो कोष्ठकों के गुणनफल के रूप में लिखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1m² − 36
- 22496
- 3400
- 49991
- 516x² − 81
- 64800
- 799.99
- 8(5a + 7)(5a − 7)
गलतियाँ सुधारना, पैटर्न और प्रमाण
शिक्षक गृहकार्य जाँचते हुए 3(x + 4) को 3x + 4 लिखा पाते हैं। x = 1 लेकर जाँचा: 3 × 5 = 15 पर 3 + 4 = 7, इसलिए चरण गलत है। अक्षरों से ऐसी भूलें पकड़ी जा सकती हैं और सभी संख्याओं के लिए दावे सिद्ध भी किए जा सकते हैं।
चरण जाँचने के लिए दोनों ओर छोटी संख्या रखें। कई पैटर्न एक से अधिक तरीकों से गिने जा सकते हैं और अलग तरीकों से बराबर व्यंजक मिलते हैं। सभी संख्याओं के लिए सिद्ध करने हेतु सम संख्या 2k और विषम संख्या 2k + 1 लिखें।
आकृति में : किनारे को 5 × 5 − 3 × 3 = 16 या 4 भुजाएँ × 4 बिंदु = 16 गिनें। दो तरीके, एक उत्तर।
नियम 1 : गलती सुधारें — संख्या रखकर जाँचें, गलत चरण खोजें, सही फिर से लिखें।
- आसान: 3(x + 4) = 3x + 12, 3x + 4 नहीं।
- मध्यम: (a + 3)² = a² + 6a + 9, a² + 9 नहीं।
- परीक्षा-प्रकार: −2(m − 5) = −2m + 10, −2m − 10 नहीं।
नियम 2 : पैटर्न को दो तरह से गिनें — k गुणा k वर्ग के चारों ओर बिंदुओं के किनारे में (k + 2)² − k² = 4k + 4 बिंदु होते हैं।
- आसान: k = 3: 25 − 9 = 16 और 4 × 3 + 4 = 16।
- मध्यम: k = 10: 144 − 100 = 44 और 4 × 10 + 4 = 44।
- परीक्षा-प्रकार: n(n + 2) = (n + 1)² − 1; n = 6 के लिए: 48 = 49 − 1।
नियम 3 : अक्षरों से सिद्ध करें — एक उदाहरण सभी संख्याओं के लिए दावा सिद्ध नहीं करता। अक्षर करते हैं।
- आसान: दो विषम संख्याएँ: (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1), जो सम है।
- मध्यम: तीन क्रमागत संख्याएँ n, n + 1, n + 2 का योग 3n + 3 = 3(n + 1): 7 + 8 + 9 = 24 = 3 × 8।
- परीक्षा-प्रकार: (2k + 1)² = 4k(k + 1) + 1 यह 8 के गुणज से 1 अधिक है: 9² = 81 = 80 + 1।
केवल समान पद (समान अक्षर, समान घात) जोड़े जा सकते हैं: 5w² + 6w, 11w² नहीं बनता।
कोष्ठक का केवल एक पद गुणा करना या असमान पद जोड़ना। साथ ही दो-तीन उदाहरण देखकर दावा मान लेना।
हर चरण जाँचने के लिए 1 या 2 रखें। याद रखने की युक्ति : "संख्या डालो, गलती पकड़ो"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | संख्या रखकर जाँच | अक्षरों से प्रमाण |
|---|---|---|
| दावा गलत सिद्ध कर सकता है? | हाँ (एक विफलता) | हाँ |
| सभी के लिए सत्य सिद्ध कर सकता है? | नहीं | हाँ |
| उदाहरण | x = 1: 3 × 5 ≠ 3 + 4 | 2k + 1 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या 4(x + 3) = 4x + 3 सही है? सही उत्तर दीजिए।
- 25 गुणा 5 वर्ग के चारों ओर बिंदुओं के किनारे में k = 5 के लिए (k + 2)² − k² निकालिए।
- 32(y + 5) + 3y को सरल कीजिए।
- 4(m − 4)² को सही लिखिए।
- 5पैटर्न के n वें चरण में (n + 1)² − 1 बिंदु हैं। 9वें चरण में कितने?
- 6n से शुरू होने वाली तीन क्रमागत संख्याओं का योग लिखिए।
- 7(x + 3)(x + 2) − (x + 4) को सरल कीजिए।
- 815² को 8 के गुणज जमा 1 के रूप में लिखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14x + 12
- 224
- 35y + 10
- 4m² − 8m + 16
- 599
- 63n + 3
- 7x² + 4x + 2
- 88 × 28 + 1