समानता और समान गुणक से परिवर्तन
60 × 40 की फोटो को 30 × 20 करें तो वैसी ही दिखती है, बस छोटी। पर हर भुजा से 20 हटाकर 40 × 20 करें तो वह दबी दिखती है।
जब हर भुजा एक ही गुणक से गुणा की जाती है तब दो आकार समान दिखते हैं। हर भुजा में समान राशि जोड़ने या घटाने से आकार नहीं बना रहता।
आकृति में : पहले दो का आकार समान है (गुणक 1/2)। तीसरे का आकार अलग है।
नियम 1 : गुणक ज्ञात करें — गुणक = नया माप ÷ पुराना माप।
- आसान: 15 → 45: गुणक 45 ÷ 15 = 3।
- मध्यम: 8 → 6: गुणक 6 ÷ 8 = 3/4।
- परीक्षा-प्रकार: चौड़ाई 60 → 75: गुणक 5/4, इसलिए ऊँचाई 40 की 40 × 5/4 = 50।
नियम 2 : दूसरी भुजा पर वही गुणक लगाएँ — एक भुजा का गुणक पता चलने पर दूसरी भुजा को उससे गुणा करें।
- आसान: 80 × 50 आधा करने पर 40 × 25।
- मध्यम: 40 × 30 और चौड़ाई 60: गुणक 3/2, ऊँचाई 45।
- परीक्षा-प्रकार: 20 × 16 का नक्शा चौड़ाई 5: गुणक 1/4, ऊँचाई 4।
नियम 3 : समान राशि यानी समान गुणक नहीं — भुजाओं के अनुपात की तुलना करें, अंतर की नहीं।
- आसान: 20 × 10 → 30 × 20: 2 : 1 और 3 : 2 अलग, समान नहीं।
- मध्यम: 60 × 40 → 40 × 20: गुणक 2/3 और 1/2 अलग।
- परीक्षा-प्रकार: 90 × 60 और 60 × 45: 3 : 2 और 4 : 3, समान नहीं।
भुजाएँ k गुना हों तो क्षेत्रफल k × k गुना होता है: 5 × 3 फोटो 4 गुना बड़ा करें तो क्षेत्रफल 20 × 12 = 240, यानी 15 का 16 गुना।
दोनों भुजाओं में समान संख्या जोड़कर वैसा ही दिखने की आशा करना। जाँच: 20 × 10 में 10-10 जोड़ने पर 30 × 20, अलग आकार।
गुणा करें, जोड़ें नहीं। याद रखने की युक्ति : "गुणा आकार बचाता है, जोड़ आकार बिगाड़ता है"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | समान गुणक (गुणा) | समान राशि (जोड़/घटाव) |
|---|---|---|
| 6 × 4 बनता है | 12 × 8 | 10 × 8 |
| भुजाओं का अनुपात | 3 : 2 → 3 : 2 | 3 : 2 → 5 : 4 |
| समान दिखता है? | हाँ | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 160 × 40 तस्वीर की चौड़ाई आधी की गई। नई ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 215 से 45 तक परिवर्तन का गुणक ज्ञात कीजिए।
- 34 × 3 जैसा कौन-सा: 12 × 9 या 8 × 5?
- 440 × 30 फोटो बड़ा करके चौड़ाई 60 की गई। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 520 × 16 नक्शे को चौड़ाई 5 तक छोटा किया गया। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 6क्या 30 × 20, 20 × 10 जैसा दिखता है?
- 75 × 3 फोटो 4 गुना बड़ा किया गया। नया क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 8तस्वीरें 90 × 60 और 60 × 45 क्या समान हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 120
- 23
- 312 × 9
- 445
- 54
- 6नहीं: 3 : 2 और 2 : 1 अलग
- 7240
- 8नहीं: 3 : 2 और 4 : 3 अलग
अनुपात और उसके पद
40 विद्यार्थियों की कक्षा में 15 लड़के और 25 लड़कियाँ हैं। लड़के : लड़कियाँ अनुपात 15 : 25 है, यानी हर 15 लड़कों पर 25 लड़कियाँ।
अनुपात a : b एक ही प्रकार की दो राशियों की तुलना करता है। a और b पद हैं। क्रम मायने रखता है: a : b और b : a अलग हैं।
अनुपात और उसके पद
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : स्लाइडर बदलकर दोनों राशियों की तुलना देखें।
नियम 1 : अनुपात लिखें — पहले कही गई राशि कोलन के बाईं ओर लिखें।
- आसान: 12 लड़के और 18 लड़कियाँ: लड़के : लड़कियाँ = 12 : 18।
- मध्यम: 8 काली और 6 सफेद गेंदें: सफेद : सभी = 6 : 14।
- परीक्षा-प्रकार: MATHEMATICS: स्वर : व्यंजन = 4 : 7।
नियम 2 : पहले इकाई समान करें — अनुपात लिखने से पहले दोनों राशियों को एक ही इकाई में बदलें।
- आसान: 2 m और 50 cm: 200 : 50।
- मध्यम: 3 m और 150 cm: 300 : 150।
- परीक्षा-प्रकार: 1 घंटा और 20 मिनट: 60 : 20।
नियम 3 : अनुपात से अज्ञात राशि निकालें — समान समूहों की संख्या ज्ञात करें, फिर दूसरे पद को उससे गुणा करें।
- आसान: सेब : संतरे = 3 : 5, सेब 12: 12 = 3 × 4, इसलिए संतरे = 5 × 4 = 20।
- मध्यम: a : b = 5 : 2 और b = 14: 14 = 2 × 7, a = 5 × 7 = 35।
- परीक्षा-प्रकार: लड़के : लड़कियाँ = 1 : 2 और 18 लड़कियाँ: 9 लड़के।
अनुपात की कोई इकाई नहीं होती। 200 : 50 सरल करने पर 4 : 1, और cm या मीटर लेने पर भी वही।
पद गलत क्रम में लिखना। "लड़के से लड़कियाँ" यानी पहले लड़के। साथ ही इकाइयाँ मिलाना, जैसे 2 m : 50 cm को 2 : 50 लिखना।
जिसका नाम पहले आए वही पहले। याद रखने की युक्ति : "A से B यानी कोलन से पहले A"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | 3 : 5 | 5 : 3 |
|---|---|---|
| अर्थ | पहले के 3 पर दूसरे के 5 | पहले के 5 पर दूसरे के 3 |
| वही अनुपात? | नहीं | नहीं |
| पहला पद | 3 | 5 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1कक्षा में 12 लड़के और 18 लड़कियाँ हैं। लड़के : लड़कियाँ लिखिए।
- 2अनुपात 7 : 4 के पद क्या हैं?
- 32 m और 50 cm का अनुपात समान इकाई से लिखिए।
- 4सेब : संतरे = 3 : 5 और सेब 12 हैं। संतरे कितने हैं?
- 540 विद्यार्थियों में 15 लड़के। लड़के : लड़कियाँ लिखिए।
- 6a : b = 5 : 2 और b = 14। a ज्ञात कीजिए।
- 7थैले में 8 काली और 6 सफेद गेंदें। सफेद : सभी गेंदें लिखिए।
- 8क्या 3 : 5 और 5 : 3 समान हैं? कारण दीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 112 : 18
- 27 और 4
- 3200 : 50
- 420
- 515 : 25
- 635
- 76 : 14
- 8नहीं, क्रम मायने रखता है: पहले के 3 पर दूसरे के 5
सरलतम रूप और समानुपात
नींबू शरबत की दो विधियाँ: 4 गिलास में 6 चम्मच चीनी, और 6 गिलास में 9 चम्मच। दोनों 2 : 3 हो जाती हैं, इसलिए बराबर मीठे।
अनुपात को सरलतम रूप में लिखने के लिए दोनों पदों को उनके म.स. से भाग दें। दो अनुपातों के सरल रूप बराबर हों तो वे समानुपात में होते हैं। हम a : b :: c : d लिखते हैं।
आकृति में : तीनों 3 : 2 हो जाते हैं, इसलिए उनके आकार समानुपात में हैं।
नियम 1 : सरल करें — दोनों पदों को म.स. से भाग दें।
- आसान: 60 : 40, म.स. 20, यानी 3 : 2।
- मध्यम: 48 : 36, म.स. 12, यानी 4 : 3।
- परीक्षा-प्रकार: 18 : 27 : 36, म.स. 9, यानी 2 : 3 : 4।
नियम 2 : दशमलव, भिन्न और इकाइयाँ — पहले दशमलव या भिन्न हटाएँ या इकाई समान करें, फिर सरल करें।
- आसान: 1.5 : 2.5 → 15 : 25 → 3 : 5.
- मध्यम: 2/3 : 5/6 → 4/6 : 5/6 → 4 : 5.
- परीक्षा-प्रकार: 1 m : 40 cm → 100 : 40 → 5 : 2।
नियम 3 : समानुपात की जाँच — दोनों अनुपात सरल करें। उत्तर समान हो तो समानुपात में।
- आसान: 6 : 9 और 10 : 15 दोनों 2 : 3: समानुपात में।
- मध्यम: 5 : 8 और 35 : 56 दोनों 5 : 8: समानुपात में।
- परीक्षा-प्रकार: 4 : 9 और 20 : 40: दूसरा 1 : 2, इसलिए समानुपात में नहीं।
a : b :: c : d तब सत्य होता है जब a : b के दोनों पदों को एक ही गुणक से गुणा करने पर c : d मिले।
केवल एक पद जाँचना। 4 : 9 और 20 : 40: 4 × 5 = 20 पर 9 × 5 = 45, 40 नहीं, इसलिए समानुपात में नहीं।
जब तक कुछ उभयनिष्ठ न बचे, म.स. से भाग दें। याद रखने की युक्ति : "दोनों को सिकोड़ो, जब तक सिकुड़ न सकें"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | अनुपात | समानुपात |
|---|---|---|
| यह क्या है? | दो राशियों की तुलना | दो अनुपातों की समानता |
| उदाहरण | 6 : 9 | 6 : 9 :: 10 : 15 |
| पद | 2 | 4 |
अभ्यास के प्रश्न
- 160 : 40 को सरल कीजिए।
- 224 : 36 को सरल कीजिए।
- 3क्या 6 : 9 और 10 : 15 समानुपाती हैं?
- 41.5 : 2.5 को सरल कीजिए।
- 5100 : 250 को सरल कीजिए।
- 6क्या 5 : 8 और 35 : 56 समानुपाती हैं?
- 718 : 27 : 36 को सरल कीजिए।
- 8क्या 4 : 9 और 20 : 40 समानुपाती हैं? क्यों?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13 : 2
- 22 : 3
- 3हाँ, दोनों 2 : 3
- 43 : 5
- 52 : 5
- 6हाँ, दोनों 5 : 8
- 72 : 3 : 4
- 8नहीं: 4 : 9 वैसा रहता है पर 20 : 40 यानी 1 : 2
समानुपातिक तर्क से प्रश्न हल करना
रंगसाज जानता है कि 3 L रंग 12 m² दीवार रंगता है। 20 m² दीवार के लिए वह अंदाज़ा नहीं लगाता: 20 = 12 × 5/3, इसलिए 3 × 5/3 = 5 L चाहिए।
समानुपात के प्रश्न में सभी राशियाँ एक ही गुणक से बदलती हैं। विधि 1: परिवर्तन का गुणक निकालें। विधि 2: एक इकाई का मान निकालकर गुणा करें।
आकृति में : दोनों पंक्तियाँ एक स्तंभ से अगले में एक ही गुणक से गुणा होती हैं।
नियम 1 : गुणक विधि — ज्ञात राशि कितनी बार दोहराई गई ज्ञात करें और दूसरी राशि को उतनी ही बार दोहराएँ।
- आसान: 3 : 7 :: 12 : x: 3 × 4 = 12, इसलिए x = 7 × 4 = 28।
- मध्यम: 5 : 9 :: 35 : x: 5 × 7 = 35, इसलिए x = 9 × 7 = 63।
- परीक्षा-प्रकार: चावल : पानी = 2 : 5; 6 कप चावल: 6 = 2 × 3, पानी = 5 × 3 = 15 कप।
नियम 2 : इकाई विधि — एक का मान निकालें और चाहे गए संख्या से गुणा करें।
- आसान: 6 कॉपियों के ₹90: एक के ₹15, इसलिए 10 के ₹150।
- मध्यम: नल 8 मिनट में 40 L भरता है: प्रति मिनट 5 L, इसलिए 20 मिनट में 100 लीटर।
- परीक्षा-प्रकार: ट्रेन 4 घंटे में 240 km जाती है: 60 km प्रति घंटा, इसलिए 420 km में 7 घंटे।
नियम 3 : दो स्थितियों की तुलना — दोनों अनुपात सरल करें। सरल रूप समान हों तो ताकत, स्वाद या चाल समान।
- आसान: रस : पानी 4 : 6 और 6 : 9 दोनों 2 : 3: स्वाद समान।
- मध्यम: 3 m में 60 ईंटें और 2 m में 40 ईंटें: दोनों प्रति m 20।
- परीक्षा-प्रकार: सीमेंट : रेत = 1 : 4; 12 बोरी रेत के लिए 12 ÷ 4 = 3 बोरी सीमेंट।
प्रत्यक्ष समानुपात का अर्थ: एक राशि 3 गुनी हो तो दूसरी भी 3 गुनी (अधिक रंग, अधिक क्षेत्रफल)।
गुणा की जगह जोड़ना: "3 L के लिए 12 m², इसलिए 5 L के लिए 14 m²" गलत है। सही 20 m²।
पहले एक पर आएँ, फिर चाहे गए पर। याद रखने की युक्ति : "पहले एक, फिर अनेक"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | गुणक विधि | इकाई विधि |
|---|---|---|
| विचार | कितनी बार दोहराया | एक का मान |
| कब अच्छी | संख्याएँ आसानी से भाग होती हैं | गुणक कठिन हो |
| उदाहरण | 3 : 7 :: 12 : 28 | 6 के ₹90 → 1 के ₹15 |
अभ्यास के प्रश्न
- 13 L रंग 12 m² रंगता है। 20 m² के लिए कितने लीटर?
- 2यदि 3 : 7 :: 12 : x हो तो x ज्ञात कीजिए।
- 36 कॉपियों की कीमत ₹90 है। 10 की कीमत ज्ञात कीजिए।
- 4गाड़ी 3 घंटे में 150 km जाती है। उसी चाल से 9 घंटे में कितनी दूर?
- 5नक्शे का पैमाना 1 cm : 5 km। सड़क नक्शे में 7.5 cm है। वास्तविक लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 64 लोगों की विधि में 300 g आटा। 10 लोगों के लिए कितना?
- 7मिश्रण A: 4 कप रस, 6 कप पानी। मिश्रण B: 6 कप रस, 9 कप पानी। क्या स्वाद समान है?
- 836 cm चौड़ी और 24 cm ऊँची फोटो की प्रति 15 cm ऊँची की गई। नई चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 15 L
- 228
- 3₹150
- 4450 km
- 537.5 km
- 6750 g
- 7हाँ, दोनों 2 : 3
- 822.5 cm
अनुपात में बँटवारा और इकाई परिवर्तन
दो मित्रों ने स्टॉल से मिलकर ₹1200 कमाए और एक के अधिक घंटे काम करने से 3 : 2 के अनुपात में बाँटने का तय किया। धन ₹240 के 5 बराबर भागों में बँटा; उन्हें 3 भाग और 2 भाग।
कुल राशि को a : b अनुपात में बाँटने के लिए: (1) पद जोड़कर भाग गिनें, (2) कुल को उससे भाग देकर 1 भाग का मान निकालें, (3) हर पद को उस मान से गुणा करें।
आकृति में : पट्टी 5 बराबर भागों में कटी है; एक को 3 भाग और दूसरे को 2 भाग।
नियम 1 : कुल बाँटें — भाग = पदों का योग; 1 भाग = कुल ÷ भाग।
- आसान: ₹1200 का 3 : 2: 5 भाग, प्रत्येक ₹240, हिस्से ₹720 और ₹480।
- मध्यम: 64 का 5 : 3: 8 भाग, प्रत्येक 8; हिस्से 40 और 24।
- परीक्षा-प्रकार: त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4: 9 भाग, प्रत्येक 20°, कोण 40°, 60°, 80°।
नियम 2 : दिया गया भाग या अंतर प्रयोग करें — ज्ञात राशि को उसके भागों से मिलाकर 1 भाग निकालें।
- आसान: हिस्से 5 : 4 और छोटा 36: 1 भाग = 9, कुल 81।
- मध्यम: संख्याएँ 7 : 3 और अंतर 20: 4 भाग = 20, 1 भाग = 5, संख्याएँ 35 और 15।
- परीक्षा-प्रकार: आयु 7 : 2 और बेटी 8: 1 भाग = 4, माँ = 28।
नियम 3 : इकाई परिवर्तन — परिवर्तन भी समानुपात है: परिवर्तन गुणक से गुणा या भाग करें।
- आसान: 3.5 km = 3.5 × 1000 = 3500 m.
- मध्यम: 10 इंच = 10 × 2.54 = 25.4 cm।
- परीक्षा-प्रकार: 36 km/घंटा = 36 × 1000 ÷ 3600 = 10 m/s; 3 हेक्टेयर = 30,000 m²।
हिस्से जाँचें: उनका योग कुल के बराबर (720 + 480 = 1200) और अनुपात दिया हुआ होना चाहिए।
कुल को पदों के योग की जगह एक पद से भाग देना: ₹1200 ÷ 3 गलत है; सही भाजक 3 + 2 = 5।
जोड़ें, भाग दें, गुणा करें। याद रखने की युक्ति : "जोभा-गु: पद जोड़ो, कुल भाग दो, हर पद गुणा करो"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | गलत | सही |
|---|---|---|
| ₹1200 का 3 : 2 | ₹1200 ÷ 3 = ₹400 | ₹1200 ÷ 5 = ₹240 |
| हिस्से | ₹1200 और ₹800 | ₹720 और ₹480 |
| हिस्सों का योग | ₹2000 | ₹1200 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1₹1200 को 3 : 2 अनुपात में बाँटिए। बड़ा हिस्सा ज्ञात कीजिए।
- 235 मिठाइयाँ 4 : 3 अनुपात में बाँटिए। बड़ा हिस्सा ज्ञात कीजिए।
- 33.5 km को m में बदलिए।
- 464 को 5 : 3 अनुपात में बाँटिए। छोटा भाग ज्ञात कीजिए।
- 5दो हिस्से 5 : 4 अनुपात में और छोटा 36। कुल ज्ञात कीजिए।
- 65 kg 250 g को g में बदलिए।
- 7त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 अनुपात में हैं। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।
- 8दो संख्याएँ 7 : 3 अनुपात में हैं और अंतर 20 है। बड़ी ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1₹720
- 220
- 33500 m
- 424
- 581
- 65250 g
- 780°
- 835