साम्य आणि सारख्या पटीत बदल
60 × 40 चा फोटो 30 × 20 केला तर तो तसाच दिसतो, फक्त लहान. पण प्रत्येक बाजूतून 20 काढून 40 × 20 केला तर तो दबलेला दिसतो.
प्रत्येक बाजू एकाच पटीने गुणली गेली तर दोन आकार सारखे दिसतात. प्रत्येक बाजूत सारखी रक्कम मिळवणे किंवा वजा करणे आकार टिकवत नाही.
आकृतीत : पहिले दोन समान आकाराचे (पट 1/2). तिसऱ्याचा आकार वेगळा.
नियम 1 : पट शोधा — पट = नवे माप ÷ जुने माप.
- सोपे: 15 → 45: पट 45 ÷ 15 = 3.
- मध्यम: 8 → 6: पट 6 ÷ 8 = 3/4.
- परीक्षेतील प्रकार: रुंदी 60 → 75: पट 5/4, म्हणून उंची 40 ची 40 × 5/4 = 50.
नियम 2 : दुसऱ्या बाजूला तीच पट वापरा — एका बाजूची पट कळली की दुसरी बाजू तिने गुणा.
- सोपे: 80 × 50 निम्मे केले तर 40 × 25.
- मध्यम: 40 × 30 आणि रुंदी 60: पट 3/2, उंची 45.
- परीक्षेतील प्रकार: 20 × 16 चा नकाशा रुंदी 5: पट 1/4, उंची 4.
नियम 3 : सारखी रक्कम म्हणजे सारखी पट नाही — बाजूंची गुणोत्तरे तुलना करा, फरक नाही.
- सोपे: 20 × 10 → 30 × 20: 2 : 1 आणि 3 : 2 वेगळी, सारखे नाही.
- मध्यम: 60 × 40 → 40 × 20: पटी 2/3 आणि 1/2 वेगळ्या.
- परीक्षेतील प्रकार: 90 × 60 आणि 60 × 45: 3 : 2 आणि 4 : 3, सारखे नाही.
बाजू k पट झाल्या तर क्षेत्रफळ k × k पट होते: 5 × 3 फोटो 4 पट मोठा केला तर क्षेत्रफळ 20 × 12 = 240, म्हणजे 15 च्या 16 पट.
दोन्ही बाजूंत सारखी संख्या मिळवून तसेच दिसेल असे समजणे. तपासा: 20 × 10 मध्ये प्रत्येकी 10 मिळवले की 30 × 20, वेगळा आकार.
गुणा करा, मिळवू नका. आठवणीची युक्ती : "गुणाकाराने आकार टिकतो, बेरजेने वाकतो".
फरक ओळखा
| मुद्दा | सारखी पट (गुणाकार) | सारखी रक्कम (बेरीज/वजाबाकी) |
|---|---|---|
| 6 × 4 चे होते | 12 × 8 | 10 × 8 |
| बाजूंचे गुणोत्तर | 3 : 2 → 3 : 2 | 3 : 2 → 5 : 4 |
| सारखे दिसते? | होय | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 160 × 40 चित्राची रुंदी निम्मी केली. नवी उंची काढा.
- 215 वरून 45 पर बदलाची पट काढा.
- 34 × 3 सारखे कोणते: 12 × 9 की 8 × 5?
- 440 × 30 फोटो मोठा करून रुंदी 60 केली. उंची काढा.
- 520 × 16 नकाशा रुंदी 5 होईल असा लहान केला. उंची काढा.
- 630 × 20 हे 20 × 10 सारखे दिसते का?
- 75 × 3 फोटो 4 पट मोठा केला. नवे क्षेत्रफळ काढा.
- 8चित्रे 90 × 60 आणि 60 × 45 सारखी आहेत का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 120
- 23
- 312 × 9
- 445
- 54
- 6नाही: 3 : 2 आणि 2 : 1 वेगळी
- 7240
- 8नाही: 3 : 2 आणि 4 : 3 वेगळी
गुणोत्तर आणि त्याची पदे
40 विद्यार्थ्यांच्या वर्गात 15 मुले आणि 25 मुली आहेत. मुले : मुली गुणोत्तर 15 : 25, म्हणजे प्रत्येक 15 मुलांमागे 25 मुली.
गुणोत्तर a : b एकाच प्रकारच्या दोन राशींची तुलना करते. a आणि b ही पदे. क्रम महत्त्वाचा: a : b आणि b : a वेगळी.
गुणोत्तर आणि त्याची पदे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआकृतीत : स्लायडर बदलून दोन राशींची तुलना पाहा.
नियम 1 : गुणोत्तर लिहा — आधी सांगितलेली राशी कोलनच्या डावीकडे लिहा.
- सोपे: 12 मुले आणि 18 मुली: मुले : मुली = 12 : 18.
- मध्यम: 8 काळे आणि 6 पांढरे चेंडू: पांढरे : सर्व = 6 : 14.
- परीक्षेतील प्रकार: MATHEMATICS: स्वर : व्यंजने = 4 : 7.
नियम 2 : आधी एकक सारखी करा — गुणोत्तर लिहिण्यापूर्वी दोन्ही राशी एकाच एककात आणा.
- सोपे: 2 मी आणि 50 cm: 200 : 50.
- मध्यम: 3 मी आणि 150 cm: 300 : 150.
- परीक्षेतील प्रकार: 1 तास आणि 20 मिनिटे: 60 : 20.
नियम 3 : गुणोत्तरावरून अज्ञात राशी काढा — समान गटांची संख्या शोधा, मग दुसरे पद तिने गुणा.
- सोपे: सफरचंद : संत्री = 3 : 5, सफरचंद 12: 12 = 3 × 4, म्हणून संत्री = 5 × 4 = 20.
- मध्यम: a : b = 5 : 2 आणि b = 14: 14 = 2 × 7, a = 5 × 7 = 35.
- परीक्षेतील प्रकार: मुले : मुली = 1 : 2 आणि 18 मुली: 9 मुले.
गुणोत्तराला एकक नसते. 200 : 50 सोपे केल्यास 4 : 1, आणि सेंटिमीटर किंवा मीटर घेतले तरी तेच.
पदे उलट क्रमाने लिहिणे. "मुले ते मुली" म्हणजे आधी मुले. तसेच एकके मिसळणे, उदा. 2 मी : 50 cm हे 2 : 50 लिहिणे.
आधी नाव घेतलेले आधी. आठवणीची युक्ती : "A ते B म्हणजे कोलनपूर्वी A".
फरक ओळखा
| मुद्दा | 3 : 5 | 5 : 3 |
|---|---|---|
| अर्थ | पहिल्याच्या 3 मागे दुसऱ्याचे 5 | पहिल्याच्या 5 मागे दुसऱ्याचे 3 |
| तेच गुणोत्तर? | नाही | नाही |
| पहिले पद | 3 | 5 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्गात 12 मुले आणि 18 मुली आहेत. मुले : मुली लिहा.
- 27 : 4 या गुणोत्तराची पदे कोणती?
- 32 मी आणि 50 cm चे गुणोत्तर सारखे एकक वापरून लिहा.
- 4सफरचंद : संत्री = 3 : 5 आणि सफरचंद 12. संत्री किती?
- 540 विद्यार्थ्यांपैकी 15 मुले. मुले : मुली लिहा.
- 6a : b = 5 : 2 आणि b = 14. a काढा.
- 7पिशवीत 8 काळे आणि 6 पांढरे चेंडू. पांढरे : सर्व चेंडू लिहा.
- 83 : 5 आणि 5 : 3 सारखी आहेत का? कारण द्या.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 112 : 18
- 27 आणि 4
- 3200 : 50
- 420
- 515 : 25
- 635
- 76 : 14
- 8नाही, क्रम महत्त्वाचा: पहिल्याच्या 3 मागे दुसऱ्याचे 5
सर्वात सोपे रूप आणि प्रमाण
लिंबू सरबताच्या दोन कृती: 4 ग्लासांना 6 चमचे साखर, आणि 6 ग्लासांना 9 चमचे. दोन्ही 2 : 3 होतात, म्हणून तितकेच गोड.
गुणोत्तर सर्वात सोप्या रूपात लिहायला दोन्ही पदांना त्यांच्या मसावि ने भागा. दोन गुणोत्तरांची सोपी रूपे सारखी असतील तर ती प्रमाणात असतात. आपण a : b :: c : d लिहितो.
आकृतीत : तिन्ही 3 : 2 होतात, म्हणून त्यांचे आकार प्रमाणात आहेत.
नियम 1 : सोपे करा — दोन्ही पदांना मसावि ने भागा.
- सोपे: 60 : 40, मसावि 20, म्हणजे 3 : 2.
- मध्यम: 48 : 36, मसावि 12, म्हणजे 4 : 3.
- परीक्षेतील प्रकार: 18 : 27 : 36, मसावि 9, म्हणजे 2 : 3 : 4.
नियम 2 : दशांश, अपूर्णांक आणि एकके — आधी दशांश किंवा अपूर्णांक काढा किंवा एकक सारखे करा, मग सोपे करा.
- सोपे: 1.5 : 2.5 → 15 : 25 → 3 : 5.
- मध्यम: 2/3 : 5/6 → 4/6 : 5/6 → 4 : 5.
- परीक्षेतील प्रकार: 1 मी : 40 cm → 100 : 40 → 5 : 2.
नियम 3 : प्रमाणाची कसोटी — दोन्ही गुणोत्तरे सोपी करा. उत्तर सारखे तर प्रमाणात.
- सोपे: 6 : 9 आणि 10 : 15 दोन्ही 2 : 3: प्रमाणात.
- मध्यम: 5 : 8 आणि 35 : 56 दोन्ही 5 : 8: प्रमाणात.
- परीक्षेतील प्रकार: 4 : 9 आणि 20 : 40: दुसरे 1 : 2, म्हणून प्रमाणात नाही.
a : b :: c : d खरे असते जेव्हा a : b च्या दोन्ही पदांना एकाच पटीने गुणून c : d मिळते.
फक्त एकच पद तपासणे. 4 : 9 आणि 20 : 40: 4 × 5 = 20 पण 9 × 5 = 45, 40 नाही, म्हणून प्रमाणात नाहीत.
काही सामाईक उरत नाही तोवर मसावि ने भागा. आठवणीची युक्ती : "दोन्ही आक्रसा, आक्रसणे थांबेपर्यंत".
फरक ओळखा
| मुद्दा | गुणोत्तर | प्रमाण |
|---|---|---|
| ते काय? | दोन राशींची तुलना | दोन गुणोत्तरांची समानता |
| उदाहरण | 6 : 9 | 6 : 9 :: 10 : 15 |
| पदे | 2 | 4 |
सरावासाठी प्रश्न
- 160 : 40 सोपे करा.
- 224 : 36 सोपे करा.
- 36 : 9 आणि 10 : 15 प्रमाणात आहेत का?
- 41.5 : 2.5 सोपे करा.
- 5100 : 250 सोपे करा.
- 65 : 8 आणि 35 : 56 प्रमाणात आहेत का?
- 718 : 27 : 36 सोपे करा.
- 84 : 9 आणि 20 : 40 प्रमाणात आहेत का? का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13 : 2
- 22 : 3
- 3होय, दोन्ही 2 : 3
- 43 : 5
- 52 : 5
- 6होय, दोन्ही 5 : 8
- 72 : 3 : 4
- 8नाही: 4 : 9 तसेच राहते पण 20 : 40 म्हणजे 1 : 2
प्रमाणबद्ध विचाराने उदाहरणे सोडवणे
रंगारी जाणतो की 3 लिटर रंग 12 मी² भिंत रंगवतो. 20 मी² भिंतीसाठी तो अंदाज करत नाही: 20 = 12 × 5/3, म्हणून 3 × 5/3 = 5 लिटर लागतात.
प्रमाणाच्या उदाहरणात सर्व राशी एकाच पटीने बदलतात. पद्धत 1: बदलाची पट शोधा. पद्धत 2: एका एककाची किंमत शोधा आणि गुणा.
आकृतीत : दोन्ही ओळी एका स्तंभातून पुढच्यात एकाच पटीने गुणल्या जातात.
नियम 1 : पट पद्धत — ज्ञात राशी किती वेळा पुनरावृत्त झाली ते शोधा आणि दुसरी राशी तितक्याच वेळा पुन्हा घ्या.
- सोपे: 3 : 7 :: 12 : x: 3 × 4 = 12, म्हणून x = 7 × 4 = 28.
- मध्यम: 5 : 9 :: 35 : x: 5 × 7 = 35, म्हणून x = 9 × 7 = 63.
- परीक्षेतील प्रकार: तांदूळ : पाणी = 2 : 5; 6 कप तांदूळ: 6 = 2 × 3, पाणी = 5 × 3 = 15 कप.
नियम 2 : एकक पद्धत — एकाची किंमत शोधा आणि हव्या त्या संख्येने गुणा.
- सोपे: 6 वह्यांना ₹90: एक ₹15, म्हणून 10 ना ₹150.
- मध्यम: नळ 8 मिनिटांत 40 लिटर भरतो: मिनिटाला 5 लिटर, म्हणून 20 मिनिटांत 100 लिटर.
- परीक्षेतील प्रकार: रेल्वे 4 तासांत 240 km जाते: ताशी 60 km, म्हणून 420 km ला 7 तास.
नियम 3 : दोन परिस्थितींची तुलना — दोन्ही गुणोत्तरे सोपी करा. सोपी रूपे सारखी म्हणजे ताकद, चव किंवा वेग सारखा.
- सोपे: रस : पाणी 4 : 6 आणि 6 : 9 दोन्ही 2 : 3: चव सारखी.
- मध्यम: 3 मी मध्ये 60 विटा आणि 2 मी मध्ये 40 विटा: दोन्ही मीटरला 20.
- परीक्षेतील प्रकार: सिमेंट : वाळू = 1 : 4; 12 पोती वाळूला 12 ÷ 4 = 3 पोती सिमेंट.
प्रत्यक्ष प्रमाण म्हणजे: एक राशी 3 पट झाली की दुसरीही 3 पट (जास्त रंग, जास्त क्षेत्र).
गुणाकाराऐवजी बेरीज करणे: "3 लिटर साठी 12 मी², म्हणून 5 लिटर साठी 14 मी²" चूक. बरोबर 20 मी².
आधी एकावर या, मग हव्या संख्येवर. आठवणीची युक्ती : "आधी एक, मग अनेक".
फरक ओळखा
| मुद्दा | पट पद्धत | एकक पद्धत |
|---|---|---|
| कल्पना | किती वेळा पुनरावृत्त | एकाची किंमत |
| केव्हा चांगली | संख्या नीट भागतात | पट अवघड असते |
| उदाहरण | 3 : 7 :: 12 : 28 | 6 साठी ₹90 → 1 साठी ₹15 |
सरावासाठी प्रश्न
- 13 लिटर रंग 12 मी² रंगवतो. 20 मी² साठी किती लिटर?
- 23 : 7 :: 12 : x असेल तर x काढा.
- 36 वह्यांची किंमत ₹90. 10 ची किंमत काढा.
- 4गाडी 3 तासांत 150 km जाते. त्याच वेगाने 9 तासांत किती?
- 5नकाशाचे प्रमाण 1 cm : 5 km. रस्ता नकाशात 7.5 cm. खरी लांबी काढा.
- 64 जणांच्या कृतीत 300 ग्रॅम पीठ. 10 जणांसाठी किती?
- 7मिश्रण A: 4 कप रस, 6 कप पाणी. मिश्रण B: 6 कप रस, 9 कप पाणी. चव सारखी?
- 836 cm रुंद आणि 24 cm उंच फोटोची प्रत 15 cm उंच केली. नवी रुंदी काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 15 लिटर
- 228
- 3₹150
- 4450 km
- 537.5 km
- 6750 g
- 7होय, दोन्ही 2 : 3
- 822.5 cm
गुणोत्तरात वाटणी आणि एकक रूपांतर
दोन मित्रांनी स्टॉलवर मिळून ₹1200 कमावले आणि एकाने जास्त तास काम केल्याने 3 : 2 गुणोत्तरात वाटण्याचे ठरवले. पैशाचे ₹240 चे 5 समान भाग; त्यांना 3 भाग आणि 2 भाग.
एकूण रक्कम a : b गुणोत्तरात वाटायला: (1) पदे मिळवून भाग मोजा, (2) एकूणला त्याने भागून 1 भागाची किंमत काढा, (3) प्रत्येक पदाला त्या किमतीने गुणा.
आकृतीत : पट्टी 5 समान भागांत कापली; एकाला 3 भाग आणि दुसऱ्याला 2 भाग.
नियम 1 : एकूण वाटा — भाग = पदांची बेरीज; 1 भाग = एकूण ÷ भाग.
- सोपे: ₹1200 चे 3 : 2: 5 भाग, प्रत्येकी ₹240, वाटे ₹720 आणि ₹480.
- मध्यम: 64 चे 5 : 3: 8 भाग, प्रत्येकी 8; वाटे 40 आणि 24.
- परीक्षेतील प्रकार: त्रिकोणाचे कोन 2 : 3 : 4: 9 भाग, प्रत्येकी 20°, कोन 40°, 60°, 80°.
नियम 2 : दिलेला भाग किंवा फरक वापरा — ज्ञात रक्कम तिच्या भागांशी जुळवून 1 भाग काढा.
- सोपे: वाटे 5 : 4 आणि लहान 36: 1 भाग = 9, एकूण 81.
- मध्यम: संख्या 7 : 3 आणि फरक 20: 4 भाग = 20, 1 भाग = 5, संख्या 35 आणि 15.
- परीक्षेतील प्रकार: वये 7 : 2 आणि मुलगी 8: 1 भाग = 4, आई = 28.
नियम 3 : एकक रूपांतरे — रूपांतर म्हणजे प्रमाणच: रूपांतर गुणकाने गुणा किंवा भागा.
- सोपे: 3.5 km = 3.5 × 1000 = 3500 m.
- मध्यम: 10 इंच = 10 × 2.54 = 25.4 cm.
- परीक्षेतील प्रकार: 36 km/तास = 36 × 1000 ÷ 3600 = 10 मी/से; 3 हेक्टर = 30,000 मी².
वाटे तपासा: त्यांची बेरीज एकूण इतकी (720 + 480 = 1200) आणि गुणोत्तर दिलेले असावे.
एकूण एका पदाने भागणे, पदांच्या बेरजेने नाही: ₹1200 ÷ 3 चूक; बरोबर भाजक 3 + 2 = 5.
मिळवा, भागा, गुणा. आठवणीची युक्ती : "मिभागु: पदे मिळवा, एकूण भागा, प्रत्येक पद गुणा".
फरक ओळखा
| मुद्दा | चूक | बरोबर |
|---|---|---|
| ₹1200 चे 3 : 2 | ₹1200 ÷ 3 = ₹400 | ₹1200 ÷ 5 = ₹240 |
| वाटे | ₹1200 आणि ₹800 | ₹720 आणि ₹480 |
| वाट्यांची बेरीज | ₹2000 | ₹1200 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1₹1200 3 : 2 गुणोत्तरात वाटा. मोठा वाटा काढा.
- 235 मिठाया 4 : 3 गुणोत्तरात वाटा. मोठा वाटा काढा.
- 33.5 km मीटरमध्ये बदला.
- 464 चे 5 : 3 गुणोत्तरात भाग करा. लहान भाग काढा.
- 5दोन वाटे 5 : 4 गुणोत्तरात आणि लहान 36. एकूण काढा.
- 65 किग्रॅ 250 ग्रॅम ग्रॅममध्ये बदला.
- 7त्रिकोणाचे कोन 2 : 3 : 4 गुणोत्तरात. सर्वात मोठा कोन काढा.
- 8दोन संख्या 7 : 3 गुणोत्तरात आणि फरक 20. मोठी काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1₹720
- 220
- 33500 m
- 424
- 581
- 65250 g
- 780°
- 835