K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 8 · गणित भाग १

भाग 1, प्रकरण 2: घातांचा खेळ (Power Play)

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

घातांक आणि घातांकी रूप

रोजच्या जीवनातून

कागदाची एक घडी केली की 2 थर, दोन घड्या 4 थर, तीन घड्या 8 थर. थर दुप्पट होत जातात: 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, ... असे लांब गुणाकार पुन्हा पुन्हा लिहिणे कंटाळवाणे, म्हणून आपण घात वापरतो.

सोपी व्याख्या

nᵃ म्हणजे n ला स्वतःशी a वेळा गुणणे. n हा आधार आणि a हा घातांक. उदा. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵ = 32.

2¹22²42³82⁴162⁵322⁶64

आकृतीत : प्रत्येक स्तंभ आधीच्याच्या दुप्पट: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64.

नियम 1 : घात वाचा आणि लिहा — घातांक सांगतो की आधार किती वेळा गुणायचा, कशाने गुणायचा हे नाही.

  • सोपे: 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243.
  • मध्यम: 2 × 3³ = 2 × 27 = 54 (घात फक्त 3 वर लागतो).
  • परीक्षेतील प्रकार: 1800 = 2³ × 3² × 5² (2 ने तीन वेळा, 3 ने दोनदा, 5 ने दोनदा भागा).

नियम 2 : अक्षरांसह घात — प्रत्येक अक्षर-संख्या स्वतंत्र मोजा आणि तिचा घातांक लिहा.

  • सोपे: y × y × y = y³.
  • मध्यम: 3 × 3 × k × k × k × k = 3²k⁴.
  • परीक्षेतील प्रकार: 4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12, पण 4 × 4 × 4 = 4³ = 64.

नियम 3 : घातांची चिन्हे — ऋण आधार आणि विषम घातांक = ऋण उत्तर; सम घातांक = धन उत्तर.

  • सोपे: (−1)⁹ = −1.
  • मध्यम: (−1)⁴⁰ = +1.
  • परीक्षेतील प्रकार: (−3)³ × (−2)² = (−27) × 4 = −108.
लक्षात ठेवा

कोणत्याही संख्येचा घात 1 असेल तर ती संख्या तीच राहते (7¹ = 7) आणि 0 चा कोणताही घात 0. दुप्पट होत जाणे जबरदस्त आहे: 2¹⁰ = 1024.

सामान्य चूक

5³ आणि 5 × 3 = 15 यांत गोंधळ. बरोबर: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.

शॉर्टकट

ऋण घाताचे चिन्ह तपासण्यासाठी उणे चिन्हे मोजा: विषम → ऋण, सम → धन. आठवणीची युक्ती : "सम = धन, विषम = ऋण".

फरक ओळखा

मुद्दापुनःपुन्हा बेरीजपुनःपुन्हा गुणाकार
असे लिहितात5 × 44⁵
अर्थ4 + 4 + 4 + 4 + 44 × 4 × 4 × 4 × 4
किंमत201024

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 14 × 4 × 4 × 4 × 4 घातांकी रूपात लिहा.
  2. 22⁶ काढा.
  3. 3(−5)² काढा.
मध्यम
  1. 41800 मूळ संख्यांच्या घातांच्या गुणाकारात लिहा.
  2. 52 × 3³ काढा.
  3. 6(−2)⁷ काढा आणि ते धन की ऋण ते सांगा.
आव्हानात्मक
  1. 70.004 cm जाडीचा कागद 6 वेळा घडी केला (प्रत्येक वेळी दुप्पट). जाडी काढा.
  2. 83⁴ आणि 4³ यापैकी कोणते मोठे आणि किती ने?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14⁵
  2. 264
  3. 325
  4. 42³ × 3² × 5²
  5. 554
  6. 6−128 (ऋण: विषम घात)
  7. 70.004 × 64 = 0.256 cm
  8. 83⁴ = 81 हे 4³ = 64 पेक्षा 17 ने मोठे

घातांची गुणाकार आणि घाताचा घात

रोजच्या जीवनातून

मिठाईवाल्याकडे 3 ताटे, प्रत्येक ताटात 3 पेट्या, प्रत्येक पेटीत 3 लाडू. लाडू 3 × 3 × 3 = 3³. आणखी 3 ने गुणायचे तर 3³ × 3¹ = 3⁴. पुन्हा मोजायचे नाही; घातांक मिळवायचे.

सोपी व्याख्या

आधार समान: nᵃ × nᵇ = nᵃ⁺ᵇ. घाताचा घात: (nᵃ)ᵇ = nᵃˣᵇ. घातांक समान: nᵃ × mᵃ = (n × m)ᵃ.

Live आकृती

घातांची गुणाकार आणि घाताचा घात

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : आधार समान: घातांक मिळवा — आधार एकदा लिहा आणि घातांक मिळवा. आधार गुणू नका.

  • सोपे: 4⁵ × 4³ = 4⁸.
  • मध्यम: 2⁴ × 2 × 2³ = 2⁴⁺¹⁺³ = 2⁸ = 256.
  • परीक्षेतील प्रकार: (−2)³ × (−2)⁴ = (−2)⁷ = −128.

नियम 2 : घाताचा घात: घातांक गुणा — (nᵃ)ᵇ म्हणजे nᵃ ला b वेळा गुणणे, म्हणून n च्या a × b प्रती.

  • सोपे: (2³)² = 2⁶ = 64.
  • मध्यम: (10²)³ = 10⁶ = 10,00,000.
  • परीक्षेतील प्रकार: 9² × 3⁴: 9 = 3² लिहा, म्हणून 9² = 3⁴ आणि 3⁴ × 3⁴ = 3⁸ = 6561.

नियम 3 : घातांक समान: आधार गुणा — दोन घातांचे घातांक समान असतील तर आधार एकत्र करून एकच घातांक लिहा.

  • सोपे: 2³ × 5³ = 10³ = 1000.
  • मध्यम: 2⁵ × 3⁵ = 6⁵ = 7776.
  • परीक्षेतील प्रकार: 16⁵ × 4³: 16⁵ = (2⁴)⁵ = 2²⁰ आणि 4³ = 2⁶, म्हणून गुणाकार 2²⁶.
लक्षात ठेवा

फक्त समान आधाराचे घात असतील तरच घातांक मिळवता येतात: 2³ × 3² हे 6⁵ नाही. आणि a × b = b × a म्हणून (nᵃ)ᵇ = (nᵇ)ᵃ.

सामान्य चूक

आधारही गुणणे: 6² × 6² = 6⁴, 36⁴ किंवा 12⁴ नाही. नियम मिसळणे: 5³ × 5² = 5⁵ (मिळवा) पण (5³)² = 5⁶ (गुणा).

शॉर्टकट

"गुणाकार → बेरीज; घाताचा घात → गुणाकार" - क्रिया बदलते. आठवणीची युक्ती : "× → +, ( )ᵃ → ×".

फरक ओळखा

मुद्दाnᵃ × nᵇ(nᵃ)ᵇ
नियमघातांक मिळवा: nᵃ⁺ᵇघातांक गुणा: nᵃˣᵇ
उदाहरण3² × 3⁴ = 3⁶(3²)⁴ = 3⁸
किंमत7296561

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 14⁵ × 4³ सोपे करा.
  2. 2(2³)² काढा.
  3. 3y⁷ × y² सोपे करा.
मध्यम
  1. 42⁵ × 3⁵ काढा.
  2. 5(10²)³ एकाच घातांकात लिहा.
  3. 63⁴ × 3⁴ काढा आणि 3 चा एक घात म्हणून लिहा.
आव्हानात्मक
  1. 716⁵ × 4³ हे 2 च्या घाताच्या रूपात लिहा.
  2. 87ᵏ × 7⁴ = 7¹¹ असेल तर k काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14⁸
  2. 264
  3. 3y⁹
  4. 47776
  5. 510⁶
  6. 63⁸ = 6561
  7. 72²⁶
  8. 87

घातांची भागाकार, शून्य आणि ऋण घातांक

रोजच्या जीवनातून

दुकानदाराकडे 2⁸ पेन्सिली आणि तो 2⁵ विकतो. उरलेल्या 2⁸ ÷ 2⁵ = 2³ = 8 (घातांक वजा करा). सर्व 2⁸ विकल्या तर गुणोत्तर 2⁸ ÷ 2⁸ = 2⁰ = 1.

सोपी व्याख्या

nᵃ ÷ nᵇ = nᵃ⁻ᵇ (n ≠ 0). म्हणून n⁰ = 1 आणि n⁻ᵃ = 1/nᵃ. तसेच nᵃ ÷ mᵃ = (n ÷ m)ᵃ.

Live आकृती

घातांची भागाकार, शून्य आणि ऋण घातांक

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : आधार समान: घातांक वजा करा — आधार एकदा लिहा आणि वरच्या घातांकातून खालचा वजा करा.

  • सोपे: 6⁹ ÷ 6⁴ = 6⁵.
  • मध्यम: 10⁶ ÷ 10² = 10⁴ = 10,000.
  • परीक्षेतील प्रकार: (3⁴ × 3⁻¹) ÷ 3² = 3³ ÷ 3² = 3.

नियम 2 : शून्य घात — शून्येतर कोणत्याही संख्येचा शून्य घात 1 असतो, कारण nᵃ ÷ nᵃ = 1 आणि तेच n⁰.

  • सोपे: 8⁰ = 1.
  • मध्यम: 5⁰ + 3⁰ = 1 + 1 = 2.
  • परीक्षेतील प्रकार: (−7)⁰ = 1 आणि 100⁰ = 1.

नियम 3 : ऋण घात = व्युत्क्रम — n⁻ᵃ म्हणजे 1 भागिले nᵃ. ऋण घातांक अपूर्णांक उलटा करतो: (a/b)⁻ᵐ = (b/a)ᵐ.

  • सोपे: 2⁻⁴ = 1/2⁴ = 1/16.
  • मध्यम: 10⁻⁵ = 1/10⁵ = 0.00001.
  • परीक्षेतील प्रकार: (3/5)⁻³ = (5/3)³ = 125/27.
लक्षात ठेवा

ऋण घातांकामुळे संख्या ऋण होत नाही: 2⁻³ = 1/8, जे धन आहे. आणि n ≠ 0 असतानाच n⁰ = 1.

सामान्य चूक

2⁻³ = −8 किंवा −6 असे लिहिणे. बरोबर: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. आणखी चूक: 6⁵ ÷ 6⁷ = 6⁻² = 1/36, 6² नाही.

शॉर्टकट

"उणे घातांक म्हणजे उलटा करा": घातांकातील उणे चिन्ह म्हणजे आधार खाली न्या. आठवणीची युक्ती : n⁻ᵃ = "nᵃ वर 1".

फरक ओळखा

मुद्दाधन घातांकऋण घातांक
अर्थnᵃ = n × n × … (a वेळा)n⁻ᵃ = 1 ÷ nᵃ
उदाहरण2³ = 82⁻³ = 1/8
किंमत 1 पेक्षा मोठी?होय (n > 1 असताना)नाही, तो अपूर्णांक आहे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 16⁹ ÷ 6⁴ सोपे करा.
  2. 28⁰ काढा.
  3. 32⁻⁴ काढा.
मध्यम
  1. 415³ ÷ 5³ काढा.
  2. 510⁻⁵ दशांश रूपात लिहा.
  3. 63⁻¹ + 6⁻¹ काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7(4⁻² × 4⁵) ÷ 4² सोपे करा.
  2. 8(3/5)⁻³ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 16⁵
  2. 21
  3. 31/16
  4. 427
  5. 50.00001
  6. 61/2
  7. 74 (4⁻²⁺⁵⁻² = 4¹)
  8. 8125/27

दहाचे घात आणि वैज्ञानिक संकेतन

रोजच्या जीवनातून

पृथ्वीपासून सूर्याचे अंतर सुमारे 150000000 km. एवढी शून्ये लिहिणे आणि तुलना करणे अवघड, शून्ये चुकू शकतात. शास्त्रज्ञ ते 1.5 × 10⁸ km असे लिहितात.

सोपी व्याख्या

वैज्ञानिक संकेतन (प्रमाण रूप) संख्या x × 10ʸ अशी लिहिते, जिथे 1 ≤ x < 10 आणि y पूर्णांक. धन y साठी 10ʸ मध्ये y शून्ये; 10⁻ʸ = 1/10ʸ.

Live आकृती

दहाचे घात आणि वैज्ञानिक संकेतन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : मोठ्या संख्या: दशांश चिन्ह डावीकडे सरकवा — एक शून्येतर अंक आधी येईपर्यंत चिन्ह सरकवा. सरकवलेल्या पायऱ्या म्हणजे 10 चा धन घात.

  • सोपे: 800 = 8 × 10².
  • मध्यम: 3,60,000 = 3.6 × 10⁵.
  • परीक्षेतील प्रकार: 25,00,000 = 2.5 × 10⁶ (6 पायऱ्या सरकवा).

नियम 2 : लहान संख्या: दशांश चिन्ह उजवीकडे सरकवा — एक शून्येतर अंक आधी येईपर्यंत चिन्ह उजवीकडे सरकवा. पायऱ्या म्हणजे ऋण घात.

  • सोपे: 0.03 = 3 × 10⁻².
  • मध्यम: 0.0004 = 4 × 10⁻⁴.
  • परीक्षेतील प्रकार: 0.00000062 = 6.2 × 10⁻⁷.

नियम 3 : या संकेतनात गुणाकार आणि भागाकार — संख्यांचा गुणाकार/भागाकार करा आणि 10 चे घात मिळवा/वजा करा.

  • सोपे: (2 × 10³) × (3 × 10⁴) = 6 × 10⁷.
  • मध्यम: (4 × 10⁵) × (2 × 10³) = 8 × 10⁸.
  • परीक्षेतील प्रकार: (9 × 10⁷) ÷ (3 × 10⁴) = 3 × 10³.
लक्षात ठेवा

x × 10ʸ मध्ये x हा 1 किंवा जास्त आणि 10 पेक्षा लहान असतो. म्हणून 0.42 × 10⁶ हे प्रमाण रूपात नाही; ते 4.2 × 10⁵.

सामान्य चूक

चिन्ह चुकीच्या दिशेने सरकवणे: 45000 = 4.5 × 10⁴ (4.5 × 10⁻⁴ नाही). मोठ्या संख्यांना धन घात; 1 पेक्षा लहान संख्यांना ऋण घात.

शॉर्टकट

मोठ्या संख्येतील शून्ये मोजा: 1 च्या पुढे शून्ये असतील तर तीच संख्या घात (10⁷ = 1 कोटी). आठवणीची युक्ती : "मोठे → धन, लहान → ऋण घात".

फरक ओळखा

मुद्दामोठी संख्यालहान संख्या
उदाहरण5,000 = 5 × 10³0.005 = 5 × 10⁻³
दशांश चिन्ह सरकतेडावीकडेउजवीकडे
10 चा घातधनऋण

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 110⁴ साधी संख्या म्हणून लिहा.
  2. 2800 वैज्ञानिक संकेतनात लिहा.
  3. 32.5 × 10³ साधी संख्या म्हणून लिहा.
मध्यम
  1. 43,60,000 वैज्ञानिक संकेतनात लिहा.
  2. 50.0004 वैज्ञानिक संकेतनात लिहा.
  3. 6(4 × 10⁵) × (2 × 10³) काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7(9 × 10⁷) ÷ (3 × 10⁴) काढा.
  2. 8रेल्वे दर तासाला 1 × 10² km जाते. 1.5 × 10⁸ km जाण्यासाठी किती तास लागतील?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 110,000
  2. 28 × 10²
  3. 32500
  4. 43.6 × 10⁵
  5. 54 × 10⁻⁴
  6. 68 × 10⁸
  7. 73 × 10³
  8. 81.5 × 10⁶ तास

मोठ्या संख्या आणि घातांची तुलना

रोजच्या जीवनातून

योजना A: पहिल्या दिवशी ₹2 आणि रोज दुप्पट. योजना B: पहिल्या दिवशी ₹50, दुसऱ्या ₹100, असे. सुरुवातीला B खूप जास्त, पण A पुढे जाते आणि खूप मोठे होते. ही गुणात्मक वाढीची ताकद.

सोपी व्याख्या

बेरजेने वाढ प्रत्येक पायरीला तेवढेच मिळवते (5n). गुणाकाराने (घातांकी) वाढ प्रत्येक पायरीला तोच गुणक वापरते (2ⁿ). घातांची तुलना करण्यासाठी आधार किंवा घातांक समान करा, किंवा 2¹⁰ ≈ 10³ वापरा.

123456doubling (2ⁿ)adding 5 (5n)day

आकृतीत : नारिंगी (रोज 5 मिळवणे) सुरुवातीला पुढे, पण जांभळी (दुप्पट) पुढे जाते आणि अधिक वेगाने वाढते.

नियम 1 : समान आधार किंवा घातांकाने तुलना — दोन्ही संख्या अशा लिहा की आधार किंवा घातांक सारखा येईल, मग दुसऱ्या भागाची तुलना करा.

  • सोपे: 2⁷ = 128 हे 7² = 49 पेक्षा मोठे आहे.
  • मध्यम: 4¹⁰ = (2²)¹⁰ = 2²⁰, so 4¹⁰ = 2²⁰.
  • परीक्षेतील प्रकार: 3⁴⁰ = (3²)²⁰ = 9²⁰ आणि 2⁶⁰ = (2³)²⁰ = 8²⁰; 9 > 8 असल्याने 3⁴⁰ मोठे.

नियम 2 : 2¹⁰ ≈ 10³ वापरून अंदाज — 2¹⁰ = 1024 हे 1000 च्या अगदी जवळ, म्हणून प्रत्येक 10 वेळा दुप्पट केल्यावर सुमारे 3 शून्ये.

  • सोपे: 2²⁰ ≈ 10⁶ (सुमारे दहा लाख).
  • मध्यम: 2³⁰ ≈ 10⁹ (सुमारे शंभर कोटी).
  • परीक्षेतील प्रकार: 2⁴⁰ = (2¹⁰)⁴ ≈ (10³)⁴ = 10¹².

नियम 3 : अंक आणि किती पट मोठे ते मोजा — 10ⁿ ला n + 1 अंक असतात. aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ किती पट मोठे ते सांगते.

  • सोपे: 10¹⁰ ला 11 अंक असतात.
  • मध्यम: 10⁴ ÷ 10² = 100, म्हणजे 10⁴ हे 10² च्या 100 पट.
  • परीक्षेतील प्रकार: 2¹² = 4096, म्हणून राशी 12 वेळा दुप्पट केल्यास ती 4096 पट होते.
लक्षात ठेवा

दहा वेळा दुप्पट केले तर राशी सुमारे 1000 पट; वीस वेळा सुमारे दहा लाख पट. लहान आधार आणि मोठा घातांक हा मोठ्या आधार आणि लहान घातांकावर भारी पडू शकतो.

सामान्य चूक

फक्त आधार पाहून ठरवणे: 7 > 2 तरी 2⁷ = 128 हे 7² = 49 पेक्षा मोठे. नेहमी दोन्ही काढा किंवा समान रूपात लिहा.

शॉर्टकट

समान घातांकात लिहा: 3⁴⁰ आणि 2⁶⁰ ची तुलना करण्यासाठी घातांकातून सामाईक अवयव 20 काढा. आठवणीची युक्ती : "घातांक समान? आधार पाहा. आधार समान? घातांक पाहा."

फरक ओळखा

मुद्दाबेरजेने वाढगुणाकाराने वाढ
प्रत्येक पायरीलातेवढीच संख्या मिळवातोच गुणक वापरा
उदाहरण (सुरुवात 1)1, 6, 11, 16 …1, 2, 4, 8 …
वेगस्थिरखूप वेगाने प्रचंड

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 12⁷ आणि 7² यापैकी कोणते मोठे?
  2. 210⁴ हे 10² पेक्षा किती पट मोठे आहे?
  3. 310¹⁰ ला किती अंक असतात?
मध्यम
  1. 41 पेशी 12 वेळा दुप्पट होते. एकूण पेशी किती?
  2. 52¹⁰ ≈ 10³ वापरून 2³⁰ चा अंदाज करा.
  3. 64¹⁰ आणि 2²⁰ ची तुलना करा.
आव्हानात्मक
  1. 73⁴⁰ आणि 2⁶⁰ यापैकी कोणते मोठे?
  2. 8योजना A: पहिल्या दिवशी ₹2, रोज दुप्पट (2, 4, 8, …). योजना B: ₹50 × दिवस क्रमांक (50, 100, 150, …). कोणत्या दिवशी योजना A प्रथम योजना B ला मागे टाकते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 12⁷ = 128 (7² = 49)
  2. 2100
  3. 311
  4. 44096
  5. 5≈ 10⁹
  6. 6समान: 4¹⁰ = (2²)¹⁰ = 2²⁰
  7. 73⁴⁰ (9²⁰ > 8²⁰)
  8. 89 वा दिवस (512 > 450); 8 व्या दिवशी 256 < 400