K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 8 · गणित भाग १

भाग 1, प्रकरण 3: संख्यांची कहाणी (A Story of Numbers)

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

मोजणी, ताळा-खुणा आणि अंकचिन्हे

रोजच्या जीवनातून

दुकानदार प्रत्येक पोत्यासाठी एक रेघ काढतो आणि प्रत्येक पाचवी रेघ चार रेघांवर आडवी मारतो. शेवटी तो पाचांचे गठ्ठे मोजतो आणि मग उरलेल्या रेघा.

सोपी व्याख्या

ताळा-खुणा म्हणजे प्रत्येक वस्तूसाठी एक रेघ, पाचांच्या गटांत. अंकचिन्ह म्हणजे संख्येचे चिन्ह: 7, VII आणि "सात" ही एका संख्येची तीन अंकचिन्हे. बेरीज पद्धतीत चिन्हांच्या किमती मिळवतात आणि क्रम महत्त्वाचा नसतो.

आकृतीत : 3 पाचांचे गठ्ठे आणि 2 रेघा: 3 × 5 + 2 = 17.

नियम 1 : ताळा-खुणा वाचा — एकूण = 5 × (गठ्ठे) + (सुट्ट्या रेघा).

  • सोपे: 3 गठ्ठे आणि 2 रेघा: 15 + 2 = 17.
  • मध्यम: 6 गठ्ठे आणि 4 रेघा: 30 + 4 = 34.
  • परीक्षेतील प्रकार: 7 गठ्ठे + 3 रेघा, मग 2 गठ्ठे + 4 रेघा: 38 + 14 = 52.

नियम 2 : संख्या की अंकचिन्ह? — संख्या म्हणजे "किती" ही कल्पना; अंकचिन्ह म्हणजे ती लिहिण्याची पद्धत.

  • सोपे: 7, VII आणि "सात" ही एकाच संख्येची अंकचिन्हे.
  • मध्यम: XII, 12 आणि "बारा" ही सर्व एकाच संख्येची नावे.
  • परीक्षेतील प्रकार: अंकचिन्ह बदलले तरी संख्या बदलत नाही: 1 + 1 = 2 = II.

नियम 3 : बेरीज पद्धतीची चिन्हे — ▲ = 1, ● = 10, ■ = 100 मानू. सर्व चिन्हांच्या किमती मिळवा; क्रम महत्त्वाचा नाही.

  • सोपे: ■■●▲ = 200 + 10 + 1 = 211.
  • मध्यम: ■●●●●▲▲▲ = 100 + 40 + 3 = 143 (कोणत्याही क्रमाने).
  • परीक्षेतील प्रकार: 1048 साठी 10 ■, 4 ● आणि 8 ▲ = 22 चिन्हे लागतात.
लक्षात ठेवा

ताळा-खुणा लहान मोजणीला योग्य. मोठ्या मोजणीसाठी मोठ्या गटांची (10, 100, ...) चिन्हे लागतात; अशाच प्रकारे अंक-पद्धती सुरू झाल्या.

सामान्य चूक

चिन्हे गुणणे: ▲● म्हणजे 1 + 10 = 11, 1 × 10 = 10 नाही.

शॉर्टकट

आधी पाचांचे गठ्ठे मोजा, मग सुट्ट्या रेघा मिळवा. आठवणीची युक्ती : "आधी पाचवे, मग सुटे".

फरक ओळखा

मुद्दाताळा-खुणाबेरीज पद्धतीची चिन्हे
वापरलेली चिन्हेफक्त एकच रेघ1, 10, 100 साठी वेगळी चिन्हे
100 लिहिणे100 रेघा (20 गठ्ठे)1 चिन्ह ■
क्रम महत्त्वाचा का?नाहीनाही

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1ताळा-खुणांत 4 पाचांचे गठ्ठे आणि 3 रेघा आहेत. एकूण किती?
  2. 2■■▲▲▲ ची किंमत काढा (▲ = 1, ● = 10, ■ = 100).
  3. 338 गोट्या दहाच्या गटांत बांधल्या. दहाचे गट किती आणि सुट्ट्या किती?
मध्यम
  1. 49 पाचांचे गठ्ठे आणि 1 रेघ: एकूण किती?
  2. 5250 लिहायला (▲ ● ■) कमीत कमी किती चिन्हे लागतात?
  3. 6▲▲●■ आणि ■●▲▲ समान आहेत का? किंमत किती?
आव्हानात्मक
  1. 7गुराख्याने सकाळी 8 गठ्ठे + 2 रेघा आणि संध्याकाळी 3 गठ्ठे + 4 रेघा लिहिल्या. एकूण प्राणी?
  2. 8प्रत्येक चिन्ह (▲ ● ■) जास्तीत जास्त 9 वेळा वापरून लिहिता येणारी सर्वात मोठी संख्या?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 123
  2. 2203
  3. 33 दहाचे गट आणि 8 सुट्ट्या
  4. 446
  5. 57 (2 ■, 5 ●)
  6. 6होय, दोन्ही 112
  7. 742 + 19 = 61
  8. 8999

रोमन अंक

रोजच्या जीवनातून

घड्याळाच्या चेहऱ्यावर, पुस्तकाच्या प्रकरणांवर आणि चित्रपटाच्या शेवटच्या वर्षांत रोमन अंक दिसतात: घड्याळावर XII, पुस्तकात "प्रकरण IV".

सोपी व्याख्या

रोमन चिन्हे: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. मोठ्या चिन्हानंतर लहान चिन्ह असेल तर बेरीज (VI = 6); मोठ्या चिन्हाआधी लहान चिन्ह असेल तर वजाबाकी (IV = 4). शून्य नाही आणि स्थानमूल्य नाही.

Live आकृती

रोमन अंक

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : रोमन अंक वाचणे — डावीकडून उजवीकडे जा: प्रत्येक चिन्ह मिळवा, पण पुढचे चिन्ह मोठे असेल तर वजा करा.

  • सोपे: XXVII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27.
  • मध्यम: XLIV = (50 − 10) + (5 − 1) = 44.
  • परीक्षेतील प्रकार: CMXCIV = 900 + 90 + 4 = 994.

नियम 2 : पुनरावृत्ती आणि वजाबाकीच्या मर्यादा — I, X, C, M जास्तीत जास्त 3 वेळा; V, L, D कधीच नाही. फक्त I, X, C वजा करता येतात आणि फक्त पुढच्या दोन मोठ्या चिन्हांमधून.

  • सोपे: III = 3 चालते पण IIII चालत नाही; 4 म्हणजे IV.
  • मध्यम: VX चुकीचे आहे; 5 म्हणजे फक्त V.
  • परीक्षेतील प्रकार: 99 म्हणजे XCIX, IC नाही.

नियम 3 : संख्या रोमनमध्ये लिहिणे — संख्येचे हजार, शेकडे, दशक आणि एकक असे भाग करून प्रत्येक भाग लिहा.

  • सोपे: 38 = 30 + 8 = XXX + VIII = XXXVIII.
  • मध्यम: 49 = 40 + 9 = XL + IX = XLIX.
  • परीक्षेतील प्रकार: 2049 = 2000 + 40 + 9 = MM + XL + IX = MMXLIX.
लक्षात ठेवा

सामान्य नियमांनुसार MMMDCCCLXXXVIII = 3888 ही सर्वात लांब रोमन संख्या. स्थानमूल्य नसल्यामुळे रोमन अंकांची बेरीज/गुणाकार अवघड.

सामान्य चूक

4 हे IIII किंवा 9 हे VIIII लिहिणे. बरोबर: 4 = IV आणि 9 = IX. तसेच शून्यासाठी रोमन चिन्ह नाही.

शॉर्टकट

क्रम I V X L C D M लक्षात ठेवा. आठवणीची युक्ती : "I Value Xylophones Like Cool Drinks Mildly".

फरक ओळखा

मुद्दारोमन अंकहिंदू-अरबी अंक
शून्यनाहीआहे
स्थानमूल्यनाहीआहे
49 असे लिहितातXLIX49
आकडेमोडअवघडस्तंभ पद्धतीने सोपी

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1XXIX वाचा.
  2. 218 रोमन अंकांत लिहा.
  3. 3V की X पुनरावृत्त करता येते?
मध्यम
  1. 464 रोमन अंकांत लिहा.
  2. 5CDXL वाचा.
  3. 6XIX + XXVI = ? (उत्तर रोमनमध्ये).
आव्हानात्मक
  1. 71999 रोमन अंकांत लिहा.
  2. 83888 रोमन अंकांत लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 129
  2. 2XVIII
  3. 3X (V कधीच पुनरावृत्त होत नाही)
  4. 4LXIV
  5. 5440
  6. 6XLV
  7. 7MCMXCIX
  8. 8MMMDCCCLXXXVIII

वेगवेगळ्या आधारांच्या संख्या पद्धती

रोजच्या जीवनातून

दुकानदार अंडी 6 च्या ट्रेमध्ये भरतो. 40 अंड्यांचे 6 पूर्ण ट्रे आणि 4 सुटी. 10 ऐवजी 6 च्या गटांत मोजणे म्हणजे आधार 6 मध्ये विचार करणे.

सोपी व्याख्या

आधार b मध्ये अंक 0 ते b − 1 वापरतात आणि उजवीकडून स्थानमूल्ये 1, b, b × b, ... असतात. संख्येची किंमत म्हणजे (अंक × स्थानमूल्य) ची बेरीज. आधार संख्येखाली लिहितात: 1101₂.

16180412110

आकृतीत : 10110₂ = 16 + 4 + 2 = 22.

नियम 1 : इतर आधारातून दशमानात — प्रत्येक अंकाला त्याच्या स्थानमूल्याने गुणा आणि बेरीज करा.

  • सोपे: 1101₂ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
  • मध्यम: 243₅ = 2 × 25 + 4 × 5 + 3 = 73.
  • परीक्षेतील प्रकार: 345₈ = 3 × 64 + 4 × 8 + 5 = 229.

नियम 2 : दशमानातून इतर आधारात — आधाराने वारंवार भागा; उरलेल्या बाकी खालून वर वाचल्यास अंक मिळतात.

  • सोपे: 19 = 10011₂ (19 = 16 + 2 + 1).
  • मध्यम: 87 = 322₅ (87 = 3 × 25 + 2 × 5 + 2).
  • परीक्षेतील प्रकार: 100 = 144₈ (100 = 64 + 32 + 4).

नियम 3 : द्वयंक पद्धतीत बेरीज — आधार 2 मध्ये 1 + 1 = 10 (0 लिहा, 1 हातचा). उजवीकडून स्तंभानुसार बेरीज करा.

  • सोपे: 11₂ + 10₂ = 101₂ (3 + 2 = 5).
  • मध्यम: 101₂ + 11₂ = 1000₂ (5 + 3 = 8).
  • परीक्षेतील प्रकार: 1011₂ + 110₂ = 10001₂ (11 + 6 = 17).
लक्षात ठेवा

आधार b मध्ये अंक b कधीच नसतो: आधार 5 मध्ये फक्त 0 ते 4. संगणक आधार 2 वापरतात, कारण स्विचची दोन स्थिती: बंद (0) आणि चालू (1).

सामान्य चूक

101₂ ला "एकशे एक" वाचणे (ते 5 आहे) किंवा आधार 5 मध्ये अंक 5 वापरणे.

शॉर्टकट

द्वयंक डावीकडून वाचा: 0 पासून सुरुवात, दुप्पट करा आणि पुढचा अंक मिळवा, पुन्हा तसेच. आठवणीची युक्ती : "दुप्पट करा आणि मिळवा".

फरक ओळखा

मुद्दाआधार 2आधार 10
वापरलेले अंक0, 10 to 9
स्थानमूल्ये1, 2, 4, 8, ...1, 10, 100, ...
1011 चा अर्थ1011₂ = 11एक हजार अकरा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1101₂ दशमान संख्येत लिहा.
  2. 2आधार 4 मध्ये किती अंक वापरतात?
  3. 310 आधार 2 मध्ये लिहा.
मध्यम
  1. 4321₄ दशमान संख्येत लिहा.
  2. 545 आधार 6 मध्ये लिहा.
  3. 6111₂ + 1₂ ची बेरीज आधार 2 मध्ये काढा.
आव्हानात्मक
  1. 72102₃ दशमान संख्येत लिहा.
  2. 8आधार 5 मधील सर्वात लहान 4-अंकी संख्या दशमानात काय?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15
  2. 24 (0, 1, 2, 3)
  3. 31010₂
  4. 457
  5. 5113₆
  6. 61000₂
  7. 765
  8. 8125 (म्हणजे 1000₅)

स्थानमूल्य पद्धती (आधार 60 आणि 20)

रोजच्या जीवनातून

घड्याळ पाहा: 3725 सेकंद म्हणजे 1 तास 2 मिनिटे 5 सेकंद. आपण वेळ 60 च्या गटांत मोजतो; ही सवय प्राचीन बॅबिलोनियनांकडून आली, ज्यांनी आधार 60 वापरला.

सोपी व्याख्या

स्थानमूल्य पद्धतीत अंकाची किंमत = अंक × त्याच्या स्थानाची किंमत. बॅबिलोनियनांनी आधार 60, मायांनी आधार 20 आणि भारतीयांनी आधार 10 वापरला. रिकाम्या जागेसाठी खूण (शून्य) लागते, नाहीतर गोंधळ होतो.

36002601015

आकृतीत : (2, 10, 5) = 2 × 3600 + 10 × 60 + 5 = 7805.

नियम 1 : दर्शनी किंमत आणि स्थानमूल्य — दर्शनी किंमत म्हणजे अंक स्वतः; स्थानमूल्य = अंक × स्थानाची किंमत.

  • सोपे: 5372 मध्ये 3 ची दर्शनी किंमत 3 आणि स्थानमूल्य 300.
  • मध्यम: 40,906 मध्ये 9 चे स्थानमूल्य 900.
  • परीक्षेतील प्रकार: 7,070 मधील दोन 7 ची स्थानमूल्ये 7000 आणि 70; फरक 6930.

नियम 2 : आधार 60 वाचणे — उजवीकडून स्थानमूल्ये: 1, 60, 3600, ...

  • सोपे: (2, 10) = 2 × 60 + 10 = 130.
  • मध्यम: (4, 15, 30) = 4 × 3600 + 15 × 60 + 30 = 15330.
  • परीक्षेतील प्रकार: 5000 सेकंद = 1 तास 23 मिनिटे 20 सेकंद, कारण 3600 + 23 × 60 + 20 = 5000.

नियम 3 : आधार 20 वाचणे — उजवीकडून स्थानमूल्ये: 1, 20, 400, 8000, ...

  • सोपे: (3, 12) = 3 × 20 + 12 = 72.
  • मध्यम: (2, 5, 7) = 2 × 400 + 5 × 20 + 7 = 907.
  • परीक्षेतील प्रकार: (6, 0, 3) = 6 × 400 + 0 × 20 + 3 = 2403.
लक्षात ठेवा

60 ला 12 अवयव असल्याने 60 चा निम्मा, तिसरा, चौथा, पाचवा, सहावा भाग पूर्ण संख्या असतो; म्हणून वेळ आणि कोन मोजायला आधार 60 सोयीचा होता.

सामान्य चूक

आधार 60 मधील (1, 5) ला 15 वाचणे. बरोबर: 1 × 60 + 5 = 65. आणि (1, 0, 5) = 3605 हे खूप वेगळे.

शॉर्टकट

डावीकडून सुरू करा: आधाराने गुणा, मग पुढचा अंक मिळवा. (4, 15, 30) साठी: 4 × 60 + 15 = 255, मग 255 × 60 + 30 = 15330. आठवणीची युक्ती : "आधाराने गुणा, मग मिळवा".

फरक ओळखा

मुद्दारोमन अंकस्थानमूल्य पद्धती
स्थानावरून किंमत ठरते का?नाहीहोय
शून्य/रिकाम्या जागेची खूण हवी का?नाहीहोय
दोन सारखी चिन्हेXX: दोन्ही X = 1022: दोन 2 = 20 आणि 2

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 18,431 मध्ये 4 चे स्थानमूल्य किती?
  2. 2आधार 60 मधील (1, 30) काढा.
  3. 3आधार 20 मधील (2, 3) काढा.
मध्यम
  1. 4आधार 60 मधील (3, 0, 2) काढा.
  2. 55000 सेकंद तास, मिनिटे, सेकंदांत लिहा.
  3. 6आधार 20 मधील (1, 10, 0) काढा.
आव्हानात्मक
  1. 75,050 मध्ये दोन 5 च्या स्थानमूल्यांतील फरक किती?
  2. 8शून्याशिवाय आधार 60 मध्ये (1, 0, 5) आणि (1, 5) यांचा गोंधळ होईल. त्यांच्या किमतींतील फरक काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1400
  2. 290
  3. 343
  4. 410802
  5. 51 तास 23 मिनिटे 20 सेकंद
  6. 6600
  7. 74950
  8. 83605 − 65 = 3540

हिंदू-अरबी पद्धत आणि शून्य

रोजच्या जीवनातून

किंमतीचा लेबल ₹12,34,500. भारतात आपण अंक लाख व कोटींत गटवतो; इतर अनेक देशांत तीच रक्कम 1,234,500 अशी लिहितात. 0 ते 9 हे दहा अंक आणि शून्याची कल्पना भारतातून अरबांमार्फत जगभर पसरली.

सोपी व्याख्या

हिंदू-अरबी पद्धत ही आधार 10 ची स्थानमूल्य पद्धत असून तिच्यात 0 ते 9 हे दहा अंक आहेत. शून्य स्थान-धारक आणि संख्या दोन्ही म्हणून काम करते (a + 0 = a, a − a = 0, a × 0 = 0).

crore1ten lakh2lakh310 thou4thou5hundred0ten0one8

आकृतीत : भारतीय गटवारी: 1,23,45,008 = 1 कोटी 23 लाख 45 हजार 8.

नियम 1 : विस्तारित रूप आणि स्थानमूल्य — प्रत्येक अंक × त्याचे स्थानमूल्य लिहा; शून्य असलेली जागा काहीच भर घालत नाही.

  • सोपे: 3058 = 3 × 1000 + 5 × 10 + 8.
  • मध्यम: 40706 = 4 × 10000 + 7 × 100 + 6.
  • परीक्षेतील प्रकार: 83,50,412 मध्ये दहा लाखांचा अंक 8 आणि लाखांचा अंक 3.

नियम 2 : भारतीय आणि आंतरराष्ट्रीय स्वल्पविराम — भारतीय: उजवीकडून 3 अंकांनंतर पहिला स्वल्पविराम, मग प्रत्येक 2 नंतर. आंतरराष्ट्रीय: प्रत्येक 3 नंतर.

  • सोपे: 12345678 म्हणजे 1,23,45,678 (भारतीय) आणि 12,345,678 (आंतरराष्ट्रीय).
  • मध्यम: 1 कोटी = 100 लाख = 10 दशलक्ष.
  • परीक्षेतील प्रकार: 4 कोटी 7 लाख 2 हजार 9 = 4,07,02,009.

नियम 3 : सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान संख्या बनवणे — सर्वात मोठी: अंक मोठ्याकडून लहानाकडे. सर्वात लहान: आधी सर्वात लहान शून्येतर अंक, मग बाकी चढत्या क्रमाने.

  • सोपे: अंक 3, 0, 7, 5, 1: सर्वात मोठी 75310.
  • मध्यम: अंक 3, 0, 7, 5, 1: सर्वात लहान 10357.
  • परीक्षेतील प्रकार: अंक 4, 0, 9, 2, 0, 6: सर्वात मोठी 964200 आणि सर्वात लहान 200469.
लक्षात ठेवा

शून्य काढले किंवा जोडले तर संख्या खूप बदलते: 3405 मधून शून्य काढल्यास 345, म्हणजे 3060 ने कमी.

सामान्य चूक

भारतीय स्वल्पविराम 3 च्या गटांत लावणे (12,345,678) आणि त्याला भारतीय म्हणणे. बरोबर भारतीय रूप: 1,23,45,678.

शॉर्टकट

भारतीय स्वल्पविराम: उजवीकडून "तीन, मग दोन-दोन-दोन". आठवणीची युक्ती : "तीन, मग दोन-दोन-दोन".

फरक ओळखा

मुद्दाभारतीय पद्धतआंतरराष्ट्रीय पद्धत
गटवारी3, 2, 2, ...3, 3, 3, ...
एक लाख1,00,000 (1 लाख)100,000
एक कोटी1,00,00,000 (1 कोटी)10,000,000

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 15,07,324 मध्ये 7 चे स्थानमूल्य किती?
  2. 23,05,000 शब्दांत वाचा.
  3. 31 लाख म्हणजे किती हजार?
मध्यम
  1. 46 कोटी 3 लाख 8 भारतीय स्वल्पविरामांसह लिहा.
  2. 525,00,000 आंतरराष्ट्रीय स्वल्पविरामांसह लिहा.
  3. 64, 0, 8, 2 (प्रत्येकी एकदा) वापरून सर्वात मोठी 4-अंकी संख्या.
आव्हानात्मक
  1. 79,99,999 + 11 काढा.
  2. 8सर्वात लहान 7-अंकी संख्या भारतीय स्वल्पविरामांसह लिहा आणि तिचे नाव सांगा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 17,000
  2. 2तीन लाख पाच हजार
  3. 3100
  4. 46,03,00,008
  5. 52,500,000
  6. 68420
  7. 710,00,010
  8. 810,00,000 (दहा लाख)