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CBSE · कक्षा 8 · गणित भाग १

भाग 1, अध्याय 3: संख्याओं की कहानी (A Story of Numbers)

5 अवधारणाएँ · उत्तर सहित 40 अभ्यास प्रश्न · पढ़ना मुफ़्त

यह पाठ इन भाषाओं में भी: मराठी · English

गिनती, मिलान चिह्न और अंक-चिह्न

रोज़मर्रा के जीवन से

दुकानदार हर बोरी के लिए एक रेखा खींचता है और हर पाँचवीं रेखा चार रेखाओं पर आड़ी खींचता है। अंत में वह पाँच के गुच्छे गिनता है और फिर बची रेखाएँ।

सरल परिभाषा

मिलान चिह्न में हर वस्तु के लिए एक रेखा होती है, पाँच के समूहों में। अंक-चिह्न संख्या का प्रतीक है: 7, VII और "सात" एक संख्या के तीन अंक-चिह्न हैं। योगात्मक पद्धति में चिह्नों के मान जोड़ते हैं और क्रम मायने नहीं रखता।

आकृति में : 3 पाँच के गुच्छे और 2 रेखाएँ: 3 × 5 + 2 = 17।

नियम 1 : मिलान चिह्न पढ़ें — कुल = 5 × (गुच्छे) + (अकेली रेखाएँ)।

  • आसान: 3 गुच्छे और 2 रेखाएँ: 15 + 2 = 17।
  • मध्यम: 6 गुच्छे और 4 रेखाएँ: 30 + 4 = 34।
  • परीक्षा-प्रकार: 7 गुच्छे + 3 रेखाएँ, फिर 2 गुच्छे + 4 रेखाएँ: 38 + 14 = 52।

नियम 2 : संख्या या अंक-चिह्न? — संख्या "कितना" का विचार है; अंक-चिह्न उसे लिखने का तरीका है।

  • आसान: 7, VII और "सात" एक ही संख्या के अंक-चिह्न हैं।
  • मध्यम: XII, 12 और "बारह" सभी एक ही संख्या के नाम हैं।
  • परीक्षा-प्रकार: अंक-चिह्न बदलने से संख्या नहीं बदलती: 1 + 1 = 2 = II।

नियम 3 : योगात्मक चिह्न — ▲ = 1, ● = 10, ■ = 100 मानें। सभी चिह्नों के मान जोड़ें; क्रम मायने नहीं रखता।

  • आसान: ■■●▲ = 200 + 10 + 1 = 211.
  • मध्यम: ■●●●●▲▲▲ = 100 + 40 + 3 = 143 (किसी भी क्रम में)।
  • परीक्षा-प्रकार: 1048 के लिए 10 ■, 4 ● और 8 ▲ = 22 चिह्न लगते हैं।
याद रखें

मिलान चिह्न छोटी गिनती के लिए ठीक हैं। बड़ी गिनती के लिए बड़े समूहों (10, 100, ...) के चिह्न चाहिए; इसी से अंक-पद्धतियाँ शुरू हुईं।

सामान्य गलती

चिह्नों को गुणा करना: ▲● यानी 1 + 10 = 11, 1 × 10 = 10 नहीं।

शॉर्टकट

पहले पाँच के गुच्छे गिनें, फिर अकेली रेखाएँ जोड़ें। याद रखने की युक्ति : "पहले पाँच, फिर इकाई"।

अंतर पहचानें

बिंदुमिलान चिह्नयोगात्मक चिह्न
प्रयुक्त चिह्नकेवल एक रेखा1, 10, 100 के अलग चिह्न
100 लिखना100 रेखाएँ (20 गुच्छे)1 चिह्न ■
क्या क्रम मायने रखता है?नहींनहीं

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1मिलान चिह्नों में 4 पाँच के गुच्छे और 3 रेखाएँ हैं। कुल कितने?
  2. 2■■▲▲▲ का मान ज्ञात कीजिए (▲ = 1, ● = 10, ■ = 100)।
  3. 338 कंकड़ दस के समूहों में बाँधे गए। दहाइयाँ कितनी और इकाइयाँ कितनी?
मध्यम
  1. 49 पाँच के गुच्छे और 1 रेखा: कुल कितने?
  2. 5250 लिखने के लिए (▲ ● ■) कम से कम कितने चिह्न चाहिए?
  3. 6क्या ▲▲●■ और ■●▲▲ बराबर हैं? मान क्या है?
चुनौतीपूर्ण
  1. 7चरवाहे ने सुबह 8 गुच्छे + 2 रेखाएँ और शाम 3 गुच्छे + 4 रेखाएँ लिखीं। कुल पशु?
  2. 8प्रत्येक चिह्न (▲ ● ■) अधिकतम 9 बार लेकर लिखी जा सकने वाली सबसे बड़ी संख्या?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 123
  2. 2203
  3. 33 दहाइयाँ और 8 इकाइयाँ
  4. 446
  5. 57 (2 ■, 5 ●)
  6. 6हाँ, दोनों 112
  7. 742 + 19 = 61
  8. 8999

रोमन अंक

रोज़मर्रा के जीवन से

घड़ी के चेहरे पर, पुस्तक के अध्यायों में और फ़िल्म के अंत के वर्षों में रोमन अंक दिखते हैं: घड़ी पर XII, पुस्तक में "अध्याय IV"।

सरल परिभाषा

रोमन चिह्न: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. बड़े चिह्न के बाद छोटा चिह्न हो तो जोड़ (VI = 6); बड़े चिह्न से पहले छोटा चिह्न हो तो घटाव (IV = 4)। शून्य नहीं है और स्थानीय मान नहीं है।

Live आकृति

रोमन अंक

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

ऐप में खोलें

नियम 1 : रोमन अंक पढ़ना — बाएँ से दाएँ चलें: हर चिह्न जोड़ें, पर अगला चिह्न बड़ा हो तो घटाएँ।

  • आसान: XXVII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27.
  • मध्यम: XLIV = (50 − 10) + (5 − 1) = 44.
  • परीक्षा-प्रकार: CMXCIV = 900 + 90 + 4 = 994.

नियम 2 : दोहराव और घटाव की सीमाएँ — I, X, C, M अधिकतम 3 बार; V, L, D कभी नहीं। केवल I, X, C घटाए जा सकते हैं और केवल अगले दो बड़े चिह्नों से।

  • आसान: III = 3 मान्य है पर IIII नहीं; 4 यानी IV।
  • मध्यम: VX गलत है; 5 केवल V है।
  • परीक्षा-प्रकार: 99 यानी XCIX, IC नहीं।

नियम 3 : संख्या को रोमन में लिखना — संख्या को हज़ार, सैकड़ा, दहाई और इकाई में बाँटकर हर भाग लिखें।

  • आसान: 38 = 30 + 8 = XXX + VIII = XXXVIII.
  • मध्यम: 49 = 40 + 9 = XL + IX = XLIX.
  • परीक्षा-प्रकार: 2049 = 2000 + 40 + 9 = MM + XL + IX = MMXLIX.
याद रखें

सामान्य नियमों में MMMDCCCLXXXVIII = 3888 सबसे लंबी रोमन संख्या है। स्थानीय मान न होने से रोमन अंकों में जोड़/गुणा कठिन है।

सामान्य गलती

4 को IIII या 9 को VIIII लिखना। सही: 4 = IV और 9 = IX। साथ ही शून्य का कोई रोमन चिह्न नहीं।

शॉर्टकट

क्रम I V X L C D M याद रखें। याद रखने की युक्ति : "I Value Xylophones Like Cool Drinks Mildly"।

अंतर पहचानें

बिंदुरोमन अंकहिंदू-अरबी अंक
शून्यनहींहै
स्थानीय माननहींहै
49 ऐसे लिखा जाता हैXLIX49
गणनाकठिनस्तंभ विधि से आसान

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1XXIX पढ़िए।
  2. 218 को रोमन अंकों में लिखिए।
  3. 3V या X में कौन दोहराया जा सकता है?
मध्यम
  1. 464 को रोमन अंकों में लिखिए।
  2. 5CDXL पढ़िए।
  3. 6XIX + XXVI = ? (उत्तर रोमन में)।
चुनौतीपूर्ण
  1. 71999 को रोमन अंकों में लिखिए।
  2. 83888 को रोमन अंकों में लिखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 129
  2. 2XVIII
  3. 3X (V कभी दोहराया नहीं जाता)
  4. 4LXIV
  5. 5440
  6. 6XLV
  7. 7MCMXCIX
  8. 8MMMDCCCLXXXVIII

भिन्न आधारों वाली संख्या पद्धतियाँ

रोज़मर्रा के जीवन से

दुकानदार अंडे 6 की ट्रे में भरता है। 40 अंडों से 6 पूरी ट्रे और 4 खुले अंडे। 10 की जगह 6 के समूहों में गिनना आधार 6 में सोचना है।

सरल परिभाषा

आधार b में अंक 0 से b − 1 तक प्रयुक्त होते हैं और दाएँ से स्थानीय मान 1, b, b × b, ... होते हैं। संख्या का मान (अंक × स्थानीय मान) का योग है। आधार संख्या के नीचे लिखते हैं: 1101₂।

16180412110

आकृति में : 10110₂ = 16 + 4 + 2 = 22।

नियम 1 : अन्य आधार से दशमलव में — हर अंक को उसके स्थानीय मान से गुणा करके जोड़ें।

  • आसान: 1101₂ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
  • मध्यम: 243₅ = 2 × 25 + 4 × 5 + 3 = 73.
  • परीक्षा-प्रकार: 345₈ = 3 × 64 + 4 × 8 + 5 = 229.

नियम 2 : दशमलव से अन्य आधार में — आधार से बार-बार भाग दें; शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ने पर अंक मिलते हैं।

  • आसान: 19 = 10011₂ (19 = 16 + 2 + 1).
  • मध्यम: 87 = 322₅ (87 = 3 × 25 + 2 × 5 + 2).
  • परीक्षा-प्रकार: 100 = 144₈ (100 = 64 + 32 + 4).

नियम 3 : द्विआधारी में जोड़ — आधार 2 में 1 + 1 = 10 (0 लिखें, 1 हासिल)। दाएँ से स्तंभ-दर-स्तंभ जोड़ें।

  • आसान: 11₂ + 10₂ = 101₂ (3 + 2 = 5).
  • मध्यम: 101₂ + 11₂ = 1000₂ (5 + 3 = 8).
  • परीक्षा-प्रकार: 1011₂ + 110₂ = 10001₂ (11 + 6 = 17).
याद रखें

आधार b में अंक b कभी नहीं होता: आधार 5 में केवल 0 से 4। कंप्यूटर आधार 2 प्रयोग करते हैं क्योंकि स्विच की दो अवस्थाएँ हैं: बंद (0) और चालू (1)।

सामान्य गलती

101₂ को "एक सौ एक" पढ़ना (यह 5 है) या आधार 5 में अंक 5 प्रयोग करना।

शॉर्टकट

द्विआधारी को बाएँ से पढ़ें: 0 से शुरू करें, दुगुना करें और अगला अंक जोड़ें, दोहराएँ। याद रखने की युक्ति : "दुगुना करो और जोड़ो"।

अंतर पहचानें

बिंदुआधार 2आधार 10
प्रयुक्त अंक0, 10 to 9
स्थानीय मान1, 2, 4, 8, ...1, 10, 100, ...
1011 का अर्थ1011₂ = 11एक हज़ार ग्यारह

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1101₂ को दशमलव संख्या में लिखिए।
  2. 2आधार 4 में कितने अंक प्रयुक्त होते हैं?
  3. 310 को आधार 2 में लिखिए।
मध्यम
  1. 4321₄ को दशमलव संख्या में लिखिए।
  2. 545 को आधार 6 में लिखिए।
  3. 6111₂ + 1₂ का योग आधार 2 में ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 72102₃ को दशमलव संख्या में लिखिए।
  2. 8आधार 5 की सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या दशमलव में क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 15
  2. 24 (0, 1, 2, 3)
  3. 31010₂
  4. 457
  5. 5113₆
  6. 61000₂
  7. 765
  8. 8125 (अर्थात 1000₅)

स्थानीय मान पद्धतियाँ (आधार 60 और 20)

रोज़मर्रा के जीवन से

घड़ी देखिए: 3725 सेकंड यानी 1 घंटा 2 मिनट 5 सेकंड। हम समय 60 के समूहों में गिनते हैं; यह आदत प्राचीन बेबीलोनवासियों से आई, जो आधार 60 प्रयोग करते थे।

सरल परिभाषा

स्थानीय मान पद्धति में अंक का मान = अंक × उसके स्थान का मान। बेबीलोनवासियों ने आधार 60, माया ने आधार 20 और भारतीयों ने आधार 10 प्रयोग किया। खाली स्थान के लिए चिह्न (शून्य) चाहिए, वरना भ्रम होता है।

36002601015

आकृति में : (2, 10, 5) = 2 × 3600 + 10 × 60 + 5 = 7805।

नियम 1 : अंकित मान और स्थानीय मान — अंकित मान अंक स्वयं है; स्थानीय मान = अंक × स्थान का मान।

  • आसान: 5372 में 3 का अंकित मान 3 और स्थानीय मान 300 है।
  • मध्यम: 40,906 में 9 का स्थानीय मान 900 है।
  • परीक्षा-प्रकार: 7,070 के दो 7 के स्थानीय मान 7000 और 70 हैं; अंतर 6930।

नियम 2 : आधार 60 पढ़ना — दाएँ से स्थानीय मान: 1, 60, 3600, ...

  • आसान: (2, 10) = 2 × 60 + 10 = 130.
  • मध्यम: (4, 15, 30) = 4 × 3600 + 15 × 60 + 30 = 15330.
  • परीक्षा-प्रकार: 5000 सेकंड = 1 घंटा 23 मिनट 20 सेकंड, क्योंकि 3600 + 23 × 60 + 20 = 5000।

नियम 3 : आधार 20 पढ़ना — दाएँ से स्थानीय मान: 1, 20, 400, 8000, ...

  • आसान: (3, 12) = 3 × 20 + 12 = 72.
  • मध्यम: (2, 5, 7) = 2 × 400 + 5 × 20 + 7 = 907.
  • परीक्षा-प्रकार: (6, 0, 3) = 6 × 400 + 0 × 20 + 3 = 2403.
याद रखें

60 के 12 गुणनखंड होने से 60 का आधा, तिहाई, चौथाई, पाँचवाँ, छठा भाग पूर्ण संख्या होता है; इसलिए समय और कोण मापने में आधार 60 सुविधाजनक था।

सामान्य गलती

आधार 60 के (1, 5) को 15 पढ़ना। सही: 1 × 60 + 5 = 65। और (1, 0, 5) = 3605 बहुत अलग है।

शॉर्टकट

बाएँ से शुरू करें: आधार से गुणा करें, फिर अगला अंक जोड़ें। (4, 15, 30) के लिए: 4 × 60 + 15 = 255, फिर 255 × 60 + 30 = 15330। याद रखने की युक्ति : "आधार से गुणा, फिर जोड़"।

अंतर पहचानें

बिंदुरोमन अंकस्थानीय मान पद्धतियाँ
क्या स्थान से मान तय होता है?नहींहाँ
क्या शून्य/खाली स्थान चिह्न चाहिए?नहींहाँ
दो समान चिह्नXX: दोनों X = 1022: दोनों 2 = 20 और 2

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 18,431 में 4 का स्थानीय मान क्या है?
  2. 2आधार 60 का (1, 30) ज्ञात कीजिए।
  3. 3आधार 20 का (2, 3) ज्ञात कीजिए।
मध्यम
  1. 4आधार 60 का (3, 0, 2) ज्ञात कीजिए।
  2. 55000 सेकंड को घंटे, मिनट, सेकंड में लिखिए।
  3. 6आधार 20 का (1, 10, 0) ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 75,050 में दो 5 के स्थानीय मानों का अंतर कितना है?
  2. 8शून्य के बिना आधार 60 में (1, 0, 5) और (1, 5) में भ्रम हो सकता है। उनके मानों का अंतर ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 1400
  2. 290
  3. 343
  4. 410802
  5. 51 घंटा 23 मिनट 20 सेकंड
  6. 6600
  7. 74950
  8. 83605 − 65 = 3540

हिंदू-अरबी पद्धति और शून्य

रोज़मर्रा के जीवन से

मूल्य-पर्ची पर ₹12,34,500 लिखा है। भारत में हम अंकों को लाख और करोड़ में बाँटते हैं; अन्य कई देशों में वही राशि 1,234,500 लिखी जाती है। 0 से 9 तक दस अंक और शून्य का विचार भारत से अरबों के द्वारा दुनिया में फैला।

सरल परिभाषा

हिंदू-अरबी पद्धति आधार 10 की स्थानीय मान पद्धति है जिसमें 0 से 9 तक दस अंक हैं। शून्य स्थान-धारक और संख्या दोनों रूप में काम करता है (a + 0 = a, a − a = 0, a × 0 = 0)।

crore1ten lakh2lakh310 thou4thou5hundred0ten0one8

आकृति में : भारतीय समूहन: 1,23,45,008 = 1 करोड़ 23 लाख 45 हज़ार 8।

नियम 1 : विस्तारित रूप और स्थानीय मान — हर अंक × उसका स्थानीय मान लिखें; शून्य वाले स्थान कुछ नहीं जोड़ते।

  • आसान: 3058 = 3 × 1000 + 5 × 10 + 8.
  • मध्यम: 40706 = 4 × 10000 + 7 × 100 + 6.
  • परीक्षा-प्रकार: 83,50,412 में दस लाख का अंक 8 और लाख का अंक 3 है।

नियम 2 : भारतीय और अंतरराष्ट्रीय अल्पविराम — भारतीय: दाएँ से 3 अंकों के बाद पहला अल्पविराम, फिर हर 2 के बाद। अंतरराष्ट्रीय: हर 3 के बाद।

  • आसान: 12345678 यानी 1,23,45,678 (भारतीय) और 12,345,678 (अंतरराष्ट्रीय)।
  • मध्यम: 1 करोड़ = 100 लाख = 10 मिलियन।
  • परीक्षा-प्रकार: 4 करोड़ 7 लाख 2 हज़ार 9 = 4,07,02,009।

नियम 3 : सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या बनाना — सबसे बड़ी: अंक बड़े से छोटे क्रम में। सबसे छोटी: पहले सबसे छोटा शून्येतर अंक, फिर शेष बढ़ते क्रम में।

  • आसान: अंक 3, 0, 7, 5, 1: सबसे बड़ी 75310।
  • मध्यम: अंक 3, 0, 7, 5, 1: सबसे छोटी 10357।
  • परीक्षा-प्रकार: अंक 4, 0, 9, 2, 0, 6: सबसे बड़ी 964200 और सबसे छोटी 200469।
याद रखें

शून्य हटाने या जोड़ने से संख्या बहुत बदल जाती है: 3405 से शून्य हटाने पर 345, यानी 3060 कम।

सामान्य गलती

भारतीय अल्पविराम 3-3 के समूह में लगाना (12,345,678) और उसे भारतीय कहना। सही भारतीय रूप: 1,23,45,678।

शॉर्टकट

भारतीय अल्पविराम: दाएँ से "तीन, फिर दो-दो-दो"। याद रखने की युक्ति : "तीन, फिर दो-दो-दो"।

अंतर पहचानें

बिंदुभारतीय पद्धतिअंतरराष्ट्रीय पद्धति
समूहन3, 2, 2, ...3, 3, 3, ...
एक लाख1,00,000 (1 लाख)100,000
एक करोड़1,00,00,000 (1 करोड़)10,000,000

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 15,07,324 में 7 का स्थानीय मान क्या है?
  2. 23,05,000 को शब्दों में पढ़िए।
  3. 31 लाख कितने हज़ार के बराबर है?
मध्यम
  1. 46 करोड़ 3 लाख 8 को भारतीय अल्पविराम के साथ लिखिए।
  2. 525,00,000 को अंतरराष्ट्रीय अल्पविराम के साथ लिखिए।
  3. 6अंक 4, 0, 8, 2 (प्रत्येक एक बार) से सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या।
चुनौतीपूर्ण
  1. 79,99,999 + 11 ज्ञात कीजिए।
  2. 8सबसे छोटी 7-अंकीय संख्या भारतीय अल्पविराम के साथ लिखिए और उसका नाम बताइए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 17,000
  2. 2तीन लाख पाँच हज़ार
  3. 3100
  4. 46,03,00,008
  5. 52,500,000
  6. 68420
  7. 710,00,010
  8. 810,00,000 (दस लाख)