घातांक और घातांकी रूप
कागज़ की एक तह करने पर 2 परतें, दो तह पर 4 परतें, तीन तह पर 8 परतें। परतें दुगुनी होती जाती हैं: 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, ... ऐसे लंबे गुणनफल बार-बार लिखना थकाऊ है, इसलिए हम घात का उपयोग करते हैं।
nᵃ का अर्थ n को स्वयं से a बार गुणा करना है। n आधार है और a घातांक। जैसे 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵ = 32।
आकृति में : हर स्तंभ पिछले का दुगुना है: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64।
नियम 1 : घात पढ़ें और लिखें — घातांक बताता है कि आधार को कितनी बार गुणा करना है, किससे गुणा करना है यह नहीं।
- आसान: 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243.
- मध्यम: 2 × 3³ = 2 × 27 = 54 (घात केवल 3 पर लगता है)।
- परीक्षा-प्रकार: 1800 = 2³ × 3² × 5² (2 से तीन बार, 3 से दो बार, 5 से दो बार भाग दें)।
नियम 2 : अक्षरों वाले घात — हर अक्षर-संख्या को अलग गिनें और उसका घातांक लिखें।
- आसान: y × y × y = y³.
- मध्यम: 3 × 3 × k × k × k × k = 3²k⁴.
- परीक्षा-प्रकार: 4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12, पर 4 × 4 × 4 = 4³ = 64।
नियम 3 : घातों के चिह्न — ऋणात्मक आधार और विषम घातांक = ऋणात्मक उत्तर; सम घातांक = धनात्मक उत्तर।
- आसान: (−1)⁹ = −1.
- मध्यम: (−1)⁴⁰ = +1.
- परीक्षा-प्रकार: (−3)³ × (−2)² = (−27) × 4 = −108.
किसी संख्या का घात 1 हो तो वह संख्या वही रहती है (7¹ = 7) और 0 का कोई भी घात 0 होता है। दुगुना होना बहुत शक्तिशाली है: 2¹⁰ = 1024।
5³ और 5 × 3 = 15 में भ्रम। सही: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125।
ऋणात्मक घात का चिह्न जाँचने के लिए ऋण चिह्न गिनें: विषम → ऋणात्मक, सम → धनात्मक। याद रखने की युक्ति : "सम = धन, विषम = ऋण"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | बार-बार जोड़ना | बार-बार गुणा |
|---|---|---|
| ऐसे लिखते हैं | 5 × 4 | 4⁵ |
| अर्थ | 4 + 4 + 4 + 4 + 4 | 4 × 4 × 4 × 4 × 4 |
| मान | 20 | 1024 |
अभ्यास के प्रश्न
- 14 × 4 × 4 × 4 × 4 को घातांकी रूप में लिखिए।
- 22⁶ ज्ञात कीजिए।
- 3(−5)² ज्ञात कीजिए।
- 41800 को अभाज्य संख्याओं के घातों के गुणनफल में लिखिए।
- 52 × 3³ ज्ञात कीजिए।
- 6(−2)⁷ ज्ञात कीजिए और बताइए कि वह धनात्मक है या ऋणात्मक।
- 70.004 cm मोटे कागज़ की 6 बार तह की गई (हर बार दुगुना)। मोटाई ज्ञात कीजिए।
- 83⁴ और 4³ में कौन बड़ा है और कितना?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14⁵
- 264
- 325
- 42³ × 3² × 5²
- 554
- 6−128 (ऋणात्मक: विषम घात)
- 70.004 × 64 = 0.256 cm
- 83⁴ = 81, 4³ = 64 से 17 बड़ा है
घातों का गुणन और घात का घात
मिठाई वाले के पास 3 थालियाँ, हर थाली में 3 डिब्बे, हर डिब्बे में 3 लड्डू। लड्डू 3 × 3 × 3 = 3³। और 3 से गुणा करना हो तो 3³ × 3¹ = 3⁴। दोबारा गिनना नहीं; घातांक जोड़ना है।
आधार समान: nᵃ × nᵇ = nᵃ⁺ᵇ। घात का घात: (nᵃ)ᵇ = nᵃˣᵇ। घातांक समान: nᵃ × mᵃ = (n × m)ᵃ।
घातों का गुणन और घात का घात
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : आधार समान: घातांक जोड़ें — आधार एक बार लिखें और घातांक जोड़ें। आधार गुणा न करें।
- आसान: 4⁵ × 4³ = 4⁸.
- मध्यम: 2⁴ × 2 × 2³ = 2⁴⁺¹⁺³ = 2⁸ = 256.
- परीक्षा-प्रकार: (−2)³ × (−2)⁴ = (−2)⁷ = −128.
नियम 2 : घात का घात: घातांक गुणा करें — (nᵃ)ᵇ का अर्थ nᵃ को b बार गुणा करना है, इसलिए n की a × b प्रतियाँ।
- आसान: (2³)² = 2⁶ = 64.
- मध्यम: (10²)³ = 10⁶ = 10,00,000.
- परीक्षा-प्रकार: 9² × 3⁴: 9 = 3² लिखें, इसलिए 9² = 3⁴ और 3⁴ × 3⁴ = 3⁸ = 6561।
नियम 3 : घातांक समान: आधार गुणा करें — दो घातों के घातांक समान हों तो आधार मिलाकर एक घातांक लिखें।
- आसान: 2³ × 5³ = 10³ = 1000.
- मध्यम: 2⁵ × 3⁵ = 6⁵ = 7776.
- परीक्षा-प्रकार: 16⁵ × 4³: 16⁵ = (2⁴)⁵ = 2²⁰ और 4³ = 2⁶, इसलिए गुणनफल 2²⁶।
केवल समान आधार वाले घातों में ही घातांक जोड़ सकते हैं: 2³ × 3² का मान 6⁵ नहीं है। और a × b = b × a इसलिए (nᵃ)ᵇ = (nᵇ)ᵃ।
आधार को भी गुणा करना: 6² × 6² = 6⁴, 36⁴ या 12⁴ नहीं। नियम मिलाना: 5³ × 5² = 5⁵ (जोड़ें) पर (5³)² = 5⁶ (गुणा)।
"गुणा → जोड़; घात का घात → गुणा" - क्रिया बदल जाती है। याद रखने की युक्ति : "× → +, ( )ᵃ → ×"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | nᵃ × nᵇ | (nᵃ)ᵇ |
|---|---|---|
| नियम | घातांक जोड़ें: nᵃ⁺ᵇ | घातांक गुणा करें: nᵃˣᵇ |
| उदाहरण | 3² × 3⁴ = 3⁶ | (3²)⁴ = 3⁸ |
| मान | 729 | 6561 |
अभ्यास के प्रश्न
- 14⁵ × 4³ सरल कीजिए।
- 2(2³)² ज्ञात कीजिए।
- 3y⁷ × y² सरल कीजिए।
- 42⁵ × 3⁵ ज्ञात कीजिए।
- 5(10²)³ को एक ही घातांक में लिखिए।
- 63⁴ × 3⁴ ज्ञात कीजिए और 3 के एक घात के रूप में लिखिए।
- 716⁵ × 4³ को 2 के घात के रूप में लिखिए।
- 87ᵏ × 7⁴ = 7¹¹ हो तो k ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14⁸
- 264
- 3y⁹
- 47776
- 510⁶
- 63⁸ = 6561
- 72²⁶
- 87
घातों का भाग, शून्य और ऋणात्मक घातांक
दुकानदार के पास 2⁸ पेंसिलें हैं और वह 2⁵ बेचता है। बची हुई 2⁸ ÷ 2⁵ = 2³ = 8 (घातांक घटाएँ)। सब 2⁸ बेचने पर अनुपात 2⁸ ÷ 2⁸ = 2⁰ = 1।
nᵃ ÷ nᵇ = nᵃ⁻ᵇ (n ≠ 0)। इसलिए n⁰ = 1 और n⁻ᵃ = 1/nᵃ। साथ ही nᵃ ÷ mᵃ = (n ÷ m)ᵃ।
घातों का भाग, शून्य और ऋणात्मक घातांक
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : आधार समान: घातांक घटाएँ — आधार एक बार लिखें और ऊपर के घातांक में से नीचे का घटाएँ।
- आसान: 6⁹ ÷ 6⁴ = 6⁵.
- मध्यम: 10⁶ ÷ 10² = 10⁴ = 10,000.
- परीक्षा-प्रकार: (3⁴ × 3⁻¹) ÷ 3² = 3³ ÷ 3² = 3.
नियम 2 : शून्य घात — शून्य के अलावा किसी भी संख्या का शून्य घात 1 होता है, क्योंकि nᵃ ÷ nᵃ = 1 और वही n⁰ है।
- आसान: 8⁰ = 1.
- मध्यम: 5⁰ + 3⁰ = 1 + 1 = 2.
- परीक्षा-प्रकार: (−7)⁰ = 1 और 100⁰ = 1।
नियम 3 : ऋणात्मक घात = व्युत्क्रम — n⁻ᵃ का अर्थ 1 भाग nᵃ। ऋणात्मक घातांक भिन्न को उलट देता है: (a/b)⁻ᵐ = (b/a)ᵐ।
- आसान: 2⁻⁴ = 1/2⁴ = 1/16.
- मध्यम: 10⁻⁵ = 1/10⁵ = 0.00001.
- परीक्षा-प्रकार: (3/5)⁻³ = (5/3)³ = 125/27.
ऋणात्मक घातांक से संख्या ऋणात्मक नहीं होती: 2⁻³ = 1/8, जो धनात्मक है। और n ≠ 0 होने पर ही n⁰ = 1।
2⁻³ = −8 या −6 लिखना। सही: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8। एक और भूल: 6⁵ ÷ 6⁷ = 6⁻² = 1/36, 6² नहीं।
"ऋणात्मक घातांक यानी उलटा करो": घातांक में ऋण चिह्न का अर्थ आधार को नीचे ले जाओ। याद रखने की युक्ति : n⁻ᵃ = "nᵃ पर 1"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | धनात्मक घातांक | ऋणात्मक घातांक |
|---|---|---|
| अर्थ | nᵃ = n × n × … (a बार) | n⁻ᵃ = 1 ÷ nᵃ |
| उदाहरण | 2³ = 8 | 2⁻³ = 1/8 |
| क्या मान 1 से बड़ा है? | हाँ (n > 1 होने पर) | नहीं, यह भिन्न है |
अभ्यास के प्रश्न
- 16⁹ ÷ 6⁴ सरल कीजिए।
- 28⁰ ज्ञात कीजिए।
- 32⁻⁴ ज्ञात कीजिए।
- 415³ ÷ 5³ ज्ञात कीजिए।
- 510⁻⁵ को दशमलव रूप में लिखिए।
- 63⁻¹ + 6⁻¹ ज्ञात कीजिए।
- 7(4⁻² × 4⁵) ÷ 4² सरल कीजिए।
- 8(3/5)⁻³ ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16⁵
- 21
- 31/16
- 427
- 50.00001
- 61/2
- 74 (4⁻²⁺⁵⁻² = 4¹)
- 8125/27
10 के घात और वैज्ञानिक संकेतन
पृथ्वी से सूर्य की दूरी लगभग 150000000 km है। इतने शून्य लिखना और तुलना करना कठिन है, शून्य गिनने में भूल हो सकती है। वैज्ञानिक इसे 1.5 × 10⁸ km लिखते हैं।
वैज्ञानिक संकेतन (मानक रूप) संख्या को x × 10ʸ लिखता है, जहाँ 1 ≤ x < 10 और y पूर्णांक है। धनात्मक y के लिए 10ʸ में y शून्य होते हैं; 10⁻ʸ = 1/10ʸ।
10 के घात और वैज्ञानिक संकेतन
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : बड़ी संख्याएँ: दशमलव बाएँ खिसकाएँ — दशमलव को तब तक खिसकाएँ जब तक उससे पहले एक शून्येतर अंक न आ जाए। खिसकाए गए स्थान 10 का धनात्मक घात हैं।
- आसान: 800 = 8 × 10².
- मध्यम: 3,60,000 = 3.6 × 10⁵.
- परीक्षा-प्रकार: 25,00,000 = 2.5 × 10⁶ (6 स्थान खिसकाएँ)।
नियम 2 : छोटी संख्याएँ: दशमलव दाएँ खिसकाएँ — दशमलव को दाएँ तब तक खिसकाएँ जब तक उससे पहले एक शून्येतर अंक न आ जाए। स्थान ऋणात्मक घात देते हैं।
- आसान: 0.03 = 3 × 10⁻².
- मध्यम: 0.0004 = 4 × 10⁻⁴.
- परीक्षा-प्रकार: 0.00000062 = 6.2 × 10⁻⁷.
नियम 3 : इस संकेतन में गुणा और भाग — संख्याओं का गुणा/भाग करें और 10 के घात जोड़ें/घटाएँ।
- आसान: (2 × 10³) × (3 × 10⁴) = 6 × 10⁷.
- मध्यम: (4 × 10⁵) × (2 × 10³) = 8 × 10⁸.
- परीक्षा-प्रकार: (9 × 10⁷) ÷ (3 × 10⁴) = 3 × 10³.
x × 10ʸ में x कम से कम 1 और 10 से कम होता है। इसलिए 0.42 × 10⁶ मानक रूप में नहीं है; यह 4.2 × 10⁵ है।
दशमलव गलत दिशा में खिसकाना: 45000 = 4.5 × 10⁴ (4.5 × 10⁻⁴ नहीं)। बड़ी संख्याओं का घात धनात्मक; 1 से छोटी संख्याओं का ऋणात्मक।
बड़ी संख्या के शून्य गिनें: 1 के बाद शून्य हों तो वही संख्या घात है (10⁷ = 1 करोड़)। याद रखने की युक्ति : "बड़ा → धन, छोटा → ऋण घात"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | बड़ी संख्या | छोटी संख्या |
|---|---|---|
| उदाहरण | 5,000 = 5 × 10³ | 0.005 = 5 × 10⁻³ |
| दशमलव खिसकता है | बाएँ | दाएँ |
| 10 का घात | धनात्मक | ऋणात्मक |
अभ्यास के प्रश्न
- 110⁴ को सामान्य संख्या के रूप में लिखिए।
- 2800 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
- 32.5 × 10³ को सामान्य संख्या के रूप में लिखिए।
- 43,60,000 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
- 50.0004 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
- 6(4 × 10⁵) × (2 × 10³) ज्ञात कीजिए।
- 7(9 × 10⁷) ÷ (3 × 10⁴) ज्ञात कीजिए।
- 8एक रेल हर घंटे 1 × 10² km चलती है। 1.5 × 10⁸ km पार करने में कितने घंटे लगेंगे?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 110,000
- 28 × 10²
- 32500
- 43.6 × 10⁵
- 54 × 10⁻⁴
- 68 × 10⁸
- 73 × 10³
- 81.5 × 10⁶ घंटे
बड़ी संख्याएँ और घातों की तुलना
योजना A: पहले दिन ₹2 और रोज दुगुना। योजना B: पहले दिन ₹50, दूसरे दिन ₹100, इसी तरह। शुरू में B बहुत अधिक है, पर A आगे निकल जाती है। यह गुणात्मक वृद्धि की शक्ति है।
जोड़ से वृद्धि हर चरण में समान राशि जोड़ती है (5n)। गुणा से (घातांकी) वृद्धि हर चरण में समान गुणक से गुणा करती है (2ⁿ)। घातों की तुलना के लिए आधार या घातांक समान करें, या 2¹⁰ ≈ 10³ का प्रयोग करें।
आकृति में : नारंगी (रोज 5 जोड़ना) शुरू में आगे है, पर बैंगनी (दुगुना होना) उसे पार कर जाती है और तेज़ी से बढ़ती है।
नियम 1 : समान आधार या घातांक से तुलना — दोनों संख्याओं को ऐसे लिखें कि आधार या घातांक समान हो जाए, फिर दूसरे भाग की तुलना करें।
- आसान: 2⁷ = 128, 7² = 49 से बड़ा है।
- मध्यम: 4¹⁰ = (2²)¹⁰ = 2²⁰, so 4¹⁰ = 2²⁰.
- परीक्षा-प्रकार: 3⁴⁰ = (3²)²⁰ = 9²⁰ और 2⁶⁰ = (2³)²⁰ = 8²⁰; 9 > 8 होने से 3⁴⁰ बड़ा है।
नियम 2 : 2¹⁰ ≈ 10³ से अनुमान — 2¹⁰ = 1024, 1000 के बहुत निकट है, इसलिए हर 10 बार दुगुना करने पर लगभग 3 शून्य।
- आसान: 2²⁰ ≈ 10⁶ (लगभग दस लाख)।
- मध्यम: 2³⁰ ≈ 10⁹ (लगभग सौ करोड़)।
- परीक्षा-प्रकार: 2⁴⁰ = (2¹⁰)⁴ ≈ (10³)⁴ = 10¹².
नियम 3 : अंक और कितने गुना बड़ा गिनें — 10ⁿ में n + 1 अंक होते हैं। aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ बताता है कि कितने गुना बड़ा।
- आसान: 10¹⁰ में 11 अंक होते हैं।
- मध्यम: 10⁴ ÷ 10² = 100, यानी 10⁴, 10² का 100 गुना है।
- परीक्षा-प्रकार: 2¹² = 4096, इसलिए किसी राशि को 12 बार दुगुना करने पर वह 4096 गुना हो जाती है।
दस बार दुगुना करने पर राशि लगभग 1000 गुना; बीस बार पर लगभग दस लाख गुना। छोटा आधार और बड़ा घातांक, बड़े आधार और छोटे घातांक से आगे निकल सकता है।
केवल आधार देखकर निर्णय लेना: 7 > 2 होने पर भी 2⁷ = 128, 7² = 49 से बड़ा है। हमेशा दोनों का मान निकालें या समान रूप में लिखें।
समान घातांक में लिखें: 3⁴⁰ और 2⁶⁰ की तुलना के लिए घातांक में से उभयनिष्ठ गुणनखंड 20 निकालें। याद रखने की युक्ति : "घातांक समान? आधार देखो। आधार समान? घातांक देखो।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | जोड़ से वृद्धि | गुणा से वृद्धि |
|---|---|---|
| हर चरण में | समान संख्या जोड़ें | समान संख्या से गुणा |
| उदाहरण (शुरुआत 1) | 1, 6, 11, 16 … | 1, 2, 4, 8 … |
| गति | स्थिर | बहुत तेज़ी से विशाल |
अभ्यास के प्रश्न
- 12⁷ और 7² में कौन बड़ा है?
- 210⁴, 10² से कितना गुना बड़ा है?
- 310¹⁰ में कितने अंक होते हैं?
- 41 कोशिका 12 बार दुगुनी होती है। कुल कोशिकाएँ कितनी हैं?
- 52¹⁰ ≈ 10³ का उपयोग करके 2³⁰ का अनुमान लगाइए।
- 64¹⁰ और 2²⁰ की तुलना कीजिए।
- 73⁴⁰ और 2⁶⁰ में कौन बड़ा है?
- 8योजना A: पहले दिन ₹2, रोज दुगुना (2, 4, 8, …)। योजना B: ₹50 × दिन संख्या (50, 100, 150, …)। किस दिन योजना A पहली बार योजना B से आगे निकलती है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12⁷ = 128 (7² = 49)
- 2100
- 311
- 44096
- 5≈ 10⁹
- 6बराबर: 4¹⁰ = (2²)¹⁰ = 2²⁰
- 73⁴⁰ (9²⁰ > 8²⁰)
- 89वाँ दिन (512 > 450); 8वें दिन 256 < 400