वर्ग संख्याएँ और उनके पैटर्न
फर्श लगाने वाला हॉल के कोने में 7 पंक्तियाँ और प्रत्येक में 7 टाइलें लगाता है। कुल टाइलें 7 × 7 = 49, यह वर्ग संख्या है।
किसी संख्या का वर्ग उस संख्या को उसी से गुणा करना है: n × n = n² ("n का वर्ग")। 1, 4, 9, 16, 25 पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं क्योंकि इतने बिंदु पूरा वर्ग बनाते हैं।
आकृति में : हर रंगीन L आकार अगली विषम संख्या जोड़ता है: 1, 3, 5, 7, 9। इसलिए पहली n विषम संख्याओं का योग n² होता है।
नियम 1 : अंतिम अंक देखें — पूर्ण वर्ग केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होता है। जो संख्या 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त हो वह निश्चित ही वर्ग नहीं है।
- आसान: 27² का अंतिम अंक 9 है, क्योंकि 7 × 7 = 49।
- मध्यम: 12² = 144 और 38² = 1444: 2 या 8 पर समाप्त संख्याओं के वर्ग 4 पर समाप्त होते हैं।
- परीक्षा-प्रकार: क्या 5372 वर्ग है? यह 2 पर समाप्त है, इसलिए नहीं।
नियम 2 : शून्य गिनें — यदि किसी संख्या के अंत में n शून्य हैं तो उसके वर्ग के अंत में 2n शून्य होते हैं। इसलिए वर्ग के अंत में शून्य हमेशा सम संख्या में होते हैं।
- आसान: 60² = 3600: एक शून्य के दो हो गए।
- मध्यम: 500² = 250000: दो शून्य के चार हो गए।
- परीक्षा-प्रकार: क्या 72000 वर्ग हो सकता है? इसमें 3 शून्य (विषम) हैं, इसलिए नहीं।
नियम 3 : विषम संख्याओं का प्रयोग — (n + 1)² = n² + (2n + 1)। अगला वर्ग पाने के लिए अगली विषम संख्या जोड़ें।
- आसान: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7² = 49 (सात विषम संख्याएँ)।
- मध्यम: 19² = 361 दिया हो तो 20² = 361 + 39 = 400 (39 = 2 × 19 + 1)।
- परीक्षा-प्रकार: 1 + 3 + 5 + … (30 पद) = 30² = 900 और अंतिम पद 2 × 30 − 1 = 59।
वर्ग के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है और (विषम)² विषम, (सम)² सम होता है।
यह मानना कि 1, 4, 5, 6, 9 या 0 पर समाप्त होने वाली हर संख्या वर्ग है। 26 का अंतिम अंक 6 है पर वह वर्ग नहीं है; अंतिम अंक केवल संख्या को बाहर करने में काम आता है।
5 पर समाप्त संख्या का वर्ग करने के लिए दहाई वाले अंक को उसके अगले अंक से गुणा करें और अंत में 25 लिखें। 75²: 7 × 8 = 56, इसलिए 5625। याद रखने की युक्ति : वर्ग का अंत "0 1 4 5 6 9" - "शून्य-एक-चार-पाँच-छह-नौ, केवल छह अंकों पर वर्ग समाप्त होता है" बोलें। एक और विषम संख्या जोड़ते ही अगला वर्ग बन जाता है।
अंतर पहचानें
| बिंदु | विषम संख्या का वर्ग | सम संख्या का वर्ग |
|---|---|---|
| वर्ग | विषम | सम |
| उदाहरण | 9² = 81 | 8² = 64 |
| संभावित अंतिम अंक | 1, 5, 9 | 0, 4, 6 |
अभ्यास के प्रश्न
- 124² कितना है?
- 2क्या 4,938 पूर्ण वर्ग है? क्यों?
- 31 + 3 + 5 + … (10 पद) का योग कीजिए।
- 45 पर समाप्त संख्या के नियम से 85² ज्ञात कीजिए।
- 53000² के अंत में कितने शून्य हैं?
- 629² = 841 दिया है, गुणा किए बिना 30² ज्ञात कीजिए।
- 7वर्ग 1 पर समाप्त हो सकता है। किन अंकों पर समाप्त संख्याओं से ऐसा वर्ग मिलता है?
- 8दो क्रमागत संख्याओं के वर्गों का अंतर 83 है। वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1576
- 2नहीं: यह 8 पर समाप्त होता है और कोई वर्ग 8 पर समाप्त नहीं होता
- 3100
- 47225 (8 × 9 = 72, फिर 25)
- 56
- 6841 + 59 = 900
- 71 या 9 पर समाप्त संख्याएँ (जैसे 11² = 121, 19² = 361)
- 841 और 42 (41 + 42 = 83)
वर्गमूल
वर्गाकार रंगोली 144 वर्ग फुट जगह घेती है। किनारी बनाने के लिए भुजा जाननी होगी। जिस संख्या का वर्ग 144 हो वही भुजा है: 12 फुट।
यदि y = x² हो तो x, y का वर्गमूल है, x = √y लिखते हैं। पूर्ण वर्ग के दो मूल होते हैं, +x और −x (जैसे 81 के लिए +9 और −9)। इस अध्याय में हम केवल धन मूल लिखते हैं।
वर्गमूल
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंवर्गमूल
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : अभाज्य गुणनखंडों की जोड़ियाँ बनाएँ — अभाज्य गुणनखंड लिखें, समान गुणनखंडों की जोड़ियाँ बनाएँ और प्रत्येक जोड़ी से एक गुणनखंड लें। उन्हें गुणा करें।
- आसान: 144 = (2 × 2) × (2 × 2) × (3 × 3), इसलिए √144 = 2 × 2 × 3 = 12।
- मध्यम: 1296 = 2⁴ × 3⁴, इसलिए √1296 = 2² × 3² = 4 × 9 = 36।
- परीक्षा-प्रकार: 5184 = 2⁶ × 3⁴, इसलिए √5184 = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72।
नियम 2 : दो वर्गों के बीच अनुमान लगाएँ — संख्या के दोनों ओर के पूर्ण वर्ग खोजें और अंतिम अंक से मूल तय करें।
- आसान: 49 < 50 < 64, इसलिए 7 < √50 < 8; और √50, 7 के निकट है।
- मध्यम: √2116: 1600 < 2116 < 2500, इसलिए मूल 40 से ऊपर। 2116 का अंतिम अंक 6 है, इसलिए मूल 4 या 6 पर समाप्त होगा: 46 लें, 46² = 2116।
- परीक्षा-प्रकार: कपड़े का क्षेत्रफल 300 cm² है। पूर्ण संख्या भुजा वाला सबसे बड़ा वर्ग: 17² = 289 ≤ 300 < 324 = 18², इसलिए भुजा 17 cm।
बार-बार घटाने से भी मिलता है: 36 − 1 − 3 − 5 − 7 − 9 − 11 = 0 छह चरणों में, इसलिए √36 = 6। √(n²) = n, पर (−n)² = n² भी सही है।
वर्गमूल निकालते समय आधा कर देना: √144, 72 नहीं है। वर्ग करके जाँचें: 72², 144 से बहुत बड़ा है।
मूल का अंतिम अंक: संख्या 1 पर समाप्त → मूल 1 या 9; 4 → 2 या 8; 9 → 3 या 7; 6 → 4 या 6; 5 → 5। याद रखने की युक्ति : "जोड़ी बनाओ, फिर एक लो": समान गुणनखंडों की जोड़ियाँ बनाएँ और हर जोड़ी से एक लें। उत्तर का वर्ग करके जाँचें।
अंतर पहचानें
| बिंदु | पूर्ण वर्ग | पूर्ण वर्ग नहीं |
|---|---|---|
| अभाज्य गुणनखंड | सब की जोड़ियाँ बनती हैं | कुछ अकेले रह जाते हैं |
| मूल | पूर्ण संख्या | दो पूर्ण संख्याओं के बीच |
| उदाहरण | √196 = 14 | √200, 14 और 15 के बीच |
अभ्यास के प्रश्न
- 1√169 ज्ञात कीजिए।
- 2वर्गाकार भूखंड का क्षेत्रफल 256 m² है। उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
- 3√70 किन दो पूर्ण संख्याओं के बीच है?
- 4अभाज्य गुणनखंड से √900 ज्ञात कीजिए।
- 5√3136 ज्ञात कीजिए (6 पर समाप्त; 50 से 60 के बीच)।
- 6√(49/121) ज्ञात कीजिए।
- 7एक सभागार में 784 कुर्सियाँ वर्गाकार लगी हैं। प्रत्येक पंक्ति में कितनी कुर्सियाँ और कितनी पंक्तियाँ?
- 8एक वर्ग का क्षेत्रफल 500 cm² है। उसमें से पूर्ण संख्या भुजा वाला सबसे बड़ा वर्ग काटें तो उसकी भुजा कितनी होगी और कितना क्षेत्रफल बचेगा?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 113
- 216 m
- 38 और 9 (64 < 70 < 81)
- 430 (900 = 2² × 3² × 5²)
- 556 (56² = 3136)
- 67/11
- 7प्रत्येक पंक्ति में 28 कुर्सियाँ, 28 पंक्तियाँ (28² = 784)
- 8भुजा 22 cm (22² = 484); बचा क्षेत्रफल 500 − 484 = 16 cm²
पूर्ण वर्ग बनाना और गिनना
दुकान में 98 एक जैसी टाइलें हैं पर बराबर पंक्तियों और स्तंभों वाला वर्गाकार फर्श चाहिए। अभाज्य गुणनखंड बताते हैं: 98 = 2 × 7 × 7, इसलिए 2 से गुणा करें: 98 × 2 = 196 = 14²।
संख्या तब पूर्ण वर्ग होती है जब हर अभाज्य गुणनखंड सम बार आए। जिस गुणनखंड की जोड़ी नहीं है वही तय करता है कि किससे गुणा या भाग करना है।
आकृति में : 6² = 36 और 7² = 49 के बीच 2 × 6 = 12 गैर-वर्ग संख्याएँ हैं।
नियम 1 : गुणा करके वर्ग बनाएँ — बिना जोड़ी वाले अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल से गुणा करें।
पूर्ण वर्ग बनाना और गिनना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान: 18 = 2 × 3 × 3। 2 अकेला है, इसलिए 18 × 2 = 36 = 6²।
- मध्यम: 252 = 2² × 3² × 7। केवल 7 अकेला है, इसलिए 252 × 7 = 1764 = 42²।
- परीक्षा-प्रकार: 1008 = 2⁴ × 3² × 7। 7 से गुणा करें: 7056 = 84²।
नियम 2 : भाग देकर वर्ग बनाएँ — बिना जोड़ी वाले अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल से भाग दें।
- आसान: 50 = 2 × 5 × 5। 2 से भाग दें: 25 = 5²।
- मध्यम: 242 = 2 × 11 × 11। 2 से भाग दें: 121 = 11²।
- परीक्षा-प्रकार: 3920 = 2⁴ × 5 × 7²। 5 से भाग दें: 784 = 28²।
नियम 3 : वर्गों के बीच की संख्याएँ गिनें — n² और (n + 1)² के बीच 2n संख्याएँ होती हैं। किसी परास में वर्ग गिनने के लिए पहला और अंतिम मूल खोजें।
- आसान: 7² और 8² के बीच: 2 × 7 = 14 संख्याएँ।
- मध्यम: 30² और 31² के बीच: 2 × 30 = 60 संख्याएँ।
- परीक्षा-प्रकार: 300 से 700 के बीच वर्ग: 17² = 289 छोटा है, 18² = 324 से 26² = 676 आते हैं, 27² = 729 बड़ा है। इसलिए 26 − 18 + 1 = 9 वर्ग।
केवल पूर्ण वर्गों के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है। लॉकर पहेली में ठीक वर्ग क्रमांक वाले लॉकर खुले रहते हैं।
केवल अकेले गुणनखंडों के बजाय पूरी संख्या से गुणा करना: 252 के लिए 252 से गुणा करना सबसे छोटा नहीं है; केवल 7 से गुणा करें।
"कई संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटा वर्ग" के लिए पहले ल.स. निकालें, फिर उसके बिना जोड़ी वाले गुणनखंड ठीक करें। उदा. ल.स.(6, 8) = 24 = 2³ × 3, इसलिए 2 × 3 = 6 से गुणा करें: 144। याद रखने की युक्ति : "अकेला गुणनखंड तय करता है": अकेले गुणनखंड की जोड़ी बनाने के लिए गुणा करें या हटाने के लिए भाग दें। प्रश्न जो पूछे उसके अनुसार चुनें।
अंतर पहचानें
| बिंदु | गुणा विधि | भाग विधि |
|---|---|---|
| अकेला गुणनखंड | जोड़ी बनाने के लिए गुणा किया जाता है | भाग देकर हटाया जाता है |
| उदाहरण | 98 × 2 = 196 | 3920 ÷ 5 = 784 |
| संख्या हो जाती है | बड़ी | छोटी |
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या 484 पूर्ण वर्ग है? (484 = 2² × 11²)
- 212² और 13² के बीच कितनी संख्याएँ हैं?
- 332 को किससे गुणा करने पर पूर्ण वर्ग मिलता है?
- 4450 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करने पर पूर्ण वर्ग मिलता है? (450 = 2 × 3² × 5²)
- 51452 को किस सबसे छोटी संख्या से भाग देने पर पूर्ण वर्ग मिलता है? (1452 = 2² × 3 × 11²)
- 6100 और 400 के बीच कितने पूर्ण वर्ग हैं?
- 75, 12 और 14 से विभाज्य सबसे छोटा वर्ग ज्ञात कीजिए।
- 8400 लॉकर की पहेली में कितने लॉकर खुले रहते हैं और अंतिम खुला लॉकर कौन-सा है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ: 484 = 22 × 22
- 224
- 32 (32 × 2 = 64 = 8²)
- 42 (450 × 2 = 900 = 30²)
- 53 (1452 ÷ 3 = 484 = 22²)
- 69 (11² = 121 up to 19² = 361)
- 744100 (ल.स. 420 = 2² × 3 × 5 × 7, 105 से गुणा; 210²)
- 820 लॉकर खुले रहते हैं; अंतिम खुला लॉकर क्रमांक 400 (20²)
घन संख्याएँ और उनके पैटर्न
दुकानदार साबुन के डिब्बे बड़े कार्टन में रखता है: लंबाई में 6, चौड़ाई में 6 और ऊँचाई में 6। कार्टन में 6 × 6 × 6 = 216 डिब्बे आते हैं।
किसी संख्या का घन उसे तीन बार गुणा करना है: n × n × n = n³। 1, 8, 27, 64 पूर्ण घन संख्याएँ हैं क्योंकि n³ छोटे घन मिलकर n कोर वाला बड़ा घन बनाते हैं। ऋणात्मक संख्या का घन ऋणात्मक होता है: (−3)³ = −27।
आकृति में : 3 × 3 × 3 के घन में 9 छोटे घनों की 3 परतें होती हैं: कुल 27।
नियम 1 : अंतिम अंक देखें — n³ का अंतिम अंक केवल n के अंतिम अंक पर निर्भर करता है। 0, 1, 4, 5, 6, 9 वही रहते हैं; 2 और 8 आपस में बदलते हैं; 3 और 7 आपस में बदलते हैं।
- आसान: 13³ का अंतिम अंक 7 है, क्योंकि 3³ = 27।
- मध्यम: 8 पर समाप्त घन, 2 पर समाप्त संख्या से आता है (12³ = 1728)।
- परीक्षा-प्रकार: क्या 4328 घन है? यह 8 पर समाप्त है, इसलिए मूल 2 पर समाप्त होना चाहिए। पर 12³ = 1728 छोटा है और 22³ 10000 से अधिक है, इसलिए 4328 घन नहीं है।
नियम 2 : घन और विषम संख्याएँ — विषम संख्याएँ 1, 2, 3, … संख्याओं की पंक्तियों में लिखें। n संख्याओं की पंक्ति का योग n³ होता है। n वीं पंक्ति n × n − n + 1 से शुरू होती है।
- आसान: 3 + 5 = 8 = 2³।
- मध्यम: 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4³।
- परीक्षा-प्रकार: सातवीं पंक्ति 7 × 7 − 7 + 1 = 43 से शुरू: 43 + 45 + … + 55 = 343 = 7³।
नियम 3 : क्रमिक अंतर — घनों के अंतर बार-बार निकालें: तीन स्तरों के बाद हर अंतर 6 आता है।
- आसान: 1, 8, 27, 64 → स्तर 1: 7, 19, 37।
- मध्यम: स्तर 1: 7, 19, 37, 61 → स्तर 2: 12, 18, 24 → स्तर 3: 6, 6।
- परीक्षा-प्रकार: 6³ = 216 और अगला स्तर-1 अंतर 127 है, इसलिए 7³ = 216 + 127 = 343।
ऋणात्मक संख्या का घन ऋणात्मक और विषम संख्या का घन विषम होता है। टैक्सीकैब संख्या: 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³ दो घनों के योग के रूप में दो तरह से लिखी जा सकने वाली सबसे छोटी संख्या है।
4³ = 4 × 3 = 12 लिख देना। घन का अर्थ 4 × 4 × 4 = 64 है।
किसी संख्या का घन जल्दी निकालने के लिए पहले वर्ग करें, फिर उसी संख्या से गुणा करें: 25³ = 625 × 25 = 15625। याद रखने की युक्ति : घन के अंतिम अंकों के जोड़ीदार: "2 और 8, 3 और 7 आपस में बदलते हैं (योग 10); 0, 1, 4, 5, 6, 9 वही रहते हैं"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | वर्ग | घन |
|---|---|---|
| संभावित अंतिम अंक | 0, 1, 4, 5, 6, 9 | 0 से 9 कोई भी |
| ऋणात्मक संख्या | वर्ग धनात्मक होता है | घन ऋणात्मक होता है |
| विषम संख्याओं से बनता है | पहली n विषम संख्याएँ | पंक्ति n की n संख्याएँ |
अभ्यास के प्रश्न
- 17³ ज्ञात कीजिए।
- 28 cm कोर वाला घन बनाने के लिए 1 cm के कितने घन लगते हैं?
- 3(−4)³ ज्ञात कीजिए।
- 428³ के इकाई स्थान का अंक क्या है?
- 5एक घन 7 पर समाप्त होता है। उस संख्या का अंतिम अंक क्या होगा?
- 6विषम संख्याओं के पैटर्न की 9वीं पंक्ति 73 से शुरू होती है। उसका योग लिखिए।
- 7क्या 3024 पूर्ण घन हो सकता है? अंतिम अंक के आधार पर समझाइए।
- 88³ और 9³ का अंतर 217 है। 9³ ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1343
- 2512
- 3−64
- 42 (8³ = 512)
- 53 (क्योंकि 3³ = 27)
- 6729 (9³): 73 + 75 + … + 89 ये 9 संख्याएँ
- 7नहीं: यह 4 पर समाप्त है, इसलिए मूल 4 पर समाप्त होता। पर 14³ = 2744 और 24³ = 13824, और 3024 इनके बीच है
- 89³ = 512 + 217 = 729
घनमूल और मूलों का इतिहास
घनाकार पानी की टंकी 8000 L, अर्थात 8 m³ पानी रखती है (1 m³ = 1000 L)। उसकी कोर वह संख्या है जिसका घन 8 हो: 2 मी।
यदि y = x³ हो तो x, y का घनमूल है, x = ∛y लिखते हैं। संख्या का केवल एक घनमूल होता है और ∛(−n) = −∛n। जैसे ∛27 = 3 और ∛(−27) = −3।
घनमूल और मूलों का इतिहास
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : अभाज्य गुणनखंडों के तीन-तीन के समूह बनाएँ — अभाज्य गुणनखंड लिखें, समान गुणनखंडों की तिकड़ियाँ बनाएँ और प्रत्येक तिकड़ी से एक गुणनखंड लें। उन्हें गुणा करें।
- आसान: 216 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3), इसलिए ∛216 = 2 × 3 = 6।
- मध्यम: 8000 = 2⁶ × 5³, इसलिए ∛8000 = 2² × 5 = 20।
- परीक्षा-प्रकार: 74088 = 2³ × 3³ × 7³, इसलिए ∛74088 = 2 × 3 × 7 = 42।
नियम 2 : अंतिम अंक से अनुमान लगाएँ — पूर्ण घन के लिए अंतिम अंक से मूल का अंतिम अंक और आकार से दहाई का अंक मिलता है।
- आसान: ∛9261: 1 पर समाप्त, इसलिए मूल 1 पर समाप्त; 20³ = 8000 < 9261 < 27000 = 30³, इसलिए मूल 21।
- मध्यम: ∛13824: 4 पर समाप्त, इसलिए मूल 4 पर समाप्त; यह 20 और 30 के बीच है, इसलिए 24।
- परीक्षा-प्रकार: ∛29791: 1 पर समाप्त, इसलिए मूल 1 पर समाप्त; 30³ = 27000 < 29791 < 64000 = 40³, इसलिए मूल 31।
नियम 3 : गुणा या भाग करके घन बनाएँ — अभाज्य गुणनखंड खोजें; अधूरी तिकड़ियाँ पूरी करने के लिए गुणा करें या बचे गुणनखंड हटाने के लिए भाग दें।
- आसान: 54 = 2 × 3³। 2 × 2 = 4 से गुणा करें: 216 = 6³।
- मध्यम: 756 = 2² × 3³ × 7। 2 × 7 × 7 = 98 से गुणा करें: 74088 = 42³।
- परीक्षा-प्रकार: 4000 = 2⁵ × 5³। 2 × 2 = 4 से भाग दें: 1000 = 10³।
इतिहास: बाबुली लोगों ने लगभग 1700 ई.पू. में मिट्टी की पट्टिकाओं पर वर्गों और घनों की सारणियाँ रखी थीं। संस्कृत में वर्ग = square, घन = cube और मूल = root; वर्गमूल अर्थात square root और घनमूल अर्थात cube root। आर्यभट (499 ई.) ने वर्ग को चार समान भुजाओं वाली आकृति बताया।
3 से भाग देना: ∛27 = 3, 9 नहीं। घन करके जाँचें: 9³ = 729 बहुत बड़ा है। साथ ही घनमूल के लिए तिकड़ियाँ लगती हैं, जोड़ियाँ नहीं।
उत्तर का घन करके हमेशा जाँचें। ऋणात्मक संख्या के घन का मूल ऋणात्मक होता है: ∛(−1000) = −10। याद रखने की युक्ति : वर्गमूल: "जोड़ी, एक लो"। घनमूल: "तीन-तीन, एक लो" (तिकड़ी से एक)। "मूल" शब्द पौधे की जड़ से आया: वह आधार जिससे संख्या बनी।
अंतर पहचानें
| बिंदु | वर्गमूल | घनमूल |
|---|---|---|
| गुणनखंडों के समूह | जोड़ियाँ | तिकड़ियाँ |
| धनात्मक संख्या के | दो मूल (+ और −) | एक ही घनमूल |
| उदाहरण | √64 = ±8 | ∛64 = 4 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1∛343 ज्ञात कीजिए।
- 2∛(−64) ज्ञात कीजिए।
- 3घनाकार डिब्बे का आयतन 729 cm³ है। उसकी कोर कितनी है?
- 4अभाज्य गुणनखंड से ∛4096 ज्ञात कीजिए (4096 = 2¹²)।
- 5अंतिम अंक का उपयोग करके ∛17576 ज्ञात कीजिए।
- 6100 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करने पर पूर्ण घन मिलता है?
- 73750 को किस सबसे छोटी संख्या से भाग देने पर पूर्ण घन मिलता है? (3750 = 2 × 3 × 5⁴)
- 8∛(27 × 1000) + ∛(−8) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 17
- 2−4
- 39 cm
- 416
- 526
- 610 (100 = 2² × 5², 2 × 5 से गुणा)
- 730 (3750 ÷ 30 = 125 = 5³)
- 828 (30 − 2)