K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 7 · गणित

प्रकरण 8: अपूर्णांकांसह काम

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

अपूर्णांक × पूर्ण संख्या

रोजच्या जीवनातून

एका ग्लासासाठी 3/4 कप दूध लागते. 5 ग्लासांना 5 × 3/4 कप.

सोपी व्याख्या

अपूर्णांकाला पूर्ण संख्येने गुणणे म्हणजे पुनःपुन्हा बेरीज : अंशाला पूर्ण संख्येने गुणा आणि छेद तोच ठेवा. "चा/ची" म्हणजेही गुणाकार.

½½½½½½3 ÷ ½ = 63 पूर्णांकांत 6 अर्धे

आकृतीत : तीन पूर्णांक अर्धे केल्यावर सहा अर्धे; पुनःपुन्हा बेरीज हेच दाखवते.

नियम 1 : पुनःपुन्हा बेरीज — 3 × (1/4) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4.

  • सोपे : 4 × 2/9 = 8/9.
  • मध्यम : 5 × 3/4 = 15/4 = 3 3/4.
  • परीक्षेसाठी : 7 × 5/6 = 35/6 = 5 5/6.

नियम 2 : आधी कापाकापी — पूर्ण संख्या व छेद यांत सामाईक अवयव असल्यास गुणण्यापूर्वी कापा.

  • सोपे : 3/4 × 8 = 3 × 2 = 6.
  • मध्यम : 5/6 × 12 = 5 × 2 = 10.
  • परीक्षेसाठी : 7/15 × 45 = 7 × 3 = 21.

नियम 3 : राशीचा अपूर्णांक — छेदाने भागा, मग अंशाने गुणा.

  • सोपे : 12 चा 1/3 = 4.
  • मध्यम : 18 चा 2/3 = 6 × 2 = 12.
  • परीक्षेसाठी : ₹60 चा 3/4 = 15 × 3 = ₹45.
लक्षात ठेवा

अशुद्ध अपूर्णांकाचे मिश्र संख्येत रूपांतर शेवटी करा.

सामान्य चूक

छेदालाही गुणणे : 3/4 × 8 = 24/32 नव्हे; ते 24/4 = 6.

शॉर्टकट

पूर्ण संख्या ÷ छेद आधी केल्यास संख्या लहान होतात. आठवणीची युक्ती : "संख्या वर, छेद तोच."

फरक ओळखा

पायरीहळू मार्गजलद मार्ग
3/4 × 824/4 = 63 × 2 = 6
2/5 × 1020/5 = 42 × 2 = 4

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 14 × 2/9 काढा.
  2. 212 चा 1/3 काढा.
  3. 33/4 × 8 काढा.
मध्यम
  1. 45 × 3/4 मिश्र संख्येत काढा.
  2. 518 चा 2/3 काढा.
  3. 65/6 × 12 काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7कापड ₹60 मीटर. 3/4 मीटरची किंमत काढा.
  2. 87/15 × 45 काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 18/9
  2. 24
  3. 36
  4. 43 3/4
  5. 512
  6. 610
  7. 7₹45
  8. 821
Live आकृती

अपूर्णांक × पूर्ण संख्या

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

अपूर्णांक × अपूर्णांक

रोजच्या जीवनातून

चॉकलेट पट्टीच्या तिसऱ्या भागाचा अर्धा भाग म्हणजे पूर्ण पट्टीचा सहावा भाग.

सोपी व्याख्या

अपूर्णांक गुणताना अंश × अंश आणि छेद × छेद करा, मग सोपे करा : a/b × c/d = (a × c)/(b × d). दोन शुद्ध अपूर्णांकांचा गुणाकार प्रत्येकापेक्षा लहान असतो.

1/2 × 1/3= 1/6लाल = 6 पैकी 1 घर

आकृतीत : तिसऱ्याचा अर्धा : लाल घर 6 पैकी 1, म्हणून 1/2 × 1/3 = 1/6.

नियम 1 : आडवे गुणा — वरचे × वरचे भागिले खालचे × खालचे.

  • सोपे : 1/2 × 1/3 = 1/6.
  • मध्यम : 2/5 × 3/7 = 6/35.
  • परीक्षेसाठी : 3/4 × 5/9 = 15/36 = 5/12.

नियम 2 : तिरकस कापाकापी — गुणण्यापूर्वी एक अंश दुसऱ्या छेदाशी कापा.

  • सोपे : 2/3 × 3/4 = 1/2.
  • मध्यम : 4/9 × 3/8 = 1/6.
  • परीक्षेसाठी : 5/6 × 12/25 = 2/5.

नियम 3 : आयताचे क्षेत्रफळ — क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी, दोन्ही अपूर्णांक असले तरी.

  • सोपे : 3/4 मी × 2/3 मी → 1/2 चौ मी.
  • मध्यम : 1/2 मी × 1/2 मी → 1/4 चौ मी.
  • परीक्षेसाठी : 5/4 मी × 4/5 मी → 1 चौ मी.
लक्षात ठेवा

गुणाकारासाठी सामाईक छेद नको.

सामान्य चूक

छेद मिळवणे : 1/2 × 1/3 = 1/5 नव्हे; ते 1/6.

शॉर्टकट

मोठी संख्या टाळण्यास तिरकस कापा. आठवणीची युक्ती : "आडवे गुणा, कापा; सामाईक छेद नको."

फरक ओळखा

क्रियासामाईक छेद?उदाहरण
बेरीज / वजाबाकीहो1/2 + 1/3 = 5/6
गुणाकारनाही1/2 × 1/3 = 1/6

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 11/2 × 1/3 काढा.
  2. 22/5 × 3/7 काढा.
  3. 32/3 × 3/4 काढा.
मध्यम
  1. 43/4 × 5/9 काढा.
  2. 51/2 मी बाजूच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ काढा.
  3. 64/9 × 3/8 काढा.
आव्हानात्मक
  1. 73/4 मी × 2/3 मी आयताचे क्षेत्रफळ काढा.
  2. 85/6 × 12/25 काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 11/6
  2. 26/35
  3. 31/2
  4. 45/12
  5. 51/4 चौ मी
  6. 61/6
  7. 71/2 चौ मी
  8. 82/5

व्यस्त संख्या व पूर्ण संख्येला भाग

रोजच्या जीवनातून

3 लिटर पाण्यातून अर्ध्या लिटरच्या किती बाटल्या भरतील? 3 ÷ 1/2 = 6 बाटल्या.

सोपी व्याख्या

अपूर्णांकाची व्यस्त संख्या म्हणजे तो उलटा करणे : a/b ची व्यस्त b/a. संख्या × तिची व्यस्त = 1. अपूर्णांकाने भागणे म्हणजे त्याच्या व्यस्ताने गुणणे.

23⇄32× = 12/3 × 3/2 = 1

आकृतीत : 2/3 उलटा केला की 3/2; गुणाकार 1.

½½½½½½3 ÷ ½ = 63 पूर्णांकांत 6 अर्धे

आकृतीत : अर्धे मोजणे : 3 पूर्णांकांत 6 अर्धे, म्हणून 3 ÷ 1/2 = 6.

नियम 1 : व्यस्त शोधा — अंश व छेद अदलाबदल करा; पूर्ण संख्या n म्हणजे n/1, तिची व्यस्त 1/n.

  • सोपे : 3/5 → 5/3.
  • मध्यम : 7 → 1/7.
  • परीक्षेसाठी : 2 1/2 = 5/2 → 2/5.

नियम 2 : पूर्ण संख्या ÷ अपूर्णांक — पूर्ण संख्येला व्यस्ताने गुणा.

  • सोपे : 3 ÷ 1/2 = 3 × 2 = 6.
  • मध्यम : 8 ÷ 2/3 = 8 × 3/2 = 12.
  • परीक्षेसाठी : 15 ÷ 5/6 = 15 × 6/5 = 18.

नियम 3 : अपूर्णांक ÷ पूर्ण संख्या — छेदाला पूर्ण संख्येने गुणा.

  • सोपे : 1/2 ÷ 3 = 1/6.
  • मध्यम : 3/4 ÷ 6 = 3/24 = 1/8.
  • परीक्षेसाठी : 4/5 ÷ 2 = 4/10 = 2/5.
लक्षात ठेवा

1 पेक्षा लहान संख्येने भागल्यास उत्तर मोठे होते.

सामान्य चूक

भाज्य उलटा करणे; भाजक उलटा करायचा : 3 ÷ 1/2 ≠ 1/3 ÷ 1/2.

शॉर्टकट

"3 मध्ये किती अर्धे बसतात?" असे विचारून तपासा. आठवणीची युक्ती : "ठेवा, बदला, उलटा" : पहिले तसेच, ÷ चे ×, दुसरे उलटे.

फरक ओळखा

भागअसे लिहाउत्तर
3 ÷ 1/23 × 26
8 ÷ 2/38 × 3/212
1/2 ÷ 31/2 × 1/31/6

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 13/5 ची व्यस्त संख्या लिहा.
  2. 23 ÷ 1/2 काढा.
  3. 37 ची व्यस्त संख्या लिहा.
मध्यम
  1. 48 ÷ 2/3 काढा.
  2. 51/2 ÷ 3 काढा.
  3. 615 ÷ 5/6 काढा.
आव्हानात्मक
  1. 75 किलो साखरेची 1/4 किलोची किती पाकिटे होतील?
  2. 83/4 ÷ 6 काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15/3
  2. 26
  3. 31/7
  4. 412
  5. 51/6
  6. 618
  7. 720
  8. 81/8

अपूर्णांकांचा भागाकार

रोजच्या जीवनातून

3/4 मी फीत 1/8 मी च्या तुकड्यांत कापली. किती तुकडे? 3/4 ÷ 1/8 = 6.

सोपी व्याख्या

अपूर्णांकाने भागण्यासाठी त्याच्या व्यस्ताने गुणा : a/b ÷ c/d = a/b × d/c. मिश्र संख्या आधी अशुद्ध अपूर्णांकात बदला.

3/4 ÷ 1/4 = 3तीन चतुर्थांशांत किती चतुर्थांश

आकृतीत : तीन चतुर्थांशांत एक चतुर्थांशाचे तीन तुकडे : 3/4 ÷ 1/4 = 3.

नियम 1 : ठेवा, बदला, उलटा — पहिला तसाच ठेवा, ÷ चा ×, दुसरा उलटा.

  • सोपे : 3/4 ÷ 1/4 = 3/4 × 4 = 3.
  • मध्यम : 2/3 ÷ 4/9 = 2/3 × 9/4 = 3/2.
  • परीक्षेसाठी : 5/6 ÷ 5/12 = 5/6 × 12/5 = 2.

नियम 2 : मिश्र संख्या — आधी अशुद्ध अपूर्णांकात बदला, मग भागा.

  • सोपे : 1 1/2 ÷ 3/4 = 3/2 × 4/3 = 2.
  • मध्यम : 2 1/4 ÷ 3/8 = 9/4 × 8/3 = 6.
  • परीक्षेसाठी : 3 ÷ 1 1/2 = 3 × 2/3 = 2.

नियम 3 : उलट गुणून तपासा — भागाकार × भाजक = भाज्य.

  • सोपे : 3/2 × 4/9 = 2/3 ✓.
  • मध्यम : 6 × 3/8 = 9/4 ✓.
  • परीक्षेसाठी : 2 × 3/4 = 3/2 ✓.
लक्षात ठेवा

फक्त भाजक (÷ नंतरची संख्या) उलटा करा.

सामान्य चूक

दोन्ही अपूर्णांक उलटे करणे. फक्त दुसरा उलटा.

शॉर्टकट

उलटल्यानंतर, गुणण्यापूर्वी कापा. आठवणीची युक्ती : "ठेवा, बदला, उलटा."

फरक ओळखा

प्रकारपद्धतउदाहरण
अपूर्ण ÷ अपूर्णव्यस्ताने गुणा3/4 ÷ 1/4 = 3
मिश्र ÷ अपूर्णआधी अशुद्ध1 1/2 ÷ 3/4 = 2

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 13/4 ÷ 1/4 काढा.
  2. 25/6 ÷ 5/12 काढा.
  3. 31/2 ÷ 1/8 काढा.
मध्यम
  1. 42/3 ÷ 4/9 काढा.
  2. 51 1/2 ÷ 3/4 काढा.
  3. 63/4 मी फीत 1/8 मी च्या तुकड्यांत. किती तुकडे?
आव्हानात्मक
  1. 72 1/4 ÷ 3/8 काढा.
  2. 83 ÷ 1 1/2 काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13
  2. 22
  3. 34
  4. 43/2
  5. 52
  6. 66
  7. 76
  8. 82

अपूर्णांकांवरील शाब्दिक उदाहरणे

रोजच्या जीवनातून

केक वाटणे, कापड कापणे, टाक्या भरणे : खऱ्या कामांत "चा", "किती" आणि "किती भाग" अपूर्णांकांसह येतात.

सोपी व्याख्या

उदाहरण वाचा, क्रिया ठरवा ("चा" → ×, "किती तुकडे" → ÷, "एकूण" → +, "उरले" → –), मग गणित करा. क्रम : कंस, मग × आणि ÷, मग + आणि –.

3/4 m ÷ 1/8 m = 66 तुकडे

आकृतीत : 3/4 मी फीतीचे 1/8 मी चे 6 तुकडे.

नियम 1 : उरलेल्याचा अपूर्णांक — वापरलेला भाग काढा, वजा करा, उरलेल्याचा पुढचा अपूर्णांक घ्या.

  • सोपे : ₹80 चा 1/4 खर्च : ₹20; उरले ₹60.
  • मध्यम : मग उरलेल्याचा 1/3 : ₹20; उरले ₹40.
  • परीक्षेसाठी : एकूण खर्च = ₹40, म्हणजे ₹80 चा 1/2.

नियम 2 : वेग, वेळ, अंतर — अंतर = वेग × वेळ; वेळ = अंतर ÷ वेग.

  • सोपे : ताशी 4 km, 3/4 तास → 3 km.
  • मध्यम : ताशी 4 kmने 6 km → 6/4 = 1 1/2 तास.
  • परीक्षेसाठी : 2 1/2 km 1/2 तासात → ताशी 5 km.

नियम 3 : क्रियांचा क्रम — आधी कंस, मग × व ÷ डावीकडून उजवीकडे, मग + व –.

  • सोपे : 1/2 + 1/3 × 3/4 = 1/2 + 1/4 = 3/4.
  • मध्यम : (1/2 + 1/3) × 6 = 5/6 × 6 = 5.
  • परीक्षेसाठी : 3/4 ÷ 3/8 – 1 = 2 – 1 = 1.
लक्षात ठेवा

प्रत्येक अपूर्णांक कशाचा ते लिहा ("पूर्णांचा" की "उरलेल्याचा").

सामान्य चूक

दुसरा अपूर्णांक मूळ रकमेचा घेणे, उरलेल्याचा नव्हे.

शॉर्टकट

प्रत्येक अपूर्णांक ज्या रकमेचा त्याखाली रेघ मारा. आठवणीची युक्ती : "चा म्हणजे गुणा; किती म्हणजे भागा."

फरक ओळखा

शब्दक्रियाउदाहरण
चा×1/4 of 80
किती तुकडे÷3/4 ÷ 1/8
उरले–80 – 20

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1₹80 चा 1/4 खर्च केला. किती उरले?
  2. 2मुलगा ताशी 4 kmने 3/4 तास चालतो. अंतर?
  3. 31/2 + 1/3 × 3/4 काढा.
मध्यम
  1. 4ताशी 4 kmने 6 km चालण्यास किती वेळ?
  2. 5(1/2 + 1/3) × 6 काढा.
  3. 6टाकी 2/3 भरली. त्यातील 1/4 पाणी वापरले. आता टाकीचा किती भाग भरलेला?
आव्हानात्मक
  1. 7₹80 पैकी 1/4 खर्च, मग उरलेल्याचा 1/3. किती उरले?
  2. 83/4 ÷ 3/8 – 1 काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1₹60
  2. 23 km
  3. 33/4
  4. 41 1/2 तास
  5. 55
  6. 61/2
  7. 7₹40
  8. 81