तीन बाजूंवरून त्रिकोण रचणे
सुतार 4, 5 आणि 6 फुटांच्या तीन काठ्या जोडतो; कोपरे पक्के आणि चौकट हलत नाही.
त्रिकोणाला 3 बाजू, 3 शिरोबिंदू आणि 3 कोन असतात. तीन बाजू दिल्या तर एक बाजू पाया म्हणून काढा, तिच्या टोकांवरून इतर दोन लांबींचे दोन कंस काढा; ते तिसऱ्या शिरोबिंदूत छेदतात.
आकृतीत : पाया AB = 6 cm; A वरून 4 cm व B वरून 5 cm कंस C मध्ये भेटतात.
नियम 1 : कंपास व पट्टीने पायऱ्या — पाया काढा, कंपास एका बाजूच्या लांबीवर ठेवा, एका टोकावरून कंस, मग दुसऱ्या टोकावरून.
- सोपे : बाजू 4, 5, 6 : पाया 6 cm.
- मध्यम : C ला A व B शी जोडा.
- परीक्षेसाठी : बाजू पुन्हा मोजून तपासा.
नियम 2 : समभुज त्रिकोण — तिन्ही बाजू समान, म्हणून दोन्ही कंसांना कंपासची तीच उघडझाप; प्रत्येक कोन 60°.
- सोपे : बाजू 5 cm : दोन्ही टोकांवरून 5 cm कंस.
- मध्यम : परिमिती = 3 × 5 = 15 cm.
- परीक्षेसाठी : परिमिती 30 cm → बाजू 10 cm.
नियम 3 : परिमिती — परिमिती = तिन्ही बाजूंची बेरीज.
- सोपे : 4 + 5 + 6 = 15 cm.
- मध्यम : समद्विभुज 7, 7, 6 : 20 cm.
- परीक्षेसाठी : परिमिती 20, समान बाजू प्रत्येकी 7 → पाया 6.
दोन कंस तिसऱ्या शिरोबिंदूत छेदतात; त्याला दोन्ही टोकांशी जोडा.
समभुज त्रिकोणाच्या दोन कंसांमध्ये कंपासची उघडझाप बदलणे.
सर्वात लांब बाजू पाया म्हणून काढा म्हणजे कंस नीट छेदतात. आठवणीची युक्ती : "आधी पाया, मग कंस, शेवटी जोडणी."
फरक ओळखा
| त्रिकोण | बाजू | कंपास उघडझाप |
|---|---|---|
| समभुज | 5, 5, 5 | दोन्ही कंस सारखे |
| विषमभुज | 4, 5, 6 | प्रत्येक कंस वेगळा |
सरावासाठी प्रश्न
- 1त्रिकोणाला किती शिरोबिंदू असतात?
- 25, 6, 7 cm बाजूंच्या त्रिकोणाची परिमिती काढा.
- 3समभुज त्रिकोणाचा प्रत्येक कोन किती?
- 4समभुज त्रिकोणाची परिमिती 27 cm. बाजू काढा.
- 5समद्विभुज त्रिकोण : समान बाजू 9 cm, परिमिती 25 cm. पाया काढा.
- 6कंस कोणते साधन काढते?
- 76, 8, 10 cm बाजू : पाया म्हणून कोणती?
- 8x, x आणि 4 बाजूंच्या त्रिकोणाची परिमिती 18. x काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13
- 218 cm
- 360°
- 49 cm
- 57 cm
- 6कंपास
- 710 cm (सर्वात लांब)
- 87
त्रिकोण असमानता
2 व 3 फुटांच्या काठ्या 6 फुटांचे अंतर गाठू शकत नाहीत; 3 व 4 च्या काठ्या 5 फुटांचे अंतर गाठतात.
तीन लांबींचा त्रिकोण तेव्हाच होतो जेव्हा कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसरीपेक्षा मोठी असते. ही त्रिकोण असमानता. दोन लहान बाजूंची बेरीज सर्वात मोठीपेक्षा जास्त आहे ना, एवढेच तपासले तरी पुरते.
आकृतीत : 3 व 4 च्या पट्ट्या 5 पलीकडे पोहोचतात (त्रिकोण); 2 व 3 च्या 6 पर्यंत पोहोचत नाहीत (त्रिकोण नाही).
त्रिकोण असमानता
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : तीन लांबी तपासा — दोन लहान लांबी मिळवा; सर्वात मोठीशी तुलना करा.
- सोपे : 3, 4, 5 : 3 + 4 = 7 > 5 → त्रिकोण.
- मध्यम : 2, 3, 6 : 2 + 3 = 5 < 6 → त्रिकोण नाही.
- परीक्षेसाठी : 5, 5, 10 : 5 + 5 = 10, मोठी नाही → सरळ रेषा, त्रिकोण नाही.
नियम 2 : तिसऱ्या बाजूची मर्यादा — तिसरी बाजू इतर दोन बाजूंच्या फरकापेक्षा जास्त आणि बेरजेपेक्षा कमी.
- सोपे : बाजू 4 व 9 : तिसरी 5 ते 13 च्या मध्ये.
- मध्यम : पूर्ण संख्या पर्याय : 6, 7, …, 12.
- परीक्षेसाठी : बाजू 7 व 7 : तिसरी 0 ते 14 च्या मध्ये.
नियम 3 : हे का खरे — दोन बिंदूंमधील सरळ मार्ग सर्वांत लहान, म्हणून एक बाजू इतर दोन मिळून होणाऱ्यापेक्षा लहान.
- सोपे : A ते C थेट चालणे A-B-C पेक्षा कमी.
- मध्यम : म्हणून AC < AB + BC.
- परीक्षेसाठी : समान असेल तर तिन्ही बिंदू एका रेषेत.
फक्त दोन लहान बाजूंनी सर्वात मोठीला हरवायचे.
5 + 5 = 10 म्हणून 5, 5, 10 चा त्रिकोण समजणे. बेरीज मोठी हवी, समान नाही.
आधी लांबी क्रमाने लावा, मग दोन लहान मिळवा. आठवणीची युक्ती : "दोन लहान मोठीला हरवा."
फरक ओळखा
| लांबी | दोन लहान | त्रिकोण? |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 7 > 5 | होय |
| 2, 3, 6 | 5 < 6 | नाही |
| 5, 5, 10 | 10 = 10 | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 13, 4, 5 त्रिकोणाच्या बाजू होतील का?
- 22, 3, 6 चा त्रिकोण होईल का?
- 37, 8, 9 चा त्रिकोण होईल का?
- 4बाजू 4 व 9 : तिसरी बाजू कोणत्या संख्यांमध्ये?
- 55, 5, 10 चा त्रिकोण होईल का?
- 6दोन बाजू 6 व 8 असल्यास तिसरी बाजू किती पूर्ण-संख्या लांबी घेऊ शकते?
- 7त्रिकोणाच्या बाजू 8, 8 आणि x. x ची मर्यादा द्या.
- 810, 15, 30 साठी त्रिकोण होण्यास 10 किती वाढवावे (सर्वात लहान पूर्ण संख्या)?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय
- 2नाही
- 3होय
- 45 ते 13 च्या मध्ये
- 5नाही
- 611 (3, 4, …, 13)
- 70 < x < 16
- 86 (16 + 15 = 31 > 30)
बाजू व कोनांवरून रचना
छताच्या तुळईसाठी गवंड्याला दोन वासे आणि त्यांमधील कोन माहीत असतो, आणि तो एकच त्रिकोण ठरतो.
दोन बाजू व त्यांमधील कोन (SAS) किंवा दोन कोन व त्यांमधील बाजू (ASA) दिल्यास त्रिकोण ठरतो. ASA मध्ये तिसरा कोन 180° मधून दोन कोन वजा. कोन चांद्याने काढा.
आकृतीत : 6 cm व 5 cm बाजू आणि मधला 50° : पाया, 50° खूण, 5 cm कापा, जोडा.
नियम 1 : SAS रचना — एक बाजू काढा, एका टोकाशी दिलेला कोन करा, त्या भुजेवर दुसरी बाजू मोजा, मग जोडा.
- सोपे : 6 cm, 5 cm व मधला 50°.
- मध्यम : तिसरी बाजू टोके जोडून मिळते.
- परीक्षेसाठी : योग्य टोकाशी चांदा ठेवा.
नियम 2 : ASA रचना — बाजू काढा, प्रत्येक टोकाशी एक कोन करा; किरण तिसऱ्या शिरोबिंदूत भेटतात.
- सोपे : पाया 7 cm, कोन 40° व 60°.
- मध्यम : तिसरा कोन = 180° – 40° – 60° = 80°.
- परीक्षेसाठी : कोन 70° व 50° → तिसरा 60°.
नियम 3 : कोन खूप मोठे असतील तर — दोन कोनांची बेरीज 180° पेक्षा कमी हवी, नाहीतर किरण भेटत नाहीत.
- सोपे : 100° + 70° = 170° < 180° : शक्य.
- मध्यम : 110° + 80° = 190° : अशक्य.
- परीक्षेसाठी : 90° + 90° = 180° : किरण समांतर, त्रिकोण नाही.
SAS मधील कोन दिलेल्या दोन बाजूंच्या मध्ये असतो.
कोन चुकीच्या कोपऱ्यात काढणे. तो दोन दिलेल्या बाजू जिथे भेटतात तिथे हवा.
चांद्याचा शून्य आधाररेषेवर नेमका टोकावर ठेवा. आठवणीची युक्ती : "बाजू-कोन-बाजू : कोन मधे सँडविच."
फरक ओळखा
| प्रकार | दिलेले | तिसरे |
|---|---|---|
| SSS | 3 बाजू | मोजून 3 कोन |
| SAS | 2 बाजू + मधला कोन | टोके जोडा |
| ASA | 2 कोन + मधली बाजू | 180° – बेरीज |
सरावासाठी प्रश्न
- 1SAS मध्ये कोन कुठे असतो?
- 2कोन 40° व 60° दिले. तिसरा कोन काढा.
- 3कोन कोणत्या साधनाने मोजतात?
- 4कोन 70° व 50° दिले. तिसरा कोन काढा.
- 5त्रिकोणाचे कोन 110° व 80° असू शकतात का?
- 6दोन कोन 35° व 45° आणि मधली बाजू 8 cm. कोणता प्रकार?
- 7त्रिकोणाचे दोन कोन समान व तिसरा 40°. ते काढा.
- 890° व 90° कोन आणि मधली बाजू : शक्य आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1दोन बाजूंच्या मध्ये
- 280°
- 3चांदा
- 460°
- 5नाही : बेरीज 190°
- 6ASA
- 7प्रत्येकी 70°
- 8नाही : किरण समांतर
त्रिकोणाचे शिरोलंब
साहुळी छताच्या टोकाहून सरळ जमिनीपर्यंत लोंबते: ती छताची उंची दाखवते.
शिरोलंब म्हणजे शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूवर (किंवा तिच्या वाढीवर) काढलेला लंब. त्याची लांबी म्हणजे उंची. प्रत्येक त्रिकोणाला 3 शिरोलंब आणि ते एका सामाईक बिंदूतून जातात.
आकृतीत : लघुकोन त्रिकोण : शिरोलंब आत. विशालकोन त्रिकोण : शिरोलंब बाहेर, वाढवलेल्या पायावर.
नियम 1 : शिरोलंब काढणे — पायावर सेट-स्क्वेअर ठेवा, काटकोन कडा शिरोबिंदूला लागेपर्यंत सरकवा, मग रेषा काढा.
- सोपे : शिरोबिंदू व समोरचा पाया निवडा.
- मध्यम : पायथ्याशी काटकोन दाखवा.
- परीक्षेसाठी : इतर दोन शिरोबिंदूंसाठी पुन्हा.
नियम 2 : उंची व क्षेत्रफळ — क्षेत्रफळ = अर्धा × पाया × उंची, उंची म्हणजे त्या पायावरचा शिरोलंब.
- सोपे : पाया 10, उंची 6 : क्षेत्रफळ 30.
- मध्यम : पाया 8, उंची 5 : क्षेत्रफळ 20.
- परीक्षेसाठी : क्षेत्रफळ 36, पाया 9 → उंची 8.
नियम 3 : शिरोलंब कुठे असतात — लघुकोन : सर्व आत. काटकोन : दोन म्हणजे काटकोन करणाऱ्या बाजू. विशालकोन : दोन बाहेर.
- सोपे : समभुज : तिन्ही आत.
- मध्यम : काटकोन त्रिकोण : काटकोन करणाऱ्या बाजू शिरोलंब.
- परीक्षेसाठी : विशालकोन : पाया वाढवून शिरोलंब काढा.
शिरोलंब बाजूला लंब असतो; मध्यगा मध्यबिंदूला जाते.
तिरकी बाजू उंची म्हणून घेणे. उंची नेहमी लंबातील अंतर.
पायथ्याशी लहान चौकोन दाखवा म्हणजे 90° आठवते. आठवणीची युक्ती : "शिरोलंब = सदा 90°."
फरक ओळखा
| रेषा | कुठे जाते | कोन |
|---|---|---|
| शिरोलंब | समोरची बाजू (लंब) | 90° |
| मध्यगा | समोरच्या बाजूचा मध्यबिंदू | कोणताही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1शिरोलंब व त्याचा पाया यांमधील कोन किती?
- 2त्रिकोणाला किती शिरोलंब?
- 3पाया 10, उंची 6 : क्षेत्रफळ काढा.
- 4क्षेत्रफळ 36, पाया 9 : उंची काढा.
- 5काटकोन त्रिकोणाच्या काटकोन-बाजू 6 व 8; एक शिरोलंब 6. त्याचा पाया कोणता?
- 6विशालकोन त्रिकोणात शिरोलंब कुठे पडू शकतो?
- 7काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू 6 व 8 : क्षेत्रफळ?
- 8क्षेत्रफळ 60 व उंची 10 : पाया काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 190°
- 23
- 330
- 48
- 58 लांबीची बाजू
- 6बाहेर, वाढवलेल्या पायावर
- 724
- 812
त्रिकोणांचे प्रकार व कोनांची बेरीज
तंबूची बाजू, सेट-स्क्वेअर आणि पिझ्झाचा तुकडा सर्व त्रिकोण, पण बाजू आणि कोनांत वेगवेगळे.
बाजूंनुसार : समभुज (3 समान), समद्विभुज (2 समान), विषमभुज (एकही समान नाही). कोनांनुसार : लघुकोन (सर्व 90° पेक्षा लहान), काटकोन (एक 90°), विशालकोन (एक 90° पेक्षा मोठा). कोणत्याही त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज 180°.
आकृतीत : समभुज, समद्विभुज आणि विषमभुज त्रिकोण.
त्रिकोणांचे प्रकार व कोनांची बेरीज
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : बाजूंवरून नाव — किती बाजू समान ते मोजा.
- सोपे : 5, 5, 5 → समभुज.
- मध्यम : 6, 6, 4 → समद्विभुज.
- परीक्षेसाठी : 3, 4, 5 → विषमभुज.
नियम 2 : कोनांवरून नाव — सर्वांत मोठा कोन पाहा.
- सोपे : 60°, 70°, 50° → लघुकोन.
- मध्यम : 90°, 50°, 40° → काटकोन.
- परीक्षेसाठी : 110°, 40°, 30° → विशालकोन.
नियम 3 : कोन बेरीज 180° — तिसरा कोन = 180° वजा इतर दोन.
- सोपे : 50° + 60° → तिसरा 70°.
- मध्यम : काटकोन त्रिकोण व 35° → दुसरा लघुकोन 55°.
- परीक्षेसाठी : समद्विभुज, शिरोकोन 40° → पायाचे कोन प्रत्येकी 70°.
समभुज हा समद्विभुजही असतो, पण उलट नाही.
100° चा कोन असलेल्या त्रिकोणाला "लघुकोन" म्हणणे. 90° पेक्षा मोठा कोन म्हणजे विशालकोन.
त्रिकोणात फक्त एकच काटकोन किंवा विशालकोन असू शकतो. आठवणीची युक्ती : "बाजू : 3-2-0 समान; कोन : मोठा ठरवतो."
फरक ओळखा
| नाव | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| समभुज | 3 समान बाजू | 5, 5, 5 |
| समद्विभुज | 2 समान बाजू | 6, 6, 4 |
| विषमभुज | एकही समान नाही | 3, 4, 5 |
सरावासाठी प्रश्न
- 15, 5, 5 बाजूंच्या त्रिकोणाचे नाव?
- 2त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज?
- 390°, 50°, 40° कोनांच्या त्रिकोणाचे नाव?
- 4दोन कोन 50° व 60°. तिसरा काढा.
- 5समद्विभुज त्रिकोण, शिरोकोन 40° : पायाचा कोन काढा.
- 6काटकोन त्रिकोणाचा एक कोन 35°. दुसरा लघुकोन काढा.
- 7कोन x, 2x आणि 3x. x काढा.
- 8त्रिकोणाचे दोन काटकोन असू शकतात का? का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1समभुज
- 2180°
- 3काटकोन
- 470°
- 570°
- 655°
- 730°
- 8नाही : 90° + 90° = 180°, तिसऱ्या कोनास काहीच उरत नाही