संख्यांच्या बेरजेतील आकृतिबंध
1, 3, 5 आणि 7 विटा L आकारात रचल्या की 16 विटांचा 4 × 4 चौरस तयार होतो.
पद्धतशीर बेरजेतून सोपा शॉर्टकट मिळतो. लागोपाठ तीन संख्यांची बेरीज मधली × 3; पहिल्या n विषम संख्यांची बेरीज n × n.
आकृतीत : विषम संख्यांचे थर 1, 3, 5, 7 मिळून 4 × 4 = 16 चौरस.
नियम 1 : लागोपाठ तीन संख्या — बेरीज = मधली संख्या × 3.
- सोपे : 7 + 8 + 9 = 24 = 3 × 8.
- मध्यम : 29 + 30 + 31 = 90.
- परीक्षेसाठी : बेरीज 51 → मधली 51 ÷ 3 = 17 → संख्या 16, 17, 18.
नियम 2 : पहिल्या n विषम संख्यांची बेरीज — विषम संख्या मोजा आणि त्या संख्येला तिनेच गुणा.
- सोपे : 1 + 3 + 5 = 9 = 3 × 3.
- मध्यम : पहिल्या 9 विषम संख्यांची बेरीज 81.
- परीक्षेसाठी : बेरीज 144 → 12 × 12 → पहिल्या 12 विषम संख्या.
नियम 3 : 1, 2, 3, … ची बेरीज — पहिली-शेवटची, दुसरी-उपांत्य अशा जोड्या लावा : प्रत्येक जोडीची बेरीज सारखी.
- सोपे : 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (5 च्या दोन जोड्या).
- मध्यम : 1 + 2 + … + 10 = 11 च्या 5 जोड्या = 55.
- परीक्षेसाठी : 1 + 2 + … + 20 = 21 च्या 10 जोड्या = 210.
लागोपाठ म्हणजे 1 च्या अंतराने एकापाठोपाठ.
लागोपाठ नसलेल्या संख्यांसाठी 3 × मधली वापरणे; 5, 8, 9 साठी हे चालत नाही.
शॉर्टकट वापरण्यापूर्वी अंतर तपासा. आठवणीची युक्ती : "मधली × 3"; "विषम थर म्हणजे चौरस."
फरक ओळखा
| आकृतिबंध | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| लागोपाठ 3 | 3 × मधली | 4 + 5 + 6 = 15 |
| पहिल्या n विषम | n × n | 1 + 3 + 5 + 7 = 16 |
सरावासाठी प्रश्न
- 114 + 15 + 16 काढा.
- 2पहिल्या 6 विषम संख्यांची बेरीज काढा.
- 31 + 2 + 3 + 4 + 5 काढा.
- 4तीन लागोपाठ संख्यांची बेरीज 63. त्या शोधा.
- 5पहिल्या किती विषम संख्यांची बेरीज 100?
- 61 + 2 + … + 30 काढा.
- 7लागोपाठ तीन संख्यांची बेरीज 100 होईल का? का?
- 8जोड्या लावून 51 + 52 + … + 60 काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 145
- 236
- 315
- 420, 21, 22
- 510
- 6465
- 7नाही : 100 हा 3 चा पट नाही
- 8555 (111 च्या 5 जोड्या)
समता : सम-विषम नियम
जोडे : 8 बूट म्हणजे 4 जोड्या, काहीच उरत नाही; पण 9 बुटांत एक एकटा उरतो.
जोड्या लावल्यावर काहीच न उरल्यास संख्या सम, एक उरल्यास विषम. सम किंवा विषम असणे म्हणजे समता. बेरीज न करताही ती शक्य आहे का हे समतेतून ठरवता येते.
आकृतीत : सहा ठिपके पूर्ण जोडले जातात; सात ठिपक्यांत एक लाल एकटा उरतो.
नियम 1 : दोन संख्यांची बेरीज — सम + सम = सम; विषम + विषम = सम; सम + विषम = विषम.
- सोपे : 12 + 8 = 20 (सम).
- मध्यम : 7 + 9 = 16 (सम).
- परीक्षेसाठी : लागोपाठ दोन संख्यांची बेरीज नेहमी विषम.
नियम 2 : अनेक विषम संख्या — विषम संख्या सम संख्येने असतील तर बेरीज सम; विषम संख्येने असतील तर विषम.
- सोपे : 3 विषम : 1 + 3 + 5 = 9 (विषम).
- मध्यम : 4 विषम : 1 + 3 + 5 + 7 = 16 (सम).
- परीक्षेसाठी : 5 विषम कार्डांची बेरीज 30 होईल का? नाही : 5 विषमांची बेरीज विषम.
नियम 3 : गुणाकार — कोणताही अवयव सम असल्यास गुणाकार सम; सर्व अवयव विषम असतील तरच विषम.
- सोपे : 6 × 7 = 42 (सम).
- मध्यम : 5 × 9 = 45 (विषम).
- परीक्षेसाठी : 3 × 5 × 7 × 8 सम आहे कारण 8 आहे.
समता शेवटच्या अंकावरून ठरते : 0, 2, 4, 6, 8 म्हणजे सम.
विषम + विषम = विषम समजणे. ती सम असते (3 + 5 = 8).
मनात जोड्या लावा; उरला तर विषम. आठवणीची युक्ती : "विषम + विषम = सम (दोन उरलेले जोडी बनवतात)."
फरक ओळखा
| बेरीज | समता | उदाहरण |
|---|---|---|
| सम + सम | सम | 4 + 6 = 10 |
| विषम + विषम | सम | 3 + 5 = 8 |
| सम + विषम | विषम | 4 + 5 = 9 |
सरावासाठी प्रश्न
- 17 + 12 सम की विषम?
- 26 विषम संख्यांची बेरीज सम की विषम?
- 39 × 11 सम की विषम?
- 44 विषम संख्यांची बेरीज 33 होईल का?
- 5दोन मित्रांच्या वयांत 1 वर्षाचे अंतर. वयांची बेरीज 50 होईल का?
- 63 × 5 × 7 × 8 सम की विषम?
- 77 कार्डांवर प्रत्येकी विषम संख्या. बेरीज 40 होईल का?
- 85 सम व 3 विषम संख्यांची बेरीज सम की विषम?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1विषम
- 2सम
- 3विषम
- 4नाही : 4 विषमांची बेरीज सम
- 5नाही : लागोपाठ वयांची बेरीज विषम
- 6सम
- 7नाही : 7 विषमांची बेरीज विषम
- 8विषम
संख्या-जाळ्यांतील आकृतिबंध
दिनदर्शिकेत एक घर उजवीकडे गेल्यास 1 वाढतो आणि एक ओळ खाली गेल्यास 7.
ज्या जाळ्यात प्रत्येक ओळीत 7 संख्या असतात तिथे पायऱ्या ठराविक : आडवे +1, खाली +7. यावरून कर्णांच्या बेरजा सारख्या आणि अधिक-आकाराची बेरीज = मधली × 5 असे आकृतिबंध मिळतात.
आकृतीत : अधिक आकार 9, 15, 16, 17, 23 ची बेरीज 80 = 5 × 16.
नियम 1 : जाळ्यातील पायऱ्या — उजवीकडे +1, डावीकडे –1, खाली +7, वर –7.
- सोपे : 10 पासून एक पायरी खाली 17.
- मध्यम : 23 पासून दोन पायऱ्या वर 9.
- परीक्षेसाठी : 5 पासून 2 खाली व 1 उजवीकडे : 5 + 14 + 1 = 20.
नियम 2 : कर्णांच्या सारख्या बेरजा — कोणत्याही 2 × 2 चौकटीत दोन्ही कर्णांची बेरीज सारखी.
- सोपे : चौकट 8, 9, 15, 16 : 8 + 16 = 9 + 15 = 24.
- मध्यम : चौकट 3, 4, 10, 11 : 3 + 11 = 4 + 10 = 14.
- परीक्षेसाठी : चौकट 12, 13, 19 आणि गायब कोपरा : 13 + 19 = 32, म्हणून कोपरा 32 – 12 = 20.
नियम 3 : अधिक-आकाराची बेरीज — अधिक-आकाराची बेरीज = मधली संख्या × 5.
- सोपे : मधली 16 : बेरीज 80.
- मध्यम : मधली 11 : बेरीज 55.
- परीक्षेसाठी : बेरीज 100 → मधली 100 ÷ 5 = 20.
मधल्या संख्येच्या चार शेजारी : –7, –1, +1, +7; बदल जोडीने रद्द होतात.
कॅलेंडरच्या कडेला पूर्ण अधिक आकार बसत नसताना 5 × मधली वापरणे.
शॉर्टकटपूर्वी पाचही घरे आहेत का ते पाहा. आठवणीची युक्ती : "अधिक = मधले हृदय × 5."
फरक ओळखा
| हालचाल | बदल | 16 पासून |
|---|---|---|
| उजवीकडे | +1 | 17 |
| खाली | +7 | 23 |
| वर-डावीकडे | –8 | 8 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1कॅलेंडर जाळ्यात 12 च्या एक ओळ खाली कोणती संख्या?
- 2मधली 18 असलेल्या अधिक-आकाराची बेरीज काढा.
- 35, 6, 12, 13 चौकटीच्या कर्णांच्या बेरजा सारख्या आहेत का?
- 4अधिक-आकाराची बेरीज 135. मधली संख्या काढा.
- 54 पासून 3 खाली व 2 उजवीकडे गेल्यास कुठे पोहोचता?
- 69, 10, 16, ? चौकटीतील गायब कोपरा काढा.
- 7अधिक-आकाराची बेरीज 72 होईल का? का?
- 8ओळीतील तीन संख्यांची बेरीज 51. त्या शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 119
- 290
- 3होय : 5 + 13 = 6 + 12 = 18
- 427
- 54 + 21 + 2 = 27
- 617 (10 + 16 – 9)
- 7नाही : 72 हा 5 चा पट नाही
- 816, 17, 18
संख्या-जाळ्यांतील आकृतिबंध
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाविरहांक (फिबोनाची) क्रम
तुम्ही एकावेळी 1 किंवा 2 पायऱ्या चढता. 4 पायऱ्यांसाठी 5 वेगळे मार्ग; 5 पायऱ्यांसाठी 8.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … या क्रमात प्रत्येक पद आधीच्या दोन पदांची बेरीज असते; तो विरहांक (फिबोनाची) क्रम. विरहांकाने हस्व (1) व दीर्घ (2) मात्रांच्या लयी मोजताना तो शोधला.
आकृतीत : पदे 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 : पुढे 8 + 13 = 21.
नियम 1 : क्रम तयार करा — शेवटची दोन पदे मिळवून पुढचे पद मिळते.
- सोपे : 1, 1, 2, 3, 5 → पुढचे 8.
- मध्यम : 13, 21 नंतर 34.
- परीक्षेसाठी : 2, 3 पासून : 2, 3, 5, 8, 13, 21 (नियम तोच, सुरुवात नवी).
नियम 2 : गायब पद शोधा — पद = आधीच्या दोन पदांची बेरीज, म्हणून मागे जाताना वजा करा.
- सोपे : …, 5, ?, 13 : ? = 13 – 5 = 8.
- मध्यम : …, ?, 8, 13 : ? = 13 – 8 = 5.
- परीक्षेसाठी : …, ?, 21, 34 → ? = 13; त्यापूर्वी 21 – 13 = 8.
नियम 3 : दडलेले आकृतिबंध — प्रत्येक तिसरे पद सम; पहिल्या काही पदांची बेरीज पुढच्या एका पदापेक्षा 1 ने कमी.
- सोपे : सम पदे : 2, 8, 34, … (3 रे, 6 वे, 9 वे).
- मध्यम : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 – 1.
- परीक्षेसाठी : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33 = 34 – 1.
लय किंवा पायऱ्यांचे मार्ग आधीच्या दोन संख्या मिळवून मोजा.
मधले पद सोडून मिळवणे. लगतची दोन पदेच मिळवा.
क्रम एका ओळीत लिहा आणि शेवटच्या दोन मध्ये + ठेवा. आठवणीची युक्ती : "मागचे दोन, मिळवा, पुढे जा."
फरक ओळखा
| पायऱ्या | मार्ग | कसे |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — |
| 2 | 2 | 1+1, 2 |
| 3 | 3 | 2 + 1 |
| 4 | 5 | 3 + 2 |
| 5 | 8 | 5 + 3 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1पुढचे पद : 1, 1, 2, 3, 5, 8, __.
- 2गायब पद : 2, 3, 5, __, 13.
- 31 किंवा 2 पायऱ्यांच्या उड्यांनी 3 पायऱ्या चढण्याचे किती मार्ग?
- 43, 4, 7, 11 पुढे दोन पदे लिहा.
- 56 पायऱ्या चढण्याचे किती मार्ग?
- 68, 21, 34, 55 पैकी सम कोणत्या?
- 7दडलेल्या आकृतिबंधाने 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 काढा.
- 8?, ?, 21, 34, 55 : पहिली दोन पदे शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 113
- 28
- 33
- 418, 29
- 513
- 68 and 34
- 720 (= 21 – 1)
- 88 आणि 13
वेशांतरित अंक (अक्षर-कोडी)
गुप्त संकेतात अंकांऐवजी अक्षरे असतात. ते उलगडायला शेवटचा अंक व हातचा यांचे तर्कशास्त्र लागते.
अक्षर-कोड्यात प्रत्येक अक्षर एक अंक दर्शवतो, वेगळी अक्षरे वेगळे अंक आणि संख्येचा पहिला अंक 0 नसतो. एककस्थानापासून स्तंभानुसार सोडवा, हातचा लक्षात ठेवा.
आकृतीत : AB + AB = 156 : एकक B + B चा शेवट 6 म्हणून B = 8; मग 2A + 1 = 15 म्हणजे A = 7.
नियम 1 : मूलभूत नियम — एक अक्षर = एक अंक; पहिला अक्षर 0 नाही; स्तंभांमध्ये हातचा वापरा.
- सोपे : A + A = 12 → A = 6.
- मध्यम : A + 5 = 11 → A = 6.
- परीक्षेसाठी : 2 × K चा शेवट 4 → K = 2 किंवा 7.
नियम 2 : AB + AB सोडवा — आधी एककांचा स्तंभ, मग हातच्यासह दशकांचा स्तंभ.
- सोपे : AB + AB = 156 → 78 + 78.
- मध्यम : AB + AB = 92 → 46 + 46.
- परीक्षेसाठी : AB + AB = 128 → 64 + 64.
नियम 3 : संख्या व तिची उलटी — AB + BA ची बेरीज नेहमी 11 × (A + B).
- सोपे : 25 + 52 = 77 = 11 × 7.
- मध्यम : 38 + 83 = 121 = 11 × 11.
- परीक्षेसाठी : AB + BA = 143 → A + B = 13 (उदा. 49 + 94).
उत्तर नेहमी पुन्हा बेरीज करून तपासा.
दोन अक्षरांना एकच अंक देणे. वेगळ्या अक्षरांना वेगळे अंक हवेत.
सर्वात कमी अज्ञात असलेल्या स्तंभापासून सुरू करा. आठवणीची युक्ती : "आधी एकक, मग हातचा."
फरक ओळखा
| पायरी | प्रश्न | वापर |
|---|---|---|
| 1 | एककाचा अंक? | B + B ends in 6 |
| 2 | हातचा? | 8 + 8 = 16 → carry 1 |
| 3 | दशकाचा अंक? | 2A + 1 = 15 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1A + A = 14. A काढा.
- 2K + 8 = 15 तर K काढा.
- 325 + 52 काढा.
- 4AB + AB = 92. AB काढा.
- 5AB + AB = 128. AB काढा.
- 6AB + BA = 99 आणि A = 3. B काढा.
- 7AB + BA = 143. A + B किती?
- 8AB + AB = 144. AB काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 17
- 27
- 377
- 446
- 564
- 66 (A + B = 9)
- 713
- 872