संख्याओं के योग में पैटर्न
1, 3, 5 और 7 ईंटें L आकार में रखने से 16 ईंटों का 4 × 4 वर्ग बन जाता है।
क्रम से जोड़ने पर अक्सर आसान शॉर्टकट मिलता है। लगातार तीन संख्याओं का योग बीच वाली × 3; पहली n विषम संख्याओं का योग n × n।
आकृति में : विषम संख्याओं की परतें 1, 3, 5, 7 मिलकर 4 × 4 = 16 वर्ग।
नियम 1 : लगातार तीन संख्याएँ — योग = बीच की संख्या × 3।
- आसान : 7 + 8 + 9 = 24 = 3 × 8।
- मध्यम : 29 + 30 + 31 = 90।
- परीक्षा-प्रकार : योग 51 → बीच वाली 51 ÷ 3 = 17 → संख्याएँ 16, 17, 18।
नियम 2 : पहली n विषम संख्याओं का योग — विषम संख्याएँ गिनें और उस गिनती को उसी से गुणा करें।
- आसान : 1 + 3 + 5 = 9 = 3 × 3।
- मध्यम : पहली 9 विषम संख्याओं का योग 81।
- परीक्षा-प्रकार : योग 144 → 12 × 12 → पहली 12 विषम संख्याएँ।
नियम 3 : 1, 2, 3, … का योग — पहली-आख़िरी, दूसरी-उपांत्य की जोड़ियाँ बनाइए : हर जोड़ी का योग समान।
- आसान : 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (5 की दो जोड़ियाँ)।
- मध्यम : 1 + 2 + … + 10 = 11 की 5 जोड़ियाँ = 55।
- परीक्षा-प्रकार : 1 + 2 + … + 20 = 21 की 10 जोड़ियाँ = 210।
लगातार यानी 1 के अंतर से एक के बाद एक।
लगातार न होने वाली संख्याओं पर 3 × बीच वाली लगाना; 5, 8, 9 पर यह नहीं चलता।
शॉर्टकट से पहले अंतर जाँचें। याद रखने की युक्ति : "बीच वाली × 3"; "विषम परतें यानी वर्ग।"
अंतर पहचानें
| पैटर्न | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| लगातार 3 | 3 × बीच वाली | 4 + 5 + 6 = 15 |
| पहली n विषम | n × n | 1 + 3 + 5 + 7 = 16 |
अभ्यास के प्रश्न
- 114 + 15 + 16 निकालिए।
- 2पहली 6 विषम संख्याओं का योग निकालिए।
- 31 + 2 + 3 + 4 + 5 निकालिए।
- 4तीन लगातार संख्याओं का योग 63 है। उन्हें खोजिए।
- 5पहली कितनी विषम संख्याओं का योग 100 है?
- 61 + 2 + … + 30 निकालिए।
- 7क्या लगातार तीन संख्याओं का योग 100 हो सकता है? क्यों?
- 8जोड़ियाँ बनाकर 51 + 52 + … + 60 निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 145
- 236
- 315
- 420, 21, 22
- 510
- 6465
- 7नहीं : 100, 3 का गुणज नहीं
- 8555 (111 की 5 जोड़ियाँ)
समता : सम-विषम नियम
जूते : 8 जूतों की 4 जोड़ियाँ बनती हैं, कुछ नहीं बचता; पर 9 में एक अकेला बचता है।
जोड़ियाँ बनाने पर कुछ न बचे तो संख्या सम, एक बचे तो विषम। सम या विषम होना समता कहलाता है। जोड़े बिना ही समता से तय होता है कि योग संभव है या नहीं।
आकृति में : छह बिंदु पूरे जुड़ते हैं; सात बिंदुओं में एक लाल अकेला बचता है।
नियम 1 : दो संख्याओं का योग — सम + सम = सम; विषम + विषम = सम; सम + विषम = विषम।
- आसान : 12 + 8 = 20 (सम)।
- मध्यम : 7 + 9 = 16 (सम)।
- परीक्षा-प्रकार : लगातार दो संख्याओं का योग सदा विषम।
नियम 2 : अनेक विषम संख्याएँ — विषम संख्याएँ सम गिनती में हों तो योग सम; विषम गिनती में हों तो विषम।
- आसान : 3 विषम : 1 + 3 + 5 = 9 (विषम)।
- मध्यम : 4 विषम : 1 + 3 + 5 + 7 = 16 (सम)।
- परीक्षा-प्रकार : क्या 5 विषम कार्डों का योग 30 हो सकता है? नहीं : 5 विषम का योग विषम।
नियम 3 : गुणनफल — कोई गुणनखंड सम हो तो गुणनफल सम; सभी विषम हों तभी विषम।
- आसान : 6 × 7 = 42 (सम)।
- मध्यम : 5 × 9 = 45 (विषम)।
- परीक्षा-प्रकार : 3 × 5 × 7 × 8 सम है क्योंकि 8 है।
समता अंतिम अंक से तय होती है : 0, 2, 4, 6, 8 यानी सम।
विषम + विषम = विषम मानना। यह सम होता है (3 + 5 = 8)।
मन में जोड़ियाँ बनाइए; बचे तो विषम। याद रखने की युक्ति : "विषम + विषम = सम (दो बचे मिलकर जोड़ी)।"
अंतर पहचानें
| योग | समता | उदाहरण |
|---|---|---|
| सम + सम | सम | 4 + 6 = 10 |
| विषम + विषम | सम | 3 + 5 = 8 |
| सम + विषम | विषम | 4 + 5 = 9 |
अभ्यास के प्रश्न
- 17 + 12 सम है या विषम?
- 26 विषम संख्याओं का योग सम या विषम?
- 39 × 11 सम या विषम?
- 4क्या 4 विषम संख्याओं का योग 33 हो सकता है?
- 5दो मित्रों की उम्र में 1 वर्ष का अंतर है। क्या उम्रों का योग 50 हो सकता है?
- 63 × 5 × 7 × 8 सम या विषम?
- 77 कार्डों पर विषम संख्याएँ हैं। क्या योग 40 हो सकता है?
- 85 सम और 3 विषम संख्याओं का योग सम या विषम?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1विषम
- 2सम
- 3विषम
- 4नहीं : 4 विषम का योग सम
- 5नहीं : लगातार उम्रों का योग विषम
- 6सम
- 7नहीं : 7 विषम का योग विषम
- 8विषम
संख्या-ग्रिड में पैटर्न
कैलेंडर में एक खाना दाएँ जाने पर 1 बढ़ता है और एक पंक्ति नीचे जाने पर 7।
जिस ग्रिड की हर पंक्ति में 7 संख्याएँ हों वहाँ पग निश्चित होते हैं : आड़े +1, नीचे +7। इनसे विकर्णों के योग बराबर और धन-आकार का योग = बीच वाली × 5 जैसे पैटर्न मिलते हैं।
आकृति में : धन आकार 9, 15, 16, 17, 23 का योग 80 = 5 × 16।
नियम 1 : ग्रिड के पग — दाएँ +1, बाएँ –1, नीचे +7, ऊपर –7।
- आसान : 10 से एक पग नीचे 17।
- मध्यम : 23 से दो पग ऊपर 9।
- परीक्षा-प्रकार : 5 से 2 नीचे और 1 दाएँ : 5 + 14 + 1 = 20।
नियम 2 : विकर्णों के समान योग — किसी भी 2 × 2 बॉक्स में दोनों विकर्णों का योग समान।
- आसान : बॉक्स 8, 9, 15, 16 : 8 + 16 = 9 + 15 = 24।
- मध्यम : बॉक्स 3, 4, 10, 11 : 3 + 11 = 4 + 10 = 14।
- परीक्षा-प्रकार : बॉक्स 12, 13, 19 और लुप्त कोना : 13 + 19 = 32, इसलिए कोना 32 – 12 = 20।
नियम 3 : धन-आकार का योग — धन-आकार का योग = बीच की संख्या × 5।
- आसान : बीच की 16 : योग 80।
- मध्यम : बीच की 11 : योग 55।
- परीक्षा-प्रकार : योग 100 → बीच की 100 ÷ 5 = 20।
बीच की संख्या के चार पड़ोसी : –7, –1, +1, +7; परिवर्तन जोड़ी में कट जाते हैं।
कैलेंडर के किनारे जहाँ पूरा धन आकार नहीं बैठता वहाँ 5 × बीच वाली लगाना।
शॉर्टकट से पहले जाँचें कि पाँचों खाने हैं। याद रखने की युक्ति : "धन = दिल का पाँच गुना।"
अंतर पहचानें
| गति | परिवर्तन | 16 से |
|---|---|---|
| दाएँ | +1 | 17 |
| नीचे | +7 | 23 |
| ऊपर-बाएँ | –8 | 8 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1कैलेंडर ग्रिड में 12 से एक पंक्ति नीचे कौन-सी संख्या?
- 2बीच की 18 वाले धन-आकार का योग निकालिए।
- 3क्या बॉक्स 5, 6, 12, 13 के विकर्णों के योग बराबर हैं?
- 4धन-आकार का योग 135 है। बीच की संख्या ज्ञात कीजिए।
- 54 से 3 नीचे और 2 दाएँ जाने पर कहाँ पहुँचेंगे?
- 6बॉक्स 9, 10, 16, ? में गायब कोना ज्ञात कीजिए।
- 7क्या धन-आकार का योग 72 हो सकता है? क्यों?
- 8पंक्ति की तीन संख्याओं का योग 51 है। उन्हें खोजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 119
- 290
- 3हाँ : 5 + 13 = 6 + 12 = 18
- 427
- 54 + 21 + 2 = 27
- 617 (10 + 16 – 9)
- 7नहीं : 72, 5 का गुणज नहीं
- 816, 17, 18
संख्या-ग्रिड में पैटर्न
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंविरहांक (फिबोनाची) अनुक्रम
आप एक बार में 1 या 2 सीढ़ियाँ चढ़ते हैं। 4 सीढ़ियों के 5 अलग तरीक़े; 5 के 8।
अनुक्रम 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … में हर पद पिछले दो पदों का योग होता है; यह विरहांक (फिबोनाची) अनुक्रम है। विरहांक ने लघु (1) और दीर्घ (2) मात्राओं की लय गिनते हुए इसे खोजा।
आकृति में : पद 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 : आगे 8 + 13 = 21।
नियम 1 : अनुक्रम बनाइए — अंतिम दो पद जोड़कर अगला पद मिलता है।
- आसान : 1, 1, 2, 3, 5 → अगला 8।
- मध्यम : 13, 21 के बाद 34।
- परीक्षा-प्रकार : 2, 3 से : 2, 3, 5, 8, 13, 21 (नियम वही, शुरुआत नई)।
नियम 2 : लुप्त पद खोजिए — पद = पिछले दो पदों का योग, इसलिए पीछे जाने के लिए घटाएँ।
- आसान : …, 5, ?, 13 : ? = 13 – 5 = 8।
- मध्यम : …, ?, 8, 13 : ? = 13 – 8 = 5।
- परीक्षा-प्रकार : …, ?, 21, 34 → ? = 13; उससे पहले 21 – 13 = 8।
नियम 3 : छिपे पैटर्न — हर तीसरा पद सम; पहले कुछ पदों का योग आगे के एक पद से 1 कम।
- आसान : सम पद : 2, 8, 34, … (3रा, 6ठा, 9वाँ)।
- मध्यम : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 – 1।
- परीक्षा-प्रकार : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33 = 34 – 1।
लय या सीढ़ी के तरीक़े पिछली दो गिनतियाँ जोड़कर गिनें।
बीच का पद छोड़कर जोड़ना। ठीक पिछले दो पद ही जोड़ें।
अनुक्रम एक पंक्ति में लिखकर अंतिम दो के बीच + रखें। याद रखने की युक्ति : "पीछे के दो, जोड़ो, आगे बढ़ो।"
अंतर पहचानें
| सीढ़ियाँ | तरीक़े | कैसे |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — |
| 2 | 2 | 1+1, 2 |
| 3 | 3 | 2 + 1 |
| 4 | 5 | 3 + 2 |
| 5 | 8 | 5 + 3 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1अगला पद : 1, 1, 2, 3, 5, 8, __।
- 2लुप्त पद : 2, 3, 5, __, 13।
- 31 या 2 सीढ़ी के कदमों से 3 सीढ़ियाँ चढ़ने के कितने तरीक़े?
- 43, 4, 7, 11 के आगे दो पद लिखिए।
- 56 सीढ़ियाँ चढ़ने के कितने तरीक़े?
- 68, 21, 34, 55 में से कौन-से सम हैं?
- 7छिपे पैटर्न से 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 निकालिए।
- 8?, ?, 21, 34, 55 : पहले दो पद खोजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 113
- 28
- 33
- 418, 29
- 513
- 68 and 34
- 720 (= 21 – 1)
- 88 और 13
छद्म अंक (अक्षर पहेलियाँ)
गुप्त कोड में अंकों की जगह अक्षर होते हैं। इसे खोलने के लिए अंतिम अंक और हासिल का तर्क चाहिए।
अक्षर पहेली में हर अक्षर एक अंक है, अलग अक्षर अलग अंक और संख्या का पहला अंक 0 नहीं होता। इकाई से स्तंभवार हल करें, हासिल याद रखें।
आकृति में : AB + AB = 156 : इकाई B + B का अंत 6, इसलिए B = 8; फिर 2A + 1 = 15 से A = 7।
नियम 1 : मूल नियम — एक अक्षर = एक अंक; पहला अक्षर 0 नहीं; स्तंभों में हासिल लगाएँ।
- आसान : A + A = 12 → A = 6।
- मध्यम : A + 5 = 11 → A = 6।
- परीक्षा-प्रकार : 2 × K का अंत 4 → K = 2 या 7।
नियम 2 : AB + AB हल करें — पहले इकाई स्तंभ, फिर हासिल सहित दहाई स्तंभ।
- आसान : AB + AB = 156 → 78 + 78।
- मध्यम : AB + AB = 92 → 46 + 46।
- परीक्षा-प्रकार : AB + AB = 128 → 64 + 64।
नियम 3 : संख्या और उसका उलटा — AB + BA हमेशा 11 × (A + B) होता है।
- आसान : 25 + 52 = 77 = 11 × 7।
- मध्यम : 38 + 83 = 121 = 11 × 11।
- परीक्षा-प्रकार : AB + BA = 143 → A + B = 13 (जैसे 49 + 94)।
उत्तर को वापस जोड़कर जाँचें।
दो अक्षरों को एक ही अंक देना। अलग अक्षरों को अलग अंक चाहिए।
सबसे कम अज्ञात वाले स्तंभ से शुरू करें। याद रखने की युक्ति : "पहले इकाई, फिर हासिल।"
अंतर पहचानें
| चरण | प्रश्न | उपयोग |
|---|---|---|
| 1 | इकाई अंक? | B + B ends in 6 |
| 2 | हासिल? | 8 + 8 = 16 → carry 1 |
| 3 | दहाई अंक? | 2A + 1 = 15 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1A + A = 14। A ज्ञात कीजिए।
- 2K + 8 = 15 हो तो K ज्ञात कीजिए।
- 325 + 52 निकालिए।
- 4AB + AB = 92। AB ज्ञात कीजिए।
- 5AB + AB = 128। AB ज्ञात कीजिए।
- 6AB + BA = 99 और A = 3। B ज्ञात कीजिए।
- 7AB + BA = 143। A + B कितना?
- 8AB + AB = 144। AB ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 17
- 27
- 377
- 446
- 564
- 66 (A + B = 9)
- 713
- 872