प्रतिच्छेदी, समांतर और लंब रेखाएँ
रेल की पटरियाँ कितनी भी दूर जाएँ, कभी नहीं मिलतीं। चौराहे पर दो सड़कें एक बिंदु पर मिलती हैं। सड़क पर सीधा खड़ा बिजली का खंभा समकोण बनाता है।
एक तल में जो रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं वे प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं। जो कभी नहीं मिलतीं और सदा समान दूरी पर रहती हैं वे समांतर रेखाएँ हैं। प्रतिच्छेदी रेखाएँ 90° का कोण बनाएँ तो वे लंब रेखाएँ हैं।
आकृति में : समांतर रेखाएँ नहीं मिलतीं; प्रतिच्छेदी एक बिंदु पर मिलती हैं; लंब रेखाएँ 90° पर मिलती हैं।
नियम 1 : समांतर रेखाएँ — वे सदा समान दूरी पर रहती हैं और कभी नहीं मिलतीं।
- आसान : पट्टी के आमने-सामने के किनारे।
- मध्यम : रेल की दो पटरियाँ।
- परीक्षा-प्रकार : कॉपी के पन्ने के ऊपर और नीचे के किनारे।
नियम 2 : प्रतिच्छेदी रेखाएँ — इनका ठीक एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, जिसे प्रतिच्छेदन बिंदु कहते हैं।
- आसान : चौराहे की दो सड़कें।
- मध्यम : खुली कैंची के दो फलक।
- परीक्षा-प्रकार : अक्षर X।
नियम 3 : लंब रेखाएँ — समकोण (90°) बनाने वाली प्रतिच्छेदी रेखाएँ लंब होती हैं; छोटे वर्ग से दर्शाते हैं।
- आसान : दरवाज़े की चौखट के पास-पास के किनारे।
- मध्यम : जोड़ का चिह्न +।
- परीक्षा-प्रकार : समतल ज़मीन पर सीधा खड़ा झंडे का खंभा।
लंब रेखाएँ प्रतिच्छेदी रेखाओं का विशेष रूप हैं।
पन्ने पर न मिलने वाली रेखाओं को समांतर मान लेना। बढ़ाने पर मिलें तो वे समांतर नहीं हैं।
समांतर = हर जगह समान दूरी। दो जगह दूरी नापें। याद रखने की युक्ति : "समांतर = पटरी, लंब = जोड़ का चिह्न।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | समांतर | प्रतिच्छेदी | लंब |
|---|---|---|---|
| मिलती हैं? | कभी नहीं | 1 बिंदु पर | 1 बिंदु पर |
| कोण | नहीं | कोई भी | 90° |
अभ्यास के प्रश्न
- 1कक्षा की दो समांतर चीज़ों के नाम बताइए।
- 2दो रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर मिलती हैं। इन्हें क्या कहते हैं?
- 3प्रतिच्छेदी रेखाएँ 90° का कोण बनाती हैं। इन्हें क्या कहते हैं?
- 4क्या लंब रेखाएँ प्रतिच्छेदी भी होती हैं?
- 5दो समांतर रेखाओं के कितने उभयनिष्ठ बिंदु होते हैं?
- 6दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के कितने उभयनिष्ठ बिंदु होते हैं?
- 7पन्ने पर दो रेखाएँ बढ़ाने पर मिलती हैं। क्या वे समांतर हैं?
- 8लंब रेखाएँ कितना कोण बनाती हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1जैसे पट्टी के आमने-सामने के किनारे, पटरियाँ
- 2प्रतिच्छेदी रेखाएँ
- 3लंब रेखाएँ
- 4हाँ
- 50
- 61
- 7नहीं
- 890°
शीर्षाभिमुख कोण और रैखिक युग्म
कैंची खोलने पर आमने-सामने के दो खुले भाग बराबर दिखते हैं, और पास-पास के दो मिलकर सीधा किनारा बनाते हैं।
दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ चार कोण बनाती हैं। आमने-सामने के कोण शीर्षाभिमुख कोण हैं और वे बराबर होते हैं। सरल रेखा पर पास-पास के दो कोण रैखिक युग्म हैं और उनका योग 180° होता है।
आकृति में : आमने-सामने के कोण बराबर (60° और 60°, 120° और 120°); पास वाले मिलकर 180°।
शीर्षाभिमुख कोण और रैखिक युग्म
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : शीर्षाभिमुख कोण बराबर — एक कोण ज्ञात हो तो उसके सामने वाला वही होता है।
- आसान : एक कोण 70°; सामने वाला 70°।
- मध्यम : एक कोण 115°; सामने वाला 115°।
- परीक्षा-प्रकार : एक कोण x और सामने वाला 48° हो तो x = 48°।
नियम 2 : रैखिक युग्म का योग 180° — ज्ञात कोण को 180° में से घटाइए, पास का कोण मिलेगा।
- आसान : एक कोण 70° → पास वाला 180° – 70° = 110°।
- मध्यम : एक कोण 125° → पास वाला 55°।
- परीक्षा-प्रकार : रेखा पर पास के कोण 2x और 3x : 5x = 180°, x = 36°।
नियम 3 : चारों कोण — पास का कोण 180° से निकालें, फिर सामने वाले कोणों में वही लिखें।
- आसान : एक कोण 40° हो तो चारों 40°, 140°, 40°, 140°।
- मध्यम : एक कोण 90° हो तो चारों 90° (लंब)।
- परीक्षा-प्रकार : चारों कोणों का योग सदा 360°।
सामने वाला = बराबर। पास वाला = 180° में से घटाओ।
सामने का कोण 180° – 70° = 110° लिखना। सामने वाला 70°; 110° पास वाला है।
केवल दो विकल्प : वही (सामने) या 180° घटाओ (पास का)। याद रखने की युक्ति : "सामने समान, पास में 180।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | शीर्षाभिमुख | रैखिक युग्म |
|---|---|---|
| स्थिति | आमने-सामने | रेखा पर पास-पास |
| संबंध | बराबर | योग 180° |
अभ्यास के प्रश्न
- 1दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक कोण 70° है। सामने का कोण ज्ञात कीजिए।
- 2रेखा पर 70° का पास वाला कोण ज्ञात कीजिए।
- 3रेखा पर 125° का पास वाला कोण ज्ञात कीजिए।
- 4दो रेखाएँ कटती हैं; एक कोण 40° है। चारों कोण लिखिए।
- 5सामने के कोण x और 48° हैं। x ज्ञात कीजिए।
- 6रेखा पर दो कोण 2x और 3x हैं। x ज्ञात कीजिए।
- 7कटान बिंदु पर चार कोण : एक 90°। बाकी कितने?
- 8पास के कोण (3a) और (2a + 20)° हैं। a ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 170°
- 2110°
- 355°
- 440°, 140°, 40°, 140°
- 548°
- 636°
- 7सभी 90°
- 8a = 32 (5a + 20 = 180)
तिर्यक रेखा और संगत कोण
एक सड़क दो समांतर पटरियों को आड़ी काटती है। हर जगह सड़क पटरी से वही कोण बनाती है।
दो (या अधिक) रेखाओं को काटने वाली रेखा तिर्यक रेखा है। वह 8 कोण बनाती है। दोनों कटान बिंदुओं पर एक ही स्थान के कोण संगत कोण हैं। दोनों रेखाएँ समांतर हों तो संगत कोण बराबर होते हैं।
आकृति में : दोनों 50° कोण (हर कटान पर ऊपर-दाएँ) संगत और बराबर।
तिर्यक रेखा और संगत कोण
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : संगत कोण पहचानें — हर कटान पर वही कोना : ऊपर-बायाँ ऊपर-बाएँ से, नीचे-दायाँ नीचे-दाएँ से।
- आसान : ऊपरी रेखा का ऊपर-बायाँ कोण निचली रेखा के ऊपर-बाएँ से।
- मध्यम : संगत कोणों के 4 युग्म होते हैं।
- परीक्षा-प्रकार : केवल समांतर रेखाओं के लिए वे बराबर होते हैं।
नियम 2 : समानता का उपयोग — समांतर रेखाओं में कोण को संगत स्थान पर लिखें।
- आसान : एक कोण 50° हो तो संगत कोण 50°।
- मध्यम : एक कोण 130° हो तो संगत कोण 130°।
- परीक्षा-प्रकार : संगत कोण x + 20 और 75 : x = 55।
नियम 3 : समांतर होने की जाँच — संगत कोण बराबर हों तो दोनों रेखाएँ समांतर होती हैं।
- आसान : संगत कोण 65° और 65° → समांतर।
- मध्यम : संगत कोण 65° और 70° → समांतर नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : सेट-स्क्वेयर से खींची रेखाओं की जाँच में उपयोगी।
"F आकार" : संगत कोण अक्षर F के कोनों में होते हैं।
रेखाएँ समांतर न होने पर भी संगत कोण बराबर मानना।
पहले समांतर दर्शाने वाले ▸ तीर देखें, फिर बराबर मानें। याद रखने की युक्ति : "F कोण बराबर कोण।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | रेखाएँ समांतर | रेखाएँ समांतर नहीं |
|---|---|---|
| संगत कोण | बराबर | असमान |
| उपयोग | अज्ञात कोण निकालना | केवल नापना |
अभ्यास के प्रश्न
- 1तिर्यक रेखा दो रेखाओं के साथ कितने कोण बनाती है?
- 2दो संगत कोणों में से एक 50° है (रेखाएँ समांतर)। दूसरा ज्ञात कीजिए।
- 3संगत कोणों के कितने युग्म होते हैं?
- 4एक संगत कोण 130° है। उसका साथी ज्ञात कीजिए।
- 5समांतर रेखाओं में संगत कोण x + 20 और 75। x ज्ञात कीजिए।
- 6संगत कोण 65° और 65° हैं। क्या रेखाएँ समांतर हैं?
- 7संगत कोण 65° और 70° हैं। क्या रेखाएँ समांतर हैं?
- 8संगत कोण 3y और 2y + 18 (समांतर)। y ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 18
- 250°
- 34
- 4130°
- 555
- 6हाँ
- 7नहीं
- 818
एकांतर कोण और अंतः कोण
दो पटरियों के बीच की आड़ी पट्टी एक ओर Z आकार और दूसरी ओर C आकार बनाती है। इन आकारों में दो और कोण-युग्म छिपे हैं।
दोनों रेखाओं के बीच और तिर्यक रेखा के विपरीत ओर के कोण एकांतर कोण हैं (Z आकार); समांतर रेखाओं में वे बराबर होते हैं। रेखाओं के बीच एक ही ओर के कोण अंतः कोण हैं (C आकार); उनका योग 180° होता है।
आकृति में : Z आकार : दोनों हरे 50° कोण एकांतर और बराबर।
आकृति में : C आकार : 130° + 50° = 180° (लाल कोण) अंतः कोण।
नियम 1 : एकांतर कोण (Z) — Z खींचें; भीतर के दो कोने समांतर रेखाओं में बराबर।
- आसान : एक एकांतर कोण 50° → दूसरा 50°।
- मध्यम : एक 130° → दूसरा 130°।
- परीक्षा-प्रकार : एकांतर कोण 2x + 10 और 70 : x = 30।
नियम 2 : अंतः कोण (C) — C खींचें; भीतर के दो कोण समांतर रेखाओं में मिलकर 180°।
- आसान : एक कोण 110° → दूसरा 70°।
- मध्यम : एक कोण 50° → दूसरा 130°।
- परीक्षा-प्रकार : अंतः कोण 3x और 2x : 5x = 180°, x = 36°।
नियम 3 : कौन-सा नियम लगाएँ — एक ही स्थान → बराबर (संगत)। Z आकार → बराबर (एकांतर)। C आकार → 180°।
- आसान : F → बराबर।
- मध्यम : Z → बराबर।
- परीक्षा-प्रकार : C → योग 180°।
Z और F यानी बराबर कोण। C यानी 180°।
अंतः कोणों के लिए "बराबर" लगाना। 130° और 50° बराबर नहीं; योग 180°।
आकृति पर अक्षर खींचकर Z, F या C पहचानें। याद रखने की युक्ति : "Z और F दोस्त (बराबर); C पूरा (180°)।"
अंतर पहचानें
| युग्म | आकार | संबंध (समांतर रेखाएँ) |
|---|---|---|
| संगत | F | बराबर |
| एकांतर | Z | बराबर |
| अंतः | C | योग 180° |
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक एकांतर कोण 50° (समांतर रेखाएँ)। दूसरा ज्ञात कीजिए।
- 2एक अंतः कोण 110° है। दूसरा ज्ञात कीजिए।
- 3एकांतर कोण कौन-सा अक्षर-आकार दिखाता है?
- 4एक अंतः कोण 50° है। दूसरा ज्ञात कीजिए।
- 5एकांतर कोण 2x + 10 और 70। x ज्ञात कीजिए।
- 6अंतः कोण 3x और 2x। x ज्ञात कीजिए।
- 7अंतः कोण (x + 40)° और (2x + 20)° हैं। x ज्ञात कीजिए।
- 8एकांतर कोण 4y – 5 और 3y + 15। y ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 150°
- 270°
- 3Z
- 4130°
- 530
- 636
- 740 (3x + 60 = 180, x = 40)
- 820
अज्ञात कोण ज्ञात करना और समांतर रेखाएँ खींचना
बढ़ई पट्टी पर सेट-स्क्वेयर खिसकाकर एक जैसे झुकाव की रेखाएँ खींचता है। वे कभी नहीं मिलतीं : समांतर होती हैं।
अज्ञात कोण निकालने के लिए कोण-नियम क्रम से लगाएँ : सामने के कोण बराबर, रैखिक युग्म 180°, संगत और एकांतर कोण बराबर, अंतः कोणों का योग 180° (रेखाएँ समांतर होने पर)। समांतर रेखाएँ खींचने के लिए पट्टी पर सेट-स्क्वेयर खिसकाएँ और उसी किनारे से रेखा खींचें।
आकृति में : निचली रेखा पर 65° का संगत कोण भी 65°; x उसका पास वाला है, इसलिए x = 180° – 65° = 115°।
आकृति में : पट्टी पर सेट-स्क्वेयर खिसकाएँ : खींची दोनों रेखाएँ समांतर।
नियम 1 : चरण-दर-चरण कोण खोजें — मिले हर कोण को आकृति पर लिखें; वह अगला खोजने में मदद करता है।
- आसान : समांतर रेखाएँ, कोण 65° : संगत कोण 65°, पास वाला 115°।
- मध्यम : 115° का सामने वाला कोण 115°।
- परीक्षा-प्रकार : 115° का अंतः कोण 65°।
नियम 2 : समीकरण बनाना — कोण अक्षरों में हों तो नियम से समीकरण बनाकर हल करें।
- आसान : संगत कोण x + 20 और 75 : x = 55।
- मध्यम : रैखिक युग्म 3a और 2a + 20 : 5a = 160, a = 32।
- परीक्षा-प्रकार : अंतः कोण x + 40 और 2x + 20 : 3x = 120, x = 40।
नियम 3 : समांतर रेखाएँ खींचना — पट्टी स्थिर रखें, सेट-स्क्वेयर खिसकाएँ, हर बार उसी किनारे से रेखा खींचें।
- आसान : सेट-स्क्वेयर के किनारे से रेखा 1 खींचें।
- मध्यम : पट्टी पर नई जगह खिसकाकर रेखा 2 खींचें।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : किसी भी तिर्यक रेखा से संगत कोण बराबर।
आगे बढ़ने से पहले मिला हर कोण आकृति पर लिखें।
रेखाएँ समांतर न होने पर Z/F/C नियम लगाना। पहले ▸ चिह्न देखें।
क्रम से चलें : सामने → पास → संगत। याद रखने की युक्ति : "चिह्न, नाम, गणना" : कोण चिह्नित करें, अक्षर पहचानें, गणना करें।
अंतर पहचानें
| कोण-युग्म | समांतर रेखाएँ चाहिए? | परिणाम |
|---|---|---|
| सामने | नहीं | बराबर |
| रैखिक युग्म | नहीं | 180° |
| F, Z, C युग्म | हाँ | बराबर / 180° |
अभ्यास के प्रश्न
- 1समांतर रेखाएँ : एक कोण 65° है। उसका संगत कोण ज्ञात कीजिए।
- 2समांतर रेखाएँ : 65° का पास वाला कोण ज्ञात कीजिए।
- 3115° का अंतः कोण ज्ञात कीजिए (समांतर रेखाएँ)।
- 43a और 2a + 20 रैखिक युग्म हों तो a ज्ञात कीजिए।
- 5समांतर रेखाएँ खींचने में कौन-से उपकरण काम आते हैं?
- 6खींची दो रेखाएँ समांतर हैं, यह कैसे जाँचेंगे?
- 7समांतर रेखाएँ : कोण 40° है। उसके अंतः और संगत कोण लिखिए।
- 8अंतः कोण (x + 40)° और (2x + 20)° हैं। x ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 165°
- 2115°
- 365°
- 432
- 5पट्टी और सेट-स्क्वेयर
- 6संगत कोण बराबर हैं या नहीं देखें
- 7अंतः कोण 140°, संगत 40°
- 840