अक्षर-संख्या और सामान्य नियम
मीरा अपने भाई तरुण से 4 साल बड़ी है। तरुण 9 साल का हो तो मीरा 13 की; तरुण 15 का हो तो मीरा 19 की। तरुण की उम्र कोई भी n हो, मीरा n + 4 साल की है।
अक्षर-संख्या (चर) वह अक्षर है जो कोई भी संख्या दर्शाता है और जिसका मान बदल सकता है। अक्षर से नियम लिखने पर वह हर संख्या के लिए चलने वाला सामान्य नियम बन जाता है। संक्षिप्त रूप : 5 × n = 5n, n × n = n², n ÷ 5 = n/5, 1 × n = n।
आकृति में : हर पंक्ति एक ही नियम मानती है : मीरा = तरुण + 4। आख़िरी पंक्ति हर उम्र के लिए यही कहती है।
नियम 1 : अक्षर यानी एक संख्या — अक्षर की जगह संख्या रखकर वास्तविक मान पाएँ।
- आसान : n = 6 हो तो n + 4 = 10।
- मध्यम : s भुजा वाले वर्ग का परिमाप 4s।
- परीक्षा-प्रकार : 12 पेंसिल वाले n डिब्बों में 12n पेंसिलें; n = 5 के लिए 60।
नियम 2 : गुणनफल लिखना — × चिह्न छोड़ें; पहले संख्या, फिर अक्षर लिखें।
- आसान : 5 × n = 5n।
- मध्यम : n × n = n²।
- परीक्षा-प्रकार : a × b × 3 = 3ab।
नियम 3 : अन्य संक्षिप्त रूप — बार-बार जोड़ना गुणज बन जाता है; भाग को भिन्न की तरह लिखते हैं।
- आसान : n + n + n = 3n।
- मध्यम : n ÷ 5 = n/5।
- परीक्षा-प्रकार : 1 × n = n और 0 × n = 0।
5n यानी 5 × n। n = 3 हो तो 5n = 15, 53 नहीं।
7a को "7 और a" पढ़कर a = 3 के लिए 73 लिखना। सही : 7 × 3 = 21।
पहले संख्या, फिर अक्षर, × चिह्न नहीं। याद रखने की युक्ति : "अक्षर छिपी संख्याएँ हैं; साथ-साथ लिखना यानी गुणा।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | अचर | अक्षर-संख्या |
|---|---|---|
| मान | निश्चित (4) | बदल सकता है (n) |
| उदाहरण | 4 | n, 4n |
| उपयोग | एक स्थिति | हर स्थिति |
अभ्यास के प्रश्न
- 1"n से 3 अधिक" लिखिए।
- 25 × n को संक्षेप में लिखिए।
- 3n = 6 हो तो n + 4 ज्ञात कीजिए।
- 4s भुजा वाले वर्ग का परिमाप लिखिए।
- 5n × n को संक्षेप में लिखिए।
- 6तरुण n साल का है और मीरा 4 साल बड़ी है। तरुण 20 का हो तो मीरा कितने साल की?
- 7a = 3 हो तो 7a कितना है?
- 812 पेंसिल वाले n डिब्बों की पेंसिलें लिखिए और n = 5 के लिए ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1n + 3
- 25n
- 310
- 44s
- 5n²
- 624 (n + 4 = 20 + 4)
- 721
- 812n; 60
अक्षरों के साथ व्यंजक बनाना
एक कैब ₹50 बुकिंग और हर km के ₹12 लेती है। k km का किराया 12k + 50।
व्यंजक + या – से जुड़े पदों से बनता है। 12k में 12 गुणांक और k अक्षर है। जिस पद में अक्षर नहीं, जैसे 50, वह अचर पद है। गुणांक अपने आगे का चिह्न साथ रखता है (–3y का गुणांक –3)।
आकृति में : 12k + 50 में दो पद : 12k (गुणांक 12, अक्षर k) और अचर पद 50।
नियम 1 : शब्दों से व्यंजक — "अधिक" यानी +, "कम" यानी –, "गुना" यानी ×।
- आसान : x से 5 अधिक = x + 5।
- मध्यम : संख्या का दुगुना, 3 घटाकर = 2n – 3।
- परीक्षा-प्रकार : y के 3 गुने से 7 कम = 3y – 7।
नियम 2 : पद और गुणांक — + और – पर तोड़ें; अक्षर को गुणा करने वाली संख्या (चिह्न सहित) गुणांक है।
- आसान : 6a + 2 के पद 6a और 2।
- मध्यम : 5x – 3y + 8 : गुणांक 5 और –3, अचर पद 8।
- परीक्षा-प्रकार : a – 7b : a का गुणांक 1 और b का –7।
नियम 3 : स्थितियों से व्यंजक — क्या निश्चित (अचर) है और क्या अक्षर के साथ बदलता है, खोजें।
- आसान : ₹20 की n कॉपियों की क़ीमत 20n रुपये।
- मध्यम : ₹30 शुल्क और प्रति पृष्ठ ₹5 (p पृष्ठ) : 5p + 30।
- परीक्षा-प्रकार : l × b आयत का परिमाप : 2l + 2b।
गुणांक के साथ उसके आगे का चिह्न होता है : 5x – 3y में y का गुणांक –3।
"5 से n कम" को n – 5 लिखना। यह 5 – n है; "n से 5 कम" यानी n – 5।
"से" के पहले वाली संख्या/अक्षर आगे रहता है : "x से 3 कम" = x – 3। याद रखने की युक्ति : "से कम उल्टा लिखो" : x से 3 कम → x – 3।
अंतर पहचानें
| नाम | अर्थ | 5x – 3y + 8 में |
|---|---|---|
| पद | + या – से जुड़ा भाग | 5x, –3y, 8 |
| गुणांक | अक्षर के साथ की संख्या | 5, –3 |
| अचर पद | बिना अक्षर वाला पद | 8 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1"x से 5 अधिक" का व्यंजक लिखिए।
- 2₹20 प्रति कॉपी की n कॉपियों की क़ीमत लिखिए।
- 36a + 2 के पद लिखिए।
- 4"संख्या का दुगुना, 3 घटाकर" लिखिए।
- 5"y के 3 गुने से 7 कम" लिखिए।
- 65x – 3y + 8 के गुणांक और अचर पद बताइए।
- 7कैब ₹50 बुकिंग और ₹12 प्रति km लेती है। k km का किराया लिखिए।
- 8लंबाई l और चौड़ाई b वाले आयत का परिमाप लिखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1x + 5
- 220n
- 36a और 2
- 42n – 3
- 53y – 7
- 6गुणांक 5, –3; अचर पद 8
- 712k + 50
- 82l + 2b
मान रखकर व्यंजक का मान निकालना
कैब का किराया 12k + 50। 5 km की सवारी का किराया 12 × 5 + 50 = ₹110। अक्षर की जगह संख्या रखना प्रतिस्थापन कहलाता है।
व्यंजक का मान निकालने के लिए हर अक्षर की जगह दी गई संख्या रखें (ऋण संख्या के लिए कोष्ठक लगाएँ) और फिर संक्रियाओं का क्रम मानें। अक्षर के अलग-अलग मान से व्यंजक का मान भी अलग मिलता है।
आकृति में : n = 4 के लिए : 3n = 12, फिर + 2 = 14। यानी n = 4 पर 3n + 2 = 14।
नियम 1 : पूर्ण संख्याएँ रखें — अक्षर की जगह संख्या लिखें, संख्या और अक्षर के बीच × लगाएँ।
- आसान : x + 7, x = 5 : 5 + 7 = 12।
- मध्यम : 3n + 2, n = 4 : 3 × 4 + 2 = 14।
- परीक्षा-प्रकार : 2a + 3b, a = 5, b = 4 : 10 + 12 = 22।
नियम 2 : ऋण मान — ऋण संख्या को पहले कोष्ठक में रखें, फिर गणना करें।
- आसान : x – 3, x = –2 : (–2) – 3 = –5।
- मध्यम : 4n + 5, n = –2 : 4 × (–2) + 5 = –3।
- परीक्षा-प्रकार : 10 – 3n, n = –4 : 10 – 3 × (–4) = 10 + 12 = 22।
नियम 3 : मानों की तालिका — n = 1, 2, 3, … एक-एक रखकर उत्तरों का पैटर्न देखें।
- आसान : 5n – 1 : n = 1, 2, 3, 4 पर 4, 9, 14, 19 (हर बार 5 बढ़ता)।
- मध्यम : 12k + 50 के लिए k = 1, 2, 3 : 62, 74, 86।
- परीक्षा-प्रकार : n² + 1 के लिए n = 1, 2, 3 : 2, 5, 10।
मान रखने से पहले 3n को 3 × n लिखें : n = 4 पर 3 × 4।
n = 4 पर 3n को 34 लिखना। यह 3 × 4 = 12 है।
बदलें, कोष्ठक लगाएँ, गणना करें। याद रखने की युक्ति : "बकग" : बदलें (अक्षर), कोष्ठक (ऋण संख्या), गणना (क्रम से)।
अंतर पहचानें
| बिंदु | अक्षर रूप | मान रखने के बाद |
|---|---|---|
| उदाहरण | 3n + 2 | 3 × 4 + 2 |
| परिणाम | n पर निर्भर | 14 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1x = 5 पर x + 7 निकालिए।
- 2n = 4 पर 3n + 2 निकालिए।
- 3a = 5, b = 4 पर 2a + 3b निकालिए।
- 4x = –2 पर x – 3 निकालिए।
- 5n = –2 पर 4n + 5 निकालिए।
- 6k = 5 के लिए किराया 12k + 50 निकालिए।
- 7n = –4 पर 10 – 3n निकालिए।
- 8किस n के लिए 3n + 2 = 17? मान रखकर देखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 112
- 214
- 322
- 4–5
- 5–3
- 6₹110
- 722
- 8n = 5 (3 × 5 + 2 = 17)
व्यंजक सरल करना
आप ₹n वाले 3 पेन और ₹n वाले 5 पेन ख़रीदते हैं। कुल 3n + 5n = 8n : यानी ₹n के 8 पेन।
समान पद वे हैं जिनका अक्षर भाग एक जैसा हो (3n और 5n)। उनके गुणांक जोड़ें या घटाएँ और अक्षर वही रखें : pn + qn = (p + q)n। असमान पद (3n और 5m) जोड़े नहीं जा सकते। कोष्ठक : a(b + c) = ab + ac, कोष्ठक से पहले घटाव हो तो चिह्न बदलते हैं।
आकृति में : तीन n-ब्लॉक और पाँच n-ब्लॉक मिलकर आठ n-ब्लॉक : 3n + 5n = 8n।
व्यंजक सरल करना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : समान पद जोड़ें — समान अक्षर वाले पदों को साथ रखें और गुणांक जोड़ें।
- आसान : 3n + 5n = 8n।
- मध्यम : 9x – 4x + 2 = 5x + 2।
- परीक्षा-प्रकार : 7a + 3b – 2a + b = 5a + 4b।
नियम 2 : असमान पद अलग रहते हैं — अलग अक्षर वाले (या अक्षर और अचर) पद नहीं मिलाए जा सकते।
- आसान : 3n + 5m सरल नहीं होता।
- मध्यम : 4x + 3 सरल नहीं होता।
- परीक्षा-प्रकार : 2x + 3y + 4x = 6x + 3y (केवल x वाले पद मिले)।
नियम 3 : कोष्ठक — बाहर की संख्या को भीतर के हर पद से गुणा करें; बाहर घटाव हो तो भीतर के चिह्न बदलें।
- आसान : 2(n + 3) = 2n + 6।
- मध्यम : 5(2a – 1) = 10a – 5।
- परीक्षा-प्रकार : 3(x + 2) – (x – 4) = 3x + 6 – x + 4 = 2x + 10।
x यानी 1x, इसलिए x + 3x = 4x।
3a + 2b = 5ab लिखना। अलग अक्षर नहीं मिलते; 3a + 2b वैसा ही रखें।
हर प्रकार के पद के नीचे अलग रंग की रेखा खींचें, फिर मेल खाने वाले जोड़ें। याद रखने की युक्ति : "एक जैसे अक्षर, एक टीम : संख्याएँ जोड़ो, अक्षर रखो।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | समान पद | असमान पद |
|---|---|---|
| अक्षर | एक जैसे | अलग |
| उदाहरण | 3n, 5n | 3n, 5m |
| जोड़ सकते? | हाँ : 8n | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 13n + 5n सरल कीजिए।
- 29x – 4x सरल कीजिए।
- 32(n + 3) सरल कीजिए।
- 47a + 3b – 2a + b सरल कीजिए।
- 55(2a – 1) सरल कीजिए।
- 62x + 3y + 4x सरल कीजिए।
- 73(x + 2) – (x – 4) सरल कीजिए।
- 83(2x + 4) – 6x सरल कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 18n
- 25x
- 32n + 6
- 45a + 4b
- 510a – 5
- 66x + 3y
- 72x + 10
- 812 (x वाले पद कट जाते हैं)
पैटर्न और संबंध
तीलियों से बने त्रिभुजों की पंक्ति : 1 त्रिभुज में 3 तीलियाँ, 2 में 5, 3 में 7। n त्रिभुजों में 2n + 1 तीलियाँ।
पैटर्न को n (स्थान क्रमांक 1, 2, 3, …) के व्यंजक से बताया जा सकता है। यह सामान्य नियम कोई भी पद देता है और संबंध भी सिद्ध करता है। सम संख्या = 2n, विषम संख्या = 2n + 1, 5 का गुणज = 5n। निश्चित अंतर से बढ़ने वाले पैटर्न में अंतर ही n का गुणांक होता है।
आकृति में : 1 त्रिभुज → 3 तीलियाँ, 2 → 5, 3 → 7। हर नया त्रिभुज 2 तीलियाँ जोड़ता है, इसलिए नियम 2n + 1।
नियम 1 : नियम खोजें — पदों के बीच का निश्चित अंतर खोजें; वही n का गुणांक है। फिर अचर पद से मिलान करें।
- आसान : 3, 6, 9, 12 → अंतर 3 → नियम 3n।
- मध्यम : 4, 7, 10, 13 → अंतर 3, पहला पद 4 = 3 + 1 → नियम 3n + 1।
- परीक्षा-प्रकार : 5, 9, 13, 17 → अंतर 4, पहला पद 5 = 4 + 1 → नियम 4n + 1।
नियम 2 : नियम का उपयोग — वह पद पाने के लिए n की जगह क्रमांक रखें; या स्थान पाने के लिए पद = नियम रखें।
- आसान : 3n का 10वाँ पद = 30।
- मध्यम : 3n + 1 का 20वाँ पद = 61।
- परीक्षा-प्रकार : 4n + 1 का कौन-सा पद 41 है? 4n = 40, इसलिए n = 10।
नियम 3 : संबंध सिद्ध करें — संख्याओं को अक्षरों में लिखें; परिणाम जाने-पहचाने रूप में आए तो संबंध सब संख्याओं के लिए सत्य है।
- आसान : n + (n + 1) = 2n + 1 : लगातार दो संख्याओं का योग विषम।
- मध्यम : n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) : 3 का गुणज।
- परीक्षा-प्रकार : (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1) : दो विषम संख्याओं का योग सम।
n स्थान क्रमांक (1, 2, 3, …) है, पद का मान नहीं।
3, 6, 9 का नियम n + 3 लिखना। जाँचें : n = 1 पर 4, 3 नहीं। नियम 3n।
अपना नियम हमेशा पहले दो पदों पर जाँचें। याद रखने की युक्ति : "अंतर = गुणांक" : निश्चित छलाँग यानी n के पास की संख्या।
अंतर पहचानें
| बिंदु | सम संख्या | विषम संख्या |
|---|---|---|
| सामान्य रूप | 2n | 2n + 1 |
| उदाहरण (n = 1, 2, 3) | 2, 4, 6 | 3, 5, 7 |
| 2 से भाग देने पर | शेष 0 | शेष 1 |
अभ्यास के प्रश्न
- 13, 6, 9, 12, … का नियम लिखिए।
- 2सम संख्या का सामान्य रूप लिखिए।
- 3नियम 3n का 10वाँ पद निकालिए।
- 44, 7, 10, 13, … का नियम लिखिए।
- 5n त्रिभुजों के लिए 2n + 1 तीलियाँ लगती हैं तो 5 त्रिभुजों के लिए कितनी?
- 63n + 1 का 20वाँ पद निकालिए।
- 74n + 1 का कौन-सा पद 41 है?
- 8दिखाइए कि लगातार तीन संख्याओं का योग 3 का गुणज होता है।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13n
- 22n
- 330
- 43n + 1
- 511 (2 × 5 + 1)
- 661
- 710वाँ (4n = 40)
- 8n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)