अक्षर-संख्या व सर्वसाधारण नियम
मीरा तिचा भाऊ तरुणपेक्षा 4 वर्षांनी मोठी आहे. तरुण 9 वर्षांचा तेव्हा मीरा 13; तरुण 15 तेव्हा मीरा 19. तरुणचे वय कोणतेही n असो, मीरा n + 4 वर्षांची.
अक्षर-संख्या (चल) म्हणजे कोणतीही संख्या दाखवणारे अक्षर; तिची किंमत बदलू शकते. अक्षर वापरून नियम लिहिला की तो प्रत्येक संख्येसाठी चालणारा सर्वसाधारण नियम बनतो. संक्षिप्त रूपे : 5 × n = 5n, n × n = n², n ÷ 5 = n/5, 1 × n = n.
आकृतीत : प्रत्येक ओळ एकच नियम पाळते : मीरा = तरुण + 4. शेवटची ओळ प्रत्येक वयासाठी तेच सांगते.
नियम 1 : अक्षर म्हणजे एक संख्या — अक्षराच्या जागी संख्या घालून प्रत्यक्ष किंमत मिळवा.
- सोपे : n = 6 असेल तर n + 4 = 10.
- मध्यम : s बाजूच्या चौरसाची परिमिती 4s.
- परीक्षेसाठी : 12 पेन्सिलींच्या n पेट्यांत 12n पेन्सिली; n = 5 साठी 60.
नियम 2 : गुणाकार लिहिणे — × चिन्ह सोडा; आधी संख्या, मग अक्षरे लिहा.
- सोपे : 5 × n = 5n.
- मध्यम : n × n = n².
- परीक्षेसाठी : a × b × 3 = 3ab.
नियम 3 : इतर संक्षिप्त रूपे — पुनःपुन्हा बेरीज म्हणजे पट; भागाकार अपूर्णांकाने लिहितात.
- सोपे : n + n + n = 3n.
- मध्यम : n ÷ 5 = n/5.
- परीक्षेसाठी : 1 × n = n आणि 0 × n = 0.
5n म्हणजे 5 × n. n = 3 तर 5n = 15, 53 नाही.
7a ला "7 आणि a" वाचून a = 3 साठी 73 लिहिणे. बरोबर : 7 × 3 = 21.
आधी संख्या, मग अक्षर, × चिन्ह नाही. आठवणीची युक्ती : "अक्षरे म्हणजे लपलेल्या संख्या; शेजारी शेजारी म्हणजे गुणा."
फरक ओळखा
| मुद्दा | स्थिर संख्या | अक्षर-संख्या |
|---|---|---|
| किंमत | ठराविक (4) | बदलू शकते (n) |
| उदाहरण | 4 | n, 4n |
| वापर | एकच प्रसंग | प्रत्येक प्रसंग |
सरावासाठी प्रश्न
- 1"n पेक्षा 3 जास्त" लिहा.
- 25 × n संक्षेपात लिहा.
- 3n = 6 तर n + 4 काढा.
- 4s बाजूच्या चौरसाची परिमिती लिहा.
- 5n × n संक्षेपात लिहा.
- 6तरुण n वर्षांचा, मीरा 4 वर्षांनी मोठी. तरुण 20 वर्षांचा तेव्हा मीरा किती वर्षांची?
- 7a = 3 असताना 7a किती?
- 812 पेन्सिलींच्या n पेट्यांतील पेन्सिली लिहा व n = 5 साठी काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1n + 3
- 25n
- 310
- 44s
- 5n²
- 624 (n + 4 = 20 + 4)
- 721
- 812n; 60
अक्षरांसह राशी तयार करणे
एक कॅब ₹50 बुकिंग आणि दर kmला ₹12 घेते. k kmसाठी भाडे 12k + 50.
राशी + किंवा – ने जोडलेल्या पदांनी बनते. 12k मध्ये 12 हा गुणांक आणि k अक्षर. अक्षर नसलेले पद, जसे 50, हे स्थिर पद. गुणांकाला पुढचे चिन्ह चिकटते (–3y चा गुणांक –3).
आकृतीत : 12k + 50 मध्ये दोन पदे : 12k (गुणांक 12, अक्षर k) आणि स्थिर पद 50.
नियम 1 : शब्दांतून राशी — "जास्त" म्हणजे +, "कमी" म्हणजे –, "पट" म्हणजे ×.
- सोपे : x पेक्षा 5 जास्त = x + 5.
- मध्यम : संख्येच्या दुप्पट मधून 3 कमी = 2n – 3.
- परीक्षेसाठी : y च्या 3 पटीपेक्षा 7 कमी = 3y – 7.
नियम 2 : पदे व गुणांक — + व – वर तोडा; अक्षराला गुणणारी संख्या (चिन्हासह) म्हणजे गुणांक.
- सोपे : 6a + 2 ची पदे 6a आणि 2.
- मध्यम : 5x – 3y + 8 : गुणांक 5 आणि –3, स्थिर पद 8.
- परीक्षेसाठी : a – 7b : a चा गुणांक 1 आणि b चा –7.
नियम 3 : प्रसंगांवरून राशी — काय ठराविक (स्थिर) आणि काय अक्षराबरोबर बदलते ते शोधा.
- सोपे : ₹20 च्या n वह्यांची किंमत 20n रुपये.
- मध्यम : ₹30 शुल्क आणि प्रति पान ₹5 (p पाने) : 5p + 30.
- परीक्षेसाठी : l × b आयताची परिमिती : 2l + 2b.
गुणांकाला पुढचे चिन्ह जोडलेले असते : 5x – 3y मध्ये y चा गुणांक –3.
"5 मधून n कमी" हे n – 5 लिहिणे. ते 5 – n; "n पेक्षा 5 कमी" म्हणजे n – 5.
"पेक्षा" च्या आधीची संख्या/अक्षर पुढे राहते : "x पेक्षा 3 कमी" = x – 3. आठवणीची युक्ती : "पेक्षा कमी उलटे लिहा" : x पेक्षा 3 कमी → x – 3.
फरक ओळखा
| नाव | अर्थ | 5x – 3y + 8 मध्ये |
|---|---|---|
| पद | + किंवा – ने जोडलेला भाग | 5x, –3y, 8 |
| गुणांक | अक्षरासोबतची संख्या | 5, –3 |
| स्थिर पद | अक्षर नसलेले पद | 8 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1"x पेक्षा 5 जास्त" ही राशी लिहा.
- 2₹20 प्रत्येकी च्या n वह्यांची किंमत लिहा.
- 36a + 2 ची पदे लिहा.
- 4"संख्येच्या दुप्पट मधून 3 कमी" लिहा.
- 5"y च्या 3 पटीपेक्षा 7 कमी" लिहा.
- 65x – 3y + 8 मधील गुणांक व स्थिर पद सांगा.
- 7कॅब ₹50 बुकिंग व kmला ₹12 घेते. k kmचे भाडे लिहा.
- 8l लांबी व b रुंदीच्या आयताची परिमिती लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x + 5
- 220n
- 36a आणि 2
- 42n – 3
- 53y – 7
- 6गुणांक 5, –3; स्थिर पद 8
- 712k + 50
- 82l + 2b
किंमत घालून राशीचे मूल्य काढणे
कॅबचे भाडे 12k + 50. 5 kmच्या प्रवासाचे भाडे 12 × 5 + 50 = ₹110. अक्षराच्या जागी संख्या घालणे म्हणजे प्रतिस्थापन.
राशीचे मूल्य काढण्यासाठी प्रत्येक अक्षराच्या जागी दिलेली संख्या घाला (ऋण संख्येसाठी कंस वापरा) आणि मग क्रियांचा क्रम पाळा. अक्षराच्या वेगवेगळ्या किमतींना राशीची किंमतही वेगळी मिळते.
आकृतीत : n = 4 साठी : 3n = 12, मग + 2 = 14. म्हणजे n = 4 असताना 3n + 2 = 14.
नियम 1 : पूर्ण संख्या घाला — अक्षराच्या जागी संख्या लिहा, संख्या व अक्षरामध्ये × लावा.
- सोपे : x + 7, x = 5 : 5 + 7 = 12.
- मध्यम : 3n + 2, n = 4 : 3 × 4 + 2 = 14.
- परीक्षेसाठी : 2a + 3b, a = 5, b = 4 : 10 + 12 = 22.
नियम 2 : ऋण किमती — ऋण संख्या आधी कंसात ठेवा, मग गणित करा.
- सोपे : x – 3, x = –2 : (–2) – 3 = –5.
- मध्यम : 4n + 5, n = –2 : 4 × (–2) + 5 = –3.
- परीक्षेसाठी : 10 – 3n, n = –4 : 10 – 3 × (–4) = 10 + 12 = 22.
नियम 3 : किमतींचा तक्ता — n = 1, 2, 3, … एकेक घालून उत्तरांचा आकृतिबंध पाहा.
- सोपे : 5n – 1 : n = 1, 2, 3, 4 साठी 4, 9, 14, 19 (प्रत्येक वेळी 5 वाढ).
- मध्यम : 12k + 50 साठी k = 1, 2, 3 : 62, 74, 86.
- परीक्षेसाठी : n² + 1 साठी n = 1, 2, 3 : 2, 5, 10.
किंमत घालण्यापूर्वी 3n चे 3 × n करा : n = 4 साठी 3 × 4.
n = 4 असताना 3n चे 34 लिहिणे. ते 3 × 4 = 12.
बदला, कंस लावा, गणित करा. आठवणीची युक्ती : "बकंग" : बदला (अक्षर), कंस (ऋण संख्या), गणित (क्रमाने).
फरक ओळखा
| मुद्दा | अक्षर रूप | किंमत घातल्यावर |
|---|---|---|
| उदाहरण | 3n + 2 | 3 × 4 + 2 |
| निकाल | n वर अवलंबून | 14 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x = 5 असताना x + 7 काढा.
- 2n = 4 असताना 3n + 2 काढा.
- 3a = 5, b = 4 असताना 2a + 3b काढा.
- 4x = –2 असताना x – 3 काढा.
- 5n = –2 असताना 4n + 5 काढा.
- 6k = 5 साठी भाडे 12k + 50 काढा.
- 7n = –4 असताना 10 – 3n काढा.
- 8कोणत्या n साठी 3n + 2 = 17? किमती घालून पाहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 112
- 214
- 322
- 4–5
- 5–3
- 6₹110
- 722
- 8n = 5 (3 × 5 + 2 = 17)
राशी सोपी करणे
तुम्ही ₹n च्या 3 पेन आणि आणखी ₹n च्या 5 पेन घेता. एकूण 3n + 5n = 8n : म्हणजे ₹n चे 8 पेन.
सजातीय पदे म्हणजे अक्षरभाग सारखा असलेली पदे (3n आणि 5n). त्यांचे गुणांक मिळवा किंवा वजा करा आणि अक्षर तसेच ठेवा : pn + qn = (p + q)n. विजातीय पदे (3n आणि 5m) एकत्र करता येत नाहीत. कंस : a(b + c) = ab + ac, कंसापूर्वी वजा असेल तर चिन्हे बदलतात.
आकृतीत : तीन n-ठोकळे आणि पाच n-ठोकळे मिळून आठ n-ठोकळे : 3n + 5n = 8n.
राशी सोपी करणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : सजातीय पदे एकत्र करा — सारखी अक्षरे असलेली पदे एकत्र करा आणि गुणांक मिळवा.
- सोपे : 3n + 5n = 8n.
- मध्यम : 9x – 4x + 2 = 5x + 2.
- परीक्षेसाठी : 7a + 3b – 2a + b = 5a + 4b.
नियम 2 : विजातीय पदे वेगळी — वेगळी अक्षरे असलेली (किंवा अक्षर व स्थिर पद) पदे एकत्र होत नाहीत.
- सोपे : 3n + 5m सोपे होत नाही.
- मध्यम : 4x + 3 सोपे होत नाही.
- परीक्षेसाठी : 2x + 3y + 4x = 6x + 3y (फक्त x पदे एकत्र).
नियम 3 : कंस — बाहेरची संख्या आतल्या प्रत्येक पदाला गुणा; बाहेर वजा असेल तर आतली चिन्हे बदला.
- सोपे : 2(n + 3) = 2n + 6.
- मध्यम : 5(2a – 1) = 10a – 5.
- परीक्षेसाठी : 3(x + 2) – (x – 4) = 3x + 6 – x + 4 = 2x + 10.
x म्हणजे 1x, म्हणून x + 3x = 4x.
3a + 2b = 5ab असे लिहिणे. वेगळी अक्षरे एकत्र होत नाहीत; 3a + 2b तसेच ठेवा.
प्रत्येक प्रकारच्या पदाखाली वेगळ्या रंगाची रेघ मारा, मग जुळणारी मिळवा. आठवणीची युक्ती : "सारखी अक्षरे, एकच संघ : संख्या मिळवा, अक्षर ठेवा."
फरक ओळखा
| मुद्दा | सजातीय पदे | विजातीय पदे |
|---|---|---|
| अक्षरे | सारखी | वेगळी |
| उदाहरण | 3n, 5n | 3n, 5m |
| मिळवता येतात? | होय : 8n | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 13n + 5n सोपे करा.
- 29x – 4x सोपे करा.
- 32(n + 3) सोपे करा.
- 47a + 3b – 2a + b सोपे करा.
- 55(2a – 1) सोपे करा.
- 62x + 3y + 4x सोपे करा.
- 73(x + 2) – (x – 4) सोपे करा.
- 83(2x + 4) – 6x सोपे करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 18n
- 25x
- 32n + 6
- 45a + 4b
- 510a – 5
- 66x + 3y
- 72x + 10
- 812 (x पदे एकमेकांना रद्द करतात)
आकृतिबंध व संबंध
काडेपेटीच्या काड्यांचे रांगेतले त्रिकोण : 1 त्रिकोणाला 3 काड्या, 2 ला 5, 3 ला 7. n त्रिकोणांना 2n + 1 काड्या.
आकृतिबंध n (स्थानक्रमांक 1, 2, 3, …) च्या राशीने सांगता येतो. हा सर्वसाधारण नियम कोणतेही पद देतो आणि संबंध सिद्धही करतो. सम संख्या = 2n, विषम संख्या = 2n + 1, 5 चा पट = 5n. ठराविक पायरीने वाढणाऱ्या आकृतिबंधात पायरी म्हणजे n चा गुणांक.
आकृतीत : 1 त्रिकोण → 3 काड्या, 2 → 5, 3 → 7. प्रत्येक नवीन त्रिकोणाला 2 काड्या वाढतात, म्हणून नियम 2n + 1.
नियम 1 : नियम शोधा — पदांमधली ठराविक पायरी शोधा; तोच n चा गुणांक. मग स्थिर पदाने जुळवा.
- सोपे : 3, 6, 9, 12 → पायरी 3 → नियम 3n.
- मध्यम : 4, 7, 10, 13 → पायरी 3, पहिले पद 4 = 3 + 1 → नियम 3n + 1.
- परीक्षेसाठी : 5, 9, 13, 17 → पायरी 4, पहिले पद 5 = 4 + 1 → नियम 4n + 1.
नियम 2 : नियम वापरा — ते पद मिळवण्यासाठी n च्या जागी क्रमांक घाला; किंवा क्रमांक शोधण्यासाठी पद = नियम मांडा.
- सोपे : 3n चे 10 वे पद = 30.
- मध्यम : 3n + 1 चे 20 वे पद = 61.
- परीक्षेसाठी : 4n + 1 चे कोणते पद 41? 4n = 40, म्हणून n = 10.
नियम 3 : संबंध सिद्ध करा — संख्या अक्षरांत लिहा; निकाल ओळखीच्या रूपात आला तर संबंध सर्व संख्यांसाठी खरा.
- सोपे : n + (n + 1) = 2n + 1 : लागोपाठ दोन संख्यांची बेरीज विषम.
- मध्यम : n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) : 3 चा पट.
- परीक्षेसाठी : (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1) : दोन विषम संख्यांची बेरीज सम.
n हा स्थानक्रमांक (1, 2, 3, …) आहे, पदाची किंमत नाही.
3, 6, 9 चा नियम n + 3 लिहिणे. तपासा : n = 1 साठी 4, 3 नाही. नियम 3n.
तुमचा नियम नेहमी पहिल्या दोन पदांवर तपासा. आठवणीची युक्ती : "पायरी = गुणांक" : ठराविक उडी म्हणजे n शेजारची संख्या.
फरक ओळखा
| मुद्दा | सम संख्या | विषम संख्या |
|---|---|---|
| सर्वसाधारण रूप | 2n | 2n + 1 |
| उदाहरणे (n = 1, 2, 3) | 2, 4, 6 | 3, 5, 7 |
| 2 ने भागल्यास | बाकी 0 | बाकी 1 |
सरावासाठी प्रश्न
- 13, 6, 9, 12, … चा नियम लिहा.
- 2सम संख्येचे सर्वसाधारण रूप लिहा.
- 33n या नियमाचे 10 वे पद काढा.
- 44, 7, 10, 13, … चा नियम लिहा.
- 5n त्रिकोणांना 2n + 1 काड्या लागतात तर 5 त्रिकोणांना किती?
- 63n + 1 चे 20 वे पद काढा.
- 74n + 1 चे कोणते पद 41 आहे?
- 8लागोपाठ तीन संख्यांची बेरीज 3 चा पट असते हे दाखवा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13n
- 22n
- 330
- 43n + 1
- 511 (2 × 5 + 1)
- 661
- 710 वे (4n = 40)
- 8n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)