छेदणाऱ्या, समांतर व लंब रेषा
रेल्वेचे रूळ कितीही लांब गेले तरी भेटत नाहीत. चौकात दोन रस्ते एका बिंदूत भेटतात. रस्त्यावर सरळ उभा दिव्याचा खांब काटकोन करतो.
एका पातळीतल्या ज्या रेषा एका बिंदूत भेटतात त्या छेदणाऱ्या रेषा. ज्या कधीच भेटत नाहीत आणि सदैव सारख्या अंतरावर असतात त्या समांतर रेषा. छेदणाऱ्या रेषा 90° चा कोन करत असतील तर त्या लंब रेषा.
आकृतीत : समांतर रेषा भेटत नाहीत; छेदणाऱ्या एका बिंदूत भेटतात; लंब रेषा 90° ने भेटतात.
नियम 1 : समांतर रेषा — त्या नेहमी सारख्या अंतरावर असतात आणि भेटत नाहीत.
- सोपे : पट्टीच्या समोरासमोरच्या कडा.
- मध्यम : रेल्वेचे दोन रूळ.
- परीक्षेसाठी : वहीच्या पानाची वरची व खालची कड.
नियम 2 : छेदणाऱ्या रेषा — त्यांचा एकच सामाईक बिंदू असतो, त्याला छेदनबिंदू म्हणतात.
- सोपे : चौकातले दोन रस्ते.
- मध्यम : उघडलेल्या कात्रीची दोन पाती.
- परीक्षेसाठी : X हे अक्षर.
नियम 3 : लंब रेषा — काटकोन (90°) करणाऱ्या छेदणाऱ्या रेषा लंब असतात; लहान चौकोनाने दाखवतात.
- सोपे : दाराच्या चौकटीच्या लगतच्या कडा.
- मध्यम : अधिक चिन्ह +.
- परीक्षेसाठी : सपाट जमिनीवर सरळ उभा झेंड्याचा खांब.
लंब रेषा हा छेदणाऱ्या रेषांचा विशेष प्रकार आहे.
कागदावर न भेटणाऱ्या रेषा समांतर समजणे. वाढवल्यावर भेटत असतील तर त्या समांतर नाहीत.
समांतर = सर्वत्र सारखे अंतर. दोन ठिकाणी अंतर मोजा. आठवणीची युक्ती : "समांतर = रूळ, लंब = अधिक चिन्ह."
फरक ओळखा
| मुद्दा | समांतर | छेदणाऱ्या | लंब |
|---|---|---|---|
| भेटतात? | कधीच नाही | 1 बिंदूत | 1 बिंदूत |
| कोन | नाही | कोणताही | 90° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्गातल्या दोन समांतर गोष्टींची नावे सांगा.
- 2दोन रेषा नेमक्या एका बिंदूत भेटतात. त्यांना काय म्हणतात?
- 3छेदणाऱ्या रेषा 90° चा कोन करतात. त्यांना काय म्हणतात?
- 4लंब रेषा छेदणाऱ्या रेषाही असतात का?
- 5दोन समांतर रेषांना किती सामाईक बिंदू असतात?
- 6दोन छेदणाऱ्या रेषांना किती सामाईक बिंदू असतात?
- 7कागदावरील दोन रेषा वाढवल्यावर भेटतात. त्या समांतर आहेत का?
- 8लंब रेषा किती कोन करतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1उदा. पट्टीच्या समोरच्या कडा, रूळ
- 2छेदणाऱ्या रेषा
- 3लंब रेषा
- 4होय
- 50
- 61
- 7नाही
- 890°
समोरासमोरचे कोन व रेषीय जोडी
कात्री उघडली की समोरासमोरचे दोन फटी सारखे दिसतात, आणि शेजारचे दोन मिळून सरळ कड बनते.
दोन छेदणाऱ्या रेषा चार कोन बनवतात. समोरासमोरचे कोन म्हणजे समोरासमोरचे (शीर्षाभिमुख) कोन आणि ते समान असतात. सरळ रेषेवरचे शेजारी दोन कोन म्हणजे रेषीय जोडी आणि त्यांची बेरीज 180°.
आकृतीत : समोरासमोरचे कोन समान (60° व 60°, 120° व 120°); शेजारचे मिळून 180°.
समोरासमोरचे कोन व रेषीय जोडी
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : समोरासमोरचे कोन समान — एक कोन माहीत असेल तर त्याच्या समोरचा तोच.
- सोपे : एक कोन 70°; समोरचा 70°.
- मध्यम : एक कोन 115°; समोरचा 115°.
- परीक्षेसाठी : एक कोन x आणि समोरचा 48° असेल तर x = 48°.
नियम 2 : रेषीय जोडीची बेरीज 180° — माहीत कोन 180° मधून वजा करा, शेजारचा कोन मिळेल.
- सोपे : एक कोन 70° → शेजारचा 180° – 70° = 110°.
- मध्यम : एक कोन 125° → शेजारचा 55°.
- परीक्षेसाठी : रेषेवर शेजारचे कोन 2x व 3x : 5x = 180°, x = 36°.
नियम 3 : चारही कोन — शेजारचा कोन 180° ने काढा, मग समोरच्या कोनांना तोच लिहा.
- सोपे : एक कोन 40° तर चारही 40°, 140°, 40°, 140°.
- मध्यम : एक कोन 90° तर चारही 90° (लंब).
- परीक्षेसाठी : चारही कोनांची बेरीज नेहमी 360°.
समोरचा = समान. शेजारचा = 180° मधून वजा.
समोरचा कोन 180° – 70° = 110° लिहिणे. समोरचा 70°; 110° शेजारचा.
फक्त दोन पर्याय : तोच (समोरचा) किंवा 180° वजा (शेजारचा). आठवणीची युक्ती : "समोर सारखा, शेजारी 180."
फरक ओळखा
| मुद्दा | समोरासमोरचे | रेषीय जोडी |
|---|---|---|
| स्थान | समोरासमोर | रेषेवर शेजारी |
| संबंध | समान | बेरीज 180° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1दोन छेदणाऱ्या रेषांचा एक कोन 70°. समोरचा कोन काढा.
- 2रेषेवर 70° चा शेजारचा कोन काढा.
- 3रेषेवर 125° चा शेजारचा कोन काढा.
- 4दोन रेषा छेदतात; एक कोन 40°. चारही कोन लिहा.
- 5समोरचे कोन x व 48°. x काढा.
- 6रेषेवरचे दोन कोन 2x व 3x. x काढा.
- 7छेदनबिंदूवरचे चार कोन : एक 90°. इतर किती?
- 8शेजारचे कोन (3a) व (2a + 20)°. a काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 170°
- 2110°
- 355°
- 440°, 140°, 40°, 140°
- 548°
- 636°
- 7सर्व 90°
- 8a = 32 (5a + 20 = 180)
छेदिका व संगत कोन
एक रस्ता दोन समांतर रुळांना आडवा छेदतो. प्रत्येक ठिकाणी रस्ता रुळाशी तोच कोन करतो.
दोन (किंवा अधिक) रेषांना छेदणारी रेषा म्हणजे छेदिका. ती 8 कोन करते. दोन्ही छेदनबिंदूंवर एकाच स्थानी असलेले कोन म्हणजे संगत कोन. दोन रेषा समांतर असतील तर संगत कोन समान असतात.
आकृतीत : दोन 50° कोन (प्रत्येक ठिकाणी वर-उजवीकडे) संगत आणि समान.
छेदिका व संगत कोन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : संगत कोन ओळखा — प्रत्येक ठिकाणी तोच कोपरा : वर-डावा वर-डाव्याशी, खाली-उजवा खाली-उजव्याशी.
- सोपे : वरच्या रेषेवरचा वर-डावा कोन खालच्या रेषेवरच्या वर-डाव्याशी.
- मध्यम : संगत कोनांच्या 4 जोड्या असतात.
- परीक्षेसाठी : फक्त समांतर रेषांसाठी ते समान असतात.
नियम 2 : समानता वापरा — समांतर रेषा असताना कोन संगत ठिकाणी लिहा.
- सोपे : एक कोन 50° तर संगत कोन 50°.
- मध्यम : एक कोन 130° तर संगत कोन 130°.
- परीक्षेसाठी : संगत कोन x + 20 व 75 : x = 55.
नियम 3 : समांतर असल्याची कसोटी — संगत कोन समान असतील तर दोन रेषा समांतर असतात.
- सोपे : संगत कोन 65° व 65° → समांतर.
- मध्यम : संगत कोन 65° व 70° → समांतर नाहीत.
- परीक्षेसाठी : सेट-स्क्वेअरने काढलेल्या रेषा तपासण्यास उपयोगी.
"F आकार" : संगत कोन F अक्षराच्या कोपऱ्यांत असतात.
रेषा समांतर नसताना संगत कोन समान मानणे.
आधी समांतर दाखवणारे ▸ बाण पाहा, मग समान वापरा. आठवणीची युक्ती : "F कोन म्हणजे सारखे कोन."
फरक ओळखा
| मुद्दा | रेषा समांतर | रेषा समांतर नाहीत |
|---|---|---|
| संगत कोन | समान | असमान |
| वापर | अज्ञात कोन काढणे | फक्त मोजणे |
सरावासाठी प्रश्न
- 1छेदिका दोन रेषांबरोबर किती कोन करते?
- 2दोन संगत कोनांपैकी एक 50° (रेषा समांतर). दुसरा काढा.
- 3संगत कोनांच्या किती जोड्या असतात?
- 4एक संगत कोन 130°. त्याचा जोडीदार काढा.
- 5समांतर रेषांमधले संगत कोन x + 20 व 75. x काढा.
- 6संगत कोन 65° व 65°. रेषा समांतर आहेत का?
- 7संगत कोन 65° व 70°. रेषा समांतर आहेत का?
- 8संगत कोन 3y व 2y + 18 (समांतर). y काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 18
- 250°
- 34
- 4130°
- 555
- 6होय
- 7नाही
- 818
व्युत्क्रम कोन व आंतरकोन
दोन रुळांमधला आडवा तुळई एका बाजूने Z आकार आणि दुसऱ्या बाजूने C आकार करतो. या आकारांत आणखी दोन कोनजोड्या दडलेल्या आहेत.
दोन रेषांच्या मध्ये आणि छेदिकेच्या उलट बाजूंना असलेले कोन म्हणजे व्युत्क्रम कोन (Z आकार); समांतर रेषांसाठी ते समान. रेषांच्या मध्ये एकाच बाजूला असलेले कोन म्हणजे आंतरकोन (C आकार); त्यांची बेरीज 180°.
आकृतीत : Z आकार : दोन हिरवे 50° कोन व्युत्क्रम आणि समान.
आकृतीत : C आकार : 130° + 50° = 180° (लाल कोन) आंतरकोन.
नियम 1 : व्युत्क्रम कोन (Z) — Z काढा; आतले दोन कोपरे समांतर रेषांसाठी समान.
- सोपे : एक व्युत्क्रम कोन 50° → दुसरा 50°.
- मध्यम : एक 130° → दुसरा 130°.
- परीक्षेसाठी : व्युत्क्रम कोन 2x + 10 व 70 : x = 30.
नियम 2 : आंतरकोन (C) — C काढा; आतले दोन कोन समांतर रेषांसाठी मिळून 180°.
- सोपे : एक कोन 110° → दुसरा 70°.
- मध्यम : एक कोन 50° → दुसरा 130°.
- परीक्षेसाठी : आंतरकोन 3x व 2x : 5x = 180°, x = 36°.
नियम 3 : कोणता नियम वापरावा — एकाच स्थानी → समान (संगत). Z आकार → समान (व्युत्क्रम). C आकार → 180°.
- सोपे : F → समान.
- मध्यम : Z → समान.
- परीक्षेसाठी : C → बेरीज 180°.
Z व F म्हणजे समान कोन. C म्हणजे 180°.
आंतरकोनांसाठी "समान" वापरणे. 130° व 50° समान नाहीत; बेरीज 180°.
आकृतीवर अक्षर काढा आणि Z, F किंवा C ओळखा. आठवणीची युक्ती : "Z व F मित्र (समान); C पूर्ण (180°)."
फरक ओळखा
| जोडी | आकार | संबंध (समांतर रेषा) |
|---|---|---|
| संगत | F | समान |
| व्युत्क्रम | Z | समान |
| आंतरकोन | C | बेरीज 180° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1एक व्युत्क्रम कोन 50° (समांतर रेषा). दुसरा काढा.
- 2एक आंतरकोन 110°. दुसरा काढा.
- 3व्युत्क्रम कोन कोणता अक्षराकार दाखवतो?
- 4एक आंतरकोन 50°. दुसरा काढा.
- 5व्युत्क्रम कोन 2x + 10 व 70. x काढा.
- 6आंतरकोन 3x व 2x. x काढा.
- 7आंतरकोन (x + 40)° व (2x + 20)°. x काढा.
- 8व्युत्क्रम कोन 4y – 5 व 3y + 15. y काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 150°
- 270°
- 3Z
- 4130°
- 530
- 636
- 740 (3x + 60 = 180, x = 40)
- 820
अज्ञात कोन शोधणे व समांतर रेषा काढणे
सुतार पट्टीवर सेट-स्क्वेअर सरकवून सारख्या उतारच्या रेषा काढतो. त्या कधी भेटत नाहीत : समांतर असतात.
अज्ञात कोन शोधण्यासाठी कोननियम एकामागून एक वापरा : समोरचे कोन समान, रेषीय जोडी 180°, संगत व व्युत्क्रम कोन समान, आंतरकोनांची बेरीज 180° (रेषा समांतर असताना). समांतर रेषा काढण्यासाठी पट्टीवर सेट-स्क्वेअर सरकवा आणि त्याच कडेने रेषा काढा.
आकृतीत : खालच्या रेषेवर 65° चा संगत कोन 65°; x त्याचा शेजारी, म्हणून x = 180° – 65° = 115°.
आकृतीत : पट्टीवर सेट-स्क्वेअर सरकवा : काढलेल्या दोन्ही रेषा समांतर.
नियम 1 : पायरीपायरीने कोन शोधा — सापडलेला प्रत्येक कोन आकृतीवर लिहा; तो पुढचा शोधण्यास मदत करतो.
- सोपे : समांतर रेषा, कोन 65° : संगत कोन 65°, शेजारचा 115°.
- मध्यम : 115° चा समोरचा कोन 115°.
- परीक्षेसाठी : 115° चा आंतरकोन 65°.
नियम 2 : समीकरणे मांडणे — कोन अक्षरांत असतील तर नियमानुसार समीकरण मांडून सोडवा.
- सोपे : संगत कोन x + 20 व 75 : x = 55.
- मध्यम : रेषीय जोडी 3a व 2a + 20 : 5a = 160, a = 32.
- परीक्षेसाठी : आंतरकोन x + 40 व 2x + 20 : 3x = 120, x = 40.
नियम 3 : समांतर रेषा काढणे — पट्टी स्थिर धरा, सेट-स्क्वेअर सरकवा, प्रत्येक वेळी त्याच कडेने रेषा काढा.
- सोपे : सेट-स्क्वेअरच्या कडेने रेषा 1 काढा.
- मध्यम : पट्टीवर नव्या जागी सरकवा आणि रेषा 2 काढा.
- परीक्षेसाठी : तपासणी : कोणत्याही छेदिकेने संगत कोन समान.
पुढे जाण्यापूर्वी सापडलेला प्रत्येक कोन आकृतीवर लिहा.
रेषा समांतर नसताना Z/F/C नियम वापरणे. आधी ▸ खुणा पाहा.
पायरीपायरीने जा : समोरचा → शेजारचा → संगत. आठवणीची युक्ती : "खूण, नाव, गणित" : कोन खूण करा, अक्षर ओळखा, गणित करा.
फरक ओळखा
| कोनजोडी | समांतर रेषा हव्यात? | निकाल |
|---|---|---|
| समोरचे | नाही | समान |
| रेषीय जोडी | नाही | 180° |
| F, Z, C जोड्या | होय | समान / 180° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1समांतर रेषा : एक कोन 65°. त्याचा संगत कोन काढा.
- 2समांतर रेषा : 65° चा शेजारचा कोन काढा.
- 3115° चा आंतरकोन काढा (समांतर रेषा).
- 43a व 2a + 20 रेषीय जोडी असेल तर a काढा.
- 5समांतर रेषा काढण्यास कोणती साधने वापरतात?
- 6दोन काढलेल्या रेषा समांतर आहेत हे कसे तपासाल?
- 7समांतर रेषा : कोन 40°. त्याचे आंतरकोन व संगत कोन लिहा.
- 8आंतरकोन (x + 40)° व (2x + 20)°. x काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 165°
- 2115°
- 365°
- 432
- 5पट्टी व सेट-स्क्वेअर
- 6संगत कोन समान आहेत का ते पाहा
- 7आंतरकोन 140°, संगत 40°
- 840