दसवाँ, सौवाँ और हज़ारवाँ भाग
एक पेंसिल 14 cm 7 mm लंबी है। 7 mm यानी cm का 7 दसवाँ भाग, इसलिए लंबाई 14.7 cm। दशमलव बिंदु से 1 से छोटे भाग लिखे जा सकते हैं।
1 के 10 बराबर भाग करें तो हर भाग दसवाँ = 1/10 = 0.1। दसवें के 10 भाग करें तो सौवाँ = 1/100 = 0.01। फिर : हज़ारवाँ = 1/1000 = 0.001। दशमलव संख्या में पूर्ण भाग, दशमलव बिंदु और भिन्न भाग होता है।
आकृति में : वर्ग को 100 बराबर खानों में बाँटा; 37 रंगे : 37/100 = 0.37 (3 पूरे स्तंभ = 3 दसवें, और 7 सौवें)।
दसवाँ, सौवाँ और हज़ारवाँ भाग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : भिन्न → दशमलव — हर (10, 100, 1000) के शून्यों की संख्या = बिंदु के बाद अंकों की संख्या।
- आसान : 7/10 = 0.7।
- मध्यम : 23/100 = 0.23।
- परीक्षा-प्रकार : 8/1000 = 0.008 (दो शून्य खाली जगह भरते हैं)।
नियम 2 : दशमलव → भिन्न — अंकों को 10, 100 या 1000 पर लिखें, हो सके तो सरल करें।
- आसान : 0.9 = 9/10।
- मध्यम : 0.45 = 45/100 = 9/20।
- परीक्षा-प्रकार : 0.375 = 375/1000 = 3/8।
नियम 3 : दशमलव कैसे पढ़ें — पूर्ण भाग को संख्या की तरह पढ़ें, "दशमलव" कहें, फिर बिंदु के बाद का हर अंक अलग-अलग पढ़ें।
- आसान : 0.5 = शून्य दशमलव पाँच।
- मध्यम : 3.07 = तीन दशमलव शून्य सात।
- परीक्षा-प्रकार : 0.274 = शून्य दशमलव दो सात चार (सत्ताईस चार नहीं)।
बिंदु के बाद एक अंक = दसवाँ, दो अंक = सौवाँ, तीन अंक = हज़ारवाँ।
7/100 को 0.7 लिखना। यह 0.07 है, क्योंकि 100 में दो शून्य हैं।
हर के शून्य गिनें और उतने स्थान बिंदु के बाद दें। याद रखने की युक्ति : "नीचे जितने शून्य, बिंदु के बाद उतने अंक।"
अंतर पहचानें
| भाग | दसवाँ | सौवाँ | हज़ारवाँ |
|---|---|---|---|
| भिन्न | 1/10 | 1/100 | 1/1000 |
| दशमलव | 0.1 | 0.01 | 0.001 |
| बिंदु के बाद अंक | 1 | 2 | 3 |
अभ्यास के प्रश्न
- 16/10 को दशमलव में लिखिए।
- 20.9 को भिन्न में लिखिए।
- 347/100 को दशमलव में लिखिए।
- 48/1000 को दशमलव में लिखिए।
- 50.45 को सबसे सरल भिन्न में लिखिए।
- 63.07 कैसे पढ़ेंगे?
- 7125/1000 को दशमलव और सरल भिन्न में लिखिए।
- 87/100 + 3/10 को दशमलव में लिखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 10.6
- 29/10
- 30.47
- 40.008
- 59/20
- 6तीन दशमलव शून्य सात
- 70.125 = 1/8
- 80.37 (0.30 + 0.07)
दशमलव का स्थानीय मान और विस्तारित रूप
पेट्रोल पंप के बिल पर 24.375 L लिखा है। हर अंक का अपना स्थान होता है : बिंदु के बाद के अंक दसवें, सौवें और हज़ारवें स्थान पर।
बिंदु के बाईं ओर इकाई, दहाई, सैकड़ा। दाईं ओर दसवाँ (1/10), सौवाँ (1/100), हज़ारवाँ (1/1000)। हर स्थान अपने दाएँ वाले स्थान का 10 गुना है। विस्तारित रूप में हर अंक का मान जोड़ते हैं।
आकृति में : 24.375 : 3 यानी 3 दसवें, 7 यानी 7 सौवें और 5 यानी 5 हज़ारवें।
नियम 1 : अंक का मान — मान = अंक × उस स्थान का मान।
- आसान : 5.24 में 2 यानी 2 दसवें = 0.2।
- मध्यम : 7.386 में 8 यानी 8 सौवें = 0.08।
- परीक्षा-प्रकार : 120.509 में 9 यानी 9 हज़ारवें = 0.009।
नियम 2 : विस्तारित रूप — हर अंक को उसके स्थानीय मान के साथ लिखकर जोड़ें; शून्य अंक कुछ नहीं जोड़ता।
- आसान : 3.6 = 3 + 6/10।
- मध्यम : 7.05 = 7 + 0/10 + 5/100 = 7 + 5/100।
- परीक्षा-प्रकार : 0.274 = 2/10 + 7/100 + 4/1000।
नियम 3 : 10 गुना, फिर 10 गुना — 10 से गुणा करने पर बिंदु एक स्थान दाएँ खिसकता है; 10 से भाग देने पर एक स्थान बाएँ।
- आसान : 0.3, 0.03 का 10 गुना है।
- मध्यम : 0.06 × 10 = 0.6।
- परीक्षा-प्रकार : 4.5 × 100 = 450।
बिंदु केवल पूर्ण और भिन्न भाग को अलग करता है; उसके बाद के अंक एक-एक पढ़ते हैं।
7.05 को 7.5 लिखना। शून्य दसवें का स्थान सँभालता है; उसके बिना 5, 5 दसवें बन जाएगा।
छोटी स्थानीय मान तालिका बनाएँ और हर खाने में एक अंक रखें। याद रखने की युक्ति : "वाँ" वाले नाम (दसवाँ, सौवाँ, हज़ारवाँ) बिंदु के बाद रहते हैं।
अंतर पहचानें
| बिंदु | बिंदु के बाईं ओर | बिंदु के दाईं ओर |
|---|---|---|
| स्थान | इकाई, दहाई, सैकड़ा | दसवाँ, सौवाँ, हज़ारवाँ |
| मान | 1, 10, 100 | 1/10, 1/100, 1/1000 |
| दूर जाने पर | हर कदम ×10 | हर कदम ÷10 |
अभ्यास के प्रश्न
- 18.35 में अंक 3 किस स्थान पर है?
- 23.6 का विस्तारित रूप लिखिए।
- 37.386 में 8 का मान कितना है?
- 40.274 का विस्तारित रूप लिखिए।
- 50.3 किस संख्या का 10 गुना है?
- 64.5 × 100 निकालिए।
- 7120.509 में 9 का मान कितना है?
- 87.05 का विस्तारित रूप लिखिए। 0 को क्यों नहीं छोड़ सकते?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1दसवाँ स्थान
- 23 + 6/10
- 30.08
- 42/10 + 7/100 + 4/1000
- 50.03
- 6450
- 70.009
- 87 + 5/100; 0 से 5 सौवें स्थान पर रहता है (उसके बिना 7.5 = 7 + 5/10)
मापन की इकाइयाँ और दशमलव
दर्ज़ी कपड़ा 2 m 35 cm नापता है, यानी 2.35 मी। 3 kg 250 g का पार्सल 3.250 kg होता है। दशमलव से इकाइयाँ बदलना आसान होता है।
1 cm = 10 mm, 1 m = 100 cm, 1 km = 1000 m, 1 kg = 1000 g, 1 L = 1000 mL, ₹1 = 100 पैसे। बड़ी इकाई में जाने के लिए भाग दें (बिंदु बाएँ); छोटी इकाई में जाने के लिए गुणा करें (बिंदु दाएँ)।
आकृति में : निशान 56 छोटे कदम (mm) = 5 cm 6 mm = 5.6 cm पर है।
नियम 1 : छोटी इकाई से बड़ी इकाई — 10, 100 या 1000 से भाग दें (बिंदु बाएँ)।
- आसान : 56 mm = 56 ÷ 10 = 5.6 cm।
- मध्यम : 235 cm = 235 ÷ 100 = 2.35 मी।
- परीक्षा-प्रकार : 4,750 m = 4,750 ÷ 1000 = 4.75 km।
नियम 2 : बड़ी इकाई से छोटी इकाई — 10, 100 या 1000 से गुणा करें (बिंदु दाएँ)।
- आसान : 3.5 cm = 35 mm।
- मध्यम : 2.35 kg = 2,350 ग्राम।
- परीक्षा-प्रकार : 0.75 km = 750 मी।
नियम 3 : मिश्रित इकाइयाँ — छोटी इकाई को सही स्थानों के साथ बड़ी इकाई में बदलें, फिर भाग जोड़ें।
- आसान : 2 m 35 cm = 2.35 मी।
- मध्यम : 3 kg 250 g = 3.250 kg = 3.25 किग्रा।
- परीक्षा-प्रकार : ₹45 और 7 पैसे = ₹45.07।
बिंदु का ग़लत स्थान ख़तरनाक हो सकता है : दवा का 0.5 mg, 0.05 mg का 10 गुना है।
3 kg 50 g को 3.50 kg लिखना। ग्राम के लिए 3 स्थान चाहिए : 3.050 किग्रा।
याद रखें शून्य : cm-mm 1, m-cm 2, km-मी 3, kg-ग्राम 3, ₹-पैसे 2। याद रखने की युक्ति : "1-2-3" : cm→mm 1 शून्य, मी→cm 2, km→मी 3।
अंतर पहचानें
| बिंदु | छोटी → बड़ी | बड़ी → छोटी |
|---|---|---|
| क्रिया | भाग दें | गुणा करें |
| बिंदु खिसकता है | बाएँ | दाएँ |
| उदाहरण | 56 mm = 5.6 cm | 5.6 cm = 56 mm |
अभ्यास के प्रश्न
- 156 mm को cm में बदलिए।
- 22.35 m को cm में बदलिए।
- 32 m 35 cm को m में लिखिए।
- 44,750 m को km में बदलिए।
- 53.5 kg को g में बदलिए।
- 63 kg 50 g को kg में लिखिए।
- 70.75 km को m में बदलिए।
- 8डॉक्टर ने 0.05 mg लिखा, नर्स ने 0.5 mg दिया। खुराक कितने गुना दी गई?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 15.6 cm
- 2235 cm
- 32.35 m
- 44.75 km
- 53,500 g
- 63.05 kg (3.050)
- 7750 m
- 810 गुना (0.5 ÷ 0.05 = 10)
दशमलव संख्याओं की स्थिति, तुलना और क्रम
तीन धावक दौड़ 12.4, 12.04 और 12.40 सेकंड में पूरी करते हैं। सबसे तेज़ कौन था, यह बताने के लिए दशमलवों की सही तुलना करनी होगी।
समतुल्य दशमलव : अंत में शून्य लगाने से मान नहीं बदलता : 0.2 = 0.20 = 0.200 (पर 0.02 अलग है)। तुलना : पहले पूर्ण भाग, फिर दसवें, सौवें, हज़ारवें; पहला अंतर निर्णय करता है। संख्या रेखा पर दो पूर्ण संख्याओं के बीच की दूरी को 10 बराबर भागों में बाँटकर दसवें दिखाएँ।
आकृति में : 8 और 9 के बीच 0.1 के 10 छोटे कदम। 8.3 यानी 8 के बाद 3 कदम और 8.75, 8.7 व 8.8 के ठीक बीच में।
नियम 1 : समतुल्य दशमलव — अंत के शून्य लगा या हटा सकते हैं; बिंदु के ठीक बाद के शून्य नहीं।
- आसान : 0.5 = 0.50।
- मध्यम : 3.40 = 3.4।
- परीक्षा-प्रकार : 0.2 = 0.20 पर 0.02 दस गुना छोटा है।
नियम 2 : दो दशमलवों की तुलना — शून्य लगाकर दशमलव स्थान बराबर करें, फिर पूर्ण संख्याओं की तरह तुलना करें।
- आसान : 6.2 > 5.9 (6 > 5)।
- मध्यम : 4.35 > 4.29 (दसवें 3 > 2)।
- परीक्षा-प्रकार : 0.7 > 0.68 क्योंकि 0.70 > 0.68।
नियम 3 : दशमलव क्रम में रखें — सबको समान स्थान दें, पूर्ण संख्याओं की तरह क्रम में रखें, फिर अतिरिक्त शून्य हटाएँ।
- आसान : 0.6, 0.06, 0.66 → 0.06 < 0.6 < 0.66।
- मध्यम : 1.23, 1.3, 1.203 → 1.230, 1.300, 1.203 → 1.203 < 1.23 < 1.3।
- परीक्षा-प्रकार : अवरोही : 5.5 > 5.055 > 5.05 > 5.005।
अधिक अंक का मतलब बड़ा दशमलव नहीं : 0.4, 0.35 से बड़ा है।
35 > 4 इसलिए 0.35 > 0.4 समझना। 0.4 को 0.40 लिखकर 40 की 35 से तुलना करें।
शून्य लगाकर समान लंबाई करें, फिर पूर्ण संख्याओं की तरह तुलना करें। याद रखने की युक्ति : "शून्य से भरो, फिर संख्याओं की दौड़ कराओ।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | पूर्ण संख्याएँ | दशमलव संख्याएँ |
|---|---|---|
| अधिक अंक | बड़ी संख्या | हमेशा बड़ी नहीं |
| तुलना | पहले अंक गिनें | स्थान बराबर करके तुलना |
अभ्यास के प्रश्न
- 1कौन-सा बड़ा है : 0.7 या 0.07?
- 23.40 को सरलतम रूप में लिखिए।
- 36.2 और 5.9 की तुलना कीजिए।
- 40.35 और 0.4 की तुलना कीजिए।
- 5आरोही क्रम में लिखिए : 0.6, 0.06, 0.66।
- 68.3 और 8.4 के बीच आने वाला एक दशमलव लिखिए।
- 7अवरोही क्रम में लिखिए : 5.05, 5.5, 5.055, 5.005।
- 82.5 और 2.6 के बीच कितने सौवें वाली संख्याएँ आती हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 10.7
- 23.4
- 36.2 > 5.9
- 40.35 < 0.4 (0.35 < 0.40)
- 50.06 < 0.6 < 0.66
- 68.35 (या 8.31, 8.32 … 8.39)
- 75.5 > 5.055 > 5.05 > 5.005
- 89 (2.51 से 2.59)
दशमलव संख्याओं का जोड़-घटाव
दुकानदार 2.75 kg चावल और 1.5 kg गेहूँ बेचता है। कुल वज़न 4.25 किग्रा। दशमलव संख्याओं को पूर्ण संख्याओं की तरह जोड़ते हैं, पर बिंदु एक सीध में रखकर।
संख्याओं को एक के नीचे एक इस तरह लिखें कि दशमलव बिंदु एक सीध में हों; ख़ाली स्थानों में शून्य भरें; पूर्ण संख्याओं की तरह जोड़ें-घटाएँ; उत्तर में बिंदु सीधे नीचे रखें।
आकृति में : 2.75 + 1.50 = 4.25। 1.50 का अतिरिक्त शून्य दोनों संख्याओं को दो दशमलव स्थान देता है।
नियम 1 : दशमलव जोड़ें — बिंदु मिलाएँ, दाईं ओर से जोड़ें, हासिल हमेशा की तरह।
- आसान : 0.4 + 0.3 = 0.7।
- मध्यम : 2.75 + 1.5 = 2.75 + 1.50 = 4.25।
- परीक्षा-प्रकार : 12.08 + 5.9 + 0.375 = 12.080 + 5.900 + 0.375 = 18.355।
नियम 2 : दशमलव घटाएँ — बिंदु मिलाएँ, शून्य भरें, उधार हमेशा की तरह लें। 10 जैसी पूर्ण संख्या 10.000 है।
- आसान : 0.9 – 0.4 = 0.5।
- मध्यम : 5.2 – 1.75 = 5.20 – 1.75 = 3.45।
- परीक्षा-प्रकार : 10 – 3.062 = 10.000 – 3.062 = 6.938।
नियम 3 : शाब्दिक प्रश्न — जोड़ना है या घटाना, तय करें, इकाइयाँ समान रखें, फिर हल करें।
- आसान : ₹12.50 + ₹7.25 = ₹19.75।
- मध्यम : 5 m का फीता : 5 – 2.35 = 2.65 m बचता है।
- परीक्षा-प्रकार : 1.25, 2.4 और 0.875 kg के थैले : कुल 4.525 किग्रा।
घटाव जाँचने के लिए उत्तर वापस जोड़ें : 3.45 + 1.75 = 5.20।
बिंदु न मिलाना : 2.75 + 1.5 को 75 + 5 की तरह करने पर 2.90 आता है, जो ग़लत है।
शून्य भरकर हर संख्या को समान दशमलव स्थान दें। याद रखने की युक्ति : "बिंदु एक सीध में, शून्य ख़ाली जगह भरें, बिंदु सीधा नीचे।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | जोड़ | घटाव |
|---|---|---|
| मिलाएँ | बिंदु एक सीध में | बिंदु एक सीध में |
| उदाहरण | 2.75 + 1.50 = 4.25 | 5.20 – 1.75 = 3.45 |
| जाँच | एक भाग घटाएँ | उत्तर वापस जोड़ें |
अभ्यास के प्रश्न
- 10.4 + 0.3 निकालिए।
- 20.9 – 0.4 निकालिए।
- 32.75 + 1.5 निकालिए।
- 45.2 – 1.75 निकालिए।
- 5₹12.50 + ₹7.25 निकालिए।
- 610 – 3.062 निकालिए।
- 712.08 + 5.9 + 0.375 निकालिए।
- 85 m के फीते में से 2.35 m और फिर 1.4 m काटे। कितना बचा?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 10.7
- 20.5
- 34.25
- 43.45
- 5₹19.75
- 66.938
- 718.355
- 81.25 m (5 – 2.35 – 1.4)