व्यंजक, पद और मान
कैंटीन में ₹12 वाले 3 समोसे लिए और ₹5 की छूट मिली : 3 × 12 – 5। यह वाक्यांश व्यंजक है और जो रकम आप देते हैं वही इसका मान है : ₹31।
अंकगणितीय व्यंजक संख्याओं और संक्रियाओं (+, –, ×, ÷) का वाक्यांश है। इसका मान वह संख्या है जो यह बनता है। व्यंजक को पदों के योग की तरह पढ़ते हैं : a – b यानी a + (–b) और × या ÷ वाला भाग एक ही पद है।
आकृति में : 23 – 10 × 2 में दो पद हैं : 23 और (–10 × 2)। दूसरा पद –20 है, इसलिए मान 23 + (–20) = 3।
नियम 1 : मान ज्ञात करें — पहले हर पद का मान निकालें, फिर पदों को जोड़ें।
- आसान : 13 + 2 = 15।
- मध्यम : 6 × 5 + 4 × 3 = 30 + 12 = 42।
- परीक्षा-प्रकार : 100 – 4 × 15 = 100 + (–60) = 40।
नियम 2 : पद पहचानें — हर + या – चिह्न पर तोड़ें; चिह्न अपने बाद वाली संख्या के साथ रहता है।
- आसान : 83 – 14 के पद 83 और –14।
- मध्यम : 7 × 4 + 9 × 6 के पद 7 × 4 और 9 × 6।
- परीक्षा-प्रकार : 50 – 6 × 3 + 2 के तीन पद : 50, –6 × 3 और 2; मान 50 – 18 + 2 = 34।
नियम 3 : शब्दों में पढ़ें — हर पद क्या करता है, बोलें : × के लिए "गुना", + के लिए "अधिक", – के लिए "कम"।
- आसान : 12 × 5 = 12 को 5 से गुणा।
- मध्यम : 20 – 4 = 20 से 4 कम।
- परीक्षा-प्रकार : 3 × 8 – 2 = 8 के 3 गुने से 2 कम।
चिह्न अपने बाद की संख्या का होता है : 83 – 14 में पद –14 है।
30 – 4 × 5 को (30 – 4) × 5 = 130 पढ़ना। सही : 30 – 20 = 10।
+ और – पर तोड़ें; हर पद के भीतर × और ÷ पहले करें। याद रखने की युक्ति : "जोड़-घटाव तोड़ते हैं, गुणा-भाग भीतर रहते हैं।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | पद | व्यंजक |
|---|---|---|
| अर्थ | + के बीच एक भाग | पूरा वाक्यांश |
| उदाहरण | 6 × 5 | 6 × 5 + 4 × 3 |
| मान | 30 | 42 |
अभ्यास के प्रश्न
- 118 + 7 – 5 का मान निकालिए।
- 283 – 14 के पद लिखिए।
- 36 × 4 + 5 × 3 का मान निकालिए।
- 4100 – 4 × 15 का मान निकालिए।
- 5"6 के 7 गुने से 9 कम" को व्यंजक में लिखकर मान निकालिए।
- 650 – 6 × 3 + 2 के पद लिखिए और मान निकालिए।
- 78 × 7 – 3 × 9 + 11 का मान निकालिए।
- 8कौन-सा बड़ा है : 45 – 6 × 5 या 6 × 5 – 20?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 120
- 283 और –14
- 339 (24 + 15)
- 440 (100 – 60)
- 57 × 6 – 9 = 33
- 650, –6 × 3, 2; मान 34
- 740 (56 – 27 + 11)
- 845 – 6 × 5 = 15, 6 × 5 – 20 = 10 से बड़ा
संक्रियाओं का क्रम और कोष्ठक
अना ने ₹10 के 2 पेन लिए और ₹50 दिए : 50 – 2 × 10। यदि वह ग़लती से (50 – 2) × 10 करे तो 480 आता है। सही शेष ₹30 है।
क्रम : 1) कोष्ठक, 2) हर पद के भीतर × और ÷, 3) + और – बाएँ से दाएँ। कोष्ठक के पहले घटाव का चिह्न हो तो भीतर के हर पद का चिह्न बदल जाता है।
आकृति में : ऊपर : 50 – 2 × 10 → 50 – 20 → 30। नीचे : 68 – (18 + 13) = 68 – 31 = 37, यानी 68 – 18 – 13 के बराबर।
नियम 1 : × और ÷ पहले, फिर + और – — कोष्ठक न हों तो हर पद के गुणा-भाग पहले पूरे करें।
- आसान : 5 + 4 × 3 = 5 + 12 = 17।
- मध्यम : 30 – 6 × 4 + 2 = 30 – 24 + 2 = 8।
- परीक्षा-प्रकार : 100 – 24 ÷ 4 × 3 = 100 – 6 × 3 = 100 – 18 = 82।
नियम 2 : कोष्ठक पहले — कोष्ठक के भीतर का हिसाब पहले करें, फिर आगे बढ़ें।
- आसान : (7 + 3) × 4 = 10 × 4 = 40।
- मध्यम : 20 + 8 × (16 – 6) = 20 + 80 = 100।
- परीक्षा-प्रकार : 5 × (12 – 3 × 2) = 5 × 6 = 30।
नियम 3 : कोष्ठक से पहले घटाव का चिह्न — a – (b + c) = a – b – c और a – (b – c) = a – b + c। या कोष्ठक पहले हल करें।
- आसान : 15 – (4 + 3) = 15 – 7 = 8।
- मध्यम : 42 + 15 – (8 – 7) = 57 – 1 = 56।
- परीक्षा-प्रकार : 100 – (45 – 20) – 10 = 100 – 25 – 10 = 65।
केवल + और – हों तो बाएँ से दाएँ चलें।
20 – (5 – 2) को 20 – 5 – 2 = 13 करना। भीतर के चिह्न बदलने होते हैं : 20 – 5 + 2 = 17।
चिह्नों में शंका? कोष्ठक पहले हल करें। याद रखने की युक्ति : "कोष्ठक सबसे पहले; गुणा जोड़ से पहले; घटाव सब चिह्न पलट देता है।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | कोष्ठक से पहले + | कोष्ठक से पहले – |
|---|---|---|
| नियम | भीतर के चिह्न वही | भीतर के चिह्न पलटते हैं |
| उदाहरण | 10 + (4 – 1) = 10 + 4 – 1 | 10 – (4 – 1) = 10 – 4 + 1 |
| मान | 13 | 7 |
अभ्यास के प्रश्न
- 112 + 3 × 5 निकालिए।
- 2(12 + 3) × 5 निकालिए।
- 340 – (15 + 5) निकालिए।
- 430 – 6 × 4 + 2 निकालिए।
- 520 – (5 – 2) निकालिए।
- 6100 – 24 ÷ 4 × 3 निकालिए।
- 75 × (12 – 3 × 2) निकालिए।
- 88 + 6 × 2 में कोष्ठक लगाइए ताकि मान 28 आए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 127
- 275
- 320
- 48
- 517
- 682
- 730
- 8(8 + 6) × 2 = 14 × 2 = 28
संक्रियाओं का क्रम और कोष्ठक
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंपदों की अदला-बदली और समूहन
आप बिल जोड़ते हैं : 28 + 19 + 12 + 21। चतुर ग्राहक 28 + 12 = 40 और 19 + 21 = 40 की जोड़ियाँ बनाते हैं, इसलिए बिल पल भर में 80।
अदला-बदली : a + b = b + a। समूहन : (a + b) + c = a + (b + c)। पदों के योग में कोई भी क्रम या समूह बनाएँ, मान वही रहता है, बस हर पद अपने चिह्न के साथ रहे। घटाव की अदला-बदली नहीं हो सकती।
आकृति में : 28 की 12 से और 19 की 21 से जोड़ी : 40 + 40 = 80।
नियम 1 : पदों की अदला-बदली — पद को उसके चिह्न सहित खिसकाएँ।
- आसान : 9 + 14 = 14 + 9 = 23।
- मध्यम : 83 – 14 = –14 + 83 = 69।
- परीक्षा-प्रकार : 25 – 18 + 5 = 25 + 5 – 18 = 30 – 18 = 12।
नियम 2 : गोल संख्याओं के लिए समूह बनाएँ — 10, 100 या 1000 बनाने वाले पद खोजें और उन्हें पहले जोड़ें।
- आसान : 47 + 3 + 20 = 50 + 20 = 70।
- मध्यम : 28 + 19 + 12 + 21 = 40 + 40 = 80।
- परीक्षा-प्रकार : 236 + 375 – 136 + 25 = (236 – 136) + (375 + 25) = 100 + 400 = 500।
नियम 3 : घटाव की अदला-बदली नहीं — a – b और b – a अलग होते हैं। साथ ही (a – b) – c और a – (b – c) अलग हैं।
- आसान : 8 – 3 = 5 पर 3 – 8 = –5।
- मध्यम : 20 – 15 = 5 पर 15 – 20 = –5।
- परीक्षा-प्रकार : (50 – 20) – 5 = 25 पर 50 – (20 – 5) = 35।
चिह्न अपने बाद की संख्या से चिपकता है, इसलिए –14 पूरा खिसकता है।
केवल संख्याएँ बदलना : 50 – 20 + 10 = 40, पर 50 – 10 + 20 = 60। चिह्न को संख्या के साथ खिसकाएँ।
सबसे पहले 10, 100, 1000 बनाने वाली संख्याओं की जोड़ियाँ बनाएँ। याद रखने की युक्ति : "दस के दोस्त" : 1-9, 2-8, 3-7, 4-6, 5-5। पहले दोस्त जोड़ो!
अंतर पहचानें
| बिंदु | अदला-बदली | समूहन |
|---|---|---|
| नियम | a + b = b + a | (a + b) + c = a + (b + c) |
| क्या बदलता है | क्रम | जोड़ियाँ |
| उदाहरण | 9 + 14 = 14 + 9 | (7 + 3) + 5 = 7 + (3 + 5) |
अभ्यास के प्रश्न
- 1रिक्त स्थान भरिए : 37 + 18 = 18 + ___।
- 2समूहन करके 25 + 17 + 5 निकालिए।
- 340 – 15 के पदों की अदला-बदली करके लिखिए और मान निकालिए।
- 447 + 36 + 53 + 64 चतुराई से निकालिए।
- 5125 + 78 + 75 + 22 चतुराई से निकालिए।
- 6क्या 30 – 12 और 12 – 30 बराबर हैं? दोनों मान बताइए।
- 7समूहन करके 99 + 98 + 97 – 96 – 95 – 94 निकालिए।
- 8जोड़ियाँ बनाकर 1 + 2 + 3 + … + 10 निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 137
- 247
- 3–15 + 40 = 25
- 4200 ((47 + 53) + (36 + 64))
- 5300 ((125 + 75) + (78 + 22))
- 6नहीं : 30 – 12 = 18 पर 12 – 30 = –18
- 79 ((99 – 96) + (98 – 95) + (97 – 94))
- 855 (11 की पाँच जोड़ियाँ)
वितरण गुण
एक हॉल में 8 पंक्तियाँ हैं; हर पंक्ति में बाईं ओर 5 और दाईं ओर 3 कुर्सियाँ। कुर्सियाँ : 8 × (5 + 3) = 8 × 5 + 8 × 3 = 64।
a × (b + c) = a × b + a × c और a × (b – c) = a × b – a × c। बाहर का गुणक भीतर के हर पद में बँटता है। उल्टा पढ़ें तो उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकलता है।
आकृति में : 7 ऊँचा और 34 चौड़ा आयत 30 + 4 में बाँटा : 7 × 34 = 210 + 28 = 238।
नियम 1 : संख्या को तोड़ें — एक संख्या को आसान भागों में तोड़ें (जैसे 50 + 2 या 100 – 2) और गुणक बाँटें।
- आसान : 6 × 52 = 6 × 50 + 6 × 2 = 312।
- मध्यम : 7 × 98 = 7 × 100 – 7 × 2 = 686।
- परीक्षा-प्रकार : 25 × 104 = 25 × 100 + 25 × 4 = 2,600।
नियम 2 : उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालें — a × b + a × c = a × (b + c) : बाक़ी संख्याएँ पहले जोड़ें, फिर एक बार गुणा करें।
- आसान : 4 × 13 + 4 × 7 = 4 × 20 = 80।
- मध्यम : 98 × 14 + 2 × 14 = 100 × 14 = 1,400।
- परीक्षा-प्रकार : 63 × 46 – 63 × 36 = 63 × 10 = 630।
नियम 3 : 100 के पास की संख्याएँ — 19, 98, 99, 101 जैसी संख्याओं के लिए 20 – 1, 100 – 2, 100 – 1, 100 + 1 लें।
- आसान : 3 × (10 – 2) = 30 – 6 = 24।
- मध्यम : 12 × 19 = 12 × 20 – 12 = 228।
- परीक्षा-प्रकार : 15 × 98 = 15 × 100 – 15 × 2 = 1,470।
कोष्ठक के बाहर की संख्या भीतर के हर पद को गुणा करती है।
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 5 = 17 करना। दोनों पदों को गुणा करें : 12 + 15 = 27।
99, 98, 101, 19 के लिए "गोल संख्या ± छोटी संख्या" सोचें। याद रखने की युक्ति : "हर पद को उपहार दो" : गुणक ही उपहार है।
अंतर पहचानें
| बिंदु | फैलाना | गुणनखंड |
|---|---|---|
| नियम | a(b + c) → ab + ac | ab + ac → a(b + c) |
| उदाहरण | 3 × (4 + 5) → 12 + 15 | 12 + 15 → 3 × (4 + 5) |
| उपयोग | बड़ी संख्या तोड़ना | पहले जोड़ें, एक बार गुणा |
अभ्यास के प्रश्न
- 13 × (4 + 5) निकालिए।
- 252 को तोड़कर 6 × 52 निकालिए।
- 319 = 20 – 1 लेकर 12 × 19 निकालिए।
- 47 × 98 निकालिए।
- 54 × 13 + 4 × 7 निकालिए।
- 698 × 14 + 2 × 14 निकालिए।
- 763 × 46 – 63 × 36 निकालिए।
- 815 × 98 निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 127
- 2312
- 3228
- 4686
- 580
- 61,400
- 7630
- 81,470
व्यंजक बनाना और तुलना
रोहन ₹25 की 3 कॉपियाँ और ₹8 के 2 पेन ख़रीदता है। बिल 3 × 25 + 2 × 8 = 91। दो बिलों की तुलना बिना गणना के भी हो सकती है।
कहानी से व्यंजक लिखते समय : बराबर समूह → ×, जोड़ना → +, घटाना → –। दो व्यंजकों की तुलना के लिए दोनों ओर के समान पद हटाएँ और बचे हुए की तुलना करें।
आकृति में : दोनों ओर 13 × 5 है। इसलिए केवल 4 और 7 मायने रखते हैं : दायाँ पलड़ा भारी।
नियम 1 : कहानी से व्यंजक — बराबर समूह, जोड़ना और घटाना पहचानें और पद लिखें।
- आसान : 6 बिस्कुट के 4 पैकेट और 3 खुले : 4 × 6 + 3 = 27।
- मध्यम : ₹100 का नोट, ₹15 की 3 वस्तुएँ : 100 – 3 × 15 = 55।
- परीक्षा-प्रकार : 12 के 2 डिब्बे, 8 के 3 डिब्बे, 5 टूटे : 2 × 12 + 3 × 8 – 5 = 43।
नियम 2 : बिना गणना तुलना — दोनों ओर के समान पद हटाएँ; बचा हुआ बड़ा जीतता है (घटाए जाने वाले पद में छोटा जीतता है)।
- आसान : 15 + 9 < 15 + 12।
- मध्यम : 7 × 8 – 5 > 7 × 8 – 9 (कम घटाया)।
- परीक्षा-प्रकार : 25 × 4 + 18 = 4 × 25 + 18 (केवल अदला-बदली)।
नियम 3 : लुप्त संख्या ज्ञात करें — अंतिम क्रिया उलटें : ज्ञात भाग को विपरीत संक्रिया से दूसरी ओर ले जाएँ।
- आसान : 12 + __ = 20 → 20 – 12 = 8।
- मध्यम : 5 × __ + 3 = 38 → 35 ÷ 5 = 7।
- परीक्षा-प्रकार : 100 – __ × 6 = 52 → __ × 6 = 48 → 8।
दोनों ओर के समान पद हटाए जा सकते हैं; पूरा मान निकालना ज़रूरी नहीं।
दोनों पक्षों की पूरी गणना करके चूक करना। पहले पद हटाना सुरक्षित और तेज़ है।
पहले समान पद खोजें। याद रखने की युक्ति : "जुड़वाँ हटाओ, बचे की तुलना करो।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | मान निकालना | पद हटाकर तुलना |
|---|---|---|
| काम | पूरी गणना | केवल बचे पद देखना |
| गति | धीमा | तेज़ |
अभ्यास के प्रश्न
- 18 सेबों के 5 थैलों और 3 अतिरिक्त सेबों का व्यंजक लिखिए।
- 2कौन-सा बड़ा है : 20 + 17 या 20 + 19?
- 3रिक्त स्थान भरिए : 30 + ___ = 45।
- 4नेहा के पास ₹200 हैं। वह ₹45 की किताब और ₹30 का पेन ख़रीदती है। कितने बचे?
- 5बिना गणना किए 9 × 11 – 4 और 9 × 11 – 7 की तुलना कीजिए।
- 6रिक्त स्थान भरिए : 5 × ___ + 3 = 38।
- 7रिक्त स्थान भरिए : 100 – ___ × 6 = 52।
- 8क्या 6 × 14 + 5 और 5 + 14 × 6 बराबर हैं? क्यों?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 15 × 8 + 3
- 220 + 19 बड़ा
- 315
- 4200 – 45 – 30 = ₹125
- 59 × 11 – 4 बड़ा (कम घटाया)
- 67
- 78
- 8हाँ : पदों और गुणकों की अदला-बदली से मान नहीं बदलता