लाख, करोड़ और अरब
अख़बार में लिखा है कि मेले में 23,40,500 लोग आए और एक कंपनी ने ₹4,50,00,000 कमाए। ऐसी संख्याएँ पढ़ने के लिए दस हज़ार से आगे के स्थान चाहिए : लाख और करोड़।
भारतीय पद्धति में दाईं ओर का पहला समूह 3 अंकों का (सैकड़े), फिर हर समूह 2 अंकों का : हज़ार, लाख, करोड़। 1 लाख = 100 हज़ार = 1,00,000 (5 शून्य), 1 करोड़ = 100 लाख = 1,00,00,000 (7 शून्य), 1 अरब = 100 करोड़ = 1,00,00,00,000 (9 शून्य)।
आकृति में : 5,36,08,420 में 5 करोड़, 36 लाख, 8 हज़ार और 420 हैं। नाम : पाँच करोड़ छत्तीस लाख आठ हज़ार चार सौ बीस। (Cr = करोड़, TL = दस लाख, L = लाख, TTh = दस हज़ार, Th = हज़ार.)
नियम 1 : समूहों में पढ़ें — बाईं ओर से शुरू करें; हर समूह पढ़ें और उसकी इकाई बोलें : करोड़, लाख, हज़ार। जिस समूह में सब शून्य हों उसे छोड़ दें।
- आसान : 3,45,000 = तीन लाख पैंतालीस हज़ार।
- मध्यम : 12,06,300 = बारह लाख छह हज़ार तीन सौ।
- परीक्षा-प्रकार : 7,00,05,090 = सात करोड़ पाँच हज़ार नब्बे।
नियम 2 : नाम से अंक लिखें — हर भाग को उसके स्थान पर रखें और खाली स्थानों पर 0 लिखें।
- आसान : पाँच लाख बीस हज़ार = 5,20,000।
- मध्यम : बयालीस लाख सात = 42,00,007।
- परीक्षा-प्रकार : नौ करोड़ आठ लाख साठ = 9,08,00,060।
नियम 3 : अंक का मान — अंक का मान = अंक × उस स्थान का मान।
- आसान : 4,25,000 में 4 का मतलब 4 लाख = 4,00,000।
- मध्यम : 8,64,25,317 में 6 दस लाख के स्थान पर है : मान 60,00,000।
- परीक्षा-प्रकार : 7,58,41,206 में 5 का मान पचास लाख = 50,00,000।
भारतीय पद्धति में दाईं ओर से 3 अंकों के बाद पहला अल्पविराम और फिर हर 2 अंकों पर।
एक लाख को 10,000 लिखना या 12,34,567 को 1,234,567 लिखना (यह अंतरराष्ट्रीय शैली है)।
शून्य गिनें : लाख 5, करोड़ 7, अरब 9। याद रखने की युक्ति : "3-2-2-2" : पहले तीन अंक, फिर हज़ार, लाख, करोड़ के लिए जोड़ियाँ।
अंतर पहचानें
| बिंदु | लाख | करोड़ |
|---|---|---|
| संख्या | 1,00,000 | 1,00,00,000 |
| शून्य | 5 | 7 |
| संबंध | 100 हज़ार | 100 लाख |
अभ्यास के प्रश्न
- 14,05,300 को शब्दों में लिखिए।
- 2"छह लाख चालीस हज़ार" को अंकों में लिखिए।
- 31 करोड़ में कितने शून्य होते हैं?
- 43,02,08,000 को शब्दों में लिखिए।
- 5"बारह करोड़ पाँच लाख सात" को अंकों में लिखिए।
- 67,58,41,206 में अंक 5 का मान कितना है?
- 79 करोड़ 9 लाख 9 हज़ार 9 सौ को अंकों में लिखिए।
- 899,99,999 के ठीक बाद कौन-सी संख्या आती है? उसका नाम बताइए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1चार लाख पाँच हज़ार तीन सौ
- 26,40,000
- 37
- 4तीन करोड़ दो लाख आठ हज़ार
- 512,05,00,007
- 650,00,000 (पचास लाख)
- 79,09,09,900
- 81,00,00,000 — एक करोड़
भारतीय और अंतरराष्ट्रीय पद्धतियाँ
भारतीय अख़बार एक बजट को 3,50,00,000 लिखता है, जबकि विदेशी वेबसाइट उसी को 35,000,000 लिखती है। राशि वही है; केवल अल्पविराम और नाम अलग हैं।
अंतरराष्ट्रीय पद्धति में हर 3 अंकों के बाद अल्पविराम : हज़ार, मिलियन (1,000,000), बिलियन (1,000,000,000)। भारतीय पद्धति में 3-2-2-2।
आकृति में : वही अंक : 3,50,00,000 = 35,000,000। केवल अल्पविराम खिसकते हैं। यह 3 करोड़ 50 लाख = 35 मिलियन है।
नियम 1 : अल्पविराम बदलें — अंक नहीं बदलते। वही अंक लेकर दूसरी पद्धति के अल्पविराम लगाएँ।
- आसान : 5,00,000 = 500,000।
- मध्यम : 2,45,00,000 = 24,500,000।
- परीक्षा-प्रकार : 1,00,00,00,000 = 1,000,000,000 : एक अरब = एक बिलियन।
भारतीय और अंतरराष्ट्रीय पद्धतियाँ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 2 : इकाई बदलें — 10 लाख = 1 मिलियन और 1 करोड़ = 10 मिलियन। इसलिए लाख ÷ 10 = मिलियन, करोड़ × 10 = मिलियन।
- आसान : 30 लाख = 3 मिलियन।
- मध्यम : 8 करोड़ = 80 मिलियन।
- परीक्षा-प्रकार : 450 करोड़ = 4,500 मिलियन।
1 बिलियन = 100 करोड़ = 1 अरब। मान वही, केवल नाम अलग।
1 मिलियन = 1 करोड़ समझना। वास्तव में 1 करोड़ = 10 मिलियन।
लाख → मिलियन : ÷ 10। करोड़ → मिलियन : × 10। याद रखने की युक्ति : "मिलियन की ओर जाते समय लाख एक शून्य खोता है, करोड़ एक शून्य पाता है।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | भारतीय | अंतरराष्ट्रीय |
|---|---|---|
| अल्पविराम | 3-2-2-2 | 3-3-3 |
| बड़े नाम | लाख, करोड़, अरब | मिलियन, बिलियन |
| एक लाख | 1,00,000 | 100,000 |
अभ्यास के प्रश्न
- 18,40,000 को अंतरराष्ट्रीय पद्धति में लिखिए।
- 21 मिलियन में कितने लाख होते हैं?
- 325,00,000 को अंतरराष्ट्रीय पद्धति में लिखिए।
- 46 करोड़ को मिलियन में बदलिए।
- 572,500,000 को भारतीय पद्धति में लिखिए।
- 6कौन-सा बड़ा है : 4 मिलियन या 30 लाख?
- 71 बिलियन को लाख में व्यक्त कीजिए।
- 8एक वेबसाइट पर 1,250,000,000 उपयोगकर्ता दिखते हैं। इसे भारतीय पद्धति और करोड़ में लिखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1840,000
- 210
- 32,500,000
- 460 मिलियन
- 57,25,00,000
- 64 मिलियन = 40 लाख, इसलिए 4 मिलियन बड़ा है
- 710,000 लाख
- 81,25,00,00,000 = 125 करोड़
बड़ी संख्याओं की तुलना और क्रम
तीन कस्बों की जनसंख्या 18,45,000, 9,87,500 और 18,54,200 है। कौन-सा कस्बा सबसे बड़ा है, यह बताने के लिए हम अंकों की तरह संख्याओं की तुलना करते हैं।
अंक अधिक = संख्या बड़ी। अंकों की संख्या समान हो तो बाईं ओर से अंक-अंक की तुलना करें; जहाँ पहली बार अंतर आए वहीं निर्णय हो जाता है। आरोही = छोटी से बड़ी, अवरोही = बड़ी से छोटी।
आकृति में : दोनों में 7 अंक हैं। पहले दो अंक बराबर हैं। तीसरे स्थान पर 4 < 5, इसलिए 18,45,000 छोटी है।
नियम 1 : पहले अंक गिनें — जिस संख्या में अंक अधिक हों वह हमेशा बड़ी होती है (आगे शून्य न हो)।
- आसान : 9,99,999 (6 अंक) < 10,00,000 (7 अंक)।
- मध्यम : 45,67,890 (7 अंक) > 4,56,789 (6 अंक)।
- परीक्षा-प्रकार : 3,40,25,000 (8 अंक) > 34,02,500 (7 अंक)।
बड़ी संख्याओं की तुलना और क्रम
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 2 : अंक समान? बाईं ओर से तुलना — जिस पहले स्थान पर अंक अलग हों उसे खोजें; वहाँ बड़ा अंक जिसमें हो वह संख्या बड़ी है।
- आसान : 5,48,200 > 5,46,900 (हज़ार के स्थान पर 8 > 6)।
- मध्यम : 72,15,300 > 72,15,030 (सैकड़े के स्थान पर 3 > 0)।
- परीक्षा-प्रकार : 6,05,000; 6,50,000; 5,99,999 का आरोही क्रम : 5,99,999 < 6,05,000 < 6,50,000।
तुलना केवल एक ही पद्धति और एक ही इकाई वाली संख्याओं की करें।
केवल बड़ा अंक देखकर तय करना, जैसे 9 > 1 इसलिए 9,000 को 10,000 से बड़ा मानना।
पहले अंक गिनें, फिर बाईं ओर से तुलना करें। याद रखने की युक्ति : "पहले लंबाई, फिर बायाँ" — लंबी संख्या जीतती है; बराबर हो तो बाईं ओर का पहला अंतर निर्णय करता है।
अंतर पहचानें
| बिंदु | आरोही क्रम | अवरोही क्रम |
|---|---|---|
| क्रम | छोटी → बड़ी | बड़ी → छोटी |
| बीच का चिह्न | < | > |
| उदाहरण | 70,800 < 7,08,000 < 7,80,000 | 7,80,000 > 7,08,000 > 70,800 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1कौन-सा बड़ा है : 8,95,000 या 89,500?
- 2कौन-सा छोटा है : 12,34,567 या 12,34,576?
- 3> या < लगाइए : 5,00,000 ___ 4,99,999।
- 4आरोही क्रम में लिखिए : 7,08,000; 7,80,000; 70,800।
- 5अवरोही क्रम में लिखिए : 2,50,00,000; 25,00,000; 2,05,00,000।
- 6अंक 3, 0, 7, 5, 1, 9 को एक-एक बार लेकर सबसे बड़ी 6 अंकों की संख्या बनाइए।
- 74, 0, 8, 2, 6, 1, 9 को एक-एक बार लेकर सबसे छोटी 7 अंकों की संख्या बनाइए।
- 8कस्बों A, B, C की जनसंख्या 12,40,500; 12,04,800 और 12,40,050 है। किसमें सबसे अधिक और किसमें सबसे कम है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 18,95,000 (6 अंक) 89,500 (5 अंक) से बड़ा
- 212,34,567 (इकाई के स्थान पर 6 < 7)
- 3>
- 470,800 < 7,08,000 < 7,80,000
- 52,50,00,000 > 2,05,00,000 > 25,00,000
- 69,75,310
- 710,24,689
- 8सबसे अधिक : A; सबसे कम : B
सटीक मान, पूर्णांकन और अनुमान
एक स्टेडियम ने ठीक 48,372 टिकट बेचे, पर ख़बर में "लगभग 48,000" लिखा है। जब सटीक संख्या ज़रूरी न हो तो पास की संख्या काफ़ी है।
सटीक मान यानी ठीक गिनती। सन्निकट मान यानी पूर्णांकन से मिली पास की संख्या। किसी स्थान तक पूर्णांकन के लिए उसके दाएँ वाला अंक देखें : 5 या अधिक → बढ़ाएँ; 5 से कम → वैसा ही; फिर दाएँ के अंक 0 कर दें।
आकृति में : 48,372 संख्या 48,000 और 49,000 के बीच है और बीच के 48,500 से पहले है, इसलिए यह 48,000 बनती है।
सटीक मान, पूर्णांकन और अनुमान
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : दहाई, सैकड़ा, हज़ार तक पूर्णांकन — पूर्णांकन का स्थान तय करें, दाएँ का अंक देखें और फिर निर्णय लें।
- आसान : 3,846 निकटतम दहाई तक = 3,850 (6 ≥ 5, बढ़ाया)।
- मध्यम : 67,451 निकटतम सैकड़े तक = 67,500 (51, 50 से अधिक)।
- परीक्षा-प्रकार : 2,49,500 निकटतम हज़ार तक = 2,50,000 (500 → बढ़ाया, 9 का 10)।
नियम 2 : लाख और करोड़ तक पूर्णांकन — नियम वही : शेष संख्या की आधे से तुलना करें (लाख के लिए 50,000, करोड़ के लिए 50,00,000)।
- आसान : 7,38,000 निकटतम लाख तक = 7,00,000 (38,000 < 50,000)।
- मध्यम : 12,65,400 निकटतम लाख तक = 13,00,000 (65,400 ≥ 50,000)।
- परीक्षा-प्रकार : 4,96,00,000 निकटतम करोड़ तक = 5,00,00,000 (96 लाख ≥ 50 लाख)।
नियम 3 : पहले पूर्णांकन करके अनुमान — हर संख्या को आसान मान में पूर्णांकित करें, फिर जोड़, घटाव या गुणा करें।
- आसान : 4,980 + 3,020 ≈ 5,000 + 3,000 = 8,000।
- मध्यम : 49,800 × 20 ≈ 50,000 × 20 = 10,00,000।
- परीक्षा-प्रकार : 1,950 लोग, बस में 48 सीट : 2,000 ÷ 50 = 40 बसें (अनुमान)।
बढ़ाना है या नहीं, यह केवल पहला छूटने वाला अंक तय करता है।
4 छोटा है इसलिए 2,49,500 को 2,00,000 करना। हज़ार का अंक 9 और अगला 5 है, इसलिए बढ़ाएँ।
पहले पूर्णांकन, फिर गणना : आसान संख्याओं से उत्तर जल्दी मिलता है। याद रखने की युक्ति : "पाँच या अधिक – एक बढ़ाओ; चार या कम – जैसा है वैसा रखो।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | सटीक मान | सन्निकट मान |
|---|---|---|
| उदाहरण | 48,372 | लगभग 48,000 |
| उपयोग | बिल, अंक, गिनती | ख़बरें, त्वरित अनुमान |
अभ्यास के प्रश्न
- 15,683 को निकटतम दहाई तक पूर्णांकित कीजिए।
- 274,238 को निकटतम हज़ार तक पूर्णांकित कीजिए।
- 3सन्निकट मान कौन-सा है : "ठीक 4,325 सीटें" या "लगभग 4,300 सीटें"?
- 48,46,725 को निकटतम लाख तक पूर्णांकित कीजिए।
- 53,49,99,999 को निकटतम करोड़ तक पूर्णांकित कीजिए।
- 69,870 + 6,140 का अनुमान हर संख्या को निकटतम हज़ार तक पूर्णांकित करके निकालिए।
- 7निकटतम सैकड़े तक पूर्णांकन करने पर संख्या 7,300 आती है। वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या कौन-सी हो सकती है?
- 84,950 × 38 का अनुमान पूर्णांकन करके निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 15,680
- 274,000
- 3"लगभग 4,300 सीटें"
- 48,00,000
- 53,00,00,000 (49,99,999 < 50,00,000)
- 616,000 (10,000 + 6,000)
- 77,250 (7,250 का पूर्णांकन 7,300)
- 85,000 × 40 = 2,00,000
गुणा के शॉर्टकट और बड़ी गणनाएँ
एक स्कूल 48 कक्षाओं के लिए हर कक्षा को 25 कॉपियाँ ख़रीदता है। लंबे गुणा की जगह हम तेज़ तरकीब इस्तेमाल कर सकते हैं।
पूर्ण संख्या को 10, 100, 1000 से गुणा करने पर 1, 2, 3 शून्य बढ़ते हैं। साथ ही 5 = 10 ÷ 2, 25 = 100 ÷ 4, 125 = 1000 ÷ 8, इसलिए इनसे गुणा करना यानी : पहले भाग दें, फिर शून्य लगाएँ।
आकृति में : 48 × 25 : 48 को 4 से भाग देकर 12, फिर 100 से गुणा करके 1,200।
नियम 1 : 10, 100, 1000 से गुणा — 10, 100 या 1000 में जितने शून्य हों उतने दाईं ओर लगाएँ।
- आसान : 47 × 100 = 4,700।
- मध्यम : 305 × 1,000 = 3,05,000।
- परीक्षा-प्रकार : 12,50,000 × 10 = 1,25,00,000।
नियम 2 : 5, 25, 125 के शॉर्टकट — n × 5 = (n ÷ 2) × 10; n × 25 = (n ÷ 4) × 100; n × 125 = (n ÷ 8) × 1000।
- आसान : 64 × 5 = 32 × 10 = 320।
- मध्यम : 84 × 25 = 21 × 100 = 2,100।
- परीक्षा-प्रकार : 96 × 125 = 12 × 1000 = 12,000।
नियम 3 : बड़ी गणनाएँ चरणों में — प्रश्न को आसान चरणों में बाँटें और शून्यों से उसे छोटा करें।
- आसान : 200 × 15 = 2 × 15 × 100 = 3,000।
- मध्यम : रोज़ 600 km, 30 दिन = 6 × 3 × 1000 = 18,000 km।
- परीक्षा-प्रकार : बस रोज़ 400 km चलती है। 3,84,400 km के लिए दिन : 3,84,400 ÷ 400 = 961।
शून्य लगाने की विधि पूर्ण संख्याओं के लिए है; दशमलव अगले अध्याय में।
25 × 40 : 25 × 4 = 100 करके एक शून्य भूल जाना। उत्तर 1,000 है।
5 → आधा और एक शून्य; 25 → चौथाई और दो शून्य; 125 → आठवाँ भाग और तीन शून्य। याद रखने की युक्ति : जोड़ियाँ : 5-2, 25-4, 125-8 (2, 4, 8 दुगुने होते जाते हैं)।
अंतर पहचानें
| गुणा | पहले भाग दें | फिर लगाएँ |
|---|---|---|
| 5 | 2 | 1 शून्य |
| 25 | 4 | 2 शून्य |
| 125 | 8 | 3 शून्य |
अभ्यास के प्रश्न
- 190 × 1,000 ज्ञात कीजिए।
- 25 = 10 ÷ 2 का उपयोग करके 46 × 5 ज्ञात कीजिए।
- 336 × 25 जल्दी से ज्ञात कीजिए।
- 488 × 125 ज्ञात कीजिए।
- 524 × 250 ज्ञात कीजिए।
- 6एक नल रोज़ 25 L टपकता है। 400 दिनों में कितने लीटर टपकेगा?
- 7एक वाहन रोज़ 250 km चलता है। 1 लाख km कितने दिनों में पूरे होंगे?
- 8दिखाइए कि 5,000 × 2,000 = 1 करोड़।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 190,000
- 2230
- 3900
- 411,000
- 56,000
- 610,000 L
- 7400 दिन
- 85 × 2 = 10 और 3 + 3 = 6 शून्य, इसलिए 10 के आगे 6 शून्य = 1,00,00,000 = 1 करोड़