तीन भुजाओं से त्रिभुज बनाना
बढ़ई 4, 5 और 6 फुट की तीन लकड़ियाँ जोड़ता है; कोने पक्के रहते हैं और ढाँचा हिलता नहीं।
त्रिभुज में 3 भुजाएँ, 3 शीर्ष और 3 कोण होते हैं। तीन भुजाएँ दी हों तो एक भुजा आधार बनाकर उसके सिरों से बाक़ी दो लंबाइयों के दो चाप खींचें; वे तीसरे शीर्ष पर कटते हैं।
आकृति में : आधार AB = 6 cm; A से 4 cm और B से 5 cm के चाप C पर मिलते हैं।
नियम 1 : परकार और पटरी से चरण — आधार खींचें, परकार को एक भुजा की लंबाई पर रखें, एक सिरे से चाप, फिर दूसरे सिरे से।
- आसान : भुजाएँ 4, 5, 6 : आधार 6 cm।
- मध्यम : C को A और B से मिलाएँ।
- परीक्षा-प्रकार : भुजाएँ फिर नापकर जाँचें।
नियम 2 : समबाहु त्रिभुज — तीनों भुजाएँ बराबर, इसलिए दोनों चापों में परकार का वही खुलाव; हर कोण 60°।
- आसान : भुजा 5 cm : दोनों सिरों से 5 cm के चाप।
- मध्यम : परिमाप = 3 × 5 = 15 cm।
- परीक्षा-प्रकार : परिमाप 30 cm → भुजा 10 cm।
नियम 3 : परिमाप — परिमाप = तीनों भुजाओं का योग।
- आसान : 4 + 5 + 6 = 15 cm।
- मध्यम : समद्विबाहु 7, 7, 6 : 20 cm।
- परीक्षा-प्रकार : परिमाप 20, बराबर भुजाएँ 7-7 → आधार 6।
दोनों चाप तीसरे शीर्ष पर कटते हैं; उसे दोनों सिरों से मिलाएँ।
समबाहु त्रिभुज के दो चापों के बीच परकार का खुलाव बदल देना।
सबसे लंबी भुजा को आधार बनाएँ ताकि चाप साफ़ कटें। याद रखने की युक्ति : "पहले आधार, फिर चाप, अंत में जोड़ना।"
अंतर पहचानें
| त्रिभुज | भुजाएँ | परकार खुलाव |
|---|---|---|
| समबाहु | 5, 5, 5 | दोनों चाप समान |
| विषमबाहु | 4, 5, 6 | हर चाप अलग |
अभ्यास के प्रश्न
- 1त्रिभुज के कितने शीर्ष होते हैं?
- 25, 6, 7 cm भुजाओं वाले त्रिभुज का परिमाप निकालिए।
- 3समबाहु त्रिभुज का हर कोण कितना?
- 4समबाहु त्रिभुज का परिमाप 27 cm है। भुजा ज्ञात कीजिए।
- 5समद्विबाहु त्रिभुज : बराबर भुजाएँ 9 cm, परिमाप 25 cm। आधार ज्ञात कीजिए।
- 6चाप कौन-सा उपकरण खींचता है?
- 7भुजाएँ 6, 8, 10 cm : आधार कौन-सी लें?
- 8भुजाओं x, x और 4 वाले त्रिभुज का परिमाप 18 है। x ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13
- 218 cm
- 360°
- 49 cm
- 57 cm
- 6परकार
- 710 cm (सबसे लंबी)
- 87
त्रिभुज असमिका
2 और 3 फुट की लकड़ियाँ 6 फुट की दूरी नहीं पाट सकतीं; 3 और 4 की लकड़ियाँ 5 फुट की दूरी पाट लेती हैं।
तीन लंबाइयों से त्रिभुज तभी बनता है जब किन्हीं दो का योग तीसरी से बड़ा हो। यह त्रिभुज असमिका है। दो छोटी भुजाओं का योग सबसे बड़ी से अधिक है या नहीं, इतना देखना काफ़ी है।
आकृति में : 3 और 4 की पट्टियाँ 5 से आगे पहुँचती हैं (त्रिभुज); 2 और 3 की 6 तक नहीं पहुँचतीं (त्रिभुज नहीं)।
त्रिभुज असमिका
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : तीन लंबाइयाँ जाँचें — दो छोटी लंबाइयाँ जोड़ें; सबसे बड़ी से तुलना करें।
- आसान : 3, 4, 5 : 3 + 4 = 7 > 5 → त्रिभुज।
- मध्यम : 2, 3, 6 : 2 + 3 = 5 < 6 → त्रिभुज नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 5, 5, 10 : 5 + 5 = 10, बड़ा नहीं → सीधी रेखा, त्रिभुज नहीं।
नियम 2 : तीसरी भुजा की सीमा — तीसरी भुजा बाक़ी दो के अंतर से अधिक और योग से कम।
- आसान : भुजाएँ 4 और 9 : तीसरी 5 और 13 के बीच।
- मध्यम : पूर्ण संख्या विकल्प : 6, 7, …, 12।
- परीक्षा-प्रकार : भुजाएँ 7 और 7 : तीसरी 0 और 14 के बीच।
नियम 3 : ऐसा क्यों होता है — दो बिंदुओं के बीच सीधा रास्ता सबसे छोटा होता है, इसलिए एक भुजा बाक़ी दो के योग से छोटी होती है।
- आसान : A से C सीधे जाना A-B-C से कम।
- मध्यम : इसलिए AC < AB + BC।
- परीक्षा-प्रकार : बराबर हो तो तीनों बिंदु एक रेखा में।
केवल दो छोटी भुजाओं को सबसे बड़ी से बड़ा होना है।
5 + 5 = 10 होने से 5, 5, 10 का त्रिभुज मान लेना। योग बड़ा चाहिए, बराबर नहीं।
पहले लंबाइयाँ क्रम से लगाएँ, फिर दो छोटी जोड़ें। याद रखने की युक्ति : "दो छोटी को बड़ी से जीतना है।"
अंतर पहचानें
| लंबाइयाँ | दो छोटी | त्रिभुज? |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 7 > 5 | हाँ |
| 2, 3, 6 | 5 < 6 | नहीं |
| 5, 5, 10 | 10 = 10 | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या 3, 4, 5 त्रिभुज की भुजाएँ हो सकती हैं?
- 2क्या 2, 3, 6 से त्रिभुज बनेगा?
- 3क्या 7, 8, 9 से त्रिभुज बनेगा?
- 4भुजाएँ 4 और 9 : तीसरी भुजा किन संख्याओं के बीच?
- 5क्या 5, 5, 10 से त्रिभुज बनेगा?
- 6दो भुजाएँ 6 और 8 हों तो तीसरी भुजा कितनी पूर्ण-संख्या लंबाइयाँ ले सकती है?
- 7त्रिभुज की भुजाएँ 8, 8 और x हैं। x की सीमा दीजिए।
- 810, 15, 30 के लिए त्रिभुज बनने को 10 कितना बढ़ाएँ (सबसे छोटी पूर्ण संख्या)?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ
- 2नहीं
- 3हाँ
- 45 और 13 के बीच
- 5नहीं
- 611 (3, 4, …, 13)
- 70 < x < 16
- 86 (16 + 15 = 31 > 30)
भुजाओं और कोणों से रचना
छत की कड़ी के लिए राजमिस्त्री को दो बल्लियों की लंबाई और उनके बीच का कोण पता होता है, और वही एक त्रिभुज तय हो जाता है।
दो भुजाएँ और बीच का कोण (SAS) या दो कोण और बीच की भुजा (ASA) से त्रिभुज तय हो जाता है। ASA में तीसरा कोण 180° में से दो कोण घटाकर मिलता है। कोण चाँदे से बनाएँ।
आकृति में : 6 cm और 5 cm भुजाएँ, बीच में 50° : आधार, 50° चिह्न, 5 cm काटें, मिलाएँ।
नियम 1 : SAS रचना — एक भुजा खींचें, एक सिरे पर दिया कोण बनाएँ, उस बाँह पर दूसरी भुजा नापें, फिर मिलाएँ।
- आसान : 6 cm, 5 cm और बीच में 50°।
- मध्यम : तीसरी भुजा सिरे मिलाने से मिलती है।
- परीक्षा-प्रकार : सही सिरे पर चाँदा रखें।
नियम 2 : ASA रचना — भुजा खींचें, हर सिरे पर एक कोण बनाएँ; किरणें तीसरे शीर्ष पर मिलती हैं।
- आसान : आधार 7 cm, कोण 40° और 60°।
- मध्यम : तीसरा कोण = 180° – 40° – 60° = 80°।
- परीक्षा-प्रकार : कोण 70° और 50° → तीसरा 60°।
नियम 3 : कोण बहुत बड़े हों तो — दो कोणों का योग 180° से कम होना चाहिए, वरना किरणें नहीं मिलतीं।
- आसान : 100° + 70° = 170° < 180° : संभव।
- मध्यम : 110° + 80° = 190° : असंभव।
- परीक्षा-प्रकार : 90° + 90° = 180° : किरणें समांतर, त्रिभुज नहीं।
SAS का कोण दी गई दो भुजाओं के बीच में होता है।
कोण ग़लत कोने पर बनाना। वह वहाँ हो जहाँ दो दी गई भुजाएँ मिलती हैं।
चाँदे का शून्य ठीक सिरे पर रखें। याद रखने की युक्ति : "भुजा-कोण-भुजा : कोण बीच में सैंडविच।"
अंतर पहचानें
| प्रकार | दिया | तीसरा |
|---|---|---|
| SSS | 3 भुजाएँ | नापकर 3 कोण |
| SAS | 2 भुजाएँ + बीच का कोण | सिरे मिलाएँ |
| ASA | 2 कोण + बीच की भुजा | 180° – योग |
अभ्यास के प्रश्न
- 1SAS में कोण कहाँ होता है?
- 2कोण 40° और 60° दिए हैं। तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।
- 3कोण किस उपकरण से नापते हैं?
- 4कोण 70° और 50° दिए हैं। तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।
- 5क्या त्रिभुज के कोण 110° और 80° हो सकते हैं?
- 6दो कोण 35° और 45° तथा बीच की भुजा 8 cm। कौन-सा प्रकार?
- 7त्रिभुज के दो कोण बराबर और तीसरा 40° है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
- 890° और 90° कोण तथा बीच की भुजा : क्या संभव है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1दो भुजाओं के बीच
- 280°
- 3चाँदा
- 460°
- 5नहीं : योग 190°
- 6ASA
- 770°-70°
- 8नहीं : किरणें समांतर
त्रिभुज के शीर्षलंब
साहुल छत की चोटी से सीधी ज़मीन तक लटकती है: वह छत की ऊँचाई दिखाती है।
शीर्षलंब शीर्ष से सामने की भुजा (या उसके बढ़ाव) पर डाला गया लंब है। उसकी लंबाई ऊँचाई है। हर त्रिभुज के 3 शीर्षलंब होते हैं और वे एक उभयनिष्ठ बिंदु से गुज़रते हैं।
आकृति में : न्यूनकोण त्रिभुज : शीर्षलंब भीतर। अधिककोण त्रिभुज : शीर्षलंब बाहर, बढ़ाए आधार पर।
नियम 1 : शीर्षलंब खींचना — आधार पर सेट-स्क्वेयर रखें, समकोण वाला किनारा शीर्ष को छूने तक खिसकाएँ, फिर रेखा खींचें।
- आसान : शीर्ष और सामने का आधार चुनें।
- मध्यम : पाद पर समकोण दिखाएँ।
- परीक्षा-प्रकार : बाक़ी दो शीर्षों के लिए दोहराएँ।
नियम 2 : ऊँचाई और क्षेत्रफल — क्षेत्रफल = आधा × आधार × ऊँचाई, ऊँचाई उस आधार का शीर्षलंब।
- आसान : आधार 10, ऊँचाई 6 : क्षेत्रफल 30।
- मध्यम : आधार 8, ऊँचाई 5 : क्षेत्रफल 20।
- परीक्षा-प्रकार : क्षेत्रफल 36, आधार 9 → ऊँचाई 8।
नियम 3 : शीर्षलंब कहाँ होते हैं — न्यूनकोण : सब भीतर। समकोण : दो वे भुजाएँ जो समकोण बनाती हैं। अधिककोण : दो बाहर।
- आसान : समबाहु : तीनों भीतर।
- मध्यम : समकोण त्रिभुज : समकोण बनाने वाली भुजाएँ शीर्षलंब।
- परीक्षा-प्रकार : अधिककोण : आधार बढ़ाकर शीर्षलंब खींचें।
शीर्षलंब भुजा पर लंब होता है; माध्यिका मध्य बिंदु तक जाती है।
तिरछी भुजा को ऊँचाई मान लेना। ऊँचाई सदा लंब दूरी है।
पाद पर छोटा वर्ग बनाएँ ताकि 90° याद रहे। याद रखने की युक्ति : "शीर्षलंब = सदा 90°।"
अंतर पहचानें
| रेखा | कहाँ जाती है | कोण |
|---|---|---|
| शीर्षलंब | सामने की भुजा (लंब) | 90° |
| माध्यिका | सामने की भुजा का मध्य बिंदु | कोई भी |
अभ्यास के प्रश्न
- 1शीर्षलंब और उसके आधार के बीच का कोण कितना?
- 2त्रिभुज के कितने शीर्षलंब?
- 3आधार 10, ऊँचाई 6 : क्षेत्रफल निकालिए।
- 4क्षेत्रफल 36, आधार 9 : ऊँचाई निकालिए।
- 5समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6 और 8; एक शीर्षलंब 6। उसका आधार कौन-सा?
- 6अधिककोण त्रिभुज में शीर्षलंब कहाँ पड़ सकता है?
- 7समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6 और 8 : क्षेत्रफल?
- 8क्षेत्रफल 60 और ऊँचाई 10 : आधार निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 190°
- 23
- 330
- 48
- 58 लंबाई वाली भुजा
- 6बाहर, बढ़े आधार पर
- 724
- 812
त्रिभुजों के प्रकार और कोणों का योग
तंबू का सिरा, सेट-स्क्वेयर और पिज़्ज़ा का टुकड़ा सब त्रिभुज हैं, पर भुजाओं और कोणों में अलग।
भुजाओं से : समबाहु (3 बराबर), समद्विबाहु (2 बराबर), विषमबाहु (कोई बराबर नहीं)। कोणों से : न्यूनकोण (सब 90° से छोटे), समकोण (एक 90°), अधिककोण (एक 90° से बड़ा)। किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180°।
आकृति में : समबाहु, समद्विबाहु और विषमबाहु त्रिभुज।
त्रिभुजों के प्रकार और कोणों का योग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : भुजाओं से नाम — कितनी भुजाएँ बराबर हैं गिनें।
- आसान : 5, 5, 5 → समबाहु।
- मध्यम : 6, 6, 4 → समद्विबाहु।
- परीक्षा-प्रकार : 3, 4, 5 → विषमबाहु।
नियम 2 : कोणों से नाम — सबसे बड़ा कोण देखें।
- आसान : 60°, 70°, 50° → न्यूनकोण।
- मध्यम : 90°, 50°, 40° → समकोण।
- परीक्षा-प्रकार : 110°, 40°, 30° → अधिककोण।
नियम 3 : कोण योग 180° — तीसरा कोण = 180° घटा बाक़ी दो।
- आसान : 50° + 60° → तीसरा 70°।
- मध्यम : समकोण त्रिभुज और 35° → दूसरा न्यूनकोण 55°।
- परीक्षा-प्रकार : समद्विबाहु, शीर्ष कोण 40° → आधार कोण 70°-70°।
समबाहु समद्विबाहु भी है, पर उलटा नहीं।
100° कोण वाले त्रिभुज को "न्यूनकोण" कहना। 90° से बड़ा कोण यानी अधिककोण।
त्रिभुज में केवल एक समकोण या अधिककोण हो सकता है। याद रखने की युक्ति : "भुजा : 3-2-0 बराबर; कोण : सबसे बड़ा तय करता है।"
अंतर पहचानें
| नाम | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| समबाहु | 3 बराबर भुजाएँ | 5, 5, 5 |
| समद्विबाहु | 2 बराबर भुजाएँ | 6, 6, 4 |
| विषमबाहु | कोई बराबर नहीं | 3, 4, 5 |
अभ्यास के प्रश्न
- 15, 5, 5 भुजाओं वाले त्रिभुज का नाम?
- 2त्रिभुज के तीन कोणों का योग?
- 390°, 50°, 40° कोणों वाले त्रिभुज का नाम?
- 4दो कोण 50° और 60°। तीसरा ज्ञात कीजिए।
- 5समद्विबाहु त्रिभुज, शीर्ष कोण 40° : आधार कोण ज्ञात कीजिए।
- 6समकोण त्रिभुज का एक कोण 35° है। दूसरा न्यूनकोण ज्ञात कीजिए।
- 7कोण x, 2x और 3x हैं। x ज्ञात कीजिए।
- 8क्या त्रिभुज में दो समकोण हो सकते हैं? क्यों?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1समबाहु
- 2180°
- 3समकोण
- 470°
- 570°
- 655°
- 730°
- 8नहीं : 90° + 90° = 180°, तीसरे कोण के लिए कुछ नहीं बचता