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CBSE · कक्षा 7 · गणित

अध्याय 8: भिन्नों के साथ कार्य

5 अवधारणाएँ · उत्तर सहित 40 अभ्यास प्रश्न · पढ़ना मुफ़्त

यह पाठ इन भाषाओं में भी: मराठी · English

भिन्न × पूर्ण संख्या

रोज़मर्रा के जीवन से

एक गिलास के लिए 3/4 कप दूध चाहिए। 5 गिलासों के लिए 5 × 3/4 कप।

सरल परिभाषा

भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करना बार-बार जोड़ना है : अंश को पूर्ण संख्या से गुणा करें और हर वही रखें। "का" शब्द का अर्थ भी गुणा है।

½½½½½½3 ÷ ½ = 63 पूर्णों में 6 आधे

आकृति में : तीन पूर्ण आधे करने पर छह आधे; बार-बार जोड़ना यही दिखाता है।

नियम 1 : बार-बार जोड़ना — 3 × (1/4) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4।

  • आसान : 4 × 2/9 = 8/9।
  • मध्यम : 5 × 3/4 = 15/4 = 3 3/4।
  • परीक्षा-प्रकार : 7 × 5/6 = 35/6 = 5 5/6।

नियम 2 : पहले काटें — पूर्ण संख्या और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो गुणा से पहले काटें।

  • आसान : 3/4 × 8 = 3 × 2 = 6।
  • मध्यम : 5/6 × 12 = 5 × 2 = 10।
  • परीक्षा-प्रकार : 7/15 × 45 = 7 × 3 = 21।

नियम 3 : राशि का भिन्न — हर से भाग दें, फिर अंश से गुणा करें।

  • आसान : 12 का 1/3 = 4।
  • मध्यम : 18 का 2/3 = 6 × 2 = 12।
  • परीक्षा-प्रकार : ₹60 का 3/4 = 15 × 3 = ₹45।
याद रखें

अनुचित भिन्न को मिश्र संख्या में अंत में बदलें।

सामान्य गलती

हर को भी गुणा करना : 3/4 × 8 = 24/32 नहीं; यह 24/4 = 6 है।

शॉर्टकट

पूर्ण संख्या ÷ हर पहले करने से संख्याएँ छोटी होती हैं। याद रखने की युक्ति : "संख्या ऊपर, हर वही।"

अंतर पहचानें

चरणधीमा तरीक़ातेज़ तरीक़ा
3/4 × 824/4 = 63 × 2 = 6
2/5 × 1020/5 = 42 × 2 = 4

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 14 × 2/9 निकालिए।
  2. 212 का 1/3 निकालिए।
  3. 33/4 × 8 निकालिए।
मध्यम
  1. 45 × 3/4 मिश्र संख्या में निकालिए।
  2. 518 का 2/3 निकालिए।
  3. 65/6 × 12 निकालिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 7कपड़ा ₹60 प्रति मीटर। 3/4 m की क़ीमत निकालिए।
  2. 87/15 × 45 निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 18/9
  2. 24
  3. 36
  4. 43 3/4
  5. 512
  6. 610
  7. 7₹45
  8. 821
Live आकृति

भिन्न × पूर्ण संख्या

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

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भिन्न × भिन्न

रोज़मर्रा के जीवन से

चॉकलेट के एक तिहाई का आधा पूरी पट्टी का छठा भाग है।

सरल परिभाषा

भिन्नों को गुणा करने के लिए अंश × अंश और हर × हर करें, फिर सरल करें : a/b × c/d = (a × c)/(b × d)। दो उचित भिन्नों का गुणनफल हर एक से छोटा होता है।

1/2 × 1/3= 1/6लाल = 6 में से 1 खाना

आकृति में : एक तिहाई का आधा : लाल खाना 6 में 1, इसलिए 1/2 × 1/3 = 1/6।

नियम 1 : आड़े गुणा — ऊपर × ऊपर बटा नीचे × नीचे।

  • आसान : 1/2 × 1/3 = 1/6।
  • मध्यम : 2/5 × 3/7 = 6/35।
  • परीक्षा-प्रकार : 3/4 × 5/9 = 15/36 = 5/12।

नियम 2 : तिरछा काटना — गुणा से पहले एक अंश को दूसरे हर से काटें।

  • आसान : 2/3 × 3/4 = 1/2।
  • मध्यम : 4/9 × 3/8 = 1/6।
  • परीक्षा-प्रकार : 5/6 × 12/25 = 2/5।

नियम 3 : आयत का क्षेत्रफल — क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, दोनों भिन्न हों तब भी।

  • आसान : 3/4 m × 2/3 m → 1/2 m²।
  • मध्यम : 1/2 m × 1/2 m → 1/4 m²।
  • परीक्षा-प्रकार : 5/4 m × 4/5 m → 1 m²।
याद रखें

गुणा के लिए समान हर नहीं चाहिए।

सामान्य गलती

हर जोड़ना : 1/2 × 1/3 = 1/5 नहीं; यह 1/6 है।

शॉर्टकट

बड़ी संख्याओं से बचने को तिरछा काटें। याद रखने की युक्ति : "आड़े गुणा, काटो; समान हर नहीं चाहिए।"

अंतर पहचानें

संक्रियासमान हर?उदाहरण
जोड़ / घटावहाँ1/2 + 1/3 = 5/6
गुणानहीं1/2 × 1/3 = 1/6

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 11/2 × 1/3 निकालिए।
  2. 22/5 × 3/7 निकालिए।
  3. 32/3 × 3/4 निकालिए।
मध्यम
  1. 43/4 × 5/9 निकालिए।
  2. 51/2 m भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल निकालिए।
  3. 64/9 × 3/8 निकालिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 73/4 m × 2/3 m आयत का क्षेत्रफल निकालिए।
  2. 85/6 × 12/25 निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 11/6
  2. 26/35
  3. 31/2
  4. 45/12
  5. 51/4 m²
  6. 61/6
  7. 71/2 m²
  8. 82/5

व्युत्क्रम और पूर्ण संख्या का भाग

रोज़मर्रा के जीवन से

3 L पानी से आधे लीटर की कितनी बोतलें भरेंगी? 3 ÷ 1/2 = 6 बोतलें।

सरल परिभाषा

भिन्न का व्युत्क्रम उसे उलटने से मिलता है : a/b का व्युत्क्रम b/a। संख्या × उसका व्युत्क्रम = 1। भिन्न से भाग देना यानी उसके व्युत्क्रम से गुणा।

23⇄32× = 12/3 × 3/2 = 1

आकृति में : 2/3 को उलटने पर 3/2; गुणनफल 1।

½½½½½½3 ÷ ½ = 63 पूर्णों में 6 आधे

आकृति में : आधे गिनना : 3 पूर्णों में 6 आधे, इसलिए 3 ÷ 1/2 = 6।

नियम 1 : व्युत्क्रम खोजें — अंश और हर बदलें; पूर्ण संख्या n यानी n/1, उसका व्युत्क्रम 1/n।

  • आसान : 3/5 → 5/3।
  • मध्यम : 7 → 1/7।
  • परीक्षा-प्रकार : 2 1/2 = 5/2 → 2/5।

नियम 2 : पूर्ण संख्या ÷ भिन्न — पूर्ण संख्या को व्युत्क्रम से गुणा करें।

  • आसान : 3 ÷ 1/2 = 3 × 2 = 6।
  • मध्यम : 8 ÷ 2/3 = 8 × 3/2 = 12।
  • परीक्षा-प्रकार : 15 ÷ 5/6 = 15 × 6/5 = 18।

नियम 3 : भिन्न ÷ पूर्ण संख्या — हर को पूर्ण संख्या से गुणा करें।

  • आसान : 1/2 ÷ 3 = 1/6।
  • मध्यम : 3/4 ÷ 6 = 3/24 = 1/8।
  • परीक्षा-प्रकार : 4/5 ÷ 2 = 4/10 = 2/5।
याद रखें

1 से छोटी संख्या से भाग देने पर उत्तर बड़ा होता है।

सामान्य गलती

भाज्य को उलटना; उलटना भाजक को है : 3 ÷ 1/2 ≠ 1/3 ÷ 1/2।

शॉर्टकट

"3 में कितने आधे समाते हैं?" पूछकर जाँचें। याद रखने की युक्ति : "रखो, बदलो, पलटो" : पहला वैसा, ÷ को ×, दूसरा उलटा।

अंतर पहचानें

भागऐसे लिखेंउत्तर
3 ÷ 1/23 × 26
8 ÷ 2/38 × 3/212
1/2 ÷ 31/2 × 1/31/6

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 13/5 का व्युत्क्रम लिखिए।
  2. 23 ÷ 1/2 निकालिए।
  3. 37 का व्युत्क्रम लिखिए।
मध्यम
  1. 48 ÷ 2/3 निकालिए।
  2. 51/2 ÷ 3 निकालिए।
  3. 615 ÷ 5/6 निकालिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 75 किलो चीनी से 1/4 किलो के कितने पैकेट बनेंगे?
  2. 83/4 ÷ 6 निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 15/3
  2. 26
  3. 31/7
  4. 412
  5. 51/6
  6. 618
  7. 720
  8. 81/8

भिन्नों का भाग

रोज़मर्रा के जीवन से

3/4 m फीता 1/8 m के टुकड़ों में काटा। कितने टुकड़े? 3/4 ÷ 1/8 = 6।

सरल परिभाषा

भिन्न से भाग देने के लिए उसके व्युत्क्रम से गुणा करें : a/b ÷ c/d = a/b × d/c। मिश्र संख्याओं को पहले अनुचित भिन्न बनाएँ।

3/4 ÷ 1/4 = 3तीन चौथाइयों में कितनी चौथाइयाँ

आकृति में : तीन चौथाइयों में एक चौथाई के तीन टुकड़े : 3/4 ÷ 1/4 = 3।

नियम 1 : रखो, बदलो, पलटो — पहली भिन्न वैसी, ÷ को ×, दूसरी उलटी।

  • आसान : 3/4 ÷ 1/4 = 3/4 × 4 = 3।
  • मध्यम : 2/3 ÷ 4/9 = 2/3 × 9/4 = 3/2।
  • परीक्षा-प्रकार : 5/6 ÷ 5/12 = 5/6 × 12/5 = 2।

नियम 2 : मिश्र संख्याएँ — पहले अनुचित भिन्न बनाएँ, फिर भाग दें।

  • आसान : 1 1/2 ÷ 3/4 = 3/2 × 4/3 = 2।
  • मध्यम : 2 1/4 ÷ 3/8 = 9/4 × 8/3 = 6।
  • परीक्षा-प्रकार : 3 ÷ 1 1/2 = 3 × 2/3 = 2।

नियम 3 : वापस गुणा करके जाँचें — भागफल × भाजक = भाज्य।

  • आसान : 3/2 × 4/9 = 2/3 ✓।
  • मध्यम : 6 × 3/8 = 9/4 ✓।
  • परीक्षा-प्रकार : 2 × 3/4 = 3/2 ✓।
याद रखें

केवल भाजक (÷ के बाद की संख्या) उलटें।

सामान्य गलती

दोनों भिन्न उलटना। केवल दूसरी उलटती है।

शॉर्टकट

उलटने के बाद, गुणा से पहले काटें। याद रखने की युक्ति : "रखो, बदलो, पलटो।"

अंतर पहचानें

प्रकारविधिउदाहरण
भिन्न ÷ भिन्नव्युत्क्रम से गुणा3/4 ÷ 1/4 = 3
मिश्र ÷ भिन्नपहले अनुचित1 1/2 ÷ 3/4 = 2

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 13/4 ÷ 1/4 निकालिए।
  2. 25/6 ÷ 5/12 निकालिए।
  3. 31/2 ÷ 1/8 निकालिए।
मध्यम
  1. 42/3 ÷ 4/9 निकालिए।
  2. 51 1/2 ÷ 3/4 निकालिए।
  3. 63/4 m फीता 1/8 m के टुकड़ों में। कितने टुकड़े?
चुनौतीपूर्ण
  1. 72 1/4 ÷ 3/8 निकालिए।
  2. 83 ÷ 1 1/2 निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 13
  2. 22
  3. 34
  4. 43/2
  5. 52
  6. 66
  7. 76
  8. 82

भिन्नों के शब्द-प्रश्न

रोज़मर्रा के जीवन से

केक बाँटना, कपड़ा काटना, टंकी भरना : असली कामों में "का", "कितने" और "कितना भाग" भिन्नों के साथ आते हैं।

सरल परिभाषा

प्रश्न पढ़ें, संक्रिया तय करें ("का" → ×, "कितने टुकड़े" → ÷, "कुल" → +, "बचा" → –), फिर गणना करें। क्रम : कोष्ठक, फिर × और ÷, फिर + और –।

3/4 m ÷ 1/8 m = 66 टुकड़े

आकृति में : 3/4 m फीते के 1/8 m के 6 टुकड़े।

नियम 1 : बचे हुए का भिन्न — उपयोग हुआ भाग निकालें, घटाएँ, बचे हुए का अगला भिन्न लें।

  • आसान : ₹80 का 1/4 ख़र्च : ₹20; बचे ₹60।
  • मध्यम : फिर बचे का 1/3 : ₹20; बचे ₹40।
  • परीक्षा-प्रकार : कुल ख़र्च = ₹40, यानी ₹80 का 1/2।

नियम 2 : चाल, समय, दूरी — दूरी = चाल × समय; समय = दूरी ÷ चाल।

  • आसान : 4 km/घंटा, 3/4 घंटा → 3 km।
  • मध्यम : 4 km/घंटा से 6 km → 6/4 = 1 1/2 घंटे।
  • परीक्षा-प्रकार : 2 1/2 km 1/2 घंटे में → 5 km/घंटा।

नियम 3 : संक्रियाओं का क्रम — पहले कोष्ठक, फिर × और ÷ बाएँ से दाएँ, फिर + और –।

  • आसान : 1/2 + 1/3 × 3/4 = 1/2 + 1/4 = 3/4।
  • मध्यम : (1/2 + 1/3) × 6 = 5/6 × 6 = 5।
  • परीक्षा-प्रकार : 3/4 ÷ 3/8 – 1 = 2 – 1 = 1।
याद रखें

हर भिन्न किसका है लिखें ("पूरे का" या "बचे का")।

सामान्य गलती

दूसरा भिन्न मूल राशि का लेना, बचे हुए का नहीं।

शॉर्टकट

हर भिन्न जिस राशि का है उसके नीचे रेखा खींचें। याद रखने की युक्ति : "का यानी गुणा; कितने यानी भाग।"

अंतर पहचानें

शब्दसंक्रियाउदाहरण
का×1/4 of 80
कितने टुकड़े÷3/4 ÷ 1/8
बचा–80 – 20

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1₹80 का 1/4 ख़र्च किया। कितना बचा?
  2. 2लड़का 4 km/घंटा से 3/4 घंटा चलता है। दूरी?
  3. 31/2 + 1/3 × 3/4 निकालिए।
मध्यम
  1. 44 km/घंटा से 6 km चलने में कितना समय?
  2. 5(1/2 + 1/3) × 6 निकालिए।
  3. 6टंकी 2/3 भरी है। उसका 1/4 पानी उपयोग हुआ। अब टंकी का कितना भाग भरा है?
चुनौतीपूर्ण
  1. 7₹80 में से 1/4 ख़र्च, फिर बचे का 1/3। कितना बचा?
  2. 83/4 ÷ 3/8 – 1 निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 1₹60
  2. 23 km
  3. 33/4
  4. 41 1/2 घंटे
  5. 55
  6. 61/2
  7. 7₹40
  8. 81