सर्वांगसम आकृतियाँ
एक ही मूल्य के दो सिक्के, या एक ही साँचे से कटे दो पन्ने, एक पर दूसरा रखने पर ठीक मिलते हैं।
दो आकृतियाँ सर्वांगसम (≅) हैं यदि उनका आकार और माप दोनों समान हों, यानी एक दूसरी पर ठीक बैठे (खिसकाकर, घुमाकर या पलटकर)। सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल और परिमाप बराबर।
आकृति में : दो सर्वांगसम त्रिभुज : समान चिह्न यानी बराबर भुजाएँ।
नियम 1 : एक पर एक रखकर जाँचें — खिसकाने, घुमाने या पलटने के बाद हर भाग मिले तो आकृतियाँ सर्वांगसम।
- आसान : 5 cm त्रिज्या के दो वृत्त सर्वांगसम।
- मध्यम : 4 cm और 5 cm भुजा के वर्ग सर्वांगसम नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 4 × 3 आयत को घुमाने पर 3 × 4: सर्वांगसम।
नियम 2 : सर्वांगसम आकृतियों में क्या समान — समान क्षेत्रफल, परिमाप, संगत भुजाएँ और कोण।
- आसान : एक का क्षेत्रफल 24 तो दूसरे का भी।
- मध्यम : एक का परिमाप 18 cm तो दूसरे का भी।
- परीक्षा-प्रकार : केवल क्षेत्रफल समान होने से आकृतियाँ सर्वांगसम नहीं : 6 × 2 और 4 × 3 दोनों 12।
नियम 3 : समरूप का अर्थ सर्वांगसम नहीं — आकार वही पर माप अलग तो सर्वांगसम नहीं (बड़ा किया हुआ)।
- आसान : फ़ोटो और उसका बड़ा रूप सर्वांगसम नहीं।
- मध्यम : त्रिभुज 3, 4, 5 और 6, 8, 10 सर्वांगसम नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 3, 4 भुजाओं वाले दो समकोण त्रिभुज सर्वांगसम।
सर्वांगसम = जुड़वाँ : आकार और माप दोनों समान।
क्षेत्रफल समान होने से सर्वांगसम कह देना। आकार भी मिलना चाहिए।
एक आकृति ट्रेसिंग पेपर पर उतारकर दूसरी पर खिसकाएँ। याद रखने की युक्ति : "जुड़वाँ जुड़वाँ पर बैठते हैं।"
अंतर पहचानें
| पद | आकार | माप |
|---|---|---|
| सर्वांगसम | समान | समान |
| समरूप | समान | अलग |
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या 5 cm त्रिज्या के दो वृत्त सर्वांगसम हैं?
- 2क्या 4 cm और 5 cm भुजा के वर्ग सर्वांगसम हैं?
- 3दो सर्वांगसम आकृतियाँ : एक का क्षेत्रफल 24। दूसरी का?
- 44 × 3 आयत घुमा दिया। क्या मूल के सर्वांगसम?
- 56 × 2 और 4 × 3 आयतों का क्षेत्रफल समान। सर्वांगसम?
- 6दो सर्वांगसम आकृतियों में एक का परिमाप 18 cm। दूसरी का?
- 7त्रिभुज 3, 4, 5 और 6, 8, 10 : सर्वांगसम?
- 8दो सर्वांगसम वर्गों का परिमाप 20 cm। भुजा?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ
- 2नहीं
- 324
- 4हाँ
- 5नहीं
- 618 cm
- 7नहीं (एक बड़ा रूप)
- 85 cm
त्रिभुजों की सर्वांगसमता : SSS
3, 4, 5 m की कड़ियों से बना त्रिकोणी ढाँचा एक ही आकार का बनता है, इसलिए ऐसे दो ढाँचे एक जैसे होते हैं।
एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे की तीनों भुजाओं के बराबर हों तो त्रिभुज सर्वांगसम। यह SSS नियम है। त्रिभुज दृढ़ होता है : तीन भुजाएँ आकार तय करती हैं।
आकृति में : समान चिह्न (1, 2, 3 रेखाएँ) तीन जोड़ी बराबर भुजाएँ दिखाते हैं।
नियम 1 : तीन जोड़ियाँ जाँचें — दोनों त्रिभुजों की भुजाएँ क्रम से लगाकर तुलना करें।
- आसान : 3, 4, 5 और 5, 3, 4 → भुजाएँ समान → सर्वांगसम।
- मध्यम : 6, 7, 8 और 6, 7, 9 → सर्वांगसम नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 5, 5, 8 और 8, 5, 5 → सर्वांगसम।
नियम 2 : मिलान को नाम से लिखें — △ABC ≅ △PQR ऐसे लिखें यानी A↔P, B↔Q, C↔R।
- आसान : AB = PQ, BC = QR, CA = RP।
- मध्यम : A के सामने की भुजा P के सामने की भुजा से मिलती है।
- परीक्षा-प्रकार : अक्षरों का क्रम महत्त्वपूर्ण।
नियम 3 : केवल कोण समान होना पर्याप्त क्यों नहीं — तीनों कोण समान (AAA) देने पर आकार वही पर माप वही हो, ज़रूरी नहीं।
- आसान : 3 और 6 भुजा के समबाहु त्रिभुजों के कोण 60°।
- मध्यम : वे सर्वांगसम नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : AAA सर्वांगसमता का नियम नहीं।
SSS के लिए तीनों भुजाओं की जोड़ियाँ बराबर चाहिए।
भुजाएँ ग़लत क्रम में मिलाना (3 को 5 से)। पहले दोनों सूचियाँ क्रमबद्ध करें।
तुलना से पहले भुजाएँ छोटी से बड़ी क्रम में लगाएँ। याद रखने की युक्ति : "तीन भुजाएँ, तीन जोड़ियाँ, समान जोड़ियाँ।"
अंतर पहचानें
| नियम | आवश्यक | पर्याप्त? |
|---|---|---|
| SSS | 3 भुजाएँ | हाँ |
| AAA | 3 कोण | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 1त्रिभुज 3, 4, 5 और 5, 3, 4 : सर्वांगसम?
- 2त्रिभुज 6, 7, 8 और 6, 7, 9 : सर्वांगसम?
- 3तीन भुजाओं वाला नियम?
- 4त्रिभुज 5, 5, 8 और 8, 5, 5 : सर्वांगसम?
- 5△ABC ≅ △PQR, AB = 5। कौन-सी भुजा 5?
- 6क्या सब कोण 60° वाले दो समबाहु त्रिभुज सदा सर्वांगसम होते हैं?
- 7त्रिभुज 7, 9, 12 और 9, 12, 7 : सर्वांगसम?
- 8△XYZ ≅ △LMN। Y से कौन-सा शीर्ष मिलता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ (SSS)
- 2नहीं
- 3SSS
- 4हाँ (SSS)
- 5PQ
- 6नहीं : माप अलग हो सकते हैं
- 7हाँ (SSS)
- 8M
सर्वांगसमता कसौटियाँ : SAS, ASA, RHS
दर्ज़ी केवल दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के माप से दो एक जैसे त्रिकोणी टुकड़े काटता है।
त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि दो भुजाएँ और बीच का कोण (SAS), या दो कोण और बीच की भुजा (ASA), या समकोण त्रिभुज में कर्ण और एक भुजा (RHS) बराबर हों। SSA (कोण भुजाओं के बीच न हो) और AAA नहीं चलते।
आकृति में : SSS, SAS, ASA, RHS : त्रिभुज तय करने वाले चार समूह।
सर्वांगसमता कसौटियाँ : SAS, ASA, RHS
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : SAS — दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण।
- आसान : AB = PQ, ∠B = ∠Q, BC = QR → SAS।
- मध्यम : दोनों में भुजाएँ 5, 6 और बीच में 50° → सर्वांगसम।
- परीक्षा-प्रकार : कोण भुजाओं के बीच न हो तो (SSA) पर्याप्त नहीं।
नियम 2 : ASA — दो कोण और उनके बीच की भुजा (तीसरा कोण स्वतः तय)।
- आसान : ∠A = ∠P, AB = PQ, ∠B = ∠Q → ASA।
- मध्यम : कोण 40°, 60° और बीच की भुजा 7 → निश्चित त्रिभुज।
- परीक्षा-प्रकार : दो कोण और बीच में न आने वाली भुजा (AAS) भी चलती है, क्योंकि तीसरा कोण ज्ञात है।
नियम 3 : RHS (समकोण त्रिभुज) — समकोण, कर्ण बराबर और एक भुजा बराबर।
- आसान : दोनों में कर्ण 13 और एक भुजा 5 → सर्वांगसम।
- मध्यम : तब दूसरी भुजा दोनों में 12।
- परीक्षा-प्रकार : केवल समकोण होने पर ही चलता है।
SAS का कोण दो भुजाओं के बीच; ASA की भुजा दो कोणों के बीच।
SSA (दो भुजाएँ और बीच में न आने वाला कोण) का उपयोग। इससे दो अलग त्रिभुज बन सकते हैं।
आकृति पर बराबर भागों को टिक और चाप से दिखाएँ। याद रखने की युक्ति : "SAS सैंडविच, ASA सैंडविच, RHS समकोण।"
अंतर पहचानें
| नियम | दिया | मान्य? |
|---|---|---|
| SAS | भुजा, बीच का कोण, भुजा | हाँ |
| ASA | कोण, बीच की भुजा, कोण | हाँ |
| SSA | दो भुजाएँ, अन्य कोण | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 1AB = PQ, ∠B = ∠Q, BC = QR। कौन-सा नियम?
- 2∠A = ∠P, AB = PQ, ∠B = ∠Q। कौन-सा नियम?
- 3क्या AAA सर्वांगसमता का नियम है?
- 4दोनों में कर्ण 13 और भुजा 5 वाले समकोण त्रिभुज : सर्वांगसम? दूसरी भुजा?
- 5दोनों में भुजाएँ 5, 6 और बीच का कोण 50° : सर्वांगसम?
- 6दो भुजाएँ और बीच में न आने वाला कोण : पर्याप्त?
- 7ASA में कोण 40° और 60°। तीसरा ज्ञात कीजिए।
- 8कोण 40°, 60° और बीच में न आने वाली 7 की भुजा : पर्याप्त?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1SAS
- 2ASA
- 3नहीं
- 4हाँ (RHS); 12
- 5हाँ (SAS)
- 6नहीं (SSA)
- 780°
- 8हाँ (AAS)
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग
कागज़ का त्रिभुज काटकर दो बार उतारिए। पहले की हर भुजा और कोण का दूसरे में बराबर माप का साथी होता है।
△ABC ≅ △PQR हो तो संगत भाग बराबर होते हैं : AB = PQ, BC = QR, CA = RP और ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R। जोड़ी अक्षरों के क्रम से बनती है।
आकृति में : A ↔ P, B ↔ Q, C ↔ R : हर भाग का साथी।
नियम 1 : अक्षरों से मिलान पढ़ें — पहले अक्षर मिलते हैं, दूसरे मिलते हैं, तीसरे मिलते हैं।
- आसान : △ABC ≅ △PQR : AB ↔ PQ।
- मध्यम : △DEF ≅ △XYZ : ∠E ↔ ∠Y।
- परीक्षा-प्रकार : △ABC ≅ △QPR : AB ↔ QP, ∠C ↔ ∠R।
नियम 2 : बराबर भागों से अज्ञात खोजें — ज्ञात मान को संगत भाग पर लिखें।
- आसान : △ABC ≅ △PQR, AB = 7 → PQ = 7।
- मध्यम : ∠C = 65° → ∠R = 65°।
- परीक्षा-प्रकार : △PQR का परिमाप △ABC के परिमाप के बराबर।
नियम 3 : सिद्ध करें फिर निष्कर्ष — पहले नियम से त्रिभुज सर्वांगसम दिखाएँ; फिर बाक़ी भाग बराबर।
- आसान : AB = PQ, BC = QR, CA = RP → SSS से सर्वांगसम।
- मध्यम : इसलिए ∠A = ∠P (संगत कोण)।
- परीक्षा-प्रकार : उभयनिष्ठ भुजा को बराबर जोड़ी मानते हैं।
△ABC ≅ △PQR में अक्षर क्रम मिलान देता है।
AB को QR से मिलाना। पहले से पहला, दूसरे से दूसरा।
दोनों नामों के अक्षरों को रेखांकित करके जोड़ी में पढ़ें। याद रखने की युक्ति : "पहला-पहला, दूसरा-दूसरा।"
अंतर पहचानें
| △ABC ≅ △PQR में | भुजा | कोण |
|---|---|---|
| पहली जोड़ी | AB = PQ | ∠A = ∠P |
| दूसरी जोड़ी | BC = QR | ∠B = ∠Q |
| तीसरी जोड़ी | CA = RP | ∠C = ∠R |
अभ्यास के प्रश्न
- 1△ABC ≅ △PQR हो तो AB से कौन-सी भुजा मिलती है?
- 2△ABC ≅ △PQR, AB = 7। PQ ज्ञात कीजिए।
- 3△ABC ≅ △PQR, ∠C = 65°। ∠R ज्ञात कीजिए।
- 4△DEF ≅ △XYZ। ∠E से कौन-सा कोण मिलता है?
- 5△ABC ≅ △QPR। AB से कौन-सी भुजा?
- 6△ABC का परिमाप 21 cm। सर्वांगसम △PQR का?
- 7△ABC ≅ △PQR, AB = 5, BC = 6, CA = 7। PQ + QR + RP निकालिए।
- 8△ABC ≅ △PQR, ∠A = 50°, ∠B = 60°। ∠R ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1PQ
- 27
- 365°
- 4∠Y
- 5QP
- 621 cm
- 718
- 870°
समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुजों के कोण
बराबर ढलान वाले तंबू के दोनों ओर एक जैसा झुकाव होता है, इसलिए नीचे के दोनों कोने बराबर।
समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सामने के कोण (आधार कोण) बराबर। समबाहु त्रिभुज में तीनों कोण 60°। त्रिभुज को दो सर्वांगसम भागों में बाँटकर यह सिद्ध होता है।
आकृति में : शीर्ष कोण 40°, इसलिए हर आधार कोण (180° – 40°) ÷ 2 = 70°।
नियम 1 : समद्विबाहु : आधार कोण खोजें — आधार कोण = (180° – शीर्ष कोण) ÷ 2।
- आसान : शीर्ष 40° → प्रत्येक 70°।
- मध्यम : शीर्ष 100° → प्रत्येक 40°।
- परीक्षा-प्रकार : शीर्ष 20° → प्रत्येक 80°।
नियम 2 : समद्विबाहु : शीर्ष कोण खोजें — शीर्ष कोण = 180° – 2 × आधार कोण।
- आसान : आधार कोण 50° → शीर्ष 80°।
- मध्यम : आधार कोण 65° → शीर्ष 50°।
- परीक्षा-प्रकार : समकोण समद्विबाहु : आधार कोण 45°-45°।
नियम 3 : समबाहु — सब कोण 60°, क्योंकि 180° ÷ 3 = 60°।
- आसान : हर कोण 60°।
- मध्यम : 60°, 60°, x कोणों वाले त्रिभुज में x = 60°।
- परीक्षा-प्रकार : समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु भी है।
बराबर भुजाओं के सामने बराबर कोण होते हैं।
आधार कोणों के लिए 180° ÷ 2 लगाना। पहले शीर्ष घटाएँ, फिर आधा करें।
अलग कोण को 180° में से घटाएँ, फिर आधा करें। याद रखने की युक्ति : "बराबर भुजा, बराबर कोण; घटाओ, फिर आधा।"
अंतर पहचानें
| त्रिभुज | कोण | उदाहरण |
|---|---|---|
| समबाहु | सब बराबर, 60° | 60, 60, 60 |
| समद्विबाहु | दो बराबर | 70, 70, 40 |
| विषमबाहु | कोई बराबर नहीं | 30, 60, 90 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1समद्विबाहु, शीर्ष 40° : आधार कोण निकालिए।
- 2समद्विबाहु, आधार कोण 50° : शीर्ष कोण निकालिए।
- 3समबाहु त्रिभुज का हर कोण?
- 4समद्विबाहु, शीर्ष 100° : आधार कोण?
- 5समद्विबाहु, आधार कोण 65° : शीर्ष?
- 6समकोण समद्विबाहु : आधार कोण?
- 7समद्विबाहु में शीर्ष कोण आधार कोण का दुगुना है। सब कोण निकालिए।
- 8समद्विबाहु, आधार कोण (2x + 10)° और शीर्ष 40° : x निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 170°
- 280°
- 360°
- 440°
- 550°
- 645°
- 745°, 45°, 90°
- 830