एकरूप आकृत्या
एकाच मूल्याची दोन नाणी, किंवा एकाच साच्यातून कापलेली दोन पाने, एकावर एक ठेवली की तंतोतंत जुळतात.
दोन आकृत्या एकरूप (≅) असतात जर त्यांचा आकार व माप दोन्ही सारखे असतील, म्हणजे एक दुसरीवर अगदी बसते (सरकवून, फिरवून किंवा उलटवून). एकरूप आकृत्यांची क्षेत्रफळे व परिमिती समान.
आकृतीत : दोन एकरूप त्रिकोण : सारख्या खुणा म्हणजे समान बाजू.
नियम 1 : एकावर एक ठेवून तपासा — सरकवणे, फिरवणे वा उलटवणे केल्यावर प्रत्येक भाग जुळल्यास आकृत्या एकरूप.
- सोपे : 5 cm त्रिज्येची दोन वर्तुळे एकरूप.
- मध्यम : 4 cm व 5 cm बाजूचे चौरस एकरूप नाहीत.
- परीक्षेसाठी : 4 × 3 आयत आडवा केला की 3 × 4: एकरूप.
नियम 2 : एकरूप आकृत्यांत काय समान — समान क्षेत्रफळ, परिमिती, संगत बाजू व कोन.
- सोपे : एकाचे क्षेत्रफळ 24 असेल तर दुसऱ्याचेही.
- मध्यम : एकाची परिमिती 18 cm तर दुसऱ्याचीही.
- परीक्षेसाठी : फक्त क्षेत्रफळ समान असून आकृत्या एकरूप ठरत नाहीत : 6 × 2 व 4 × 3 दोन्ही 12.
नियम 3 : समरूप म्हणजे एकरूप नव्हे — आकार सारखा पण माप वेगळे म्हणजे एकरूप नाही (मोठे केलेले).
- सोपे : फोटो व त्याचे मोठे रूप एकरूप नाही.
- मध्यम : त्रिकोण 3, 4, 5 व 6, 8, 10 एकरूप नाहीत.
- परीक्षेसाठी : 3, 4 काटकोन-बाजूंचे दोन काटकोन त्रिकोण एकरूप.
एकरूप = जुळे : आकार व माप दोन्ही सारखे.
क्षेत्रफळ समान म्हणून एकरूप म्हणणे. आकारही जुळावा.
एक आकृती ट्रेसिंग पेपरवर उतरवून दुसरीवर सरकवा. आठवणीची युक्ती : "जुळे जुळ्यांवर बसतात."
फरक ओळखा
| संज्ञा | आकार | माप |
|---|---|---|
| एकरूप | सारखा | सारखे |
| समरूप | सारखा | वेगळे |
सरावासाठी प्रश्न
- 15 cm त्रिज्येची दोन वर्तुळे एकरूप आहेत का?
- 24 cm व 5 cm चौरस एकरूप का?
- 3दोन एकरूप आकृत्या : एकाचे क्षेत्रफळ 24. दुसऱ्याचे?
- 44 × 3 आयत आडवा केला. मूळाशी एकरूप का?
- 56 × 2 व 4 × 3 आयतांचे क्षेत्रफळ समान. एकरूप का?
- 6दोन एकरूप आकृत्यांपैकी एकीची परिमिती 18 cm. दुसरीची?
- 7त्रिकोण 3, 4, 5 व 6, 8, 10 : एकरूप का?
- 8दोन एकरूप चौरसांची परिमिती 20 cm. बाजू?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय
- 2नाही
- 324
- 4होय
- 5नाही
- 618 cm
- 7नाही (एक मोठे रूप)
- 85 cm
त्रिकोणांची एकरूपता : SSS
3, 4, 5 मी च्या तुळयांनी बनवलेला त्रिकोणी चौकट फक्त एकाच आकाराची होते, म्हणून अशा दोन चौकटी सारख्याच.
एका त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू दुसऱ्याच्या तिन्ही बाजूंएवढ्या असतील तर त्रिकोण एकरूप. हा SSS नियम. त्रिकोण ताठ असतो : तीन बाजू आकार ठरवतात.
आकृतीत : सारख्या खुणा (1, 2, 3 रेघा) तीन जोड्या समान बाजू दाखवतात.
नियम 1 : तीन जोड्या तपासा — दोन्ही त्रिकोणांच्या बाजू क्रमाने लावून तुलना करा.
- सोपे : 3, 4, 5 व 5, 3, 4 → बाजू सारख्या → एकरूप.
- मध्यम : 6, 7, 8 व 6, 7, 9 → एकरूप नाहीत.
- परीक्षेसाठी : 5, 5, 8 व 8, 5, 5 → एकरूप.
नियम 2 : जुळवणी नावाने लिहा — △ABC ≅ △PQR असे लिहा, म्हणजे A↔P, B↔Q, C↔R.
- सोपे : AB = PQ, BC = QR, CA = RP.
- मध्यम : A समोरची बाजू P समोरच्या बाजूशी जुळते.
- परीक्षेसाठी : अक्षरांचा क्रम महत्त्वाचा.
नियम 3 : फक्त कोन समान असणे पुरेसे का नाही — तीन कोन समान (AAA) दिल्यास आकार तोच पण माप तेच असेलच असे नाही.
- सोपे : 3 व 6 बाजूंच्या समभुज त्रिकोणांचे कोन 60°.
- मध्यम : ते एकरूप नाहीत.
- परीक्षेसाठी : AAA हा एकरूपतेचा नियम नाही.
SSS साठी तिन्ही बाजूंच्या जोड्या समान हव्यात.
बाजू चुकीच्या क्रमात जुळवणे (3 ला 5 शी). आधी दोन्ही याद्या क्रमाने लावा.
तुलना करण्यापूर्वी बाजू लहानापासून मोठ्यापर्यंत लावा. आठवणीची युक्ती : "तीन बाजू, तीन जोड्या, सारख्या जोड्या."
फरक ओळखा
| नियम | आवश्यक | पुरेसे? |
|---|---|---|
| SSS | 3 बाजू | होय |
| AAA | 3 कोन | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1त्रिकोण 3, 4, 5 व 5, 3, 4 : एकरूप?
- 2त्रिकोण 6, 7, 8 व 6, 7, 9 : एकरूप?
- 3तीन बाजू वापरणारा नियम?
- 4त्रिकोण 5, 5, 8 व 8, 5, 5 : एकरूप?
- 5△ABC ≅ △PQR, AB = 5. कोणती बाजू 5?
- 6सर्व कोन 60° असलेले दोन समभुज त्रिकोण नेहमी एकरूप असतात का?
- 7त्रिकोण 7, 9, 12 व 9, 12, 7 : एकरूप?
- 8△XYZ ≅ △LMN. Y शी कोणता शिरोबिंदू जुळतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय (SSS)
- 2नाही
- 3SSS
- 4होय (SSS)
- 5PQ
- 6नाही : माप वेगळे असू शकते
- 7होय (SSS)
- 8M
एकरूपतेच्या कसोट्या : SAS, ASA, RHS
शिंपी दोन बाजू व त्यांमधील कोन एवढ्याच मापांवरून दोन सारखे त्रिकोणी तुकडे कापतो.
त्रिकोण एकरूप असतात जर दोन बाजू व मधला कोन (SAS), किंवा दोन कोन व मधली बाजू (ASA), किंवा काटकोन त्रिकोणात कर्ण व एक बाजू (RHS) समान असतील. SSA (कोन बाजूंच्या मधला नसेल) व AAA चालत नाहीत.
आकृतीत : SSS, SAS, ASA, RHS : त्रिकोण निश्चित करणारे चार संच.
एकरूपतेच्या कसोट्या : SAS, ASA, RHS
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : SAS — दोन बाजू व त्यांमधील कोन.
- सोपे : AB = PQ, ∠B = ∠Q, BC = QR → SAS.
- मध्यम : दोन्हीत बाजू 5, 6 व मधला 50° → एकरूप.
- परीक्षेसाठी : कोन बाजूंच्या मधला नसेल तर (SSA) पुरेसे नाही.
नियम 2 : ASA — दोन कोन व त्यांमधील बाजू (तिसरा कोन आपोआप ठरतो).
- सोपे : ∠A = ∠P, AB = PQ, ∠B = ∠Q → ASA.
- मध्यम : कोन 40°, 60° व मधली बाजू 7 → निश्चित त्रिकोण.
- परीक्षेसाठी : दोन कोन व मधली नसलेली बाजू (AAS) देखील चालते, कारण तिसरा कोन कळतो.
नियम 3 : RHS (काटकोन त्रिकोण) — काटकोन, कर्ण समान व एक बाजू समान.
- सोपे : दोन्हीत कर्ण 13 व एक बाजू 5 → एकरूप.
- मध्यम : मग दुसरी बाजू दोन्हीत 12.
- परीक्षेसाठी : फक्त काटकोन असेल तेव्हाच चालते.
SAS मधील कोन दोन बाजूंच्या मध्ये; ASA मधील बाजू दोन कोनांच्या मध्ये.
SSA (दोन बाजू व मधला नसलेला कोन) वापरणे. त्यातून दोन वेगळे त्रिकोण होऊ शकतात.
आकृतीवर समान भाग रेघा व कंसांनी दाखवा. आठवणीची युक्ती : "SAS सँडविच, ASA सँडविच, RHS काटकोन."
फरक ओळखा
| नियम | दिलेले | वैध? |
|---|---|---|
| SAS | बाजू, मधला कोन, बाजू | होय |
| ASA | कोन, मधली बाजू, कोन | होय |
| SSA | दोन बाजू, इतर कोन | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1AB = PQ, ∠B = ∠Q, BC = QR. कोणता नियम?
- 2∠A = ∠P, AB = PQ, ∠B = ∠Q. कोणता नियम?
- 3AAA हा एकरूपतेचा नियम आहे का?
- 4दोन्हीत कर्ण 13 व बाजू 5 असलेले काटकोन त्रिकोण : एकरूप? दुसरी बाजू?
- 5दोन्हीत बाजू 5, 6 व मधला कोन 50° : एकरूप?
- 6दोन बाजू व मधला नसलेला कोन : पुरेसे का?
- 7ASA मध्ये कोन 40° व 60°. तिसरा काढा.
- 8कोन 40°, 60° व 7 ची मधली नसलेली बाजू : पुरेसे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1SAS
- 2ASA
- 3नाही
- 4होय (RHS); 12
- 5होय (SAS)
- 6नाही (SSA)
- 780°
- 8होय (AAS)
एकरूप त्रिकोणांचे संगत भाग
कागदाचा त्रिकोण कापून दोनदा उतरवा. पहिल्याच्या प्रत्येक बाजू व कोनाला दुसऱ्यात तेवढ्याच मापाचा जोडीदार असतो.
△ABC ≅ △PQR असेल तर संगत भाग समान : AB = PQ, BC = QR, CA = RP आणि ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R. जोडी अक्षरांच्या क्रमाने ठरते.
आकृतीत : A ↔ P, B ↔ Q, C ↔ R : प्रत्येक भागाचा जोडीदार.
नियम 1 : अक्षरांवरून जुळवणी वाचा — पहिली अक्षरे जुळतात, दुसरी जुळतात, तिसरी जुळतात.
- सोपे : △ABC ≅ △PQR : AB ↔ PQ.
- मध्यम : △DEF ≅ △XYZ : ∠E ↔ ∠Y.
- परीक्षेसाठी : △ABC ≅ △QPR : AB ↔ QP, ∠C ↔ ∠R.
नियम 2 : समान भागांवरून अज्ञात शोधा — माहीत किंमत संगत भागाला लिहा.
- सोपे : △ABC ≅ △PQR, AB = 7 → PQ = 7.
- मध्यम : ∠C = 65° → ∠R = 65°.
- परीक्षेसाठी : △PQR ची परिमिती △ABC च्या परिमितीइतकी.
नियम 3 : सिद्ध करा मग निष्कर्ष — आधी नियमाने त्रिकोण एकरूप दाखवा; मग इतर भाग समान.
- सोपे : AB = PQ, BC = QR, CA = RP → SSS ने एकरूप.
- मध्यम : म्हणून ∠A = ∠P (संगत कोन).
- परीक्षेसाठी : सामाईक बाजू ही समान जोडी मानतात.
△ABC ≅ △PQR मधील अक्षरक्रम जुळवणी देतो.
AB ला QR शी जुळवणे. पहिल्याशी पहिले, दुसऱ्याशी दुसरे.
दोन्ही नावांतील अक्षरांना रेघा मारून जोडीने वाचा. आठवणीची युक्ती : "पहिले-पहिले, दुसरे-दुसरे."
फरक ओळखा
| △ABC ≅ △PQR मध्ये | बाजू | कोन |
|---|---|---|
| पहिली जोडी | AB = PQ | ∠A = ∠P |
| दुसरी जोडी | BC = QR | ∠B = ∠Q |
| तिसरी जोडी | CA = RP | ∠C = ∠R |
सरावासाठी प्रश्न
- 1△ABC ≅ △PQR असेल तर AB शी कोणती बाजू जुळते?
- 2△ABC ≅ △PQR, AB = 7. PQ काढा.
- 3△ABC ≅ △PQR, ∠C = 65°. ∠R काढा.
- 4△DEF ≅ △XYZ. ∠E शी कोणता कोन जुळतो?
- 5△ABC ≅ △QPR. AB शी कोणती बाजू?
- 6△ABC ची परिमिती 21 cm. एकरूप △PQR ची?
- 7△ABC ≅ △PQR, AB = 5, BC = 6, CA = 7. PQ + QR + RP काढा.
- 8△ABC ≅ △PQR, ∠A = 50°, ∠B = 60°. ∠R काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1PQ
- 27
- 365°
- 4∠Y
- 5QP
- 621 cm
- 718
- 870°
समद्विभुज व समभुज त्रिकोणांचे कोन
समान तिरक्या बाजू असलेला तंबू दोन्ही बाजूंना सारखा झुकतो, म्हणून खालचे दोन कोपरे समान.
समद्विभुज त्रिकोणात समान बाजूंसमोरचे कोन (पायाचे कोन) समान. समभुज त्रिकोणात तिन्ही कोन 60°. त्रिकोण दोन एकरूप भागांत विभागून हे सिद्ध होते.
आकृतीत : शिरोकोन 40°, म्हणून प्रत्येक पायाचा कोन (180° – 40°) ÷ 2 = 70°.
नियम 1 : समद्विभुज : पायाचे कोन शोधा — पायाचा कोन = (180° – शिरोकोन) ÷ 2.
- सोपे : शिरोकोन 40° → प्रत्येकी 70°.
- मध्यम : शिरोकोन 100° → प्रत्येकी 40°.
- परीक्षेसाठी : शिरोकोन 20° → प्रत्येकी 80°.
नियम 2 : समद्विभुज : शिरोकोन शोधा — शिरोकोन = 180° – 2 × पायाचा कोन.
- सोपे : पायाचा कोन 50° → शिरोकोन 80°.
- मध्यम : पायाचा कोन 65° → शिरोकोन 50°.
- परीक्षेसाठी : काटकोन समद्विभुज : पायाचे कोन प्रत्येकी 45°.
नियम 3 : समभुज — सर्व कोन 60°, कारण 180° ÷ 3 = 60°.
- सोपे : प्रत्येक कोन 60°.
- मध्यम : 60°, 60°, x कोनांच्या त्रिकोणात x = 60°.
- परीक्षेसाठी : समभुज त्रिकोण समद्विभुजही आहे.
समान बाजूंसमोर समान कोन असतात.
पायाच्या कोनांसाठी 180° ÷ 2 वापरणे. आधी शिरोकोन वजा, मग निम्मे.
वेगळा कोन 180° मधून वजा करा, मग निम्मे करा. आठवणीची युक्ती : "समान बाजू, समान कोन; वजा करा, मग निम्मे."
फरक ओळखा
| त्रिकोण | कोन | उदाहरण |
|---|---|---|
| समभुज | सर्व समान, 60° | 60, 60, 60 |
| समद्विभुज | दोन समान | 70, 70, 40 |
| विषमभुज | एकही समान नाही | 30, 60, 90 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1समद्विभुज, शिरोकोन 40° : पायाचा कोन काढा.
- 2समद्विभुज, पायाचा कोन 50° : शिरोकोन काढा.
- 3समभुज त्रिकोणाचा प्रत्येक कोन?
- 4समद्विभुज, शिरोकोन 100° : पायाचा कोन?
- 5समद्विभुज, पायाचा कोन 65° : शिरोकोन?
- 6काटकोन समद्विभुज : पायाचा कोन?
- 7समद्विभुजात शिरोकोन पायाच्या कोनाच्या दुप्पट. सर्व कोन काढा.
- 8समद्विभुज, पायाचा कोन (2x + 10)° व शिरोकोन 40° : x काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 170°
- 280°
- 360°
- 440°
- 550°
- 645°
- 745°, 45°, 90°
- 830