पूर्णांकांची बेरीज व वजाबाकी
लिफ्ट 3ऱ्या मजल्यावरून 5 मजले खाली जाते. ₹100 शिल्लक असताना ₹150 निघतात. वर-खाली जाणे म्हणजे धन व ऋण संख्या.
पूर्णांक म्हणजे …, –2, –1, 0, 1, 2, … बेरीज : धन संख्या जोडताना संख्यारेषेवर उजवीकडे, ऋण जोडताना डावीकडे जा. वजाबाकी म्हणजे त्या संख्येच्या विरुद्ध संख्येची बेरीज.
आकृतीत : 3 पासून 5 डावीकडे गेल्यास –2.
पूर्णांकांची बेरीज व वजाबाकी
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : सारखी चिन्हे : बेरीज करा, चिन्ह तेच — आकडे जोडा, समान चिन्ह ठेवा.
- सोपे : (–4) + (–9) = –13.
- मध्यम : 6 + 8 = 14.
- परीक्षेसाठी : (–15) + (–25) = –40.
नियम 2 : वेगळी चिन्हे : वजा करा, मोठ्याचे चिन्ह — मोठ्यातून लहान वजा करा; मोठ्याचे चिन्ह वापरा.
- सोपे : (–7) + 12 = 5.
- मध्यम : 8 + (–13) = –5.
- परीक्षेसाठी : (–20) + 20 = 0.
नियम 3 : वजाबाकी = विरुद्ध संख्येची बेरीज — a – b म्हणजे a + (b ची विरुद्ध संख्या). दोन उणे मिळून अधिक.
- सोपे : 5 – 9 = 5 + (–9) = –4.
- मध्यम : (–5) – (–8) = (–5) + 8 = 3.
- परीक्षेसाठी : 14 – (–9) = 14 + 9 = 23.
उणे ऋण म्हणजे अधिक.
8 + (–13) = 5 लिहिणे. 13 मधून 8 वजा करून 13 चे चिन्ह : –5.
पटकन संख्यारेषा काढून पावले चाला. आठवणीची युक्ती : "दोन उणे मिळून अधिक."
फरक ओळखा
| प्रकार | उत्तराचे चिन्ह |
|---|---|
| (–) + (–) | – |
| (+) + (+) | + |
| (–) + (+) | मोठ्याचे चिन्ह |
सरावासाठी प्रश्न
- 1काढा (–6) + 9.
- 2काढा 5 + (–11).
- 3काढा (–8) + (–7).
- 4काढा 12 – 20.
- 5काढा (–4) – (–10).
- 6काढा 15 – (–8).
- 7काढा (–30) + 18 – (–5).
- 8काढा 25 – (–12) + (–40).
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13
- 2–6
- 3–15
- 4–8
- 56
- 623
- 7–7
- 8–3
पूर्णांकांचा गुणाकार
दररोज ₹5 नुकसान, 3 दिवस : एकूण बदल 3 × (–5) = –15. पुनःपुन्हा नुकसान म्हणजे ऋण संख्येची वारंवार बेरीज.
आकडे गुणा, मग चिन्ह ठरवा : सारखी चिन्हे = +, वेगळी चिन्हे = –. कशाचाही 0 ने गुणाकार 0. अनेक अवयव असल्यास ऋण संख्या मोजा : सम संख्या = +, विषम = –.
आकृतीत : गुणाकारातील चिन्हांचे चार संच.
पूर्णांकांचा गुणाकार
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : दोन संख्या — आकडे गुणा; चिन्हाचा नियम लावा.
- सोपे : (–6) × 7 = –42.
- मध्यम : (–4) × (–9) = 36.
- परीक्षेसाठी : 8 × (–5) = –40.
नियम 2 : अनेक अवयव — ऋण मोजा : सम = +, विषम = –.
- सोपे : (–2) × (–3) × (–4) = –24 (तीन ऋण).
- मध्यम : (–5) × 6 × (–2) = 60 (दोन ऋण).
- परीक्षेसाठी : (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = 1.
नियम 3 : शून्य व एक — 0 ने गुणाकार 0; 1 ने गुणल्यास संख्या तीच.
- सोपे : 0 × (–12) = 0.
- मध्यम : (–9) × 1 = –9.
- परीक्षेसाठी : (–3) × 0 × (–50) = 0.
सारखी चिन्हे +, वेगळी –.
(–3) × (–3) = –9 समजणे. दोन ऋण = धन : +9.
आधी उणे चिन्हे मोजा, मग आकडे गुणा. आठवणीची युक्ती : "मित्राचा मित्र मित्र; शत्रूचा शत्रू मित्र."
फरक ओळखा
| गुणाकारातील ऋण संख्या | चिन्ह |
|---|---|
| 0, 2, 4 | + |
| 1, 3, 5 | – |
सरावासाठी प्रश्न
- 1काढा (–5) × 8.
- 2काढा (–7) × (–6).
- 3काढा 9 × (–4).
- 4काढा (–12) × (–3).
- 5काढा (–2) × (–5) × (–3).
- 6काढा 6 × (–4) × (–2).
- 7काढा (–3) × (–3) × (–3) × (–3).
- 8काढा (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1).
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1–40
- 242
- 3–36
- 436
- 5–30
- 648
- 781
- 8–1
पूर्णांकांचा भागाकार
₹96 कर 8 मित्रांत समान वाटला तर प्रत्येकी –96 ÷ 8 = –12. वाटणी ही गुणाकाराची उलट क्रिया.
भागाकाराचा चिन्ह नियम गुणाकारासारखाच : सारखी चिन्हे +, वेगळी –. भागाकार हा गुणाकार उलटवतो : (–9) × 8 = –72, म्हणून (–72) ÷ 8 = –9. 0 ने भागता येत नाही.
आकृतीत : भागाकारातही चिन्हांचे तेच चार संच.
पूर्णांकांचा भागाकार
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : चिन्ह नियम — आकडे भागा, मग चिन्ह नियम लावा.
- सोपे : (–48) ÷ 6 = –8.
- मध्यम : 54 ÷ (–9) = –6.
- परीक्षेसाठी : (–35) ÷ (–7) = 5.
नियम 2 : गुणून तपासा — उत्तर × भाजक = भाज्य यायला हवे.
- सोपे : (–72) ÷ 8 = –9, तपासणी (–9) × 8 = –72.
- मध्यम : (–100) ÷ 25 = –4, तपासणी (–4) × 25 = –100.
- परीक्षेसाठी : (–90) ÷ (–15) = 6, तपासणी 6 × (–15) = –90.
नियम 3 : भागाकारात शून्य — 0 ÷ (कोणतीही शून्येतर संख्या) = 0, पण 0 ने भागता येत नाही.
- सोपे : 0 ÷ (–8) = 0.
- मध्यम : (–6) ÷ 0 अर्थहीन.
- परीक्षेसाठी : डावीकडून उजवीकडे : (–3) × (–8) ÷ (–4) = 24 ÷ (–4) = –6.
भागाकारासाठी गुणाकाराचाच चिन्ह नियम.
(–20) ÷ (–4) = –5 म्हणणे. सारखी चिन्हे = +5.
आधी चिन्ह, मग आकडे. आठवणीची युक्ती : "भागा, गुणाकारासारखेच."
फरक ओळखा
| भागाकार | उत्तर |
|---|---|
| 0 ÷ 5 | 0 |
| 5 ÷ 0 | अर्थहीन |
सरावासाठी प्रश्न
- 1काढा (–56) ÷ 7.
- 2काढा 63 ÷ (–9).
- 3काढा (–45) ÷ (–5).
- 4काढा (–84) ÷ 12.
- 5काढा 0 ÷ (–15).
- 6काढा (–6) × (–10) ÷ (–4).
- 7काढा (–120) ÷ 8 ÷ (–3).
- 8काढा (–18) × (–4) ÷ (–9) × (–2).
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1–8
- 2–7
- 39
- 4–7
- 50
- 6–15
- 75
- 816
पूर्णांक क्रियांचे गुणधर्म
बिलाची फोड : 4 × (3 + 5) चे उत्तर 4 × 3 + 4 × 5 सारखेच. हुशार फोड केल्यास तोंडी हिशोब सोपा.
पूर्णांकांची बेरीज व गुणाकार क्रमनिरपेक्ष (क्रम बदलला तरी उत्तर तेच) व साहचर्य (गट बदलला तरी तेच) आहेत. गुणाकार बेरजेवर वितरण करतो. 1 हे गुणाकारातील तटस्थ व 0 हे बेरजेतील तटस्थ. वजाबाकी व भागाकार क्रमनिरपेक्ष नाहीत.
आकृतीत : गुणक कंसातील प्रत्येक पदाला लावा.
पूर्णांक क्रियांचे गुणधर्म
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : क्रम व गट बदलणे — सोपा गुणाकार होण्यासाठी क्रम/गट बदला.
- सोपे : (–6) × 4 = 4 × (–6) = –24.
- मध्यम : (–4) × 17 × 25 = 17 × (–100) = –1700.
- परीक्षेसाठी : पण 8 – 3 ≠ 3 – 8 व 6 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 6.
नियम 2 : वितरण गुणधर्म — a × (b + c) = a × b + a × c, ऋण संख्यांसहही.
- सोपे : (–5) × (–2 + 7) = (–5) × 5 = –25.
- मध्यम : (–8) × 5 + (–8) × 3 = (–8) × 8 = –64.
- परीक्षेसाठी : (–9) × 102 = (–9) × 100 + (–9) × 2 = –918.
नियम 3 : तटस्थ संख्या व (–1) — n × 1 = n, n + 0 = n, आणि n × (–1) = –n (विरुद्ध संख्या).
- सोपे : (–1) × 14 = –14.
- मध्यम : (–1) × (–31) = 31.
- परीक्षेसाठी : (–45) × 1 = –45.
अवघड संख्या फोडा : 99 = 100 – 1.
वजाबाकी क्रमनिरपेक्ष समजणे : 8 – 3 आणि 3 – 8 वेगळे.
10, 100, 25 × 4 सारख्या गोल संख्यांमुळे गुणाकार सोपा. आठवणीची युक्ती : "गुणक प्रत्येक पदाला वाटा."
फरक ओळखा
| क्रिया | क्रमनिरपेक्ष? |
|---|---|
| + , × | होय |
| – , ÷ | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1काढा (–1) × (–31).
- 2काढा (–45) × 1.
- 3काढा (–7) × (–3) = (–3) × □, □ =.
- 4काढा (–6) × (5 + 4).
- 5काढा (–9) × 13 + (–9) × 7.
- 6काढा (–8) × 27 × (–5).
- 7काढा 98 × (–7).
- 8काढा (–25) × 43 × (–4).
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 131
- 2–45
- 3–7
- 4–54
- 5–180
- 61080
- 7–686
- 84300
पूर्णांकांवरील शब्दगणिते व क्रियांचा क्रम
प्रश्नमंजुषेत बरोबर उत्तराला +4 व चुकीला –2 गुण. तुमचे गुण म्हणजे पूर्णांकांचे गुणाकार व बेरीज यांचे मिश्रण.
कथा गणितात बदला, मग क्रम : कंस, नंतर गुणाकार व भागाकार (डावीकडून उजवीकडे), नंतर बेरीज व वजाबाकी. नफा धन, तोटा ऋण.
आकृतीत : लिफ्टची गोष्ट पूर्णांक बेरीज म्हणून.
पूर्णांकांवरील शब्दगणिते व क्रियांचा क्रम
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : बदल प्रश्न — सुरुवातीची किंमत + (बदल × वेळा).
- सोपे : 9°C मधून 14 ने घट : 9 – 14 = –5°C.
- मध्यम : 4°C, दर तासाला 3° घट, 5 तास : 4 + (–3) × 5 = –11°C.
- परीक्षेसाठी : शिल्लक –150 + जमा 400 = 250.
नियम 2 : क्रियांचा क्रम — आधी गुणाकार-भागाकार, मग बेरीज-वजाबाकी.
- सोपे : (–6) + 4 × (–3) = –6 + (–12) = –18.
- मध्यम : (–20) – (–5) × 3 = –20 + 15 = –5.
- परीक्षेसाठी : (–36) ÷ 4 – (–7) = –9 + 7 = –2.
नियम 3 : गुणांचे प्रश्न — गुण = (बरोबर × मिळणारे) + (चूक × जाणारे).
- सोपे : +4 बरोबर, –2 चूक; 9 बरोबर, 6 चूक : 36 – 12 = 24.
- मध्यम : कर्ज –96, 8 जणांत : –96 ÷ 8 = –12 प्रत्येकी.
- परीक्षेसाठी : दररोज ₹30 तोटा, 6 दिवस : (–30) × 6 = –180.
कथा व्यंजकात लिहा, मग क्रम पाळा.
आधी बेरीज : (–6) + 4 × (–3) हे (–2) × (–3) नाही. आधी गुणाकार.
सुरू करण्यापूर्वी गुणाकारांना रेघ मारा. आठवणीची युक्ती : "आधी गुणाकार, मग बेरीज."
फरक ओळखा
| शब्द | पूर्णांक |
|---|---|
| वाढ, नफा, जमा | + |
| घट, तोटा, काढणे | – |
सरावासाठी प्रश्न
- 1तापमान 6°C, 11 ने घट. नवे तापमान (°C)?
- 2लिफ्ट –2 मजल्यावर, 7 मजले वर. मजला?
- 3दुकानात दररोज ₹45 तोटा, 4 दिवस. एकूण बदल (₹)?
- 4बरोबर +3, चूक –1 : 12 बरोबर, 5 चूक. गुण?
- 5काढा (–10) + 3 × (–4).
- 6₹240 चे कर्ज (–240) 6 जणांत समान. प्रत्येकाचा वाटा?
- 7काढा (–36) ÷ 4 – (–7).
- 820 प्रश्न सर्व सोडवले : +4 बरोबर, –2 चूक, गुण 38. बरोबर किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1–5
- 25
- 3–180
- 431
- 5–22
- 6–40
- 7–2
- 813