पूर्णांकों का जोड़ और घटाव
लिफ़्ट 3 मंज़िल से 5 मंज़िल नीचे जाती है। ₹100 जमा में से ₹150 निकलते हैं। ऊपर-नीचे जाना यानी धन और ऋण संख्याएँ।
पूर्णांक हैं …, –2, –1, 0, 1, 2, … जोड़ : धन संख्या जोड़ने पर संख्या रेखा पर दाएँ, ऋण जोड़ने पर बाएँ चलें। घटाव यानी उसकी विपरीत संख्या का जोड़।
आकृति में : 3 से 5 बाएँ चलने पर –2।
पूर्णांकों का जोड़ और घटाव
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : समान चिह्न : जोड़ें, चिह्न वही — अंक जोड़ें, उभयनिष्ठ चिह्न रखें।
- आसान : (–4) + (–9) = –13।
- मध्यम : 6 + 8 = 14।
- परीक्षा-प्रकार : (–15) + (–25) = –40।
नियम 2 : अलग चिह्न : घटाएँ, बड़े का चिह्न — बड़े में से छोटा घटाएँ; बड़े का चिह्न लगाएँ।
- आसान : (–7) + 12 = 5।
- मध्यम : 8 + (–13) = –5।
- परीक्षा-प्रकार : (–20) + 20 = 0।
नियम 3 : घटाव = विपरीत का जोड़ — a – b यानी a + (b की विपरीत)। दो ऋण मिलकर धन।
- आसान : 5 – 9 = 5 + (–9) = –4।
- मध्यम : (–5) – (–8) = (–5) + 8 = 3।
- परीक्षा-प्रकार : 14 – (–9) = 14 + 9 = 23।
ऋण को घटाना यानी जोड़ना।
8 + (–13) = 5 लिखना। 13 में से 8 घटाकर 13 का चिह्न : –5।
झटपट संख्या रेखा बनाकर कदम चलें। याद रखने की युक्ति : "दो ऋण मिलकर धन।"
अंतर पहचानें
| प्रकार | उत्तर का चिह्न |
|---|---|
| (–) + (–) | – |
| (+) + (+) | + |
| (–) + (+) | बड़े का चिह्न |
अभ्यास के प्रश्न
- 1ज्ञात कीजिए (–6) + 9।
- 2ज्ञात कीजिए 5 + (–11)।
- 3ज्ञात कीजिए (–8) + (–7)।
- 4ज्ञात कीजिए 12 – 20।
- 5ज्ञात कीजिए (–4) – (–10)।
- 6ज्ञात कीजिए 15 – (–8)।
- 7ज्ञात कीजिए (–30) + 18 – (–5)।
- 8ज्ञात कीजिए 25 – (–12) + (–40)।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13
- 2–6
- 3–15
- 4–8
- 56
- 623
- 7–7
- 8–3
पूर्णांकों का गुणा
हर दिन ₹5 की हानि, 3 दिन : कुल बदलाव 3 × (–5) = –15। बार-बार हानि यानी ऋण संख्या का बार-बार जोड़।
अंकों को गुणा करें, फिर चिह्न तय करें : समान चिह्न = +, अलग चिह्न = –। किसी का 0 से गुणा 0। कई गुणनखंड हों तो ऋण गिनें : सम संख्या = +, विषम = –।
आकृति में : गुणा में चिह्नों के चार संयोजन।
पूर्णांकों का गुणा
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : दो संख्याएँ — अंक गुणा करें; चिह्न नियम लगाएँ।
- आसान : (–6) × 7 = –42।
- मध्यम : (–4) × (–9) = 36।
- परीक्षा-प्रकार : 8 × (–5) = –40।
नियम 2 : कई गुणनखंड — ऋण गिनें : सम = +, विषम = –।
- आसान : (–2) × (–3) × (–4) = –24 (तीन ऋण)।
- मध्यम : (–5) × 6 × (–2) = 60 (दो ऋण)।
- परीक्षा-प्रकार : (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = 1।
नियम 3 : शून्य और एक — 0 से गुणा 0; 1 से गुणा करने पर संख्या वही।
- आसान : 0 × (–12) = 0।
- मध्यम : (–9) × 1 = –9।
- परीक्षा-प्रकार : (–3) × 0 × (–50) = 0।
समान चिह्न +, अलग –।
(–3) × (–3) = –9 मानना। दो ऋण = धन : +9।
पहले ऋण चिह्न गिनें, फिर अंक गुणा करें। याद रखने की युक्ति : "दोस्त का दोस्त दोस्त; दुश्मन का दुश्मन दोस्त।"
अंतर पहचानें
| गुणनफल में ऋण संख्याएँ | चिह्न |
|---|---|
| 0, 2, 4 | + |
| 1, 3, 5 | – |
अभ्यास के प्रश्न
- 1ज्ञात कीजिए (–5) × 8।
- 2ज्ञात कीजिए (–7) × (–6)।
- 3ज्ञात कीजिए 9 × (–4)।
- 4ज्ञात कीजिए (–12) × (–3)।
- 5ज्ञात कीजिए (–2) × (–5) × (–3)।
- 6ज्ञात कीजिए 6 × (–4) × (–2)।
- 7ज्ञात कीजिए (–3) × (–3) × (–3) × (–3)।
- 8ज्ञात कीजिए (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1)।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1–40
- 242
- 3–36
- 436
- 5–30
- 648
- 781
- 8–1
पूर्णांकों का भाग
₹96 का क़र्ज़ 8 दोस्तों में बराबर बँटे तो हर एक का –96 ÷ 8 = –12। बँटवारा गुणा की उलटी क्रिया है।
भाग का चिह्न नियम गुणा जैसा ही है : समान चिह्न +, अलग –। भाग गुणा को उलटता है : (–9) × 8 = –72, इसलिए (–72) ÷ 8 = –9। 0 से भाग नहीं होता।
आकृति में : भाग में भी वही चार चिह्न संयोजन।
पूर्णांकों का भाग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : चिह्न नियम — अंकों को भाग दें, फिर चिह्न नियम लगाएँ।
- आसान : (–48) ÷ 6 = –8।
- मध्यम : 54 ÷ (–9) = –6।
- परीक्षा-प्रकार : (–35) ÷ (–7) = 5।
नियम 2 : गुणा करके जाँचें — उत्तर × भाजक = भाज्य आना चाहिए।
- आसान : (–72) ÷ 8 = –9, जाँच (–9) × 8 = –72।
- मध्यम : (–100) ÷ 25 = –4, जाँच (–4) × 25 = –100।
- परीक्षा-प्रकार : (–90) ÷ (–15) = 6, जाँच 6 × (–15) = –90।
नियम 3 : भाग में शून्य — 0 ÷ (कोई शून्येतर संख्या) = 0, पर 0 से भाग नहीं होता।
- आसान : 0 ÷ (–8) = 0।
- मध्यम : (–6) ÷ 0 अपरिभाषित।
- परीक्षा-प्रकार : बाएँ से दाएँ : (–3) × (–8) ÷ (–4) = 24 ÷ (–4) = –6।
भाग के लिए गुणा वाला ही चिह्न नियम।
(–20) ÷ (–4) = –5 कहना। समान चिह्न = +5।
पहले चिह्न, फिर अंक। याद रखने की युक्ति : "भाग वैसे ही जैसे गुणा।"
अंतर पहचानें
| भाग | उत्तर |
|---|---|
| 0 ÷ 5 | 0 |
| 5 ÷ 0 | अपरिभाषित |
अभ्यास के प्रश्न
- 1ज्ञात कीजिए (–56) ÷ 7।
- 2ज्ञात कीजिए 63 ÷ (–9)।
- 3ज्ञात कीजिए (–45) ÷ (–5)।
- 4ज्ञात कीजिए (–84) ÷ 12।
- 5ज्ञात कीजिए 0 ÷ (–15)।
- 6ज्ञात कीजिए (–6) × (–10) ÷ (–4)।
- 7ज्ञात कीजिए (–120) ÷ 8 ÷ (–3)।
- 8ज्ञात कीजिए (–18) × (–4) ÷ (–9) × (–2)।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1–8
- 2–7
- 39
- 4–7
- 50
- 6–15
- 75
- 816
पूर्णांक संक्रियाओं के गुणधर्म
बिल की फाड़ : 4 × (3 + 5) का उत्तर 4 × 3 + 4 × 5 जैसा ही। चतुर बँटवारे से मौखिक हिसाब आसान।
पूर्णांकों का जोड़ और गुणा क्रमविनिमेय (क्रम बदलने पर भी उत्तर वही) और साहचर्य (समूह बदलने पर भी वही) हैं। गुणा जोड़ पर वितरित होता है। 1 गुणा का तटस्थ और 0 जोड़ का तटस्थ है। घटाव और भाग क्रमविनिमेय नहीं।
आकृति में : गुणक को कोष्ठक के हर पद पर लगाएँ।
पूर्णांक संक्रियाओं के गुणधर्म
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : क्रम और समूह बदलना — आसान गुणनफल के लिए क्रम/समूह बदलें।
- आसान : (–6) × 4 = 4 × (–6) = –24।
- मध्यम : (–4) × 17 × 25 = 17 × (–100) = –1700।
- परीक्षा-प्रकार : पर 8 – 3 ≠ 3 – 8 और 6 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 6।
नियम 2 : वितरण गुणधर्म — a × (b + c) = a × b + a × c, ऋण संख्याओं के साथ भी।
- आसान : (–5) × (–2 + 7) = (–5) × 5 = –25।
- मध्यम : (–8) × 5 + (–8) × 3 = (–8) × 8 = –64।
- परीक्षा-प्रकार : (–9) × 102 = (–9) × 100 + (–9) × 2 = –918।
नियम 3 : तटस्थ संख्याएँ और (–1) — n × 1 = n, n + 0 = n, और n × (–1) = –n (विपरीत संख्या)।
- आसान : (–1) × 14 = –14।
- मध्यम : (–1) × (–31) = 31।
- परीक्षा-प्रकार : (–45) × 1 = –45।
कठिन संख्या तोड़ें : 99 = 100 – 1।
घटाव को क्रमविनिमेय मानना : 8 – 3 और 3 – 8 अलग।
10, 100, 25 × 4 जैसी गोल संख्याएँ गुणनफल आसान बनाती हैं। याद रखने की युक्ति : "गुणक हर पद को बाँटो।"
अंतर पहचानें
| संक्रिया | क्रमविनिमेय? |
|---|---|
| + , × | हाँ |
| – , ÷ | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 1ज्ञात कीजिए (–1) × (–31)।
- 2ज्ञात कीजिए (–45) × 1।
- 3ज्ञात कीजिए (–7) × (–3) = (–3) × □, □ =।
- 4ज्ञात कीजिए (–6) × (5 + 4)।
- 5ज्ञात कीजिए (–9) × 13 + (–9) × 7।
- 6ज्ञात कीजिए (–8) × 27 × (–5)।
- 7ज्ञात कीजिए 98 × (–7)।
- 8ज्ञात कीजिए (–25) × 43 × (–4)।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 131
- 2–45
- 3–7
- 4–54
- 5–180
- 61080
- 7–686
- 84300
पूर्णांकों के शब्द-प्रश्न और संक्रियाओं का क्रम
प्रश्नोत्तरी में सही उत्तर पर +4 और ग़लत पर –2। आपका स्कोर पूर्णांकों के गुणा और जोड़ का मेल है।
कहानी को व्यंजक में बदलें, फिर क्रम : कोष्ठक, फिर गुणा-भाग (बाएँ से दाएँ), फिर जोड़-घटाव। लाभ धन, हानि ऋण।
आकृति में : लिफ़्ट की कहानी पूर्णांक जोड़ के रूप में।
पूर्णांकों के शब्द-प्रश्न और संक्रियाओं का क्रम
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : बदलाव वाले प्रश्न — प्रारंभिक मान + (बदलाव × बार)।
- आसान : 9°C में 14 की गिरावट : 9 – 14 = –5°C।
- मध्यम : 4°C, हर घंटे 3° गिरावट, 5 घंटे : 4 + (–3) × 5 = –11°C।
- परीक्षा-प्रकार : शेष –150 + जमा 400 = 250।
नियम 2 : संक्रियाओं का क्रम — पहले गुणा-भाग, फिर जोड़-घटाव।
- आसान : (–6) + 4 × (–3) = –6 + (–12) = –18।
- मध्यम : (–20) – (–5) × 3 = –20 + 15 = –5।
- परीक्षा-प्रकार : (–36) ÷ 4 – (–7) = –9 + 7 = –2।
नियम 3 : स्कोर के प्रश्न — स्कोर = (सही × लाभ) + (ग़लत × हानि)।
- आसान : +4 सही, –2 ग़लत; 9 सही, 6 ग़लत : 36 – 12 = 24।
- मध्यम : क़र्ज़ –96, 8 में बँटा : –96 ÷ 8 = –12 प्रत्येक।
- परीक्षा-प्रकार : रोज़ ₹30 हानि, 6 दिन : (–30) × 6 = –180।
कहानी को व्यंजक में लिखें, फिर क्रम मानें।
पहले जोड़ना : (–6) + 4 × (–3) बराबर (–2) × (–3) नहीं। पहले गुणा।
शुरू से पहले गुणा वाले हिस्सों को रेखांकित करें। याद रखने की युक्ति : "पहले गुणा, फिर जोड़।"
अंतर पहचानें
| शब्द | पूर्णांक |
|---|---|
| वृद्धि, लाभ, जमा | + |
| गिरावट, हानि, निकासी | – |
अभ्यास के प्रश्न
- 1तापमान 6°C, 11 की गिरावट। नया तापमान (°C)?
- 2लिफ़्ट –2 मंज़िल पर, 7 मंज़िल ऊपर। मंज़िल?
- 3दुकान को रोज़ ₹45 हानि, 4 दिन। कुल बदलाव (₹)?
- 4सही +3, ग़लत –1 : 12 सही, 5 ग़लत। स्कोर?
- 5ज्ञात कीजिए (–10) + 3 × (–4)।
- 6₹240 का क़र्ज़ (–240) 6 लोगों में बराबर। हर का हिस्सा?
- 7ज्ञात कीजिए (–36) ÷ 4 – (–7)।
- 820 प्रश्न सब हल किए : +4 सही, –2 ग़लत, स्कोर 38। सही कितने?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1–5
- 25
- 3–180
- 431
- 5–22
- 6–40
- 7–2
- 813