गुणनखंड, गुणज और अभाज्य गुणनखंडन
12 चॉकलेट 1, 2, 3, 4, 6 या 12 दोस्तों में बराबर बँट सकती हैं। ये गुणनखंड हैं।
गुणनखंड संख्या को पूरा भाग देता है; गुणज पहाड़े में आता है। अभाज्य के ठीक दो गुणनखंड (1 और वह स्वयं)। हर संख्या अभाज्यों का गुणनफल है : अभाज्य गुणनखंडन।
आकृति में : गुणनखंड वृक्ष : केवल अभाज्य बचने तक तोड़ें।
गुणनखंड, गुणज और अभाज्य गुणनखंडन
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : गुणनखंड जोड़ी में खोजें — 1, 2, 3 … जाँचें और साथी लिखें।
- आसान : 20 के गुणनखंड : 1×20, 2×10, 4×5 → 6।
- मध्यम : 36 के गुणनखंड : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 → 9।
- परीक्षा-प्रकार : 7, 91 का गुणनखंड है क्योंकि 7 × 13 = 91।
नियम 2 : अभाज्य गुणनखंडन — 2, 3, 5, 7 … से भाग देते हुए 1 तक जाएँ।
- आसान : 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²।
- मध्यम : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5।
- परीक्षा-प्रकार : 84 = 2² × 3 × 7।
नियम 3 : उभयनिष्ठ गुणनखंड और उभयनिष्ठ गुणज — दोनों की सूची बनाकर दोनों में आने वाले चुनें।
- आसान : 16 और 24 के उभयनिष्ठ गुणनखंड : 1, 2, 4, 8।
- मध्यम : 4 और 6 के उभयनिष्ठ गुणज : 12, 24, 36 …
- परीक्षा-प्रकार : 1 हर जोड़ी का उभयनिष्ठ गुणनखंड।
हर संख्या के गुणनखंड 1 और वह स्वयं; 1 अभाज्य नहीं।
1 को अभाज्य कहना। अभाज्य के ठीक दो गुणनखंड होते हैं।
पहले 2, 3, 5 की विभाज्यता जाँचें (अंतिम अंक, अंकों का योग)। याद रखने की युक्ति : "अभाज्य : ठीक दो गुणनखंड।"
अंतर पहचानें
| पद | संख्या से छोटा/बड़ा? |
|---|---|
| गुणनखंड | ≤ |
| गुणज | ≥ |
अभ्यास के प्रश्न
- 120 के कितने गुणनखंड?
- 2क्या 7, 91 का गुणनखंड है?
- 316 और 24 के उभयनिष्ठ गुणनखंड कितने?
- 484 का अभाज्य गुणनखंडन?
- 536 के कितने गुणनखंड?
- 613 का चौथा गुणज?
- 7ठीक 3 गुणनखंड वाली सबसे छोटी संख्या?
- 8210 के भिन्न अभाज्य गुणनखंडों का योग?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16
- 2हाँ
- 34
- 42² × 3 × 7
- 59
- 652
- 74
- 817
महत्तम समापवर्तक (म.स.)
360 cm × 240 cm फ़र्श पर बिना काटे वर्गाकार टाइलें लगानी हैं। दोनों लंबाइयों में बैठने वाली सबसे बड़ी टाइल म.स. है।
दो या अधिक संख्याओं का म.स. वह सबसे बड़ी संख्या है जो सबको पूरा भाग दे। उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखकर या उभयनिष्ठ अभाज्य उनके छोटे घात के साथ लेकर निकालें।
आकृति में : 12 और 18 के उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 2, 3, 6; सबसे बड़ा 6।
महत्तम समापवर्तक (म.स.)
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखें — दोनों सूचियों का सबसे बड़ा गुणनखंड चुनें।
- आसान : 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18 → म.स. 6।
- मध्यम : म.स.(20, 30) = 10।
- परीक्षा-प्रकार : म.स.(15, 28) = 1।
नियम 2 : अभाज्य गुणनखंड विधि — सबमें उभयनिष्ठ अभाज्य, हर एक का छोटा घात, गुणा करें।
- आसान : 54 = 2 × 3³, 72 = 2³ × 3² → म.स. = 2 × 3² = 18।
- मध्यम : 84 = 2²×3×7, 126 = 2×3²×7 → म.स. = 2×3×7 = 42।
- परीक्षा-प्रकार : म.स.(24, 36, 60) = 12।
नियम 3 : सबसे बड़ा समान टुकड़ा म.स. — दो लंबाइयों के सबसे लंबे समान टुकड़ों के लिए म.स.।
- आसान : फ़ीते 45 m और 75 m : सबसे लंबा टुकड़ा 15 मी।
- मध्यम : फ़र्श 360 × 240 cm : टाइल 120 cm।
- परीक्षा-प्रकार : दो भिन्न अभाज्यों का म.स. 1।
म.स. सबसे छोटी संख्या से बड़ा नहीं होता।
हर अभाज्य का बड़ा घात लेना। म.स. के लिए छोटा लें।
म.स. = केवल सबमें उभयनिष्ठ अभाज्य लें। याद रखने की युक्ति : "म.स. : उभयनिष्ठ अभाज्य, छोटे घात।"
अंतर पहचानें
| विधि | घात |
|---|---|
| HCF | छोटा |
| LCM | बड़ा |
अभ्यास के प्रश्न
- 136, 48 का म.स.
- 254, 72 का म.स.
- 315, 28 का म.स.
- 484, 126 का म.स.
- 524, 36, 60 का म.स.
- 645, 75 का म.स.
- 7फ़र्श 360 × 240 cm : सबसे बड़ी वर्ग टाइल की भुजा (cm)?
- 8144, 180, 216 का म.स.
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 112
- 218
- 31
- 442
- 512
- 615
- 7120
- 836
लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.)
दो बसें हर 4 और 6 मिनट पर चलती हैं। फिर साथ कब? ल.स. पर।
संख्याओं का ल.स. वह सबसे छोटी संख्या है जो सबका गुणज हो। गुणज लिखकर या हर अभाज्य उसके बड़े घात के साथ लेकर निकालें।
आकृति में : 4 और 6 के गुणज पहली बार 12 पर मिलते हैं।
लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.)
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : गुणज लिखें — सब सूचियों में पहली आने वाली संख्या ल.स.।
- आसान : 4 : 4, 8, 12 …; 6 : 6, 12 … → ल.स. 12।
- मध्यम : ल.स.(5, 10) = 10।
- परीक्षा-प्रकार : ल.स.(3, 7) = 21।
नियम 2 : अभाज्य गुणनखंड विधि — जो अभाज्य आए उसे बड़े घात के साथ लें।
- आसान : 18 = 2×3², 24 = 2³×3 → ल.स. = 2³×3² = 72।
- मध्यम : 12, 15, 20 → ल.स. = 2²×3×5 = 60।
- परीक्षा-प्रकार : ल.स.(6, 8, 10) = 120।
नियम 3 : अगली साथ मुलाक़ात ल.स. — दोहराई घटनाएँ ल.स. के बाद फिर साथ आती हैं।
- आसान : बत्तियाँ 6 से और 8 से : हर 24 से साथ।
- मध्यम : 60 का सबसे छोटा चार अंकों का गुणज 1020।
- परीक्षा-प्रकार : सह-अभाज्यों का ल.स. = गुणनफल।
ल.स. सबसे बड़ी संख्या से छोटा नहीं होता।
गुणनफल 4 × 6 = 24 को ल.स. कहना। उभयनिष्ठ भाग हटाएँ : 12।
जाँचें : ल.स. हर संख्या से पूरा विभाजित हो। याद रखने की युक्ति : "ल.स. : सब अभाज्य, बड़े घात।"
अंतर पहचानें
| प्रश्न प्रकार | प्रयोग |
|---|---|
| सबसे बड़े समान टुकड़े | HCF |
| फिर साथ | LCM |
अभ्यास के प्रश्न
- 14, 6 का ल.स.
- 25, 10 का ल.स.
- 38, 12 का ल.स.
- 418, 24 का ल.स.
- 512, 15, 20 का ल.स.
- 66, 8, 10 का ल.स.
- 7घंटियाँ 12 और 18 मिनट पर बजती हैं। साथ कितने मिनट बाद?
- 828, 42, 63 का ल.स.
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 112
- 210
- 324
- 472
- 560
- 6120
- 736
- 8252
भाग विधि और म.स. × ल.स.
1071 और 462 जैसी बड़ी लंबाइयों के लिए गुणनखंड लिखना बहुत लंबा। भाग की सीढ़ी तीन चरणों में काम कर देती है।
भाग विधि में बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें, फिर भाजक को शेष से भाग दें, आदि। अंतिम शून्येतर भाजक = म.स.। दो संख्याओं के लिए म.स. × ल.स. = संख्याओं का गुणनफल। म.स. 1 वाली संख्याएँ सह-अभाज्य।
आकृति में : शेष 0 आने तक बार-बार भाग दें।
भाग विधि और म.स. × ल.स.
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : भाग के चरण — बड़ी = भागफल × छोटी + शेष; (छोटी, शेष) से दोहराएँ।
- आसान : म.स.(48, 18): 48 = 2×18 + 12; 18 = 1×12 + 6; 12 = 2×6 → 6।
- मध्यम : म.स.(105, 45): 105 = 2×45 + 15; 45 = 3×15 → 15।
- परीक्षा-प्रकार : म.स.(1071, 462) = 21।
नियम 2 : म.स. × ल.स. = गुणनफल — लुप्त संख्या निकालने के लिए प्रयोग करें।
- आसान : 12 और 18 : म.स. 6, ल.स. 36, 6 × 36 = 216 = 12 × 18।
- मध्यम : म.स. 4, ल.स. 60, एक संख्या 12 → दूसरी 4×60÷12 = 20।
- परीक्षा-प्रकार : म.स. 9, ल.स. 90, एक 18 → दूसरी 45।
नियम 3 : सह-अभाज्य संख्याएँ — जिनका एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 वे सह-अभाज्य।
- आसान : 8 और 15 सह-अभाज्य।
- मध्यम : सह-अभाज्य स्वयं अभाज्य हों, ज़रूरी नहीं : 14 और 25।
- परीक्षा-प्रकार : क्रमागत संख्याएँ सदा सह-अभाज्य।
म.स. × ल.स. = गुणनफल केवल दो संख्याओं के लिए।
तीन संख्याओं के लिए प्रयोग करना। वहाँ यह सही नहीं।
अगला भाग हमेशा भाजक को शेष से। याद रखने की युक्ति : "शेष बनता है भाजक।"
अंतर पहचानें
| जोड़ी | HCF | LCM |
|---|---|---|
| 8, 15 | 1 | 120 |
| 12, 18 | 6 | 36 |
अभ्यास के प्रश्न
- 148 और 18 का म.स. भाग विधि से?
- 2105 और 45 का म.स.?
- 3क्या 8 और 15 सह-अभाज्य हैं?
- 4म.स. 6, ल.स. 36 : दोनों संख्याओं का गुणनफल?
- 5म.स. 4, ल.स. 60, एक संख्या 12। दूसरी?
- 6119 और 34 का म.स.?
- 71071 और 462 का म.स.?
- 8म.स. 9, ल.स. 90, एक 18। दूसरी?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16
- 215
- 3हाँ
- 4216
- 520
- 617
- 721
- 845
म.स. और ल.स. के शब्द-प्रश्न
रस्सी के सबसे लंबे समान टुकड़े, टीमें बनाना, फ़र्श पर टाइल, बसों का समय : हर एक में म.स. या ल.स. छिपा है।
पूछें : सबसे बड़ा समान भाग (म.स.) चाहिए या फिर मेल की पहली बार (ल.स.)? शेष हो तो शेष घटाकर म.स., या ल.स. निकालकर शेष जोड़ें।
आकृति में : फ़र्श 240 × 120 : सबसे बड़ी वर्ग टाइल 60 (म.स.)।
म.स. और ल.स. के शब्द-प्रश्न
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : म.स. प्रश्न — शब्द : सबसे बड़ा, समान टुकड़े, समूह, टाइलें।
- आसान : रस्सियाँ 48 m और 72 m : सबसे लंबा टुकड़ा 24 मी।
- मध्यम : 24 लड़के और 36 लड़कियाँ : अधिकतम 12 टीमें।
- परीक्षा-प्रकार : कमरा 420 × 300 cm : टाइल 60 cm, संख्या (420÷60)×(300÷60) = 35।
नियम 2 : ल.स. प्रश्न — शब्द : फिर साथ, सबसे छोटा, कितनी देर बाद।
- आसान : बसें हर 15 और 20 मिनट : 60 मिनट बाद साथ।
- मध्यम : घंटियाँ 10, 12, 15 मिनट : 60 मिनट बाद साथ।
- परीक्षा-प्रकार : 12 और 15 का सबसे छोटा तीन अंकों का गुणज 120।
नियम 3 : शेष वाले प्रश्न — सब भाजकों से समान शेष : ल.स. + शेष। शेष r रहे : (संख्या – r) का म.स.।
- आसान : 4 और 6 से भाग पर शेष 1 : 12 + 1 = 13।
- मध्यम : 6, 8, 12 से शेष 5 : 24 + 5 = 29।
- परीक्षा-प्रकार : 85 और 134 से शेष 1 : म.स.(84, 133) = 7।
सबसे बड़ा → म.स.; सबसे छोटा/फिर साथ → ल.स.।
म.स. प्रश्न में शेष जोड़ना। वहाँ पहले घटाना है।
चुनने से पहले मुख्य शब्द रेखांकित करें। याद रखने की युक्ति : "बड़ा हिस्सा : म.स.। फिर मिलन : ल.स.।"
अंतर पहचानें
| मुख्य शब्द | प्रयोग |
|---|---|
| सबसे बड़ा, समान टुकड़े | HCF |
| सबसे छोटा, फिर साथ | LCM |
अभ्यास के प्रश्न
- 1रस्सियाँ 48 m और 72 m : सबसे लंबा समान टुकड़ा (m)?
- 2बत्तियाँ 6 से और 8 से। साथ कितने सेकंड बाद?
- 324 लड़के और 36 लड़कियाँ : अधिकतम समान टीमें?
- 44 और 6 से भाग पर शेष 1 वाली सबसे छोटी संख्या (1 से बड़ी)?
- 512 और 15 का सबसे छोटा तीन अंकों का गुणज?
- 6कमरा 420 × 300 cm, टाइल 60 cm : टाइलों की संख्या?
- 76, 8, 12 से भाग पर शेष 5 वाली सबसे छोटी संख्या?
- 885 और 134 को भाग देकर प्रत्येक में शेष 1 छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 124
- 224
- 312
- 413
- 5120
- 635
- 729
- 87