अवयव, पटीतील संख्या व मूळ अवयव
12 चॉकलेटे 1, 2, 3, 4, 6 किंवा 12 मित्रांत समान वाटता येतात. हे गट म्हणजे 12 चे अवयव.
अवयव संख्येला पूर्ण भागतो; पटीतील संख्या पाढ्यात येते. मूळ संख्येला फक्त दोन अवयव (1 व ती स्वतः). प्रत्येक संख्या मूळ संख्यांचा गुणाकार असते : मूळ अवयव.
आकृतीत : अवयव-वृक्ष : फक्त मूळ संख्या उरेपर्यंत फोडा.
अवयव, पटीतील संख्या व मूळ अवयव
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : अवयव जोडीने शोधा — 1, 2, 3 … तपासा व जोडीदार लिहा.
- सोपे : 20 चे अवयव : 1×20, 2×10, 4×5 → 6.
- मध्यम : 36 चे अवयव : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 → 9.
- परीक्षेसाठी : 7 हा 91 चा अवयव, कारण 7 × 13 = 91.
नियम 2 : मूळ अवयव पाडणे — 2, 3, 5, 7 … ने भागत 1 येईपर्यंत जा.
- सोपे : 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3².
- मध्यम : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.
- परीक्षेसाठी : 84 = 2² × 3 × 7.
नियम 3 : साधारण अवयव व साधारण पटी — दोन्ही संख्यांच्या याद्या करून दोन्हीत आलेले निवडा.
- सोपे : 16 व 24 चे साधारण अवयव : 1, 2, 4, 8.
- मध्यम : 4 व 6 च्या साधारण पटी : 12, 24, 36 …
- परीक्षेसाठी : 1 हा प्रत्येक जोडीचा साधारण अवयव.
प्रत्येक संख्येला 1 व ती स्वतः अवयव; 1 मूळ संख्या नाही.
1 ला मूळ संख्या म्हणणे. मूळ संख्येला दोन अवयव हवेत.
आधी 2, 3, 5 ची विभाज्यता तपासा (शेवटचा अंक, अंकांची बेरीज). आठवणीची युक्ती : "मूळ : नेमके दोन अवयव."
फरक ओळखा
| संज्ञा | संख्येपेक्षा लहान/मोठा? |
|---|---|
| अवयव | ≤ |
| पटीतील संख्या | ≥ |
सरावासाठी प्रश्न
- 120 ला किती अवयव?
- 27 हा 91 चा अवयव आहे का?
- 316 व 24 चे साधारण अवयव किती?
- 484 चे मूळ अवयव?
- 536 ला किती अवयव?
- 613 ची चौथी पटीतील संख्या?
- 7नेमके 3 अवयव असलेली लहानात लहान संख्या?
- 8210 च्या वेगवेगळ्या मूळ अवयवांची बेरीज?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16
- 2होय
- 34
- 42² × 3 × 7
- 59
- 652
- 74
- 817
मसावि (महत्तम साधारण विभाजक)
360 cm × 240 cm फरशीवर न कापता चौरस टाइल्स बसवायच्या. दोन्ही लांबींत बसणारी सर्वात मोठी टाइल म्हणजे मसावि.
दोन किंवा अधिक संख्यांचा मसावि म्हणजे त्या सर्वांना पूर्ण भागणारी सर्वात मोठी संख्या. साधारण अवयव लिहून किंवा समान मूळ अवयव त्यांच्या लहान घातांसह घेऊन काढा.
आकृतीत : 12 व 18 चे साधारण अवयव 1, 2, 3, 6; सर्वात मोठा 6.
मसावि (महत्तम साधारण विभाजक)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : साधारण अवयव लिहा — दोन्ही याद्यांतील सर्वात मोठा अवयव निवडा.
- सोपे : 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18 → मसावि 6.
- मध्यम : मसावि(20, 30) = 10.
- परीक्षेसाठी : मसावि(15, 28) = 1.
नियम 2 : मूळ अवयव पद्धत — सर्वांत समान मूळ अवयव, प्रत्येकाचा लहान घात, गुणा.
- सोपे : 54 = 2 × 3³, 72 = 2³ × 3² → मसावि = 2 × 3² = 18.
- मध्यम : 84 = 2²×3×7, 126 = 2×3²×7 → मसावि = 2×3×7 = 42.
- परीक्षेसाठी : मसावि(24, 36, 60) = 12.
नियम 3 : सर्वात मोठा समान तुकडा म्हणून मसावि — दोन लांबींचे सर्वांत लांब समान तुकडे करताना मसावि.
- सोपे : फिती 45 मी व 75 मी : सर्वात लांब तुकडा 15 मी.
- मध्यम : फरशी 360 × 240 cm : टाइल 120 cm.
- परीक्षेसाठी : दोन वेगळ्या मूळ संख्यांचा मसावि 1.
मसावि सर्वात लहान संख्येपेक्षा मोठा नसतो.
प्रत्येक मूळ अवयवाचा मोठा घात घेणे. मसावि साठी लहान घ्या.
मसावि = सर्वांत समान मूळ अवयवच घ्या. आठवणीची युक्ती : "मसावि : समान मूळ, लहान घात."
फरक ओळखा
| पद्धत | घात |
|---|---|
| HCF | लहान |
| LCM | मोठा |
सरावासाठी प्रश्न
- 136, 48 चा मसावि
- 254, 72 चा मसावि
- 315, 28 चा मसावि
- 484, 126 चा मसावि
- 524, 36, 60 चा मसावि
- 645, 75 चा मसावि
- 7फरशी 360 × 240 cm : सर्वात मोठ्या चौरस टाइलची बाजू (cm)?
- 8144, 180, 216 चा मसावि
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 112
- 218
- 31
- 442
- 512
- 615
- 7120
- 836
लसावि (लघुत्तम साधारण विभाज्य)
दोन बस दर 4 व 6 मिनिटांनी सुटतात. परत एकत्र किती मिनिटांनी? लसावि ला.
संख्यांचा लसावि म्हणजे त्या सर्वांची सर्वात लहान सामायिक पटीतील संख्या. पटी लिहून किंवा प्रत्येक मूळ अवयव त्याच्या मोठ्या घातासह घेऊन काढा.
आकृतीत : 4 व 6 च्या पटी प्रथम 12 वर भेटतात.
लसावि (लघुत्तम साधारण विभाज्य)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : पटी लिहा — सर्व याद्यांत प्रथम येणारी संख्या लसावि.
- सोपे : 4 : 4, 8, 12 …; 6 : 6, 12 … → लसावि 12.
- मध्यम : लसावि(5, 10) = 10.
- परीक्षेसाठी : लसावि(3, 7) = 21.
नियम 2 : मूळ अवयव पद्धत — जो मूळ अवयव येतो तो मोठ्या घातासह घ्या.
- सोपे : 18 = 2×3², 24 = 2³×3 → लसावि = 2³×3² = 72.
- मध्यम : 12, 15, 20 → लसावि = 2²×3×5 = 60.
- परीक्षेसाठी : लसावि(6, 8, 10) = 120.
नियम 3 : पुढची एकत्र भेट म्हणजे लसावि — पुनरावृत्ती घटना लसावि नंतर पुन्हा एकत्र येतात.
- सोपे : दिवे 6 से व 8 से : दर 24 से एकत्र.
- मध्यम : 60 ची सर्वात लहान चार अंकी पटीतील संख्या 1020.
- परीक्षेसाठी : परस्पर मूळ संख्यांचा लसावि = गुणाकार.
लसावि सर्वात मोठ्या संख्येपेक्षा लहान नसतो.
गुणाकार 4 × 6 = 24 लसावि म्हणणे. समान भाग वगळा : 12.
तपासा : लसावि प्रत्येक संख्येने पूर्ण भागला पाहिजे. आठवणीची युक्ती : "लसावि : सर्व मूळ, मोठे घात."
फरक ओळखा
| प्रश्न प्रकार | वापरा |
|---|---|
| सर्वांत मोठे समान तुकडे | HCF |
| पुन्हा एकत्र | LCM |
सरावासाठी प्रश्न
- 14, 6 चा लसावि
- 25, 10 चा लसावि
- 38, 12 चा लसावि
- 418, 24 चा लसावि
- 512, 15, 20 चा लसावि
- 66, 8, 10 चा लसावि
- 7घंटा 12 व 18 मिनिटांनी वाजतात. एकत्र किती मिनिटांनी?
- 828, 42, 63 चा लसावि
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 112
- 210
- 324
- 472
- 560
- 6120
- 736
- 8252
भागाकार पद्धत व मसावि × लसावि
1071 व 462 सारख्या मोठ्या लांबींसाठी अवयव लिहिणे फार वेळखाऊ. भागाकाराची शिडी तीन पायऱ्यांत काम करते.
भागाकार पद्धतीत मोठ्या संख्येला लहानाने भागा, मग भाजकाला बाकीने भागा, असे चालू ठेवा. शेवटचा शून्येतर भाजक = मसावि. दोन संख्यांसाठी मसावि × लसावि = संख्यांचा गुणाकार. मसावि 1 असलेल्या संख्या परस्पर मूळ.
आकृतीत : बाकी 0 येईपर्यंत पुन्हा पुन्हा भागा.
भागाकार पद्धत व मसावि × लसावि
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : भागाकाराच्या पायऱ्या — मोठी = भागाकार × लहान + बाकी; (लहान, बाकी) ने पुन्हा.
- सोपे : मसावि(48, 18): 48 = 2×18 + 12; 18 = 1×12 + 6; 12 = 2×6 → 6.
- मध्यम : मसावि(105, 45): 105 = 2×45 + 15; 45 = 3×15 → 15.
- परीक्षेसाठी : मसावि(1071, 462) = 21.
नियम 2 : मसावि × लसावि = गुणाकार — हरवलेली संख्या काढण्यासाठी वापरा.
- सोपे : 12 व 18 : मसावि 6, लसावि 36, 6 × 36 = 216 = 12 × 18.
- मध्यम : मसावि 4, लसावि 60, एक संख्या 12 → दुसरी 4×60÷12 = 20.
- परीक्षेसाठी : मसावि 9, लसावि 90, एक 18 → दुसरी 45.
नियम 3 : परस्पर मूळ संख्या — ज्यांचा एकच साधारण अवयव 1 त्या परस्पर मूळ.
- सोपे : 8 व 15 परस्पर मूळ.
- मध्यम : परस्पर मूळ संख्या स्वतः मूळ असतीलच असे नाही : 14 व 25.
- परीक्षेसाठी : लागोपाठ संख्या नेहमी परस्पर मूळ.
मसावि × लसावि = गुणाकार हे फक्त दोन संख्यांसाठी.
तीन संख्यांसाठी वापरणे. तिथे ते खरे नाही.
पुढचा भाग नेहमी भाजकाला बाकीने. आठवणीची युक्ती : "बाकी बनतो भाजक."
फरक ओळखा
| जोडी | HCF | LCM |
|---|---|---|
| 8, 15 | 1 | 120 |
| 12, 18 | 6 | 36 |
सरावासाठी प्रश्न
- 148 व 18 चा मसावि भागाकाराने?
- 2105 व 45 चा मसावि?
- 38 व 15 परस्पर मूळ आहेत का?
- 4मसावि 6, लसावि 36 : दोन संख्यांचा गुणाकार?
- 5मसावि 4, लसावि 60, एक संख्या 12. दुसरी?
- 6119 व 34 चा मसावि?
- 71071 व 462 चा मसावि?
- 8मसावि 9, लसावि 90, एक 18. दुसरी?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16
- 215
- 3होय
- 4216
- 520
- 617
- 721
- 845
मसावि व लसावि शब्दगणिते
दोरीचे सर्वात लांब समान तुकडे, संघ बनवणे, फरशी लावणे, बसच्या वेळा : सगळ्यांत मसावि किंवा लसावि लपलेला असतो.
विचारा : सर्वात मोठा समान वाटा (मसावि) हवा की पुन्हा जुळण्याची पहिली वेळ (लसावि)? बाकी असल्यास बाकी वजा करून मसावि, किंवा लसावि काढून बाकी मिळवा.
आकृतीत : फरशी 240 × 120 : सर्वात मोठी चौरस टाइल 60 (मसावि).
मसावि व लसावि शब्दगणिते
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : मसावि प्रश्न — शब्द : सर्वात मोठा, समान तुकडे, गट, टाइल्स.
- सोपे : दोऱ्या 48 मी व 72 मी : सर्वात लांब तुकडा 24 मी.
- मध्यम : 24 मुले व 36 मुली : जास्तीत जास्त 12 संघ.
- परीक्षेसाठी : खोली 420 × 300 cm : टाइल 60 cm, संख्या (420÷60)×(300÷60) = 35.
नियम 2 : लसावि प्रश्न — शब्द : पुन्हा एकत्र, सर्वात लहान, किती वेळाने.
- सोपे : बस दर 15 व 20 मिनिटे : 60 मिनिटांनी एकत्र.
- मध्यम : घंटा 10, 12, 15 मिनिटांनी : 60 मिनिटांनी एकत्र.
- परीक्षेसाठी : 12 व 15 ची सर्वात लहान तीन अंकी पटीतील संख्या 120.
नियम 3 : बाकीचे प्रश्न — सर्व भाजकांना समान बाकी : लसावि + बाकी. बाकी r उरते : (संख्या – r) चा मसावि.
- सोपे : 4 व 6 ने भागल्यास बाकी 1 : 12 + 1 = 13.
- मध्यम : 6, 8, 12 ने बाकी 5 : 24 + 5 = 29.
- परीक्षेसाठी : 85 व 134 ला बाकी 1 : मसावि(84, 133) = 7.
सर्वात मोठा → मसावि; सर्वात लहान/पुन्हा एकत्र → लसावि.
मसावि प्रश्नात बाकी मिळवणे. तिथे आधी वजा करायची.
निवड करण्यापूर्वी मुख्य शब्दांना रेघ मारा. आठवणीची युक्ती : "मोठा वाटा : मसावि. पुन्हा भेट : लसावि."
फरक ओळखा
| मुख्य शब्द | वापरा |
|---|---|
| सर्वात मोठा, समान तुकडे | HCF |
| सर्वात लहान, पुन्हा एकत्र | LCM |
सरावासाठी प्रश्न
- 1दोऱ्या 48 मी व 72 मी : सर्वात लांब समान तुकडा (मी)?
- 2दिवे 6 से व 8 से. एकत्र किती सेकंदांनी?
- 324 मुले व 36 मुली : जास्तीत जास्त समान संघ?
- 44 व 6 ने भागल्यास बाकी 1 उरणारी सर्वात लहान संख्या (1 पेक्षा मोठी)?
- 512 व 15 ची सर्वात लहान तीन अंकी पटीतील संख्या?
- 6खोली 420 × 300 cm, टाइल 60 cm : टाइल्सची संख्या?
- 76, 8, 12 ने भागल्यास बाकी 5 उरणारी सर्वात लहान संख्या?
- 885 व 134 ला भागून प्रत्येकी बाकी 1 उरवणारी सर्वात मोठी संख्या?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 124
- 224
- 312
- 413
- 5120
- 635
- 729
- 87