रेषाखंड व कोनांचे दुभाजक
कागद असा दुमडा की दोन बिंदू एकमेकांवर येतात; घडी म्हणजे त्यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचा लंबदुभाजक.
लंबदुभाजक रेषाखंडाला 90° ने दोन समान भागांत कापतो; त्याचा प्रत्येक बिंदू दोन्ही टोकांपासून सारख्या अंतरावर. कोनदुभाजक कोनाचे दोन समान कोन करतो. दोन्ही कंपास व पट्टीने काढतात.
आकृतीत : लंबदुभाजकावरील प्रत्येक बिंदू P साठी PA = PB.
रेषाखंड व कोनांचे दुभाजक
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआकृतीत : कोनदुभाजक कोनाचे निम्मे करतो.
रेषाखंड व कोनांचे दुभाजक
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : लंबदुभाजकाच्या पायऱ्या — कंपास AB च्या निम्म्यापेक्षा जास्त उघडा; A व B पासून कंस; दोन छेदबिंदू जोडा.
- सोपे : AB = 10 cm → AM = 5 cm.
- मध्यम : दुभाजकावरील P साठी PA = 6 → PB = 6.
- परीक्षेसाठी : PA = 4, PB = 9 असलेला P त्यावर नाही.
नियम 2 : कोनदुभाजकाच्या पायऱ्या — दोन्ही भुजांवर कंस; त्या बिंदूंपासून समान कंस छेदवा; शिरोबिंदू व छेदबिंदू जोडा.
- सोपे : 100° चे दुभाजन → प्रत्येकी 50°.
- मध्यम : 90° दुभागून एक भाग पुन्हा → 22.5°.
- परीक्षेसाठी : 70° → प्रत्येकी 35°.
नियम 3 : परिकेंद्र — तीन बाजूंचे लंबदुभाजक एका बिंदूत भेटतात; तो सर्व शिरोबिंदूंपासून सारख्या अंतरावर.
- सोपे : दोन दुभाजक काढा; छेदबिंदू केंद्र.
- मध्यम : त्रिकोणाभोवतीचे वर्तुळ तिथे केंद्र.
- परीक्षेसाठी : दोन दुभाजक पुरेसे; तिसरा त्याच बिंदूतून.
लंबदुभाजक : 90° व मध्यबिंदू.
कंपास नेमका निम्मा उघडणे. तो निम्म्यापेक्षा जास्त हवा.
दोन्ही कंसांसाठी कंपासची रुंदी सारखी ठेवा. आठवणीची युक्ती : "सारखी रुंदी, कंस छेदवा."
फरक ओळखा
| दुभाजक | विभागतो |
|---|---|
| लंबदुभाजक | रेषाखंड, 90° ने |
| कोनदुभाजक | कोन दोन समान भागांत |
सरावासाठी प्रश्न
- 1AB = 10 cm, लंबदुभाजक AB ला M वर भेटतो. AM (cm)?
- 2P हा AB च्या लंबदुभाजकावर, PA = 6 cm. PB (cm)?
- 3100° दुभागा. प्रत्येक भाग (अंश)?
- 470° दुभागा. प्रत्येक भाग (अंश)?
- 590° दुभागा, एक भाग पुन्हा दुभागा. सर्वात लहान कोन?
- 6AB = 8 cm दुभागण्यासाठी कंपास उघडणे (cm) पेक्षा जास्त हवे?
- 7PA = 4, PB = 9 असलेला बिंदू लंबदुभाजकावर आहे का?
- 8त्रिकोणाच्या बाजूंचे लंबदुभाजक भेटतात त्या बिंदूला…
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 15
- 26
- 350
- 435
- 522.5
- 64
- 7नाही
- 8परिकेंद्र
त्रिकोण रचना
3, 4, 5 cm च्या तीन काड्यांचा त्रिकोण होतो, पण 5, 6, 12 cm चा होत नाही : दोन लहान काड्या एकमेकांना पोहोचत नाहीत.
कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्यापेक्षा जास्त असेल तर त्रिकोण होतो. त्रिकोण SSS, SAS किंवा ASA मापांनी निश्चित होतो; AAA फक्त आकार ठरवतो. तीन कोनांची बेरीज 180°.
आकृतीत : 3, 4, 5 बाजू चालतात; 5, 6, 12 नाही.
त्रिकोण रचना
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : त्रिकोण असमानता चाचणी — दोन लहान बाजू जोडा; सर्वात मोठीशी तुलना.
- सोपे : 3, 4, 5 : 3 + 4 = 7 > 5 → शक्य.
- मध्यम : 5, 6, 12 : 5 + 6 = 11 < 12 → अशक्य.
- परीक्षेसाठी : 4, 4, 9 : 4 + 4 = 8 < 9 → अशक्य.
नियम 2 : तिसऱ्या बाजूची श्रेणी — तिसरी बाजू इतर दोहोंच्या फरक व बेरीज यांच्या मध्ये.
- सोपे : 5 व 8 : तिसरी 3 ते 13 दरम्यान → 9 चालते.
- मध्यम : 6 व 10 : पूर्ण संख्या 5 ते 15.
- परीक्षेसाठी : 6 व 9 : सर्वात मोठी पूर्ण तिसरी बाजू 14.
नियम 3 : त्रिकोण काय निश्चित करते — SSS, SAS, ASA एकच त्रिकोण देतात; AAA नाही.
- सोपे : 6, 7, 8 बाजूंनी एकच त्रिकोण.
- मध्यम : कोन 50° व 60° : तिसरा 70°.
- परीक्षेसाठी : कोन गुणोत्तर 1 : 2 : 3 → 30°, 60°, 90°.
दोन बाजू मिळून तिसरीपेक्षा मोठ्या हव्यात.
दोन मोठ्या बाजू तपासणे. दोन लहान बाजू मोठीशी तपासा.
दोन लहान बाजूंची बेरीज सर्वात मोठीपेक्षा जास्त. आठवणीची युक्ती : "दोन लहान लांबीला हरवतात."
फरक ओळखा
| दिलेले | एकच त्रिकोण? |
|---|---|
| SSS, SAS, ASA | होय |
| AAA | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 15, 7, 9 बाजूंचा त्रिकोण होतो का?
- 24, 4, 9 बाजूंचा त्रिकोण होतो का?
- 3दोन कोन 35° व 65°. तिसरा (अंश)?
- 4दोन बाजू 6 व 10. सर्वात लहान पूर्ण तिसरी बाजू?
- 5दोन बाजू 6 व 10. सर्वात मोठी पूर्ण तिसरी बाजू?
- 6तीन कोन दिल्याने एकच त्रिकोण ठरतो का?
- 7कोन 2 : 3 : 4 गुणोत्तरात. सर्वात मोठा (अंश)?
- 8कोन 1 : 2 : 3 गुणोत्तरात. सर्वात मोठा (अंश)?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय
- 2नाही
- 380
- 45
- 515
- 6नाही
- 780
- 890
विशेष कोनांची रचना
फक्त कंपास व पट्टीने, कोनमापकाशिवाय, सुतार अचूक 60°, 90°, 45° चे कोपरे आखतात.
कंपासने 60° (सारख्या त्रिज्येचे कंस = समभुज त्रिकोण) व 90° (लंब) मिळतात. कोन दुभागून किंवा जोडून 30°, 45°, 120°, 135° इत्यादी मिळतात.
आकृतीत : 60° दुभागल्यास 30°.
नियम 1 : दुभागून लहान — 60° → 30°; 90° → 45°; 45° → 22.5°; 30° → 15°.
- सोपे : 60° दुभागा → 30°.
- मध्यम : 90° दुभागा → 45°.
- परीक्षेसाठी : 30° दुभागा → 15° (60° चे दोनदा दुभाजन).
नियम 2 : जोडून मोठे — दोन रचित कोन शेजारी ठेवा.
- सोपे : 60° + 60° = 120°.
- मध्यम : 90° + 45° = 135°.
- परीक्षेसाठी : 60° + 15° = 75°; 90° + 15° = 105°.
नियम 3 : सरळ कोनातून वजा — 180° मधून रचित कोन वजा केल्यास पूरक कोन.
- सोपे : 180° – 30° = 150°.
- मध्यम : 180° – 15° = 165°.
- परीक्षेसाठी : 180° – 60° = 120°.
विशेष कोन 60° व 90° पासून दुभागून व जोडून.
50° असा अचूक मिळतो असे समजणे. फक्त 7.5° चे गुणक येतात.
काढण्यापूर्वी कोनाचे बेरीज/निम्मे असे नियोजन करा. आठवणीची युक्ती : "60 व 90, दुभागा व जोडा."
फरक ओळखा
| कोन | कसे |
|---|---|
| 30° | 60° दुभागा |
| 75° | 60° + 15° |
| 135° | 90° + 45° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1कंपासने 60° कोन कोणत्या आकारातून?
- 260° दुभागा. कोन (अंश)?
- 390° दुभागा. कोन (अंश)?
- 460° + 60° =
- 575° = 60° + □. □ =
- 6135° = 90° + □. □ =
- 722.5° हा कोणत्या कोनाचा निम्मा (अंश)?
- 8165° = 180° – □. □ =
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1समभुज त्रिकोण
- 230
- 345
- 4120
- 515
- 645
- 745
- 815
समभुज बहुभुज व फरशी मांडणी
स्नानगृहाच्या फरशीवर सारख्या टाइल्स फट न ठेवता व एकमेकांवर न येता बसतात. सर्व आकार असे बसत नाहीत.
सम बहुभुजाच्या बाजू व कोन समान. आंतरकोन (n – 2) × 180° ÷ n, बाह्यकोन 360° ÷ n. सारखे सम बहुभुज फरशी मांडतात फक्त जर प्रत्येक कोपऱ्याभोवती कोन नेमके 360° भरले.
आकृतीत : प्रत्येक कोपऱ्यात तीन षट्कोन : 3 × 120° = 360°.
नियम 1 : आंतरकोन — त्रिकोण 60°, चौरस 90°, पंचकोन 108°, षट्कोन 120°, अष्टकोन 135°, दशकोन 144°, द्वादशकोन 150°.
- सोपे : षट्कोन : 4 × 180° ÷ 6 = 120°.
- मध्यम : अष्टकोन : 6 × 180° ÷ 8 = 135°.
- परीक्षेसाठी : 12 बाजू : 10 × 180° ÷ 12 = 150°.
नियम 2 : बाह्यकोन — 360° ÷ बाजू; आंतर + बाह्य = 180°.
- सोपे : षट्कोन बाह्य = 360° ÷ 6 = 60°.
- मध्यम : बाह्य 36° → 10 बाजू.
- परीक्षेसाठी : बाह्य 40° → 9 बाजू.
नियम 3 : कोणते आकार एकटे फरशी भरतात? — 360° ला आंतरकोनाने पूर्ण भाग जावा.
- सोपे : त्रिकोण : 360 ÷ 60 = 6 कोपऱ्यात.
- मध्यम : चौरस : 4; षट्कोन : 3.
- परीक्षेसाठी : पंचकोन : 360 ÷ 108 पूर्ण नाही → नाही.
फरशी मांडणीसाठी कोनाने 360° ला पूर्ण भाग जावा.
पंचकोन फरशी भरतात असे समजणे. 108° ने 360° ला भाग जात नाही.
त्रिकोण, चौरस व षट्कोनच एकटे फरशी भरतात. आठवणीची युक्ती : "3, 4, 6 बाजूंचे आकार एकटे बसतात."
फरक ओळखा
| आकार | आंतरकोन | एकटे बसतो? |
|---|---|---|
| Triangle | 60° | होय |
| Hexagon | 120° | होय |
| Pentagon | 108° | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1सम पंचकोनाचा आंतरकोन (अंश)?
- 2सम षट्कोनाचा आंतरकोन (अंश)?
- 3सम अष्टकोनाचा आंतरकोन (अंश)?
- 4सम 12 बाजूंच्या बहुभुजाचा आंतरकोन (अंश)?
- 5सम षट्कोनाचा बाह्यकोन (अंश)?
- 6बाह्यकोन 36°. बाजू किती?
- 7फरशी मांडणीत एका कोपऱ्यात किती सम षट्कोन?
- 8सम पंचकोन एकटे फरशी भरू शकतात का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1108
- 2120
- 3135
- 4150
- 560
- 610
- 73
- 8नाही
मिश्र आकारांनी मांडणी
जुन्या फरशांत दोन आकार मिसळतात, जसे अष्टकोन व छोटे चौरस. प्रत्येक कोपऱ्याभोवती कोनांची बेरीज तरीही नेमकी 360°.
वेगवेगळे सम बहुभुज एकत्र फरशी भरू शकतात जर कोपऱ्यातील आंतरकोनांची बेरीज नेमकी 360° असेल. असलेले कोन जोडा, 360° मधून वजा करून उरलेला कोन पाहा.
आकृतीत : चार 90° कोपरे संपूर्ण 360° भरतात.
नियम 1 : कोपऱ्याची बेरीज तपासा — एका कोपऱ्यातील सर्व आकारांचे आंतरकोन जोडा.
- सोपे : 4 चौरस : 4 × 90° = 360°.
- मध्यम : 3 त्रिकोण + 2 चौरस : 180° + 180° = 360°.
- परीक्षेसाठी : 1 चौरस + 2 अष्टकोन : 90° + 270° = 360°.
नियम 2 : उरलेला कोन शोधा — 360° वजा आधी ठेवलेले कोन.
- सोपे : 2 षट्कोन 240°, उरले 120° → तिसरा षट्कोन.
- मध्यम : 2 पंचकोन 216°, उरले 144° → दशकोन.
- परीक्षेसाठी : 2 द्वादशकोन 300°, उरले 60° → त्रिकोण.
नियम 3 : कोनावरून बहुभुज ओळखा — उरलेला कोन आंतरकोनांच्या यादीशी जुळवा.
- सोपे : उरलेला 90° → चौरस; 120° → षट्कोन.
- मध्यम : आंतरकोन 135° → 8 बाजू.
- परीक्षेसाठी : षट्कोन + चौरस + द्वादशकोन : 120° + 90° + 150° = 360°.
एका कोपऱ्याभोवती कोन एकूण 360° हवेत.
350° वर थांबणे वा 360° पेक्षा जास्त. फट किंवा आच्छादन नको.
ठेवलेले कोन 360° मधून वजा करून उरलेला शोधा. आठवणीची युक्ती : "बेरीज 360, फट नाही, आच्छादन नाही."
फरक ओळखा
| निकाल | अर्थ |
|---|---|
| < 360° | फट |
| > 360° | आच्छादन |
| = 360° | अचूक बसते |
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका बिंदूजवळ 4 चौरस कोपरे एकूण (अंश)?
- 2एका कोपऱ्यात दोन षट्कोन : उरलेला कोन (अंश)?
- 33 त्रिकोण + 2 चौरस : कोपऱ्यात एकूण (अंश)?
- 41 चौरस + 2 अष्टकोन : एकूण (अंश)?
- 51 त्रिकोण + 2 द्वादशकोन : एकूण (अंश)?
- 6षट्कोन + चौरस + द्वादशकोन : एकूण (अंश)?
- 7दोन पंचकोन : उरलेला कोन (अंश)?
- 82 पंचकोन व 1 दशकोन कोपऱ्यात बसतात का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1360
- 2120
- 3360
- 4360
- 5360
- 6360
- 7144
- 8होय