रेखाखंड और कोणों का समद्विभाजन
काग़ज़ को ऐसे मोड़ें कि दो बिंदु एक-दूसरे पर आएँ; सिलवट उन्हें जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है।
लंब समद्विभाजक रेखाखंड को 90° पर दो बराबर भागों में बाँटता है; उसका हर बिंदु दोनों सिरों से बराबर दूरी पर। कोण समद्विभाजक कोण के दो बराबर कोण करता है। दोनों परकार और पटरी से बनते हैं।
आकृति में : लंब समद्विभाजक पर हर बिंदु P के लिए PA = PB।
रेखाखंड और कोणों का समद्विभाजन
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : कोण समद्विभाजक कोण को आधा करता है।
रेखाखंड और कोणों का समद्विभाजन
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : लंब समद्विभाजक के चरण — परकार AB के आधे से अधिक खोलें; A और B से चाप; दोनों कटान बिंदु जोड़ें।
- आसान : AB = 10 cm → AM = 5 cm।
- मध्यम : समद्विभाजक पर P के लिए PA = 6 → PB = 6।
- परीक्षा-प्रकार : PA = 4 और PB = 9 वाला P उस पर नहीं।
नियम 2 : कोण समद्विभाजक के चरण — दोनों भुजाओं पर चाप; उन बिंदुओं से बराबर चाप काटें; शीर्ष और कटान बिंदु जोड़ें।
- आसान : 100° का समद्विभाजन → 50°-50°।
- मध्यम : 90° आधा करके एक भाग फिर → 22.5°।
- परीक्षा-प्रकार : 70° → 35°-35°।
नियम 3 : परिकेंद्र — तीनों भुजाओं के लंब समद्विभाजक एक बिंदु पर मिलते हैं; वह सब शीर्षों से बराबर दूरी पर।
- आसान : दो समद्विभाजक खींचें; कटान बिंदु केंद्र।
- मध्यम : त्रिभुज के चारों ओर का वृत्त वहीं केंद्रित।
- परीक्षा-प्रकार : दो समद्विभाजक पर्याप्त; तीसरा उसी बिंदु से।
लंब समद्विभाजक : 90° और मध्यबिंदु।
परकार ठीक आधा खोलना। वह आधे से अधिक हो।
दोनों चापों के लिए परकार की चौड़ाई समान रखें। याद रखने की युक्ति : "समान चौड़ाई, चाप काटो।"
अंतर पहचानें
| समद्विभाजक | बाँटता है |
|---|---|
| लंब समद्विभाजक | रेखाखंड, 90° पर |
| कोण समद्विभाजक | कोण दो बराबर भागों में |
अभ्यास के प्रश्न
- 1AB = 10 cm, लंब समद्विभाजक AB को M पर मिलता है। AM (cm)?
- 2P, AB के लंब समद्विभाजक पर, PA = 6 cm। PB (cm)?
- 3100° को आधा करें। हर भाग (अंश)?
- 470° को आधा करें। हर भाग (अंश)?
- 590° आधा करें, एक भाग फिर आधा। सबसे छोटा कोण?
- 6AB = 8 cm को समद्विभाजित करने के लिए परकार खोलना (cm) से अधिक हो?
- 7PA = 4, PB = 9 वाला बिंदु लंब समद्विभाजक पर है?
- 8त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक जिस बिंदु पर मिलते हैं उसे…
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 15
- 26
- 350
- 435
- 522.5
- 64
- 7नहीं
- 8परिकेंद्र
त्रिभुज की रचना
3, 4, 5 cm की तीन तीलियों से त्रिभुज बनता है, पर 5, 6, 12 cm से नहीं : दो छोटी तीलियाँ एक-दूसरे तक नहीं पहुँचतीं।
त्रिभुज तब बनता है जब किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी से अधिक हो। त्रिभुज SSS, SAS या ASA मापों से तय होता है; AAA केवल आकार तय करता है। तीनों कोणों का योग 180°।
आकृति में : भुजाएँ 3, 4, 5 चलती हैं; 5, 6, 12 नहीं।
त्रिभुज की रचना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : त्रिभुज असमिका जाँच — दो छोटी भुजाएँ जोड़ें; सबसे बड़ी से तुलना।
- आसान : 3, 4, 5 : 3 + 4 = 7 > 5 → संभव।
- मध्यम : 5, 6, 12 : 5 + 6 = 11 < 12 → असंभव।
- परीक्षा-प्रकार : 4, 4, 9 : 4 + 4 = 8 < 9 → असंभव।
नियम 2 : तीसरी भुजा का परिसर — तीसरी भुजा बाक़ी दो के अंतर और योग के बीच।
- आसान : 5 और 8 : तीसरी 3 से 13 के बीच → 9 चलती है।
- मध्यम : 6 और 10 : पूर्ण संख्याएँ 5 से 15।
- परीक्षा-प्रकार : 6 और 9 : सबसे बड़ी पूर्ण तीसरी भुजा 14।
नियम 3 : त्रिभुज क्या तय करता है — SSS, SAS, ASA एक त्रिभुज देते हैं; AAA नहीं।
- आसान : 6, 7, 8 भुजाओं से ठीक एक त्रिभुज।
- मध्यम : कोण 50° और 60° : तीसरा 70°।
- परीक्षा-प्रकार : कोण अनुपात 1 : 2 : 3 → 30°, 60°, 90°।
दो भुजाएँ मिलकर तीसरी से बड़ी हों।
दो बड़ी भुजाएँ जाँचना। दो छोटी को सबसे बड़ी से जाँचें।
दो छोटी भुजाओं का योग सबसे बड़ी से अधिक। याद रखने की युक्ति : "दो छोटी, बड़ी को हराती हैं।"
अंतर पहचानें
| दिया | अद्वितीय त्रिभुज? |
|---|---|
| SSS, SAS, ASA | हाँ |
| AAA | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या 5, 7, 9 भुजाओं से त्रिभुज बनता है?
- 2क्या 4, 4, 9 भुजाओं से त्रिभुज बनता है?
- 3दो कोण 35° और 65°। तीसरा (अंश)?
- 4दो भुजाएँ 6 और 10। सबसे छोटी पूर्ण तीसरी भुजा?
- 5दो भुजाएँ 6 और 10। सबसे बड़ी पूर्ण तीसरी भुजा?
- 6क्या तीन कोण देने से अद्वितीय त्रिभुज तय होता है?
- 7कोण 2 : 3 : 4 अनुपात में। सबसे बड़ा (अंश)?
- 8कोण 1 : 2 : 3 अनुपात में। सबसे बड़ा (अंश)?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ
- 2नहीं
- 380
- 45
- 515
- 6नहीं
- 780
- 890
विशेष कोणों की रचना
केवल परकार और पटरी से, चाँदे के बिना, बढ़ई सही 60°, 90°, 45° के कोने बनाते हैं।
परकार से 60° (समान त्रिज्या के चाप = समबाहु त्रिभुज) और 90° (लंब) बनते हैं। कोण आधे करके या जोड़कर 30°, 45°, 120°, 135° आदि मिलते हैं।
आकृति में : 60° को आधा करने पर 30°।
नियम 1 : आधा करके छोटे — 60° → 30°; 90° → 45°; 45° → 22.5°; 30° → 15°।
- आसान : 60° आधा → 30°।
- मध्यम : 90° आधा → 45°।
- परीक्षा-प्रकार : 30° आधा → 15° (60° के दो बार समद्विभाजन)।
नियम 2 : जोड़कर बड़े — दो रचित कोण पास-पास रखें।
- आसान : 60° + 60° = 120°।
- मध्यम : 90° + 45° = 135°।
- परीक्षा-प्रकार : 60° + 15° = 75°; 90° + 15° = 105°।
नियम 3 : सरल कोण में से घटाव — 180° में से रचित कोण घटाने पर संपूरक कोण।
- आसान : 180° – 30° = 150°।
- मध्यम : 180° – 15° = 165°।
- परीक्षा-प्रकार : 180° – 60° = 120°।
विशेष कोण 60° और 90° से आधा करके व जोड़कर।
50° ऐसे ठीक बनता है मानना। केवल 7.5° के गुणज आते हैं।
बनाने से पहले कोण को योग/आधे के रूप में सोचें। याद रखने की युक्ति : "60 और 90, आधा करो और जोड़ो।"
अंतर पहचानें
| कोण | कैसे |
|---|---|
| 30° | 60° आधा |
| 75° | 60° + 15° |
| 135° | 90° + 45° |
अभ्यास के प्रश्न
- 1परकार से 60° कोण किस आकृति से?
- 260° आधा। कोण (अंश)?
- 390° आधा। कोण (अंश)?
- 460° + 60° =
- 575° = 60° + □. □ =
- 6135° = 90° + □. □ =
- 722.5° किस कोण का आधा (अंश)?
- 8165° = 180° – □. □ =
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1समबाहु त्रिभुज
- 230
- 345
- 4120
- 515
- 645
- 745
- 815
सम बहुभुज और टाइलिंग
स्नानघर के फ़र्श पर एक जैसी टाइलें बिना ख़ाली जगह और बिना ओवरलैप के लगती हैं। सब आकृतियाँ ऐसा नहीं कर सकतीं।
सम बहुभुज की भुजाएँ और कोण बराबर। आंतरिक कोण (n – 2) × 180° ÷ n, बाह्य कोण 360° ÷ n। समान सम बहुभुज तभी टाइलिंग करते हैं जब हर कोने पर कोण ठीक 360° भरें।
आकृति में : हर कोने पर तीन षट्भुज : 3 × 120° = 360°।
नियम 1 : आंतरिक कोण — त्रिभुज 60°, वर्ग 90°, पंचभुज 108°, षट्भुज 120°, अष्टभुज 135°, दशभुज 144°, द्वादशभुज 150°।
- आसान : षट्भुज : 4 × 180° ÷ 6 = 120°।
- मध्यम : अष्टभुज : 6 × 180° ÷ 8 = 135°।
- परीक्षा-प्रकार : 12 भुजाएँ : 10 × 180° ÷ 12 = 150°।
नियम 2 : बाह्य कोण — 360° ÷ भुजाएँ; आंतरिक + बाह्य = 180°।
- आसान : षट्भुज बाह्य = 360° ÷ 6 = 60°।
- मध्यम : बाह्य 36° → 10 भुजाएँ।
- परीक्षा-प्रकार : बाह्य 40° → 9 भुजाएँ।
नियम 3 : कौन-से आकार अकेले टाइलिंग करते हैं? — 360° आंतरिक कोण से पूरा विभाजित होना चाहिए।
- आसान : त्रिभुज : 360 ÷ 60 = 6 हर कोने पर।
- मध्यम : वर्ग : 4; षट्भुज : 3।
- परीक्षा-प्रकार : पंचभुज : 360 ÷ 108 पूर्ण नहीं → नहीं।
टाइलिंग के लिए कोण से 360° पूरा विभाजित हो।
पंचभुज टाइलिंग करते हैं मानना। 108° से 360° विभाजित नहीं।
केवल त्रिभुज, वर्ग और षट्भुज अकेले टाइलिंग करते हैं। याद रखने की युक्ति : "3, 4, 6 भुजाएँ अकेले बैठती हैं।"
अंतर पहचानें
| आकृति | आंतरिक | अकेले? |
|---|---|---|
| Triangle | 60° | हाँ |
| Hexagon | 120° | हाँ |
| Pentagon | 108° | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 1सम पंचभुज का आंतरिक कोण (अंश)?
- 2सम षट्भुज का आंतरिक कोण (अंश)?
- 3सम अष्टभुज का आंतरिक कोण (अंश)?
- 4सम 12 भुजा वाले बहुभुज का आंतरिक कोण (अंश)?
- 5सम षट्भुज का बाह्य कोण (अंश)?
- 6बाह्य कोण 36°। भुजाएँ कितनी?
- 7टाइलिंग में एक कोने पर कितने सम षट्भुज?
- 8क्या सम पंचभुज अकेले फ़र्श भर सकते हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1108
- 2120
- 3135
- 4150
- 560
- 610
- 73
- 8नहीं
मिश्रित आकृतियों से टाइलिंग
पुराने फ़र्शों में दो आकृतियाँ मिलती हैं, जैसे अष्टभुज और छोटे वर्ग। हर कोने पर कोणों का योग फिर भी ठीक 360°।
अलग-अलग सम बहुभुज साथ में टाइलिंग कर सकते हैं यदि कोने के आंतरिक कोणों का योग ठीक 360° हो। मौजूद कोण जोड़ें, 360° में से घटाकर शेष कोण देखें।
आकृति में : चार 90° कोने पूरा 360° भरते हैं।
नियम 1 : कोने का योग जाँचें — एक कोने के सब आकारों के आंतरिक कोण जोड़ें।
- आसान : 4 वर्ग : 4 × 90° = 360°।
- मध्यम : 3 त्रिभुज + 2 वर्ग : 180° + 180° = 360°।
- परीक्षा-प्रकार : 1 वर्ग + 2 अष्टभुज : 90° + 270° = 360°।
नियम 2 : शेष कोण खोजें — 360° घटा पहले रखे कोण।
- आसान : 2 षट्भुज 240°, शेष 120° → तीसरा षट्भुज।
- मध्यम : 2 पंचभुज 216°, शेष 144° → दशभुज।
- परीक्षा-प्रकार : 2 द्वादशभुज 300°, शेष 60° → त्रिभुज।
नियम 3 : कोण से बहुभुज पहचानें — शेष कोण को आंतरिक कोणों की सूची से मिलाएँ।
- आसान : शेष 90° → वर्ग; 120° → षट्भुज।
- मध्यम : आंतरिक कोण 135° → 8 भुजाएँ।
- परीक्षा-प्रकार : षट्भुज + वर्ग + द्वादशभुज : 120° + 90° + 150° = 360°।
एक कोने के चारों ओर कोण कुल 360° हों।
350° पर रुकना या 360° से अधिक। न ख़ाली जगह, न ओवरलैप।
रखे कोण 360° में से घटाकर शेष खोजें। याद रखने की युक्ति : "योग 360, न जगह, न ओवरलैप।"
अंतर पहचानें
| परिणाम | अर्थ |
|---|---|
| < 360° | ख़ाली जगह |
| > 360° | ओवरलैप |
| = 360° | ठीक बैठता है |
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक बिंदु पर 4 वर्ग कोनों का कुल (अंश)?
- 2एक कोने पर दो षट्भुज : शेष कोण (अंश)?
- 33 त्रिभुज + 2 वर्ग : कोने पर कुल (अंश)?
- 41 वर्ग + 2 अष्टभुज : कुल (अंश)?
- 51 त्रिभुज + 2 द्वादशभुज : कुल (अंश)?
- 6षट्भुज + वर्ग + द्वादशभुज : कुल (अंश)?
- 7दो पंचभुज : शेष कोण (अंश)?
- 8क्या 2 पंचभुज और 1 दशभुज एक कोने पर बैठते हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1360
- 2120
- 3360
- 4360
- 5360
- 6360
- 7144
- 8हाँ