आँकड़े जुटाना : मिलान चिह्न और बारंबारता
कक्षा का पसंदीदा फल जानने के लिए सबसे पूछकर उत्तर मिलान चिह्नों से लिखते हैं।
आँकड़े किसी प्रश्न का उत्तर पाने के लिए जुटाई सूचना हैं। मिलान चिह्न एक गिनती करता है (हर पाँचवाँ पिछले चार को काटता है)। किसी मान की बारंबारता वह कितनी बार आता है; बारंबारता सारणी मान और उनकी बारंबारता दिखाती है।
आकृति में : पाँच के तीन समूह और दो चिह्न = 17।
आँकड़े जुटाना : मिलान चिह्न और बारंबारता
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : मिलान चिह्न से संख्या — हर कटे समूह के 5, फिर बचे चिह्न जोड़ें।
- आसान : 4 समूह और 3 चिह्न = 20 + 3 = 23।
- मध्यम : 5 समूह और 3 चिह्न = 28।
- परीक्षा-प्रकार : 3, 5, 3, 2, 3, 5 में 3 की बारंबारता 3।
नियम 2 : बारंबारता सारणी पढ़ना — बारंबारताओं का योग = प्रेक्षणों की संख्या; मान × बारंबारता का योग = आँकड़ों का योग।
- आसान : सारणी 0:2, 1:5, 2:3 → 10 प्रेक्षण।
- मध्यम : सारणी 1:3, 2:4, 3:5 → योग = 3 + 8 + 15 = 26।
- परीक्षा-प्रकार : 30 विद्यार्थी : 12 क्रिकेट, 8 फ़ुटबॉल, शेष कबड्डी → 10।
नियम 3 : आँकड़ों के लिए अच्छे प्रश्न — ऐसा प्रश्न पूछें जिसका उत्तर व्यक्ति के अनुसार बदले।
- आसान : "आप कितने घंटे सोते हैं?" से आँकड़े मिलते हैं।
- मध्यम : "ध्वजस्तंभ की ऊँचाई?" का एक ही उत्तर।
- परीक्षा-प्रकार : पूरे समूह या उचित नमूने से पूछें।
तेज़ गिनती के लिए चिह्न पाँच के समूह में।
कटे समूह को 4 गिनना। वह 5 है।
पाँचवें चिह्न पर काटें ताकि बाद में गिनना आसान हो। याद रखने की युक्ति : "चार रेखाएँ और फाटक = पाँच।"
अंतर पहचानें
| पद | अर्थ |
|---|---|
| मिलान चिह्न | एक गिनती |
| बारंबारता | मान की कुल संख्या |
अभ्यास के प्रश्न
- 1मिलान चिह्न : पाँच के 4 समूह और 3 चिह्न। कुल?
- 2आँकड़े 5, 2, 5, 7, 5, 2। 5 की बारंबारता?
- 3बारंबारताएँ 6, 9, 5। कुल प्रेक्षण?
- 4सारणी 1:2, 2:5, 3:4। सब मानों का योग?
- 5सारणी 0:3, 1:4, 2:4। प्रेक्षण?
- 640 विद्यार्थी : 15 बस, 12 पैदल, 5 साइकिल, शेष कार। कार?
- 7बारंबारताएँ 6, x, 8, 5 कुल 30। x ज्ञात कीजिए।
- 8चिह्न : पाँच के 6 समूह और 4 चिह्न। कुल?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 123
- 23
- 320
- 423
- 511
- 68
- 711
- 834
माध्य (औसत)
तीन दोस्तों के पास ₹4, ₹6, ₹8 हों, बराबर बाँटने पर हर को ₹6 : माध्य यानी बराबर हिस्सा।
माध्य = (सब मानों का योग) ÷ (मानों की संख्या)। कुल को बराबर बाँटने पर हर को मिलने वाला मान। इसलिए योग = माध्य × संख्या।
आकृति में : दंड 4, 6, 8 बराबर होकर 6-6।
माध्य (औसत)
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : माध्य निकालें — सब जोड़ें, संख्या से भाग दें।
- आसान : 4, 6, 8 → 18 ÷ 3 = 6।
- मध्यम : 10, 20, 30, 40 → 100 ÷ 4 = 25।
- परीक्षा-प्रकार : 14, 18, 22, 26, 30 → 110 ÷ 5 = 22।
नियम 2 : योग = माध्य × संख्या — माध्य ज्ञात हो तो पहले कुल निकालें।
- आसान : 5 संख्याओं का माध्य 12 → कुल 60।
- मध्यम : 12, 15, x, 21 का माध्य 17 : कुल 68, इसलिए x = 20।
- परीक्षा-प्रकार : 8 अंकों का माध्य 62 : कुल 496; 7 अंक 430 → आठवाँ 66।
नियम 3 : मान जोड़ना/हटाना — कुल और संख्या बदलें, फिर भाग दें।
- आसान : 6 संख्याओं का माध्य 8, 22 जोड़ा : (48 + 22) ÷ 7 = 10।
- मध्यम : 5 संख्याओं का माध्य 20, 30 हटाया : (100 – 30) ÷ 4 = 17.5।
- परीक्षा-प्रकार : पहली 5 पूर्ण संख्याओं 0…4 का माध्य 2।
माध्य सदा सबसे छोटे और बड़े मान के बीच।
ग़लत संख्या से भाग देना। मानों को ध्यान से गिनें।
कुल = माध्य × संख्या; लुप्त मान के लिए उलटा प्रयोग। याद रखने की युक्ति : "जोड़ो, बाँटो।"
अंतर पहचानें
| ज्ञात | निकालें |
|---|---|
| मान | mean = sum ÷ n |
| mean and n | sum = mean × n |
अभ्यास के प्रश्न
- 13, 5, 7, 9, 11 का माध्य।
- 212 और 18 का माध्य।
- 38, 12, 16, 20 का माध्य।
- 4पाँच संख्याओं का माध्य 9। कुल?
- 56 संख्याओं का माध्य 7। 14 जोड़ा। नया माध्य?
- 69, x, 13, 15 का माध्य 12। x ज्ञात कीजिए।
- 710 अंकों का माध्य 62; नौ अंकों का कुल 560। दसवाँ?
- 8पहली 10 प्राकृत संख्याओं का माध्य?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 17
- 215
- 314
- 445
- 58
- 611
- 760
- 85.5
माध्यिका और बहुलक
विद्यार्थियों को ऊँचाई के क्रम में खड़ा करें : बीच वाला माध्यिका ऊँचाई। कक्षा में सबसे अधिक बार आने वाला जूते का माप बहुलक।
माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का बीच का मान (सम संख्या में बीच के दो का माध्य)। बहुलक वह मान जो सबसे अधिक बार आए; बहुलक न हो, एक हो या एक से अधिक हो सकते हैं।
आकृति में : छह मान : बीच के 9 और 12, इसलिए माध्यिका 10.5।
माध्यिका और बहुलक
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : माध्यिका — पहले क्रम में लगाएँ। विषम : बीच का। सम : बीच के दो का औसत।
- आसान : 7, 2, 9, 4, 5 → 2, 4, 5, 7, 9 → माध्यिका 5।
- मध्यम : 4, 6, 8, 10 → (6 + 8) ÷ 2 = 7।
- परीक्षा-प्रकार : 12, 5, 18, 7, 9, 14 → माध्यिका 10.5।
नियम 2 : बहुलक — हर मान कितनी बार आता है गिनें।
- आसान : 2, 3, 3, 4, 5, 3 → बहुलक 3।
- मध्यम : 10, 12, 12, 15, 15, 15, 18 → बहुलक 15।
- परीक्षा-प्रकार : 5, 8, 11, 14: सब एक बार → बहुलक नहीं।
नियम 3 : माध्यिका से लुप्त मान — अज्ञात मान को क्रमबद्ध सूची के बीच में रखें।
- आसान : 3, 7, x, 12, 15, माध्यिका 9 → x = 9।
- मध्यम : 4, 6, x, 10, 15, माध्यिका 8 → x = 8।
- परीक्षा-प्रकार : पहली 10 प्राकृत संख्याओं की माध्यिका = 5.5।
माध्यिका से पहले क्रम में लगाएँ।
बिना क्रम के बीच का लेना। पहले क्रम लगाएँ।
सबसे छोटा-बड़ा जोड़ी में काटते हुए बीच बचाएँ। याद रखने की युक्ति : "क्रम लगाओ, बीच पकड़ो।"
अंतर पहचानें
| माप | विचार |
|---|---|
| माध्य | बराबर हिस्सा |
| माध्यिका | बीच का मान |
| बहुलक | सबसे अधिक बार |
अभ्यास के प्रश्न
- 14, 9, 2 की माध्यिका।
- 25, 5, 6, 7, 5 का बहुलक।
- 33, 8, 6, 10 की माध्यिका।
- 415, 3, 9, 21, 12 की माध्यिका।
- 54, 4, 6, 6, 6, 9 का बहुलक।
- 618, 5, 12, 7, 9, 25 की माध्यिका।
- 71 से 8 की माध्यिका।
- 84, 6, x, 10, 15 की माध्यिका 8। x ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14
- 25
- 37
- 412
- 56
- 610.5
- 74.5
- 88
परिसर और उपयुक्त औसत चुनना
पाँच परिवारों की आय ₹10,000 से ₹13,000 और एक की ₹1,00,000। अख़बार कौन-सी "औसत आय" बताए?
परिसर = सबसे बड़ा – सबसे छोटा, यह फैलाव दिखाता है। माध्य सब मान लेता है पर बहुत बड़े/छोटे मान से खिंच जाता है; माध्यिका ऐसे अतिरेकों से बची रहती है; बहुलक सबसे आम पसंद के लिए उपयुक्त।
आकृति में : 102 एक मान से माध्य 24, माध्यिका 5 ही रहती है।
नियम 1 : परिसर — सबसे बड़ा घटा सबसे छोटा।
- आसान : 4, 9, 15, 2 → 15 – 2 = 13।
- मध्यम : 20, 35, 28 → 35 – 20 = 15।
- परीक्षा-प्रकार : छोटा 12, बड़ा 47 → परिसर 35।
नियम 2 : कौन-सा औसत? — अतिरेक मान → माध्यिका। सबसे लोकप्रिय → बहुलक। बराबर हिस्सा → माध्य।
- आसान : 3, 4, 5, 6, 102 : माध्य 24, माध्यिका 5 → माध्यिका लें।
- मध्यम : दुकान में जूतों के माप → बहुलक।
- परीक्षा-प्रकार : कुल ख़र्च बराबर बाँटना → माध्य।
नियम 3 : सभी मान बदलने पर — हर मान में k जोड़ें : माध्य k बढ़ता है। हर को k से गुणा : माध्य k से गुणा।
- आसान : 2, 4, 6, 8 का माध्य 5; हर में + 3 → 8।
- मध्यम : 3, 5, 7 का माध्य 5; हर × 4 → 20।
- परीक्षा-प्रकार : हर में + k करने पर परिसर नहीं बदलता।
बहुत बड़ा/छोटा मान माध्य को खींचता है, माध्यिका को नहीं।
एक अतिरेक मान हो तो माध्य बताना। माध्यिका भी देखें।
पहले आँकड़े देखें : कोई अलग मान है क्या? याद रखने की युक्ति : "अलग मान? माध्यिका लें।"
अंतर पहचानें
| औसत | कब उपयुक्त |
|---|---|
| Mean | अतिरेक मान नहीं |
| माध्यिका | अतिरेक मान |
| बहुलक | सबसे आम पसंद |
अभ्यास के प्रश्न
- 17, 19, 3, 12 का परिसर।
- 22, 3, 4, 5, 86 का माध्य।
- 32, 3, 4, 5, 86 की माध्यिका।
- 44, 6, 8 का माध्य 6। हर में + 5। नया माध्य?
- 52, 4, 6 का माध्य 4। हर × 3। नया माध्य?
- 6सबसे छोटा 45, बड़ा 120। परिसर?
- 71, 2, 3, 4, x (x ≥ 4) का माध्य = माध्यिका। x ज्ञात कीजिए।
- 85 संख्याओं का माध्य 14; चार 10, 12, 16, 18। पाँचवीं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 116
- 220
- 34
- 411
- 512
- 675
- 75
- 814
दंड आलेख पढ़ना और समझना
पुस्तकालय की सूचना रोज़ जारी पुस्तकें दंडों से दिखाती है। ऊँचा दंड यानी ज़्यादा पुस्तकें।
दंड आलेख वर्गों को दंडों से दिखाता है, ऊँचाई यानी मान। अक्ष का पैमाना पढ़ें, ऊँचाइयों की तुलना करें, फिर योग, अंतर, औसत निकालें।
आकृति में : सोम से शुक्र पुस्तकें : 12, 18, 9, 15, 21।
दंड आलेख पढ़ना और समझना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : तुलना और अतिरेक खोजें — सबसे ऊँचा दंड = सबसे बड़ा मान; सबसे नीचा = सबसे छोटा।
- आसान : सर्वाधिक : शुक्रवार (21); सबसे कम : बुधवार (9)।
- मध्यम : शुक्र – बुध अंतर = 12।
- परीक्षा-प्रकार : मंगलवार, बुधवार से 9 अधिक।
नियम 2 : योग और औसत — ऊँचाइयाँ जोड़ें; माध्य के लिए दंडों की संख्या से भाग।
- आसान : कुल = 12 + 18 + 9 + 15 + 21 = 75।
- मध्यम : माध्य = 75 ÷ 5 = 15; 15 से अधिक : मंगल, शुक्र।
- परीक्षा-प्रकार : 9, 12, 15, 18, 21 की माध्यिका 15।
नियम 3 : पैमाना पढ़ना — मान = वर्गों की संख्या × एक वर्ग का मान।
- आसान : 1 वर्ग = 5, 6 वर्गों का दंड = 30।
- मध्यम : कक्षा 40 : फ़ुटबॉल 14, क्रिकेट 18, हॉकी 3 → कबड्डी 5।
- परीक्षा-प्रकार : दंड आलेख वर्गों की तुलना करता है; दंड जुड़े नहीं होते।
दंड पढ़ने से पहले पैमाना देखें।
6 वर्ग को 6 मानना। एक वर्ग 5 हो तो 30।
गणना से पहले हर दंड का मान ऊपर लिखें। याद रखने की युक्ति : "पहले पैमाना, फिर दंड।"
अंतर पहचानें
| आलेख | किसके लिए |
|---|---|
| दंड आलेख | वर्गों की तुलना |
| मिलान सारणी | गिनती दर्ज करना |
अभ्यास के प्रश्न
- 1बिक्री : सोम 20, मंगल 35, बुध 15, गुरु 30। सर्वाधिक?
- 2वही बिक्री। सबसे कम?
- 3वही बिक्री। कुल?
- 4वही बिक्री। प्रतिदिन माध्य?
- 5वही बिक्री। मंगल घटा बुध?
- 61 वर्ग = 5। 7 वर्गों का दंड?
- 7वही बिक्री। माध्यिका?
- 8वही बिक्री। माध्य से अधिक कितने दिन?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 135
- 215
- 3100
- 425
- 520
- 635
- 725
- 82