माहिती गोळा करणे : खुणा व वारंवारता
वर्गाचे आवडते फळ जाणण्यासाठी सर्वांना विचारून उत्तरे खुणांनी नोंदवता.
माहिती म्हणजे प्रश्नाचे उत्तर शोधण्यासाठी गोळा केलेली नोंद. खूण एक नोंद मोजते (प्रत्येक पाचवी खूण आधीच्या चारांना छेदते). मूल्याची वारंवारता म्हणजे ते किती वेळा येते; वारंवारता सारणी मूल्ये व वारंवारता दाखवते.
आकृतीत : पाचांचे तीन गट व दोन खुणा = 17.
माहिती गोळा करणे : खुणा व वारंवारता
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : खुणांवरून संख्या — प्रत्येक छेदलेल्या गटाला 5, मग उरलेल्या खुणा जोडा.
- सोपे : 4 गट व 3 खुणा = 20 + 3 = 23.
- मध्यम : 5 गट व 3 खुणा = 28.
- परीक्षेसाठी : 3, 5, 3, 2, 3, 5 मध्ये 3 ची वारंवारता 3.
नियम 2 : वारंवारता सारणी वाचणे — वारंवारतांची बेरीज = नोंदींची संख्या; मूल्य × वारंवारता यांची बेरीज = माहितीची बेरीज.
- सोपे : सारणी 0:2, 1:5, 2:3 → 10 नोंदी.
- मध्यम : सारणी 1:3, 2:4, 3:5 → बेरीज = 3 + 8 + 15 = 26.
- परीक्षेसाठी : 30 विद्यार्थी : 12 क्रिकेट, 8 फुटबॉल, बाकी कबड्डी → 10.
नियम 3 : माहितीसाठी चांगले प्रश्न — ज्याची उत्तरे व्यक्तीनुसार वेगळी येतात असा प्रश्न विचारा.
- सोपे : "तुम्ही किती तास झोपता?" यातून माहिती मिळते.
- मध्यम : "ध्वजस्तंभाची उंची?" याचे एकच उत्तर.
- परीक्षेसाठी : पूर्ण गटाला किंवा योग्य नमुन्याला विचारा.
झटपट मोजण्यासाठी खुणा पाचांच्या गटात.
छेदलेला गट 4 मोजणे. तो 5 आहे.
पाचव्या खुणेला छेद द्या म्हणजे नंतर मोजणे सोपे. आठवणीची युक्ती : "चार रेघा व फाटक = पाच."
फरक ओळखा
| संज्ञा | अर्थ |
|---|---|
| खूण | एक नोंद |
| वारंवारता | मूल्याची एकूण संख्या |
सरावासाठी प्रश्न
- 1खुणा : पाचांचे 4 गट व 3 खुणा. एकूण?
- 2माहिती 5, 2, 5, 7, 5, 2. 5 ची वारंवारता?
- 3वारंवारता 6, 9, 5. एकूण नोंदी?
- 4सारणी 1:2, 2:5, 3:4. सर्व किमतींची बेरीज?
- 5सारणी 0:3, 1:4, 2:4. नोंदी?
- 640 विद्यार्थी : 15 बस, 12 चालत, 5 सायकल, बाकी कार. कार?
- 7वारंवारता 6, x, 8, 5 एकूण 30. x काढा.
- 8खुणा : पाचांचे 6 गट व 4 खुणा. एकूण?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 123
- 23
- 320
- 423
- 511
- 68
- 711
- 834
सरासरी
तीन मित्रांकडे ₹4, ₹6, ₹8 असतील, समान वाटल्यास प्रत्येकी ₹6 : सरासरी म्हणजे समान वाटा.
सरासरी = (सर्व किमतींची बेरीज) ÷ (किमतींची संख्या). एकूण समान वाटल्यास प्रत्येकाला येणारी किंमत. म्हणून बेरीज = सरासरी × संख्या.
आकृतीत : स्तंभ 4, 6, 8 समतल होऊन प्रत्येकी 6.
सरासरी
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : सरासरी काढा — सर्व जोडा, संख्येने भागा.
- सोपे : 4, 6, 8 → 18 ÷ 3 = 6.
- मध्यम : 10, 20, 30, 40 → 100 ÷ 4 = 25.
- परीक्षेसाठी : 14, 18, 22, 26, 30 → 110 ÷ 5 = 22.
नियम 2 : बेरीज = सरासरी × संख्या — सरासरी माहीत असल्यास आधी एकूण काढा.
- सोपे : 5 संख्यांची सरासरी 12 → एकूण 60.
- मध्यम : 12, 15, x, 21 ची सरासरी 17 : एकूण 68, म्हणून x = 20.
- परीक्षेसाठी : 8 गुणांची सरासरी 62 : एकूण 496; 7 गुण 430 → आठवा 66.
नियम 3 : किंमत जोडणे/काढणे — एकूण व संख्या बदला, मग पुन्हा भागा.
- सोपे : 6 संख्यांची सरासरी 8, 22 जोडली : (48 + 22) ÷ 7 = 10.
- मध्यम : 5 संख्यांची सरासरी 20, 30 काढली : (100 – 30) ÷ 4 = 17.5.
- परीक्षेसाठी : पहिल्या 5 पूर्ण संख्या 0…4 ची सरासरी 2.
सरासरी नेहमी सर्वात लहान व सर्वात मोठ्या किमतीच्या मध्ये.
चुकीच्या संख्येने भागणे. किमती नीट मोजा.
एकूण = सरासरी × संख्या; हरवलेली किंमत शोधायला उलटे वापरा. आठवणीची युक्ती : "जोडा, वाटून घ्या."
फरक ओळखा
| माहीत | काढा |
|---|---|
| किमती | mean = sum ÷ n |
| mean and n | sum = mean × n |
सरावासाठी प्रश्न
- 13, 5, 7, 9, 11 ची सरासरी.
- 212 व 18 ची सरासरी.
- 38, 12, 16, 20 ची सरासरी.
- 4पाच संख्यांची सरासरी 9. एकूण?
- 56 संख्यांची सरासरी 7. 14 जोडली. नवी सरासरी?
- 69, x, 13, 15 ची सरासरी 12. x काढा.
- 710 गुणांची सरासरी 62; नऊ गुण एकूण 560. दहावा?
- 8पहिल्या 10 नैसर्गिक संख्यांची सरासरी?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 17
- 215
- 314
- 445
- 58
- 611
- 760
- 85.5
मध्यगा व बहुलक
विद्यार्थी उंचीनुसार रांगेत उभे करा : मधला तो मध्यगा उंची. वर्गातील सर्वात जास्त वेळा येणारा बुटाचा आकार म्हणजे बहुलक.
मध्यगा म्हणजे क्रमाने लावलेल्या माहितीतील मधली किंमत (सम संख्येत मधल्या दोन किमतींची सरासरी). बहुलक म्हणजे सर्वात जास्त वेळा येणारी किंमत; बहुलक नसू शकतो, एक किंवा अनेक असू शकतात.
आकृतीत : सहा किमती : मधल्या 9 व 12, म्हणून मध्यगा 10.5.
मध्यगा व बहुलक
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : मध्यगा — आधी क्रमाने लावा. विषम : मधली. सम : मधल्या दोनांची सरासरी.
- सोपे : 7, 2, 9, 4, 5 → 2, 4, 5, 7, 9 → मध्यगा 5.
- मध्यम : 4, 6, 8, 10 → (6 + 8) ÷ 2 = 7.
- परीक्षेसाठी : 12, 5, 18, 7, 9, 14 → मध्यगा 10.5.
नियम 2 : बहुलक — प्रत्येक किंमत किती वेळा येते ते मोजा.
- सोपे : 2, 3, 3, 4, 5, 3 → बहुलक 3.
- मध्यम : 10, 12, 12, 15, 15, 15, 18 → बहुलक 15.
- परीक्षेसाठी : 5, 8, 11, 14: सर्व एकदाच → बहुलक नाही.
नियम 3 : मध्यगेवरून हरवलेली किंमत — अज्ञात किंमत क्रमाच्या मधल्या जागी ठेवा.
- सोपे : 3, 7, x, 12, 15, मध्यगा 9 → x = 9.
- मध्यम : 4, 6, x, 10, 15, मध्यगा 8 → x = 8.
- परीक्षेसाठी : पहिल्या 10 नैसर्गिक संख्यांचा मध्यगा = 5.5.
मध्यगा काढण्यापूर्वी क्रमाने लावा.
क्रम न लावता मधली घेणे. आधी क्रम लावा.
सर्वात लहान-मोठे जोडीने खोडत मध्य उरवा. आठवणीची युक्ती : "क्रमाने लावा, मधला शोधा."
फरक ओळखा
| माप | कल्पना |
|---|---|
| सरासरी | समान वाटा |
| मध्यगा | मधली किंमत |
| बहुलक | सर्वाधिक वेळा |
सरावासाठी प्रश्न
- 14, 9, 2 चा मध्यगा.
- 25, 5, 6, 7, 5 चा बहुलक.
- 33, 8, 6, 10 चा मध्यगा.
- 415, 3, 9, 21, 12 चा मध्यगा.
- 54, 4, 6, 6, 6, 9 चा बहुलक.
- 618, 5, 12, 7, 9, 25 चा मध्यगा.
- 71 ते 8 चा मध्यगा.
- 84, 6, x, 10, 15 चा मध्यगा 8. x काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 14
- 25
- 37
- 412
- 56
- 610.5
- 74.5
- 88
विस्तार व योग्य सरासरी निवडणे
पाच कुटुंबांचे उत्पन्न ₹10,000 ते ₹13,000 व एकाचे ₹1,00,000. वृत्तपत्रात कोणते "सरासरी उत्पन्न" द्यावे?
विस्तार = सर्वात मोठी – सर्वात लहान, तो पसारा दाखवतो. सरासरी सर्व किमती वापरते पण अतिमोठ्या/लहान किमतीने ओढली जाते; मध्यगा अशा टोकांना जुमानत नाही; बहुलक सर्वाधिक पसंतीसाठी योग्य.
आकृतीत : 102 या एका किमतीमुळे सरासरी 24, मध्यगा 5 च.
नियम 1 : विस्तार — सर्वात मोठी वजा सर्वात लहान.
- सोपे : 4, 9, 15, 2 → 15 – 2 = 13.
- मध्यम : 20, 35, 28 → 35 – 20 = 15.
- परीक्षेसाठी : लहान 12, मोठी 47 → विस्तार 35.
नियम 2 : कोणती सरासरी? — टोकाच्या किमती → मध्यगा. सर्वात लोकप्रिय → बहुलक. समान वाटा → सरासरी.
- सोपे : 3, 4, 5, 6, 102 : सरासरी 24, मध्यगा 5 → मध्यगा वापरा.
- मध्यम : दुकानात बुटांचे आकार भरताना → बहुलक.
- परीक्षेसाठी : एकूण खर्च समान वाटणे → सरासरी.
नियम 3 : सर्व किमती बदलल्यास — प्रत्येकात k मिळवा : सरासरी k ने वाढते. प्रत्येकाला k ने गुणा : सरासरी k ने गुणली जाते.
- सोपे : 2, 4, 6, 8 ची सरासरी 5; प्रत्येकी + 3 → 8.
- मध्यम : 3, 5, 7 ची सरासरी 5; प्रत्येकी × 4 → 20.
- परीक्षेसाठी : प्रत्येकात + k केल्यास विस्तार बदलत नाही.
खूप मोठी/लहान किंमत सरासरी ओढते, मध्यगा नाही.
एक टोकाची किंमत असताना सरासरी सांगणे. मध्यगाही पाहा.
आधी माहिती पाहा : एखादी वेगळी किंमत आहे का? आठवणीची युक्ती : "वेगळी किंमत? मध्यगा वापरा."
फरक ओळखा
| सरासरी | केव्हा योग्य |
|---|---|
| Mean | टोकाच्या किमती नाहीत |
| मध्यगा | टोकाच्या किमती |
| बहुलक | सर्वाधिक पसंती |
सरावासाठी प्रश्न
- 17, 19, 3, 12 चा विस्तार.
- 22, 3, 4, 5, 86 ची सरासरी.
- 32, 3, 4, 5, 86 चा मध्यगा.
- 44, 6, 8 ची सरासरी 6. प्रत्येकी + 5. नवी सरासरी?
- 52, 4, 6 ची सरासरी 4. प्रत्येकी × 3. नवी सरासरी?
- 6सर्वात लहान 45, मोठी 120. विस्तार?
- 71, 2, 3, 4, x (x ≥ 4) ची सरासरी = मध्यगा. x काढा.
- 85 संख्यांची सरासरी 14; चार 10, 12, 16, 18. पाचवी?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 116
- 220
- 34
- 411
- 512
- 675
- 75
- 814
स्तंभालेख वाचणे व अर्थ लावणे
ग्रंथालयाची नोटीस रोज किती पुस्तके दिली ते स्तंभांनी दाखवते. उंच स्तंभ म्हणजे जास्त पुस्तके.
स्तंभालेख वर्ग स्तंभांनी दाखवतो, उंची म्हणजे किंमत. अक्षावरचे परिमाण वाचा, उंचीची तुलना करा, मग बेरीज, फरक, सरासरी काढा.
आकृतीत : सोम ते शुक्र पुस्तके : 12, 18, 9, 15, 21.
स्तंभालेख वाचणे व अर्थ लावणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : तुलना व टोके शोधा — सर्वात उंच स्तंभ = सर्वात मोठी किंमत; सर्वात ठेंगणा स्तंभ = सर्वात लहान.
- सोपे : सर्वाधिक : शुक्रवार (21); सर्वात कमी : बुधवार (9).
- मध्यम : शुक्र – बुध फरक = 12.
- परीक्षेसाठी : मंगळवार बुधवारपेक्षा 9 जास्त.
नियम 2 : बेरीज व सरासरी — उंची जोडा; सरासरीसाठी स्तंभसंख्येने भागा.
- सोपे : एकूण = 12 + 18 + 9 + 15 + 21 = 75.
- मध्यम : सरासरी = 75 ÷ 5 = 15; 15 पेक्षा जास्त : मंगळ, शुक्र.
- परीक्षेसाठी : 9, 12, 15, 18, 21 चा मध्यगा 15.
नियम 3 : परिमाण वाचणे — किंमत = चौरसांची संख्या × एका चौरसाची किंमत.
- सोपे : 1 चौरस = 5, 6 चौरसांचा स्तंभ = 30.
- मध्यम : वर्ग 40 : फुटबॉल 14, क्रिकेट 18, हॉकी 3 → कबड्डी 5.
- परीक्षेसाठी : स्तंभालेख वर्गांची तुलना करतो; स्तंभ जोडलेले नसतात.
स्तंभ वाचण्यापूर्वी परिमाण पाहा.
6 चौरस म्हणजे 6 मानणे. एक चौरस 5 असेल तर 30.
हिशोबापूर्वी प्रत्येक स्तंभाची किंमत वर लिहा. आठवणीची युक्ती : "आधी परिमाण, मग स्तंभ."
फरक ओळखा
| आलेख | कशासाठी |
|---|---|
| स्तंभालेख | वर्गांची तुलना |
| खूण सारणी | मोजणी नोंदवणे |
सरावासाठी प्रश्न
- 1विक्री : सोम 20, मंगळ 35, बुध 15, गुरु 30. सर्वाधिक?
- 2तीच विक्री. सर्वात कमी?
- 3तीच विक्री. एकूण?
- 4तीच विक्री. रोजची सरासरी?
- 5तीच विक्री. मंगळ वजा बुध?
- 61 चौरस = 5. 7 चौरसांचा स्तंभ?
- 7तीच विक्री. मध्यगा?
- 8तीच विक्री. सरासरीपेक्षा जास्त किती दिवस?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 135
- 215
- 3100
- 425
- 520
- 635
- 725
- 82