समीकरण बनाना
टैक्सी ₹30 और प्रति km ₹12 लेती है। बिल ₹150 हो तो दूरी खोजना समीकरण के रूप का पहेली-प्रश्न है।
समीकरण दो व्यंजकों के बराबर होने का कथन है। उसमें अज्ञात (जैसे x) होता है जिसका मान खोजना है। दोनों पक्ष बराबर करने वाला मान हल है।
आकृति में : समीकरण संतुलित तराज़ू जैसा है।
समीकरण बनाना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : शब्दों से प्रतीक — अधिक → +, कम → –, गुना/दुगुना → ×, बँटना/आधा → ÷, है → =।
- आसान : "एक संख्या जमा 7 बराबर 19" → x + 7 = 19।
- मध्यम : "संख्या के दुगुने में 5 जोड़ें तो 17" → 2x + 5 = 17।
- परीक्षा-प्रकार : "संख्या का आधा 12" → x ÷ 2 = 12।
नियम 2 : मान रखकर देखना — अक्षर की जगह संख्या रखकर दोनों पक्ष तुलना।
- आसान : x = 4 के लिए x + 9 = 13 : 4 + 9 = 13 ✔।
- मध्यम : x = 3 के लिए 2x + 5 = 12 : 11 ≠ 12 ✘।
- परीक्षा-प्रकार : x = 5 के लिए 4x – 3 = 2x + 7 : 17 = 17 ✔।
नियम 3 : स्थितियों के समीकरण — अज्ञात चुनें, फिर जो बराबर है लिखें।
- आसान : परिमाप 36 का वर्ग : 4s = 36।
- मध्यम : प्रिया सैम से 4 साल बड़ी, आयु योग 26 : s + (s + 4) = 26।
- परीक्षा-प्रकार : तीन क्रमागत संख्याओं का योग 48 : n + (n + 1) + (n + 2) = 48।
समीकरण में "=" होता है; व्यंजक में नहीं।
"x से 5 कम" को 5 – x लिखना। वह x – 5 है।
अनुमानित संख्या से अपना समीकरण जाँचें। याद रखने की युक्ति : "कम : क्रम उलटा।"
अंतर पहचानें
| पद | "=" है? |
|---|---|
| व्यंजक : 2x + 5 | नहीं |
| समीकरण : 2x + 5 = 17 | हाँ |
अभ्यास के प्रश्न
- 1x = 5 पर 4x – 3 का मान?
- 2क्या x = 3, 2x + 7 = 13 का हल है?
- 3"संख्या के दुगुने में 5 जोड़ें तो 19" कौन-सा समीकरण?
- 4x = –1 पर 3x + 8 का मान?
- 5x का कौन-सा मान x + 14 = 20 बनाता है?
- 6"संख्या को 4 से भाग दें तो 9": समीकरण?
- 7तीन क्रमागत संख्याओं का योग 36। सबसे छोटी?
- 8कौन-सा x 5x – 2 = 3x + 8 बनाता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 117
- 2हाँ
- 32x + 5 = 19
- 45
- 56
- 6x ÷ 4 = 9
- 711
- 85
एक चरण वाले समीकरण
दोनों पलड़ों में बराबर वज़न जोड़ने/हटाने पर तराज़ू संतुलित रहता है। समीकरण ऐसे ही हल होते हैं।
हल के लिए अज्ञात अकेला होने तक दोनों पक्षों पर वही क्रिया करें। + को – से, – को + से, × को ÷ से, ÷ को × से उलटें।
आकृति में : दोनों पलड़ों से 3 घटाएँ : x = 4।
एक चरण वाले समीकरण
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : जोड़ और घटाव — दोनों पक्षों पर जोड़/घटाव उलटें।
- आसान : x + 7 = 15 → x = 15 – 7 = 8।
- मध्यम : x – 13 = 24 → x = 24 + 13 = 37।
- परीक्षा-प्रकार : x + 9 = 2 → x = 2 – 9 = –7।
नियम 2 : गुणा और भाग — × को ÷ से और ÷ को × से उलटें।
- आसान : 4x = 28 → x = 28 ÷ 4 = 7।
- मध्यम : x ÷ 5 = 6 → x = 6 × 5 = 30।
- परीक्षा-प्रकार : –5x = 35 → x = 35 ÷ (–5) = –7।
नियम 3 : मान रखकर जाँचें — उत्तर को मूल समीकरण में रखें।
- आसान : x = 8 : 8 + 7 = 15 ✔।
- मध्यम : x = 30 : 30 ÷ 5 = 6 ✔।
- परीक्षा-प्रकार : x = –7 : –5 × (–7) = 35 ✔।
एक पक्ष पर जो करें वही दूसरे पर भी।
संख्या खिसकाते समय चिह्न न बदलना। विपरीत संक्रिया लें।
पूछें : x पर क्या किया? वही उलटें। याद रखने की युक्ति : "दोनों ओर करो और उलटो।"
अंतर पहचानें
| समीकरण में | उलटें |
|---|---|
| x + a | – a |
| x – a | + a |
| a × x | ÷ a |
| x ÷ a | × a |
अभ्यास के प्रश्न
- 1हल कीजिए x + 12 = 30।
- 2हल कीजिए x – 9 = 14।
- 3हल कीजिए 6x = 54।
- 4हल कीजिए x ÷ 7 = 4।
- 5हल कीजिए 25 = x + 8।
- 6हल कीजिए –4x = 28।
- 7हल कीजिए x + 15 = 6।
- 8हल कीजिए x ÷ (–3) = 5।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 118
- 223
- 39
- 428
- 517
- 6–7
- 7–9
- 8–15
दो चरण वाले समीकरण
एक संख्या लें, दुगुना करें, 5 जोड़ें, 17 आता है। संख्या खोजने के लिए उल्टे क्रम में : 5 घटाएँ, फिर आधा।
x पर दो संक्रियाएँ हुईं। उल्टे क्रम में उलटें : पहले जोड़/घटाव, फिर गुणा/भाग, हमेशा दोनों पक्षों पर।
आकृति में : उल्टे चरण : पहले –5, फिर ÷2।
दो चरण वाले समीकरण
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : ax + b = c प्रकार — b घटाएँ (या जोड़ें), फिर a से भाग।
- आसान : 2x + 3 = 11 → 2x = 8 → x = 4।
- मध्यम : 3x – 5 = 16 → 3x = 21 → x = 7।
- परीक्षा-प्रकार : 7x + 9 = 2 → 7x = –7 → x = –1।
नियम 2 : x ÷ a + b = c प्रकार — पहले b हटाएँ, फिर a से गुणा।
- आसान : x ÷ 2 + 3 = 8 → x ÷ 2 = 5 → x = 10।
- मध्यम : x ÷ 3 – 4 = 2 → x ÷ 3 = 6 → x = 18।
- परीक्षा-प्रकार : (x + 3) ÷ 4 = 5 → x + 3 = 20 → x = 17।
नियम 3 : सत्यापन — x को बाएँ पक्ष में रखें।
- आसान : x = 4 : 2 × 4 + 3 = 11 ✔।
- मध्यम : x = 7 : 3 × 7 – 5 = 16 ✔।
- परीक्षा-प्रकार : x = –1 : 7 × (–1) + 9 = 2 ✔।
अंतिम संक्रिया पहले उलटें।
+b हटाने से पहले भाग देना : 2x + 3 = 11 का मतलब x + 3 = 5 नहीं।
पहले जोड़/घटाव, फिर गुणा/भाग। याद रखने की युक्ति : "पहले बाहर का छिलका उतारो।"
अंतर पहचानें
| उलटने का क्रम | चरण |
|---|---|
| 1st | + or – (c ± b) |
| 2nd | × or ÷ |
अभ्यास के प्रश्न
- 1हल कीजिए 3x + 2 = 20।
- 2हल कीजिए 5x – 4 = 21।
- 3हल कीजिए x ÷ 4 + 3 = 7।
- 4हल कीजिए 9x + 7 = –2।
- 5हल कीजिए 4x – 11 = 13।
- 6हल कीजिए 2x + 9 = 1।
- 7हल कीजिए (x – 5) ÷ 3 = 4।
- 8हल कीजिए 6x ÷ 5 = 12।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16
- 25
- 316
- 4–1
- 56
- 6–4
- 717
- 810
कोष्ठक और दोनों ओर चर
दो टैक्सियों के भाव अलग : ₹5 + ₹3 प्रति km और ₹1 + ₹4 प्रति km। किसी दूरी पर ख़र्च बराबर, यानी दोनों ओर x।
वितरण गुणधर्म से कोष्ठक हटाएँ, x वाले पद एक ओर और संख्याएँ दूसरी ओर लाएँ, फिर हल करें। “=” के पार ले जाने पर चिह्न बदलता है।
आकृति में : 3(x + 2) = 3x + 6 बनाकर हल करें।
कोष्ठक और दोनों ओर चर
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : कोष्ठक खोलें — बाहर की संख्या को अंदर के हर पद से गुणा करें।
- आसान : 3(x + 2) = 21 → 3x + 6 = 21 → x = 5।
- मध्यम : 2(x – 3) = 10 → x – 3 = 5 → x = 8।
- परीक्षा-प्रकार : 2(3x – 1) = 16 → 6x – 2 = 16 → x = 3।
नियम 2 : दोनों ओर अज्ञात — छोटा x-पद दोनों पक्षों से घटाएँ।
- आसान : 4x = x + 15 → 3x = 15 → x = 5।
- मध्यम : 5x – 3 = 2x + 9 → 3x = 12 → x = 4।
- परीक्षा-प्रकार : 9x – 5 = 4x + 20 → 5x = 25 → x = 5।
नियम 3 : दोनों ओर कोष्ठक — दोनों खोलें, फिर समान पद इकट्ठे करें।
- आसान : 5(x + 1) = 3(x + 5) → 5x + 5 = 3x + 15 → x = 5।
- मध्यम : 4(x – 2) = 2(x + 4) → 4x – 8 = 2x + 8 → x = 8।
- परीक्षा-प्रकार : 3(2x + 1) = 5x + 10 → x = 7।
कोष्ठक के हर पद को गुणा करें।
3(x + 2) = 3x + 2 लिखना। 2 को भी गुणा : 3x + 6।
बाहर की संख्या से हर अंदर के पद की ओर तीर खींचें। याद रखने की युक्ति : "कोष्ठक : सबको बाँटो।"
अंतर पहचानें
| चरण | क्रिया |
|---|---|
| 1 | कोष्ठक खोलें |
| 2 | x पद इकट्ठे |
| 3 | हल करें |
अभ्यास के प्रश्न
- 1हल कीजिए 2(x + 4) = 18।
- 2हल कीजिए 3(x – 2) = 12।
- 3हल कीजिए 6x = 2x + 20।
- 4हल कीजिए 8x – 5 = 3x + 15।
- 5हल कीजिए 4(2x – 1) = 28।
- 6हल कीजिए 3(x + 2) = 2x + 11।
- 7हल कीजिए 5(x – 1) = 3(x + 3)।
- 8हल कीजिए (3x – 2) ÷ 4 = x।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 15
- 26
- 35
- 44
- 54
- 65
- 77
- 8–2
शब्द-प्रश्न और उत्तर की जाँच
टैक्सी का बिल, बाँटा हुआ खाना, परिवार की आयु : हर कहानी समीकरण बन सकती है और उत्तर कहानी में भी ठीक बैठना चाहिए।
पढ़ें, अज्ञात चुनें, समीकरण लिखें, हल करें, फिर कहानी में जाँचें। आम ग़लतियाँ : ग़लत चिह्न, पूरा कोष्ठक न गुणना, कहानी में न बैठने वाला उत्तर।
आकृति में : परिमाप 36 का वर्ग : 4s = 36, इसलिए s = 9।
नियम 1 : संख्या और राशियाँ — हर वाक्य को समीकरण के एक पक्ष में लिखें।
- आसान : संख्या जमा 15 = 40 : x + 15 = 40 → 25।
- मध्यम : संख्या का दुगुना 38 : 2x = 38 → 19।
- परीक्षा-प्रकार : टैक्सी ₹30 + ₹12 प्रति km = ₹150 : 12k + 30 = 150 → k = 10।
नियम 2 : आयु, परिमाप, क्रमागत संख्याएँ — सब अज्ञात एक ही अक्षर से लिखें।
- आसान : आयत : लंबाई = चौड़ाई + 3, परिमाप 34 : 4b + 6 = 34 → b = 7।
- मध्यम : तीन क्रमागत संख्याएँ कुल 48 : 3n + 3 = 48 → n = 15।
- परीक्षा-प्रकार : पिता पुत्र से 3 गुना, कुल 56 : 4s = 56 → s = 14।
नियम 3 : कहानी में जाँचें — उत्तर केवल समीकरण में नहीं, कहानी में भी रखें।
- आसान : टैक्सी 10 km : 30 + 120 = 150 ✔।
- मध्यम : आयु 14 और 42, कुल 56 ✔।
- परीक्षा-प्रकार : ग़लती : 2x + 3 = 11 → 2x = 14 ग़लत; सही 2x = 8, x = 4।
उत्तर सदा कहानी में जाँचें।
एक पक्ष में 3 जुड़ा हो तब दोनों में 3 जोड़ना। घटाएँ।
पहले "मान लें x …" लिखें ताकि अक्षर का अर्थ रहे। याद रखने की युक्ति : "पढ़ो, मानो, लिखो, हल करो, जाँचो।"
अंतर पहचानें
| वाक्यांश | प्रतीक |
|---|---|
| अधिक | + |
| कम | – |
| गुना, दुगुना | × |
अभ्यास के प्रश्न
- 1संख्या का तीन गुना 51। संख्या?
- 2आयु योग 40, अंतर 6। छोटा?
- 3तीन क्रमागत संख्याओं का योग 72। सबसे बड़ी?
- 48 पेन ₹96 के। एक का दाम?
- 5शुल्क ₹20 और ₹15 प्रति किलो, कुल ₹110। कितने किलो?
- 6परिमाप 52 का वर्ग। भुजा?
- 75x = 20 को x = 20 – 5 हल किया। सही x?
- 8संख्या के दुगुने में से 7 घटा = तिगुने में से 15 घटा। संख्या?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 117
- 217
- 325
- 412
- 56
- 613
- 74
- 88