समीकरण मांडणे
टॅक्सीचे ₹30 अधिक kmला ₹12. बिल ₹150 आले तर अंतर शोधणे हे समीकरणाच्या रूपातले कोडे.
समीकरण म्हणजे दोन राशी समान असल्याचे विधान. त्यात अज्ञात (x सारखे अक्षर) असते, तिची किंमत शोधायची. दोन्ही बाजू समान करणारी किंमत म्हणजे उकल.
आकृतीत : समीकरण म्हणजे समतोल तराजू.
समीकरण मांडणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : शब्दांतून चिन्हे — जास्त → +, कमी → –, पट/दुप्पट → ×, वाटणी/निम्मे → ÷, आहे → =.
- सोपे : "एक संख्या अधिक 7 म्हणजे 19" → x + 7 = 19.
- मध्यम : "संख्येच्या दुप्पटीत 5 मिळवले तर 17" → 2x + 5 = 17.
- परीक्षेसाठी : "संख्येचा निम्मा 12" → x ÷ 2 = 12.
नियम 2 : किंमत घालून पाहणे — अक्षराच्या जागी संख्या घालून दोन्ही बाजू तुलना.
- सोपे : x = 4 साठी x + 9 = 13 : 4 + 9 = 13 ✔.
- मध्यम : x = 3 साठी 2x + 5 = 12 : 11 ≠ 12 ✘.
- परीक्षेसाठी : x = 5 साठी 4x – 3 = 2x + 7 : 17 = 17 ✔.
नियम 3 : प्रसंगांची समीकरणे — अज्ञात ठरवा, मग जे समान आहे ते लिहा.
- सोपे : परिमिती 36 चा चौरस : 4s = 36.
- मध्यम : प्रिया सॅमपेक्षा 4 वर्षांनी मोठी, वयांची बेरीज 26 : s + (s + 4) = 26.
- परीक्षेसाठी : तीन क्रमवार संख्यांची बेरीज 48 : n + (n + 1) + (n + 2) = 48.
समीकरणात "=" असते; राशीत "=" नसते.
"x पेक्षा 5 कमी" म्हणजे 5 – x लिहिणे. ते x – 5.
अंदाजे संख्येने तुमचे समीकरण तपासा. आठवणीची युक्ती : "कमी : क्रम उलटा."
फरक ओळखा
| संज्ञा | "=" आहे? |
|---|---|
| राशी : 2x + 5 | नाही |
| समीकरण : 2x + 5 = 17 | होय |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x = 5 असताना 4x – 3 ची किंमत?
- 2x = 3 हे 2x + 7 = 13 चे उत्तर आहे का?
- 3"संख्येच्या दुप्पटीत 5 मिळवले तर 19" कोणते समीकरण?
- 4x = –1 असताना 3x + 8 ची किंमत?
- 5x ची कोणती किंमत x + 14 = 20 करते?
- 6"संख्येला 4 ने भागल्यास 9": समीकरण?
- 7तीन क्रमवार संख्यांची बेरीज 36. सर्वात लहान?
- 8कोणता x 5x – 2 = 3x + 8 करतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 117
- 2होय
- 32x + 5 = 19
- 45
- 56
- 6x ÷ 4 = 9
- 711
- 85
एका पायरीची समीकरणे
दोन्ही पारड्यांतून सारखेच वजन वाढवले/काढले तर तराजू समतोल राहतो. समीकरणे अशीच सोडवतात.
सोडवण्यासाठी अज्ञात एकटे होईपर्यंत दोन्ही बाजूंना सारखीच क्रिया करा. + चे – ने, – चे + ने, × चे ÷ ने, ÷ चे × ने उलटवा.
आकृतीत : दोन्ही पारड्यांतून 3 वजा : x = 4.
एका पायरीची समीकरणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : बेरीज व वजाबाकी — दोन्ही बाजूंना बेरीज/वजाबाकी उलटवा.
- सोपे : x + 7 = 15 → x = 15 – 7 = 8.
- मध्यम : x – 13 = 24 → x = 24 + 13 = 37.
- परीक्षेसाठी : x + 9 = 2 → x = 2 – 9 = –7.
नियम 2 : गुणाकार व भागाकार — × चे ÷ ने व ÷ चे × ने उलटवा.
- सोपे : 4x = 28 → x = 28 ÷ 4 = 7.
- मध्यम : x ÷ 5 = 6 → x = 6 × 5 = 30.
- परीक्षेसाठी : –5x = 35 → x = 35 ÷ (–5) = –7.
नियम 3 : किंमत घालून तपासा — उत्तर मूळ समीकरणात घाला.
- सोपे : x = 8 : 8 + 7 = 15 ✔.
- मध्यम : x = 30 : 30 ÷ 5 = 6 ✔.
- परीक्षेसाठी : x = –7 : –5 × (–7) = 35 ✔.
एका बाजूला जे कराल ते दुसऱ्या बाजूलाही.
संख्या हलवताना चिन्ह न बदलणे. विरुद्ध क्रिया वापरा.
विचारा : x वर काय केले? तेच उलटवा. आठवणीची युक्ती : "दोन्ही बाजूंना करा व उलटवा."
फरक ओळखा
| समीकरणात | उलटवा |
|---|---|
| x + a | – a |
| x – a | + a |
| a × x | ÷ a |
| x ÷ a | × a |
सरावासाठी प्रश्न
- 1सोडवा x + 12 = 30.
- 2सोडवा x – 9 = 14.
- 3सोडवा 6x = 54.
- 4सोडवा x ÷ 7 = 4.
- 5सोडवा 25 = x + 8.
- 6सोडवा –4x = 28.
- 7सोडवा x + 15 = 6.
- 8सोडवा x ÷ (–3) = 5.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 118
- 223
- 39
- 428
- 517
- 6–7
- 7–9
- 8–15
दोन पायऱ्यांची समीकरणे
एक संख्या घ्या, दुप्पट करा, 5 मिळवा, 17 येते. संख्या शोधण्यासाठी उलट क्रमाने : 5 वजा, मग निम्मे.
x वर दोन क्रिया झाल्या. उलट क्रमाने उलटवा : आधी बेरीज/वजाबाकी, मग गुणाकार/भागाकार, नेहमी दोन्ही बाजूंना.
आकृतीत : उलट पायऱ्या : आधी –5, मग ÷2.
दोन पायऱ्यांची समीकरणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : ax + b = c प्रकार — b वजा (किंवा मिळवा), मग a ने भागा.
- सोपे : 2x + 3 = 11 → 2x = 8 → x = 4.
- मध्यम : 3x – 5 = 16 → 3x = 21 → x = 7.
- परीक्षेसाठी : 7x + 9 = 2 → 7x = –7 → x = –1.
नियम 2 : x ÷ a + b = c प्रकार — आधी b काढा, मग a ने गुणा.
- सोपे : x ÷ 2 + 3 = 8 → x ÷ 2 = 5 → x = 10.
- मध्यम : x ÷ 3 – 4 = 2 → x ÷ 3 = 6 → x = 18.
- परीक्षेसाठी : (x + 3) ÷ 4 = 5 → x + 3 = 20 → x = 17.
नियम 3 : पडताळा — x डाव्या बाजूत घाला.
- सोपे : x = 4 : 2 × 4 + 3 = 11 ✔.
- मध्यम : x = 7 : 3 × 7 – 5 = 16 ✔.
- परीक्षेसाठी : x = –1 : 7 × (–1) + 9 = 2 ✔.
शेवटची क्रिया आधी उलटवा.
+b काढण्याआधी भागणे : 2x + 3 = 11 म्हणजे x + 3 = 5 नाही.
आधी बेरीज/वजाबाकी, मग गुणाकार/भागाकार. आठवणीची युक्ती : "आधी बाहेरचे सोला."
फरक ओळखा
| उलटवण्याचा क्रम | पायरी |
|---|---|
| 1st | + or – (c ± b) |
| 2nd | × or ÷ |
सरावासाठी प्रश्न
- 1सोडवा 3x + 2 = 20.
- 2सोडवा 5x – 4 = 21.
- 3सोडवा x ÷ 4 + 3 = 7.
- 4सोडवा 9x + 7 = –2.
- 5सोडवा 4x – 11 = 13.
- 6सोडवा 2x + 9 = 1.
- 7सोडवा (x – 5) ÷ 3 = 4.
- 8सोडवा 6x ÷ 5 = 12.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16
- 25
- 316
- 4–1
- 56
- 6–4
- 717
- 810
कंस व दोन्ही बाजूंना चल
दोन टॅक्सी वेगळे दर : ₹5 + kmला ₹3 आणि ₹1 + kmला ₹4. एका अंतरावर खर्च सारखा, म्हणजे दोन्ही बाजूंना x.
वितरण गुणधर्माने कंस काढा, x चे पद एका बाजूला व संख्या दुसऱ्या बाजूला आणा, मग सोडवा. “=” पलीकडे नेताना चिन्ह बदलते.
आकृतीत : 3(x + 2) = 3x + 6 करून सोडवा.
कंस व दोन्ही बाजूंना चल
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : कंस सोडवा — बाहेरची संख्या आतल्या प्रत्येक पदाला गुणा.
- सोपे : 3(x + 2) = 21 → 3x + 6 = 21 → x = 5.
- मध्यम : 2(x – 3) = 10 → x – 3 = 5 → x = 8.
- परीक्षेसाठी : 2(3x – 1) = 16 → 6x – 2 = 16 → x = 3.
नियम 2 : दोन्ही बाजूंना अज्ञात — लहान x-पद दोन्ही बाजूंतून वजा.
- सोपे : 4x = x + 15 → 3x = 15 → x = 5.
- मध्यम : 5x – 3 = 2x + 9 → 3x = 12 → x = 4.
- परीक्षेसाठी : 9x – 5 = 4x + 20 → 5x = 25 → x = 5.
नियम 3 : दोन्ही बाजूंना कंस — दोन्ही उकला, मग सजातीय पदे एकत्र.
- सोपे : 5(x + 1) = 3(x + 5) → 5x + 5 = 3x + 15 → x = 5.
- मध्यम : 4(x – 2) = 2(x + 4) → 4x – 8 = 2x + 8 → x = 8.
- परीक्षेसाठी : 3(2x + 1) = 5x + 10 → x = 7.
कंसातील प्रत्येक पदाला गुणा.
3(x + 2) = 3x + 2 लिहिणे. 2 लाही गुणा : 3x + 6.
बाहेरच्या संख्येपासून आतल्या प्रत्येक पदाकडे बाण काढा. आठवणीची युक्ती : "कंस : सर्वांना वाटा."
फरक ओळखा
| पायरी | क्रिया |
|---|---|
| 1 | कंस सोडवा |
| 2 | x पदे एकत्र |
| 3 | सोडवा |
सरावासाठी प्रश्न
- 1सोडवा 2(x + 4) = 18.
- 2सोडवा 3(x – 2) = 12.
- 3सोडवा 6x = 2x + 20.
- 4सोडवा 8x – 5 = 3x + 15.
- 5सोडवा 4(2x – 1) = 28.
- 6सोडवा 3(x + 2) = 2x + 11.
- 7सोडवा 5(x – 1) = 3(x + 3).
- 8सोडवा (3x – 2) ÷ 4 = x.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 15
- 26
- 35
- 44
- 54
- 65
- 77
- 8–2
शब्दगणिते व उत्तर तपासणे
टॅक्सीचे बिल, वाटून घेतलेले जेवण, कुटुंबातील वयं : प्रत्येक गोष्टीचे समीकरण होते व उत्तर गोष्टीतही बसले पाहिजे.
वाचा, अज्ञात ठरवा, समीकरण लिहा, सोडवा, मग गोष्टीत तपासा. नेहमीच्या चुका : चुकीची चिन्हे, पूर्ण कंस न गुणणे, गोष्टीत न बसणारे उत्तर.
आकृतीत : परिमिती 36 चा चौरस : 4s = 36, म्हणून s = 9.
नियम 1 : संख्या व रकमा — प्रत्येक वाक्य समीकरणाच्या एका बाजूत मांडा.
- सोपे : संख्या अधिक 15 = 40 : x + 15 = 40 → 25.
- मध्यम : संख्येचे दुप्पट 38 : 2x = 38 → 19.
- परीक्षेसाठी : टॅक्सी ₹30 + ₹12 प्रति km = ₹150 : 12k + 30 = 150 → k = 10.
नियम 2 : वय, परिमिती, क्रमवार संख्या — सर्व अज्ञात एकाच अक्षराने मांडा.
- सोपे : आयत : लांबी = रुंदी + 3, परिमिती 34 : 4b + 6 = 34 → b = 7.
- मध्यम : तीन क्रमवार संख्या एकूण 48 : 3n + 3 = 48 → n = 15.
- परीक्षेसाठी : वडील मुलाच्या 3 पट, एकूण 56 : 4s = 56 → s = 14.
नियम 3 : गोष्टीत तपासा — उत्तर फक्त समीकरणात नाही, गोष्टीतही घाला.
- सोपे : टॅक्सी 10 km : 30 + 120 = 150 ✔.
- मध्यम : वयं 14 व 42, एकूण 56 ✔.
- परीक्षेसाठी : चूक : 2x + 3 = 11 → 2x = 14 चूक; बरोबर 2x = 8, x = 4.
उत्तर नेहमी गोष्टीत तपासा.
एका बाजूला 3 मिळवलेला असताना दोन्हीकडे 3 मिळवणे. वजा करा.
आधी "x म्हणजे …" लिहा म्हणजे अक्षराला अर्थ. आठवणीची युक्ती : "वाचा, ठरवा, लिहा, सोडवा, तपासा."
फरक ओळखा
| वाक्यांश | चिन्ह |
|---|---|
| जास्त | + |
| कमी | – |
| पट, दुप्पट | × |
सरावासाठी प्रश्न
- 1संख्येच्या तिप्पट 51. संख्या?
- 2वयांची बेरीज 40, फरक 6. लहान?
- 3तीन क्रमवार संख्यांची बेरीज 72. सर्वात मोठी?
- 48 पेनांची किंमत ₹96. एकाची?
- 5फी ₹20 अधिक किलोला ₹15, एकूण ₹110. किती किलो?
- 6परिमिती 52 चा चौरस. बाजू?
- 75x = 20 चे x = 20 – 5 असे सोडवले. बरोबर x?
- 8संख्येच्या दुप्पटीतून 7 वजा = तिप्पटीतून 15 वजा. संख्या?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 117
- 217
- 325
- 412
- 56
- 613
- 74
- 88