सममिती रेषा आणि आरशासारखे अर्धे भाग
फुलपाखराकडे पाहा : त्याचा डावा पंख उजव्या पंखासारखा असतो. मूल कागद अर्धा घडी घालून कागदी फूल कापते आणि उघडल्यावर दोन्ही बाजू सारख्या दिसतात. अशा आकृतींत एक अर्धा भाग दुसऱ्याचे आरशातले प्रतिबिंब असतो.
एखाद्या आकृतीला सममिती रेषा असते जर त्या रेषेवर घडी घातल्यावर दोन्ही अर्धे भाग एकमेकांवर नेमके बसतात. या दोन भागांना आरशासारखे अर्धे भाग म्हणतात. या रेषेला आरशाची रेषाही म्हणतात आणि ती उभी, आडवी किंवा तिरकी असू शकते.
आकृतीत : डावीकडचा त्रिकोण घडीत जुळणारे अर्धे भाग देतो; उजवीकडचा देत नाही.
नियम 1 : घडीची कसोटी — रेषेवर घडी घातली असे समजा. एका अर्ध्याचा प्रत्येक बिंदू दुसऱ्या अर्ध्याच्या बिंदूवर नेमका बसला, तर ती सममिती रेषा आहे. कोणताही भाग बाहेर राहिला तर नाही.
सममिती रेषा आणि आरशासारखे अर्धे भाग
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : समद्विभुज त्रिकोणाला वरच्या कोपऱ्यापासून पायाच्या मध्यापर्यंतच्या रेषेवर घडी घातली : अर्धे भाग बसतात, म्हणून ती सममिती रेषा आहे.
- मध्यम : आयताला त्याच्या दोन लांब बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणाऱ्या रेषेवर घडी घातली : अर्धे भाग बसतात.
- परीक्षेसाठी : तीनही बाजू वेगळ्या असलेला त्रिकोण : कोणत्याही घडीत अर्धे भाग बसत नाहीत, म्हणून सममिती रेषा नाही.
नियम 2 : जुळणारे बिंदू — प्रत्येक बिंदूचा रेषेच्या दुसऱ्या बाजूला जोडीदार असतो आणि तो रेषेपासून तेवढ्याच अंतरावर असतो. रेषेवरचा बिंदू स्वतःचाच जोडीदार असतो. म्हणून बिंदू आणि त्याच्या जोडीदारातील अंतर रेषेपासूनच्या अंतराच्या दुप्पट असते.
- सोपे : रेषेच्या डावीकडे 3 सेमीवरील बिंदूचा जोडीदार उजवीकडे 3 सेमीवर असतो, म्हणून त्यांच्यात 6 सेमी अंतर.
- मध्यम : रेषेपासून 5 सेमीवरील बिंदू त्याच्या जोडीदारापासून 5 × 2 = 10 सेमी दूर असतो.
- परीक्षेसाठी : इंग्रजी मोठ्या A ला एक उभी सममिती रेषा आहे, H ला दोन (उभी आणि आडवी), आणि F ला एकही नाही.
आकृतीचे दोन समान मापाचे तुकडे करणारी रेषा नेहमी सममिती रेषा नसते; घडी घातल्यावर तुकडे बसलेही पाहिजेत.
चौरस नसलेल्या आयताचा कर्ण सममिती रेषा समजणे; त्यावर घडी घातली तर कोपरे बाहेर राहतात.
घडी घाला : अर्धे भाग नेमके जुळले तर घडीची रेषा सममिती रेषा. आठवणीची युक्ती : “घडी घाला, बसले, मग सममिती रेषा”.
फरक ओळखा
| आकृती | घडी या रेषेवर | अर्धे भाग बसतात? |
|---|---|---|
| समद्विभुज त्रिकोण | वरचा कोपरा ते पायाचा मध्य | होय |
| आयत | लांब बाजूंचे मध्य जोडणारी | होय |
| आयत | एक कर्ण | नाही |
| विषमभुज त्रिकोण | कोणतीही रेषा | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1आकृतीचे दोन जुळणारे अर्धे भाग करणाऱ्या रेषेला काय म्हणतात?
- 2तीन वेगवेगळ्या बाजू असलेल्या त्रिकोणाला सममिती रेषा असते का?
- 3एक बिंदू सममिती रेषेपासून 4 सेमीवर आहे. त्याचा जोडीदार बिंदू रेषेपासून किती दूर?
- 4बिंदू P सममिती रेषेपासून 6 सेमी आहे. P आणि त्याच्या जोडीदारातील अंतर किती?
- 5एक आयत 8 सेमी बाय 5 सेमी आहे. त्याचा कर्ण सममिती रेषा आहे का?
- 6समद्विभुज त्रिकोणाला किती सममिती रेषा असतात?
- 7A, H, F आणि L या मोठ्या अक्षरांपैकी किती अक्षरांना किमान एक सममिती रेषा आहे?
- 8आकृतीच्या सममिती रेषेपासून डाव्या कडेपर्यंत 9 सेमी आहे. आकृतीची पूर्ण रुंदी किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) सममिती रेषा
- 22) नाही
- 33) 4 सेमी
- 44) 12 सेमी
- 55) नाही
- 66) 1
- 77) 2 (A आणि H)
- 88) 18 सेमी
सममिती रेषा मोजणे
चौरस फरशी, त्रिकोणी सावधानतेचा फलक आणि गोल ताट प्रत्येक वेगवेगळ्या प्रकारे घडी घालून जुळवता येते. डिझायनर नक्षी निवडण्यापूर्वी तिला अशा किती घड्या आहेत ते मोजतो.
वेगवेगळ्या आकृतींना सममिती रेषांची संख्या वेगवेगळी असते. नियमित बहुभुजाला जितक्या बाजू तितक्या रेषा असतात. वर्तुळाला अगणित रेषा असतात, प्रत्येक व्यासासाठी एक. काही आकृत्यांना, उदा. तीन वेगळ्या बाजूंच्या त्रिकोणाला, एकही नसते.
आकृतीत : त्रिकोण 3, आयत 2, चौरस 4, षटकोन 6 सममिती रेषा.
नियम 1 : नियमित बहुभुज : जितक्या बाजू तितक्या — नियमित बहुभुजाला जितक्या बाजू तितक्या सममिती रेषा असतात. सर्व रेषा केंद्रातून जातात आणि दोन शेजारच्या रेषांमधील कोन 180° ला बाजूंच्या संख्येने भागून येतो.
सममिती रेषा मोजणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : नियमित पंचकोन : 5 बाजू, म्हणून 5 सममिती रेषा.
- मध्यम : नियमित षटकोन : 6 रेषा, आणि शेजारच्या रेषांत 180 ÷ 6 = 30° कोन.
- परीक्षेसाठी : नियमित अष्टकोन : 8 सममिती रेषा.
नियम 2 : त्रिकोण आणि चौकोन — तीन समान बाजूंच्या त्रिकोणाला 3 रेषा, दोन समान बाजूंच्या त्रिकोणाला 1 आणि एकही समान बाजू नसलेल्याला 0. चौरस नसलेल्या आयताला 2 रेषा, चौरसाला 4, पतंगाकार चौकोनाला 1 आणि आयत नसलेल्या समांतरभुज चौकोनाला 0.
- सोपे : आयत 9 सेमी बाय 5 सेमी : 2 रेषा, समोरासमोरच्या बाजूंचे मध्य जोडणाऱ्या (कर्ण मोजायचे नाहीत).
- मध्यम : समद्विभुज त्रिकोण : 1 रेषा.
- परीक्षेसाठी : तिरका समांतरभुज चौकोन : कशीही घडी घातली तरी 0 रेषा.
वर्तुळाला अगणित सममिती रेषा असतात : केंद्रातून जाणारी प्रत्येक रेषा एक असते.
चौरस नसलेल्या आयताचे कर्ण सममिती रेषा म्हणून मोजणे.
नियमित बहुभुज : रेषांची संख्या = बाजूंची संख्या. आठवणीची युक्ती : “नियमित आकृती : जितक्या बाजू तितक्या रेषा”.
फरक ओळखा
| आकृती | सममिती रेषा | कारण |
|---|---|---|
| समभुज त्रिकोण | 3 | प्रत्येक कोपऱ्यातून एक |
| आयत | 2 | दोन मध्यरेषा |
| चौरस | 4 | 2 मध्यरेषा + 2 कर्ण |
| वर्तुळ | अगणित | केंद्रातून जाणारी प्रत्येक रेषा |
सरावासाठी प्रश्न
- 1चौरसाला किती सममिती रेषा असतात?
- 2नियमित षटकोनाला किती सममिती रेषा असतात?
- 3चौरस नसलेल्या आयताला किती सममिती रेषा असतात?
- 4एका नियमित बहुभुजाला 9 सममिती रेषा आहेत. त्याला किती बाजू आहेत?
- 5नियमित षटकोनाच्या शेजारच्या सममिती रेषा किती कोन करतात?
- 6कोणाला जास्त सममिती रेषा आहेत, चौरसाला की नियमित पंचकोनाला?
- 7नियमित बहुभुजाच्या शेजारच्या सममिती रेषा 20° चा कोन करतात. त्याला किती बाजू आहेत?
- 8चौरस, आयत (चौरस नसलेला) आणि समभुज त्रिकोण यांना मिळून एकूण किती सममिती रेषा आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 4
- 22) 6
- 33) 2
- 44) 9
- 55) 30° (180 ÷ 6)
- 66) पंचकोन (5 रेषा विरुद्ध 4)
- 77) 9 बाजू (180 ÷ 20)
- 88) 9 (4 + 2 + 3)
फिरवण्याची सममिती आणि फिरण्याचे केंद्र
तीन समान पाती असलेला छताचा पंखा एक-तृतीयांश फेरी फिरल्यावर तसाच दिसतो. सारख्या अंतरावर आरे असलेले सायकलचे चाकही तसेच दिसते. या आकृत्या घडी घातल्यावर नाही तर फिरवल्यावर स्वतःशी जुळतात.
एखाद्या आकृतीला फिरवण्याची सममिती असते जर ती एका ठराविक बिंदूभोवती पूर्ण फेरीपेक्षा कमी फिरवल्यावर अगदी तशीच दिसते. त्या ठराविक बिंदूला फिरण्याचे केंद्र म्हणतात. 360° ची पूर्ण फेरी झाल्यावर प्रत्येक आकृती तशीच दिसते, म्हणून तेवढी फेरी एकटी मोजली जात नाही.
आकृतीत : 3 समान पाती असलेली भिंगरी 120° आणि 240° फिरवल्यावर तशीच दिसते.
नियम 1 : फिरवा आणि तुलना करा — आकृती केंद्राभोवती हळूहळू फिरवा. 360° पेक्षा कमी एखाद्या फेरीवर ती आपल्या जुन्या रेखाटनावर नेमकी बसली, तर तिला फिरवण्याची सममिती आहे. अशी सर्वांत लहान फेरी तिला किती जुळणाऱ्या स्थिती आहेत ते सांगते.
फिरवण्याची सममिती आणि फिरण्याचे केंद्र
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : चौरस 90° फिरवला की जुन्या रेखाटनावर बसतो, म्हणून सर्वांत लहान फेरी 90°.
- मध्यम : आयत (चौरस नसलेला) 90° नंतर बसत नाही, पण 180° नंतर बसतो.
- परीक्षेसाठी : समभुज त्रिकोण 120°, 240° आणि 360° नंतर बसतो.
नियम 2 : सममिती रेषेशिवाय फिरवण्याची सममिती — घडीने कुठलीही जुळणी होत नसली तरी आकृती फिरवल्यावर तशीच दिसू शकते. वाकड्या पात्यांच्या भिंगरीला सममिती रेषा नसते, तरी ती प्रत्येक पाव फेरीनंतर जुळते.
- सोपे : मोठ्या N अक्षराला सममिती रेषा नाही, तरी अर्धी फेरी (180°) फिरवल्यावर तो तसाच दिसतो.
- मध्यम : अधिक चिन्ह (+) प्रत्येक 90° फिरवल्यावर तसेच दिसते.
- परीक्षेसाठी : चौरसाचे फिरण्याचे केंद्र म्हणजे त्याचे कर्ण जिथे भेटतात तो बिंदू.
360° नंतर प्रत्येक आकृती तशीच दिसते, म्हणून लहान फेरीतही जुळली तरच आकृतीला फिरवण्याची सममिती असते.
पूर्ण फेरीमुळे प्रत्येक आकृतीला फिरवण्याची सममिती असते असे समजणे, किंवा ती सममिती रेषेशी गल्लत करणे.
फिरवण्याची सममिती = पूर्ण फेरीपेक्षा कमी फिरवल्यावर तशीच दिसणे. आठवणीची युक्ती : “फिरवा, पाहा, तशीच?”.
फरक ओळखा
| आकृती | जुळणारी सर्वांत लहान फेरी | फिरण्याचे केंद्र |
|---|---|---|
| चौरस | 90° | कर्ण जिथे भेटतात |
| आयत | 180° | कर्ण जिथे भेटतात |
| समभुज त्रिकोण | 120° | त्रिकोणाचा मध्य |
| विषमभुज त्रिकोण | नाही (फक्त 360°) | गरज नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1चौरस तसाच दिसण्यासाठी सर्वांत लहान फेरी किती?
- 2आयत 180° फिरवल्यावर तसाच दिसतो का?
- 3भिंगरीला 4 समान पाती आहेत. ती किती अंशांनी प्रथम तशीच दिसते?
- 4भिंगरीला 6 समान पाती आहेत. ती तशीच दिसण्यासाठी सर्वांत लहान फेरी किती?
- 5तीन वेगळ्या बाजू असलेल्या त्रिकोणाला फिरवण्याची सममिती असते का?
- 6मोठे H अक्षर अर्धी फेरी फिरवल्यावर तसेच दिसते का?
- 7एक भिंगरी 72° फिरवल्यावर प्रथम तशीच दिसते. तिला किती समान पाती आहेत?
- 8100° ची फेरी चौरसाला तसाच दिसायला लावते का? कारण द्या.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 90°
- 22) होय
- 33) 90°
- 44) 60° (360 ÷ 6)
- 55) नाही (फक्त 360° नंतर)
- 66) होय
- 77) 5 पाती (360 ÷ 72)
- 88) नाही, 100 हे 90 चे पटीत नाही
फिरवण्याच्या सममितीचे कोन
एका गोल झुल्याला 6 सारख्या बैठका आहेत. प्रत्येक वेळी तो नेमका एक बैठक पुढे फिरला की संपूर्ण झुला आधीसारखाच दिसतो. अशी सर्वांत लहान फेरी पूर्ण फेरीचा ठराविक भाग असते.
ज्या फेऱ्यांनंतर आकृती तशीच दिसते त्या तिचे सममितीचे कोन. सर्वांत लहान कोन म्हणजे 360° जुळणाऱ्या स्थितींमध्ये समान वाटलेले, आणि बाकीचे त्याच्या पटी, 360° पर्यंत. नियमित बहुभुजाला जितक्या बाजू तितक्या जुळणाऱ्या स्थिती असतात.
आकृतीत : त्रिकोण 120°, 240° आणि 360° नंतर जुळतो; चौरस 90°, 180°, 270° आणि 360° नंतर.
नियम 1 : सर्वांत लहान कोन शोधा — 360° ला जुळणाऱ्या स्थितींच्या संख्येने भागा. नियमित बहुभुजासाठी ती बाजूंची संख्या असते.
फिरवण्याच्या सममितीचे कोन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : चौरस : 360 ÷ 4 = 90°.
- मध्यम : समभुज त्रिकोण : 360 ÷ 3 = 120°.
- परीक्षेसाठी : नियमित षटकोन : 360 ÷ 6 = 60°.
नियम 2 : सर्व कोन लिहा — सर्वांत लहान कोन 360° येईपर्यंत वारंवार मिळवत जा. वाटेतील प्रत्येक संख्या हा सममितीचा कोन आहे. शेवटचा, 360°, म्हणजे पूर्ण फेरी.
- सोपे : नियमित पंचकोन : 72°, 144°, 216°, 288° आणि 360°.
- मध्यम : आयत (चौरस नसलेला) : 180° आणि 360°.
- परीक्षेसाठी : सर्वांत लहान कोन 45° : 360 ÷ 45 = 8 जुळणाऱ्या स्थिती.
यादीतील शेवटचा कोन नेहमी 360° असतो, कारण पूर्ण फेरी प्रत्येक आकृतीला सुरुवातीच्या जागी आणते.
बाजूंच्या संख्येने 360° ऐवजी 180° भागणे, किंवा सर्वांत लहान कोनाच्या पटी लिहायला विसरणे.
सर्वांत लहान कोन = 360° ÷ जुळणाऱ्या स्थितींची संख्या; तो 360° पर्यंत मिळवत जा. आठवणीची युक्ती : “तीनशे साठ, समान वाटा”.
फरक ओळखा
| आकृती | सर्वांत लहान कोन | सर्व कोन |
|---|---|---|
| समभुज त्रिकोण | 120° | 120°, 240°, 360° |
| चौरस | 90° | 90°, 180°, 270°, 360° |
| नियमित षटकोन | 60° | 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360° |
| आयत | 180° | 180°, 360° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1समभुज त्रिकोणाचा फिरवण्याच्या सममितीचा सर्वांत लहान कोन किती?
- 2नियमित अष्टकोनाचा फिरवण्याच्या सममितीचा सर्वांत लहान कोन किती?
- 3चौरसाचे फिरवण्याच्या सममितीचे सर्व कोन लिहा.
- 410 बाजू असलेल्या नियमित बहुभुजाचा फिरवण्याच्या सममितीचा सर्वांत लहान कोन किती?
- 5एका आकृतीचा सममितीचा सर्वांत लहान कोन 40° आहे. पूर्ण फेरीत तिला किती जुळणाऱ्या स्थिती आहेत?
- 6नियमित पंचकोनाचा फिरवण्याच्या सममितीचा दुसरा कोन किती?
- 7एका नियमित बहुभुजाच्या फिरवण्याच्या सममितीचा सर्वांत लहान कोन 24° आहे. त्याला किती बाजू आहेत?
- 8एक आकृती 120° फिरवल्यावर तशीच दिसते. 120° हा सर्वांत लहान असेल तर 80°, 240° आणि 300° पैकी कोणते सममितीचे कोन आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 120°
- 22) 45° (360 ÷ 8)
- 33) 90°, 180°, 270°, 360°
- 44) 36° (360 ÷ 10)
- 55) 9 (360 ÷ 40)
- 66) 144° (2 × 72°)
- 77) 15 बाजू (360 ÷ 24)
- 88) फक्त 240° (120° ची पट)
प्रतिबिंब आणि फिरवणे एकत्र
चौरस खिडकी, त्रिकोणी सावधानतेचा फलक आणि तिरकी फरशी या सर्वांची दोन प्रकारे चाचणी करता येते : आरशाच्या रेषेवर घडी घालणे आणि केंद्राभोवती फिरवणे. प्रत्येक आकृती एक चाचणी, दोन्ही किंवा एकही पास करू शकते.
रेषेची सममिती घडी घालून तपासतात आणि फिरवण्याची सममिती फिरवून. आकृतीला फक्त रेषेची सममिती, फक्त फिरवण्याची सममिती, दोन्ही किंवा एकही असू शकत नाही. हे दोन्ही प्रकार नेहमी एकत्र येत नाहीत.
आकृतीत : चौरस : दोन्ही. समद्विभुज त्रिकोण : फक्त रेषा. समांतरभुज चौकोन : फक्त फिरवणे.
नियम 1 : दोन वेगळ्या चाचण्या — आधी घडीची चाचणी करून रेषा मोजा. मग फिरवण्याची चाचणी करून जुळणारी सर्वांत लहान फेरी शोधा. प्रत्येक आकृतीसाठी दोन्ही निकाल लिहा.
प्रतिबिंब आणि फिरवणे एकत्र
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : चौरस : 4 रेषा आणि 90° फिरवल्यावर जुळतो, म्हणून दोन्ही प्रकार आहेत.
- मध्यम : समद्विभुज त्रिकोण : 1 रेषा, पण 360° पेक्षा लहान कोणतीही फेरी जुळत नाही, म्हणून फक्त रेषेची सममिती.
- परीक्षेसाठी : तिरका समांतरभुज चौकोन : रेषा नाही, पण 180° नंतर जुळतो, म्हणून फक्त फिरवण्याची सममिती.
नियम 2 : संख्यांची तुलना करा — नियमित बहुभुजाला जितक्या बाजू तितक्या रेषा आणि तितक्याच जुळणाऱ्या स्थिती असतात. आयताला 2 रेषा आणि 2 जुळणाऱ्या स्थिती. पतंगाकार चौकोनाला 1 रेषा आणि जुळणारी कोणतीही फेरी नाही.
- सोपे : समभुज त्रिकोण : 3 रेषा आणि 3 जुळणाऱ्या स्थिती (120°, 240°, 360°).
- मध्यम : पतंगाकार चौकोन : 1 रेषा, फिरवण्याची सममिती नाही.
- परीक्षेसाठी : वाकड्या 4 पात्यांची भिंगरी : रेषा नाही, पण प्रत्येक 90° नंतर जुळते.
सममिती रेषा असल्याने फिरवण्याची सममिती मिळत नाही, आणि फिरवण्याची सममिती असल्याने रेषा मिळत नाही.
रेषेची आणि फिरवण्याची सममिती नेहमी एकत्र येतात असे मानणे.
रेषांसाठी घडीची चाचणी, फिरवण्यासाठी फिरवण्याची चाचणी; दोन्ही वेगवेगळ्या करा. आठवणीची युक्ती : “रेषांसाठी घडी, फिरवण्यासाठी फिरवा”.
फरक ओळखा
| आकृती | सममिती रेषा | फिरवण्याची सममिती |
|---|---|---|
| चौरस | 4 | होय (90°) |
| समद्विभुज त्रिकोण | 1 | नाही |
| समांतरभुज चौकोन | 0 | होय (180°) |
| विषमभुज त्रिकोण | 0 | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1चौरसाला रेषेची आणि फिरवण्याची अशा दोन्ही सममिती असतात का?
- 2समद्विभुज त्रिकोणाला फिरवण्याची सममिती असते का?
- 3तिरक्या समांतरभुज चौकोनाला (आयत नसलेल्या) सममिती रेषा असते का?
- 4चौरस नसलेल्या आयतासाठी सममिती रेषांची संख्या आणि जुळणारी सर्वांत लहान फेरी सांगा.
- 5पतंगाकार चौकोनाला फिरवण्याची सममिती असते का?
- 6समभुज त्रिकोणासाठी सममिती रेषांची संख्या आणि जुळणारी सर्वांत लहान फेरी सांगा.
- 7यापैकी कोणाला नेमकी 1 सममिती रेषा आहे आणि फिरवण्याची सममिती नाही : चौरस, समद्विभुज त्रिकोण, समांतरभुज चौकोन?
- 8एका नियमित बहुभुजाला 6 सममिती रेषा आहेत आणि जुळणारी सर्वांत लहान फेरी 60° आहे. त्याचे नाव सांगा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) होय
- 22) नाही
- 33) नाही
- 44) 2 रेषा, 180°
- 55) नाही
- 66) 3 रेषा, 120°
- 77) समद्विभुज त्रिकोण
- 88) नियमित षटकोन