पूर्णांक : धन, ऋण आणि शून्य
एका उंच ऑफिस इमारतीत तळमजल्याच्या वर सहा मजले आणि खाली दोन पार्किंगचे मजले आहेत. लिफ्टमध्ये तळमजल्याचे बटण 0, वरचे मजले 1, 2, 3 आणि पार्किंगचे मजले उणे चिन्हासह दाखवलेले असतात. हिवाळ्याच्या सकाळी डोंगरी गावातील थर्मामीटरही शून्याच्या खाली अंश दाखवतो. शून्याच्या वर आणि खाली जाणाऱ्या संख्या सगळीकडे दिसतात.
मोजक संख्या, शून्य आणि मोजक संख्यांच्या विरुद्ध संख्या मिळून पूर्णांक होतात : … −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3 … शून्याच्या वरच्या संख्या धन असून त्यांना + चिन्ह असते; शून्याच्या खालच्या संख्या ऋण असून त्यांना − चिन्ह असते. शून्य धनही नाही आणि ऋणही नाही. शून्यापासून समान अंतरावर, पण विरुद्ध बाजूला असलेले दोन पूर्णांक एकमेकांचे विरुद्ध असतात.
आकृतीत : तळमजल्याच्या वरचे मजले +, तळमजला 0, खालचे मजले −.
नियम 1 : धन, ऋण आणि शून्य — सुरुवातीच्या जागेपासून वर जाणे + ने आणि खाली जाणे − ने लिहितात. सुरुवातीची जागा स्वतः 0 असते. तळमजल्यापासून 4 मजले वर गेलेली लिफ्ट +4 वर असते; 2 मजले खाली गेलेली −2 वर असते.
पूर्णांक : धन, ऋण आणि शून्य
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : तळमजल्याच्या 5 मजले वर म्हणजे +5.
- मध्यम : तळमजल्याच्या 3 मजले खाली म्हणजे −3 आणि तळमजला स्वतः 0.
- परीक्षेसाठी : +3 वरील लिफ्ट 3 मजले खाली गेली तर 3 − 3 = 0 म्हणजे तळमजल्यावर पोहोचते.
नियम 2 : विरुद्ध संख्या — धन पूर्णांकाचा विरुद्ध म्हणजे तोच अंक असलेला ऋण पूर्णांक, आणि उलटही. 0 चा विरुद्ध 0 च असतो.
- सोपे : +7 चा विरुद्ध −7.
- मध्यम : −12 चा विरुद्ध +12.
- परीक्षेसाठी : −2 वरील लिफ्ट 5 मजले वर गेली : ती +3 वर पोहोचते, कारण −2 पासून 5 पावले वर.
शून्याला चिन्ह नसते. +0 किंवा −0 लिहू नका.
9 मोठी संख्या आहे म्हणून −9 हे 0 पेक्षा मोठे समजणे; ऋण संख्या नेहमी शून्याच्या खाली असते.
वर +, खाली −, सुरुवात 0. आठवणीची युक्ती : “वर धन, खाली ऋण, तळ शून्य”.
फरक ओळखा
| परिस्थिती | पूर्णांक | प्रकार |
|---|---|---|
| तळमजल्याच्या 4 मजले वर | +4 | धन |
| तळमजल्यावर | 0 | धनही नाही ऋणही नाही |
| तळमजल्याच्या 6 मजले खाली | −6 | ऋण |
| +8 चा विरुद्ध | −8 | ऋण |
सरावासाठी प्रश्न
- 1“तळमजल्याच्या 5 मजले खाली” हे पूर्णांकाने लिहा.
- 2शून्य धन, ऋण की यापैकी काहीच नाही?
- 3−9 चा विरुद्ध काय?
- 4लिफ्ट +2 वर आहे आणि 5 मजले खाली जाते. ती कोणत्या मजल्यावर पोहोचेल?
- 5−4 वरील लिफ्ट 7 मजले वर जाते. ती कोणत्या मजल्यावर पोहोचेल?
- 6पहाटे तापमान शून्याच्या 6 अंश खाली आहे. दुपारपर्यंत ते 9 अंशांनी वाढते. दुपारी तापमान किती?
- 7लिफ्ट −3 वरून सुरू होऊन 8 मजले वर आणि मग 6 मजले खाली जाते. ती कुठे थांबते?
- 8−3 ते +3 मध्ये दोन्ही टोकांसह किती पूर्णांक आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) −5
- 22) धनही नाही ऋणही नाही
- 33) +9
- 44) −3
- 55) +3
- 66) +3 °C
- 77) −1
- 88) 7
संख्यारेषा आणि पूर्णांकांची तुलना
एका प्रश्नमंजूषेत मीराचे +30 गुण आहेत आणि अर्जुनचे −10 गुण आहेत, कारण चुकीच्या उत्तरांमुळे त्याचे गुण कापले गेले. मीरा पुढे आहे हे सर्वांना दिसते. मधोमध शून्य असलेली सरळ पट्टी हेच दाखवते : जो उजवीकडे जास्त दूर तोच पुढे.
संख्यारेषेवर मध्यभागी 0, उजवीकडे धन पूर्णांक आणि डावीकडे ऋण पूर्णांक समान अंतरावर असतात. उजवीकडची संख्या तिच्या डावीकडच्या प्रत्येक संख्येपेक्षा मोठी असते. म्हणून प्रत्येक धन पूर्णांक 0 पेक्षा मोठा आणि 0 प्रत्येक ऋण पूर्णांकापेक्षा मोठा.
आकृतीत : जितके उजवीकडे तितकी मोठी : −4 < −1 < 0 < +3.
नियम 1 : उजवीकडची संख्या मोठी — दोन पूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी त्यांना संख्यारेषेवर ठेवा. उजवीकडचा मोठा. दोन ऋण संख्यांमध्ये शून्याच्या जवळची संख्या मोठी, कारण ती जास्त उजवीकडे असते.
संख्यारेषा आणि पूर्णांकांची तुलना
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : +3 > −8, कारण धन संख्या प्रत्येक ऋण संख्येपेक्षा वर असते.
- मध्यम : −2 > −7, कारण −2 शून्याच्या जवळ आणि −7 च्या उजवीकडे आहे.
- परीक्षेसाठी : 0 > −1, कारण शून्य प्रत्येक ऋण पूर्णांकाच्या उजवीकडे असते.
नियम 2 : क्रम लावणे आणि “दरम्यान” — चढता क्रम म्हणजे सर्वात लहान आधी, म्हणजे रेषेवर डावीकडून उजवीकडे. उतरता क्रम उजवीकडून डावीकडे. दोन संख्यांच्या दरम्यानचे पूर्णांक म्हणजे रेषेवर त्यांच्या अगदी मधले पूर्णांक.
- सोपे : −5, +2, −1, 0 यांचा चढता क्रम −5, −1, 0, +2.
- मध्यम : −3 आणि +2 यांच्या दरम्यानचे पूर्णांक −2, −1, 0, +1 : चार संख्या.
- परीक्षेसाठी : −15, −4 आणि −9 मध्ये सर्वात मोठी −4 आणि सर्वात लहान −15.
“दरम्यान” म्हणताना दोन्ही टोके सोडतात : −3 आणि +2 च्या दरम्यान −3 किंवा +2 येत नाहीत.
9 > 2 म्हणून −9 > −2 म्हणणे; ऋण संख्यांत अंक मोठा असेल तर संख्या लहान असते.
डावीकडे लहान, उजवीकडे मोठी. आठवणीची युक्ती : “उजवीकडे उजवी (मोठी) संख्या”.
फरक ओळखा
| जोडी | मोठी संख्या | कारण |
|---|---|---|
| +4 आणि −9 | +4 | धन संख्या ऋणापेक्षा मोठी |
| +6 आणि +2 | +6 | जास्त उजवीकडे |
| −3 आणि −8 | −3 | शून्याच्या जवळ |
| 0 आणि −5 | 0 | शून्य ऋणापेक्षा मोठे |
सरावासाठी प्रश्न
- 1−6 आणि +1 पैकी मोठे कोणते?
- 2−8 आणि −3 पैकी लहान कोणते?
- 3योग्य चिन्ह लावा (> किंवा <) : −5 ___ −2.
- 4चढत्या क्रमाने लावा : −7, 3, −1, 0.
- 5−4 आणि +3 यांच्या दरम्यान किती पूर्णांक आहेत?
- 6−12, −2 आणि −30 मध्ये सर्वात मोठी कोणती?
- 7पाच गावांचे तापमान −4, +6, −11, 0 आणि −1 अंश आहे. सर्वात थंड आणि सर्वात उष्ण कोणते?
- 8सर्वात लहान धन पूर्णांक, सर्वात मोठा ऋण पूर्णांक आणि शून्य चढत्या क्रमाने लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) +1
- 22) −8
- 33) <
- 44) −7, −1, 0, 3
- 55) 6
- 66) −2
- 77) −11 आणि +6
- 88) −1, 0, +1
पूर्णांकांची बेरीज
एक मूल सरळ वाटेवर 4 पावले पुढे आणि मग 6 पावले मागे चालते. ती सुरुवातीच्या जागेपासून 2 पावले मागे पोहोचते. पुढे जाणे धन हालचाल आणि मागे जाणे ऋण हालचाल; दोन्ही हालचाली मिळवल्या की ती कुठे उभी आहे ते कळते.
संख्यारेषेवर बेरीज करण्यासाठी पहिल्या पूर्णांकापासून सुरू करा, मग धन संख्येसाठी उजवीकडे आणि ऋण संख्येसाठी डावीकडे जा. जिथे थांबता ती बेरीज. +1 आणि −1 ची जोडी म्हणजे शून्य जोडी : दोघे मिळून 0 होतात.
आकृतीत : (−2) + (+5) = +3 रेषेवर, आणि (+5) + (−3) = +2 चकत्यांनी : तीन शून्य जोड्या रद्द होतात.
नियम 1 : सारखी चिन्हे : बेरीज करा, चिन्ह तेच ठेवा — दोन्ही पूर्णांक धन किंवा दोन्ही ऋण असतील तर अंक मिळवा आणि दोघांचे समान चिन्ह ठेवा. एकाच दिशेच्या दोन हालचाली मिळून त्याच दिशेची मोठी हालचाल होते.
- सोपे : (+4) + (+3) = +7.
- मध्यम : (−5) + (−2) = −7 : 5 + 2 = 7 आणि दोन्ही ऋण.
- परीक्षेसाठी : (−12) + (−9) = −21 : पृष्ठभागाच्या 12 मी खाली असलेला पाणबुड्या आणखी 9 मी खाली जातो.
नियम 2 : वेगळी चिन्हे : मागे या शून्य जोड्या — चिन्हे वेगळी असतील तर हालचाली उलट दिशांना ओढतात. मोठ्या अंकातून लहान अंक वजा करा आणि ज्या पूर्णांकाचा अंक मोठा त्याचे चिन्ह ठेवा. समान पण उलट हालचाली रद्द होऊन 0 होतात.
पूर्णांकांची बेरीज
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : (+9) + (−4) = +5 : 9 − 4 = 5 आणि मोठा अंक धन.
- मध्यम : (−8) + (+3) = −5 : 8 − 3 = 5 आणि मोठा अंक ऋण.
- परीक्षेसाठी : (−15) + (+15) = 0, आणि (−6) + (+10) = +4 कारण 6 शून्य जोड्या रद्द होतात व 4 धन उरतात.
0 मिळवल्याने काही बदलत नाही, आणि पूर्णांक अधिक त्याचा विरुद्ध नेहमी 0 असतो.
(−5) + (−3) = −2 लिहिणे; दोन ऋण साचतात, म्हणून उत्तर −8.
सारखी चिन्हे मिळतात; वेगळी चिन्हे लढतात आणि मोठा जिंकतो. आठवणीची युक्ती : “सारखे – मिळवा; वेगळे – लढवा”.
फरक ओळखा
| प्रकार | उदाहरण | उत्तर |
|---|---|---|
| दोन्ही धन | (+3) + (+6) | +9 |
| दोन्ही ऋण | (−3) + (−6) | −9 |
| मोठा अंक धन | (+8) + (−5) | +3 |
| मोठा अंक ऋण | (−8) + (+5) | −3 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(+6) + (+7) काढा.
- 2(−4) + (−9) काढा.
- 3(+10) + (−3) काढा.
- 4(−12) + (+5) काढा.
- 5(−8) + (+8) काढा.
- 6एक पाणबुडी −14 मी वर आहे आणि 6 मी वर येते. ती आता कुठे आहे?
- 7(−7) + (+12) + (−9) काढा.
- 8लिफ्ट +2 वरून सुरू होऊन 6 मजले खाली आणि मग 3 मजले वर जाते. ती कोणत्या मजल्यावर थांबते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) +13
- 22) −13
- 33) +7
- 44) −7
- 55) 0
- 66) −8 मी
- 77) −4
- 88) −1
पूर्णांकांची वजाबाकी
डोंगरी गावातील थर्मामीटर पहाटे −2 अंश आणि दुपारी +5 अंश दाखवतो. तो किती चढला? लिफ्ट −3 मजल्यावरून +2 मजल्यावर जाते : ती किती मजले आणि कोणत्या दिशेने गेली? दोन्ही प्रश्नांत सुरुवातीच्या जागेपासून लक्ष्यापर्यंत नेणारी हालचाल विचारली आहे.
वजाबाकी म्हणजे सुरुवातीच्या पूर्णांकापासून लक्ष्य पूर्णांकापर्यंत जाण्यासाठी लागणारी हालचाल : लक्ष्य − सुरुवात. एक उपयुक्त गोष्ट : पूर्णांक वजा करणे आणि त्याचा विरुद्ध मिळवणे यांचे उत्तर सारखेच येते.
आकृतीत : −3 वरून +2 पर हालचाल +5, म्हणून (+2) − (−3) = +5, जे (+2) + (+3) सारखेच.
नियम 1 : वजाबाकी म्हणजे हालचाल : लक्ष्य − सुरुवात — संख्यारेषेवर सुरुवात आणि लक्ष्य दाखवा. सुरुवातीपासून लक्ष्यापर्यंतची पावले मोजा : उजवीकडे धन, डावीकडे ऋण. ती संख्या म्हणजे उत्तर.
पूर्णांकांची वजाबाकी
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : (+7) − (+4) = +3 : 4 पासून 7 पर 3 पावले उजवीकडे.
- मध्यम : (−2) − (+5) = −7 : 5 पासून −2 पर 7 पावले डावीकडे.
- परीक्षेसाठी : (+2) − (−3) = +5 : लिफ्ट −3 वरून +2 वर जाते, 5 मजले वर.
नियम 2 : वजा करणे = विरुद्ध मिळवणे — वजाबाकीचे चिन्ह बेरजेत बदला आणि दुसऱ्या पूर्णांकाऐवजी त्याचा विरुद्ध घ्या. मग नेहमीप्रमाणे बेरीज करा. ऋण संख्या वजा करणे म्हणजे धन संख्या मिळवणे.
- सोपे : (+8) − (+3) = (+8) + (−3) = +5.
- मध्यम : (+5) − (−4) = (+5) + (+4) = +9.
- परीक्षेसाठी : (−7) − (−10) = (−7) + (+10) = +3.
ऋण संख्या वजा केल्याने उत्तर लहान नाही, मोठे होते.
(+5) − (−4) = +1 लिहिणे; दुसरी संख्या आधी तिच्या विरुद्धात बदलावी लागते, म्हणून उत्तर +9.
दुसऱ्याचे चिन्ह उलटा, मग मिळवा. आठवणीची युक्ती : “वजा म्हणजे उलटा आणि मिळवा”.
फरक ओळखा
| वजाबाकी | हेच म्हणजे | उत्तर |
|---|---|---|
| (+6) − (+2) | (+6) + (−2) | +4 |
| (+6) − (−2) | (+6) + (+2) | +8 |
| (−6) − (+2) | (−6) + (−2) | −8 |
| (−6) − (−2) | (−6) + (+2) | −4 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(+9) − (+4) काढा.
- 2(+3) − (+8) काढा.
- 3(+5) − (−2) काढा.
- 4(−6) − (+3) काढा.
- 5(−4) − (−9) काढा.
- 6लिफ्ट −3 मजल्यावरून +4 मजल्यावर जाते. ती किती आणि कोणत्या दिशेने जाते?
- 7दुपारी तापमान +4 अंश आणि मध्यरात्री −6 अंश होते. तापमानातील बदल किती?
- 8(+2) − (−6) − (+10) काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) +5
- 22) −5
- 33) +7
- 44) −9
- 55) +5
- 66) 7 मजले वर
- 77) −10 (10 अंशांनी घट)
- 88) −2
रोजच्या जीवनात पूर्णांक
दुकानदाराच्या पासबुकात भरलेले आणि काढलेले पैसे दिसतात. डोंगरावरची छावणी समुद्रसपाटीपासून खूप उंच असते, तर पाणबुड्याच्या बोटीच्या खूप खाली समुद्रतळ असतो. हवामानाच्या अंदाजात गोठणबिंदूच्या वर आणि खाली तापमान दिले जाते. जिथे दोन उलट दिशा आणि नैसर्गिक शून्य असते तिथे पूर्णांक उपयोगी पडतात.
आधी ठरवा की शून्य काय आणि धन दिशा कोणती. बँकेच्या शिल्लकेत जमा रक्कम धन आणि देणे ऋण. उंचीत समुद्रसपाटीच्या वर धन आणि खाली ऋण. तापमानात 0 °C च्या वर धन आणि खाली ऋण. मग सुरुवातीच्या किमतीत बदल मिळवा.
आकृतीत : उंची समुद्रसपाटीपासून आणि तापमान 0 °C पासून मोजतात; दोन्ही शून्याच्या वर आणि खाली जातात.
नियम 1 : शून्य आणि चिन्ह ठरवा, मग बदल मिळवा — वाढ, जमा किंवा नफा धन; घट, काढलेली रक्कम किंवा तोटा ऋण. नवी किंमत = सुरुवातीची किंमत + बदल, पूर्णांकांच्या बेरजेच्या नियमांनी.
रोजच्या जीवनात पूर्णांक
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : तापमान −4 अंश आहे आणि 10 ने वाढते : (−4) + (+10) = +6 अंश.
- मध्यम : शिल्लक +120 आणि ₹80 खर्च : (+120) + (−80) = +40, म्हणजे ₹40 उरतात.
- परीक्षेसाठी : शिल्लक +120 आणि ₹300 खर्च : (+120) + (−300) = −180, म्हणजे खात्यावर ₹180 देणे.
नियम 2 : दोन पातळ्यांमधील फरक — दोन किमतींतील अंतर काढण्यासाठी मोठ्या किमतीतून लहान किंमत वजा करा. ऋण किंमत वजा केली की तिचा अंक मिळवला जातो, म्हणून शून्याच्या दोन्ही बाजूंमधील अंतर म्हणजे दोन्ही अंकांची बेरीज.
- सोपे : समुद्रसपाटीपासून 40 मी आणि 10 मी वरच्या जागांत 40 − 10 = 30 मी फरक.
- मध्यम : +20 मी वरील पक्षी आणि −30 मी वरील पाणबुडी यांच्यात (+20) − (−30) = 50 मी अंतर.
- परीक्षेसाठी : दिवसाचे सर्वाधिक तापमान +7 आणि सर्वात कमी −5 : फरक (+7) − (−5) = 12 अंश.
चिन्ह वापरण्यापूर्वी शून्य काय आणि धन दिशा कोणती हे नेहमी सांगा.
−50 मी म्हणजे समुद्रसपाटीपासून 50 मी वर असे वाचणे; उणे चिन्ह म्हणजे समुद्रसपाटीखाली.
आधी शून्य आणि धन दिशा ठरवा, मग मिळवा. आठवणीची युक्ती : “आधी शून्य, मग धन किंवा ऋण”.
फरक ओळखा
| परिस्थिती | धन | ऋण |
|---|---|---|
| बँक शिल्लक | जमा | देणे |
| उंची | समुद्रसपाटीच्या वर | समुद्रसपाटीच्या खाली |
| तापमान | 0 °C च्या वर | 0 °C च्या खाली |
| लिफ्ट | तळमजल्याच्या वर | तळमजल्याच्या खाली |
सरावासाठी प्रश्न
- 1दुकानदार खात्यातून ₹75 काढतो. हा बदल पूर्णांकाने लिहा.
- 2तापमान +3 अंश आहे आणि 8 ने घटते. आता किती?
- 3एक पाणबुडी समुद्रसपाटीच्या 40 मी खाली आहे. तिची पातळी चिन्हासह लिहा.
- 4खात्यात +500 आहेत. ₹200 खर्च होतात आणि ₹50 जमा होतात. आता शिल्लक किती?
- 5खाते −60 दाखवते (₹60 देणे). ₹100 जमा केले. शिल्लक किती?
- 6डोंगरावरची छावणी +120 मी वर आणि सरोवर −15 मी वर आहे. उंचीतील फरक किती?
- 7रात्री तापमान −9 अंश आणि दुपारी +6 अंश आहे. ते किती अंशांनी वाढले?
- 8खाते +90 पासून सुरू होते. ₹140 खर्च, ₹70 जमा आणि ₹30 खर्च. शेवटची शिल्लक किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) −75
- 22) −5
- 33) −40 मी
- 44) +350
- 55) +40
- 66) 135 मी
- 77) 15 अंश
- 88) −10